TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 1(30).2009
DÒNG THẤM TRONG ĐẤT KHÔNG BÃO HOÀ THE PERCOLATION FLOW IN UNSATURATED SOILS
Bạch Quốc Tiến
Trường Đại học Bách Khoa, Đại học Đà nẵng
TÓM TẮT
Bài báo đề cập đến các phương trình dòng thấm nước trong toàn bộ nền đất, bao gồm trong đất bão hoà và cả đất không bão hoà, như vậy mới giải quyết toàn bộ bài toán thấm trong nền đất. Trong tính toán, cần thiết lập một phương trình tổng quát cho cả hai trường hợp, như vậy, việc tính toán dòng thấm từ đất không bão hoà đến bão hoà mới diễn ra “êm thuận”. Đối với trường hợp thấm trong đất bão hoà có thể lấy “độ hút dính” bằng 0, và như vậy, hệ số thấm nước của đất không bão hoà kw bằng hệ số thấm nước bão hoà ks. Các phương trình vi phân của dòng thấm có thể giải bằng các phương pháp: sai phân hữu hạn, phần tử hữu hạn .
ABSTRACT
The paper deals with the equation of the percolation flow in all-soil, including saturated soils and unsaturated soils, so as to completely solve the problem about percolation flow in all types of soils . For computation, it is necessary to make full equations for the above two cases so as to make it easier to compute the percolation flow from unsaturated soils to saturated soils. In case of the percolation flow in the saturated soils, “matric suction” may be equaled zero and so that unsaturated soils permeability coefficient (kw) equals saturated soils permeability coefficient (ks). The equations can be solved by numerical methods such as finite difference and finite element methods.
1. Mở đầu
Với các điều kiện về thời tiết và khí hậu trong tự nhiên, việc thấm nước trong các lớp đất không bão hòa trên bề mặt nền đất là một thực tế tất yếu, mặc dầu vậy, trong việc tính toán dòng thấm nước của đất thì thông thường áp dụng cho đất bão hòa mà đã được đề cập đến rất nhiều trong các tài liệu địa chất thuỷ văn, địa kỹ thuật... Công tác tính toán thấm trong đất không bão hòa vẫn còn hạn chế do ít tài liệu đề cập đến vấn đề này.
Công tác tính thấm nước trong đất không bão hòa có thể được áp dụng nhiều trong các trường hợp thực tế xây dựng công trình: Bài tóan tính thấm qua đập đất, bài tóan tính lượng nước ngấm trên bề mặt địa hình không ngập nước v.v..., như vậy, để bài toán thấm nước trong toàn bộ nền đất được giải quyết triệt để, phải có phương trình tổng quát đặc trung cho dòng thấm nước áp dụng cho cả trong đất không bão hòa và bão hòa.
2. Định luật Darcy cho đất không bão hòa
Dòng thấm nước mô tả bằng định luật Darcy được phát biểu như sau: Vận tốc dòng thấm nước qua khối đất tỷ lệ (quan hệ bậc nhất- tuyến tính) với gradien cột nước thuỷ lực.
23
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 1(30).2009
w
V = -k w
h w y
Trong đó:
VW: Vận tốc thấm nước.
kW: Hệ số thấm đối với pha nước.
dhw/dy: Gradien cột nước thuỷ lực theo hướng y (ký hiệu là iw).
Hệ số tỷ lệ giữa vận tốc thấm của nước và gradien cột nước thuỷ lực được gọi là hệ số thấm (kw). Đối với đất bão hoà, hệ số thấm có thể xem là hằng số. Dấu âm trong phương trình biểu thị là các dòng thấm nước vận động theo hướng giảm cột nước thuỷ lực.
Định luật Darcy cũng có thể áp dụng cho dòng thấm nước qua đất không bão hòa , tuy nhiên, hệ số thấm trong đất không bão hòa thường không được xem là hằng số mà là một biến, biến này chủ yếu là một hàm của độ ẩm hay độ hút dính của đất không bão hòa.
0.6
Bột đá phiến
0.5
Độ ẩm thể tích
Cát (hạt 0.13mm đến 0.50mm)
0.4
w‱
Cát (hạt 0.5mm đến 1.0mm)
0.3
0.2
Gradien cột nước thuỷ lực bằng 1.
0.1
Gradien cột nước thuỷ lực bằng 0.5.
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
0
0.2
0.4
0.6
Hệ số thấm k w ‱(.10-3‱m /s)
Hình 1. Xác minh thực nghiệm về định luật thấm Darcy cho dòng thấm
nước qua đất không bão hòa (Theo Childs và Collis-Goerge)
3. Dòng thấm ở trạng thái ổn định
Dòng thấm không bão hòa cũng được chi phối cùng định luật như đối với đất bão hòa (Định luật Darcy), chỉ khác là đối với đất không bão hòa thì hệ số thấm nước kw là hàm của lực hút dính, độ ẩm thể tích còn đối với đất bão hòa là hằng số, mặt khác, áp lực nước lổ rống trong đất bão hòa thường có giá trị dương còn đối với đất không bão hòa thường có giá trị âm. Mặc dầu có sự khác nhau này, cách thiết lập phương trình vi phân riêng phần cho cả hai trường hợp đều tương tự nhau và cũng có sự chuyển tiếp êm thuận từ trường hợp không bão hòa sang trương hợp bão hòa.
24
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 1(30).2009
3.1. Biến đổi hệ số thấm trong đất không bão hòa
Trên cơ sở hệ số thấm biến đổi theo các hướng trong không gian, có thể phân ra
thành ba trường hợp ứng với các điều kiện khác nhau:
+ Thấm trạng thái ổn định, không đồng nhất, đẳng hướng (Hình 2a)
+ Thấm trạng thái ổn định, không đồng nhất, dị hướng (Hình 2b)
+ Thấm trạng thái ổn định, không đồng nhất, hệ số thấm thay đổi liên tục (Hình 2c)
ky
A
B
1
A
B
kx = ky
k x k y
k x k y
k x k y
k x k y
ky
ky
ky
ky
ky
kx
kx
kx
B
B
B
kx
kx
kx
A
A
A
(a). Không đồng nhất,đẳng hướng
(b). Không đồng nhất,dị hướng
(c): Hệ số thấm thay đổi l iên tục
Hình 2. Biến đổi hệ số thấm nước trong đất không bão hòa.
3.2. Thiết lập phương trình cho dòng thấm một hướng
Xét một phân tố đất vô cùng nhỏ trong đất không bão hòa với kích thước dx,dy,dz (Hình 3). Tốc độ thấm vwy giả thiết là dương khi nước thấm lên theo hướng (y)
y
dy
Phân tố đất có bề dày dz
vw y
x
dx
z
v + wy dy v wy y
Hình 3. Dòng thấm nước một hướng qua phân tố đất không bão hòa
¶
¶ v
=
-
=
dxdydz
0
hay
v
dy dxdz
v dxdz
0
wy
wy
¶
wyv ¶ y
wy y
æ ç ç ç ç è
ö ÷ ÷ ÷ ÷ ø
w
w y
w
a
-k ( u -u ) .
h y
Áp dụng định luật Darcy:
(1)
d y d x d z = 0
y
(2)
wy
= 0
+
k
.
k w y y
h w y
Viết lại theo hướng y như sau (với kwy(ua- uw) viết lại là kwy): 2 w h 2 y
Khi đất bão hòa không đồng nhất thì phương trình thấm có thể viết như sau
25
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 1(30).2009
s
k
+
.
= 0
k s y
h w y
2 w h 2 y
(3)
Khi đất bão hòa đồng nhất, lúc đó hệ số thấm bão hòa ks là hằng số đối với nền
đất. Như vây, phương trình vi phân dòng thấm có thể viết lại là:
= 0
2 w h 2 y
(4)
Phương trình (4) cũng có thể thiết lập cho hướng x và z.
Tóm tắt các phương trình vi phân dòng thấm trạng ổn định một hướng cho đất
không bão hòa và bão hòa theo bảng sau:
Bảng 1. Phương trình thấm ổn định một hướng của đất không bão hòa.
Đất không đồng nhất
w y
k
+
.
= 0
w y y
k
h w y
2 w h 2 y
(2)
Bảng 2. Phương trình trạng thái thấm ổn định một hướng của đất bão hòa.
Không đồng nhất
Đồng nhất
2
s
k
+
.
= 0
= 0
w 2
k s y
h w y
h y
2 w h 2 y
( 4) ( 3)
3.3. Thiết lập phương trình cho dòng thấm hai hướng:
dy
y
vw x
Phân tố đất có bề dày dz
vw y
x
dx
z
Hình 4. Dòng thấm hai hướng qua phân tố đất không bão hoà
Xét một phân tố đất có kích thước dx, dy, dz và giả sử dòng thấm theo hai hướng x và y (Hình 4). Hệ số thấm theo phương x là kwx(ua- uw) và theo phương y là kwy(ua- uw) (Viết tắt là kwx và kwy). Tỷ số kwx/kwy là không đổi tại mọi điểm trong khối đất.
Vận tốc thấm vwx và vwy là hướng dương của x và y. Tính liên tục của dòng thấm
26
ổn định hai hướng cho phép biểu thị như sau:
w y
w x
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 1(30).2009
w x
w y
w y
w x
d x - v
d y d z + v +
d y - v
d x d z = 0
v +
v x
v y
w x
w y
d x d y d z = 0
v x
v y
Như vậy, lưu lượng thực thấm theo các hướng x,y sẽ là
w
w
Áp dung định luật Darcy:
w x
w y
+
k
k
= 0
x
h x
y
h y
2
2
w
w
w x
w
w y
w
(5)
w x
w y
+
+
.
.
k
2
2
h x
h y
(6) k + = 0 Phương trình (5) viết lại như sau: k x h x k y h y
Trong trường hợp đẳng hướng (kwx= kwy = kw), khi đó phương trình (6) có thể
2
2
w
w
w
w
w
w
viết:
w
+
.
.
k
+
= 0
2
2
h x
h y
k x
h x
k y
h y
(7)
2
2
w
w
s x
w
s y
w
Khi đất bão hoà, hệ số thấm nước kwx,kwy có thể lấy bằng hệ số thấm nước bão
s y
s x
+
+
.
.
k
k
+
= 0
2
2
h x
h y
k x
h x
k y
h y
hòa ksx và ksy (8)
Đối với đất bão hòa không đồng nhất, đẳng hướng thì phương trình (8) có thể
2
2
w
w
s
w
s
w
viết như sau:
s
+
.
.
k
+
= 0
2
2
h x
h y
k x
k y
h x
h y
(9)
Đối với đất bão hòa đồng nhất, dị hướng thì phương trình thấm có thể viết như
2
2
w
w
sau:
s y
s x
+
k
= 0
k
2
2
h y
h x
(10)
Đối với đất bão hòa đồng nhất, đẳng hướng thì phương trình thấm có thể viết
2
2
w
w
như sau:
+
= 0
2
2
h x
h y
(11)
Tóm tắt các phương trình vi phân dòng thấm trạng ổn định một hướng cho đất
không bão hòa và bão hòa theo bảng sau:
Bảng 3. Phương trình thấm ổn định hai hướng trong đất không bão hoà
Không đồng nhất, dị hướng
Không đồng nhất, đẳng hướng
2
2
2
2
w
w
wx
w
wy
w
w
w
w
w
w
w
h
h
h
h
k
h
k
h
k
h
k
h
wy
wx
w
+
+
.
.
+
.
.
k
k
+
= 0
k
+
= 0
2
2
2
2
x
y
x
x
y
y
x
y
x
x
y
y
Bảng 4. Phương trình thấm ổn định hai hướng trong đất bão hoà
27
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 1(30).2009
Dị hướng
Đẳng hướng
Không đồng nhất
2
2
2
2
w
w
sx
w
sy
w
w
w
s
w
s
w
sx
s
sy
+
+
.
.
+
.
.
k
k
+
= 0
k
+
= 0
2
2
2
2
h x
h y
k x
h x
k y
h y
h x
h y
k x
h x
k y
h y
Đồng nhất
2
2
2
2
w
w
w
w
sy
sx
+
+
k
k
= 0
= 0
2
2
2
2
h x
h y
h x
h y
Như vậy, có thể xem dòng thấm qua đất bão hòa là trường hợp đặc biệt của đất
không bão hoà, lúc đó, hệ số thấm nước kw được lấy bằng ks.
3.4. Thiết lập phương trình cho dòng thấm ba hướng
Xét một phân tố đất vô cùng nhỏ dx,dy,dz có dòng thấm đi qua. Vận tốc thấm
wyv +
dy
wyv y
vwz
vwx
y
dy
dz
d x
w xv +
w xv x
vwy
x
dx
z
wzv +
dz
wzv z
vwx, vwy, vwz theo các hướng x,y,z là dương theo các hướng của trục
Hình 5. Dòng thấm nước trạng thái ổn định ba hướng qua phần tử đất không bão hòa.
wx
wy
wy
wz
wz
Với dòng thấm ổn định có điều kiện liên tục nên:
dxdz+ v +
dydz+ v +
v + wx dx-v dy-v dz-v dxdy = 0 v wx x v wy y v wz z
+
+
d x d yd z = 0
w z z
v w x x
v w y y
v
Hay
w x
w y
w z
k
k
k
= 0
x
y
h w y
z
h w z
2
2
2
w
w
w
wx
w
wy
w
wz
w
wx
wy
wz
k
k
k
.
.
.
= 0
(12) Ap dụng định luật Darcy: h w x
h 2 x
h 2 y
h 2 z
k x
h x
k y
h y
k z
h z
Hay: (13)
28
Trường hợp đất không đồng nhất, đẳng hướng, khi đó, phương dòng thấm có dạng:
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 1(30).2009
2
2
2
k w . . . = 0 (14) h w 2 x h w 2 y h w 2 z k w x h w x k w y h w y k w z h w z
2
2
2
w
w
w
sx
w
sy
w
sz
w
sx
sy
sz
k
k
k
.
.
.
= 0
Trường hợp đất bão hoà, không đồng nhất, dị hướng, phương trình dòng thấm có dạng:
h 2 x
h 2 y
h 2 z
k x
h x
k y
h y
k z
h z
(15)
2
2
Trường hợp đất bão hoà, không đồng nhất, đẳng hướng , phương trình dòng thấm có dạng: 2 k s . . . = 0 (16) h w 2 x h w 2 y h w 2 z k s x h w x k s y h w y k s z h w z
2
2
2
w
w
w
sx
sy
k
k
k + sz
= 0
h 2 x
h 2 y
h 2 z
Trường hợp đất bão hoà, đồng nhất, dị hướng, phương trình vi phân dòng thấm có dạng:
2
2
2
w
w
w
+
= 0
h 2 x
h 2 y
h 2 z
Trường hợp đất bão hoà, đồng nhất, đẳng hướng, phương trình dòng thấm có dạng:
Tóm tắt các phương trình vi phân dòng thấm trạng ổn định ba hướng cho đất không bão hòa và bão hòa theo bảng sau:
Bảng 5. Phương trình thấm ổn định ba hướng trong đất không bão hoà
Không đồng nhất, dị hướng
Không đồng nhất, đẳng hướng
2
2
2
2
2
2
wx
w
wy
w
wz
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
h
h
h
h
h
h
k
h
k
h
k
h
k
h
k
h
k
h
wx
wy
wz
w
k
k
k
.
.
.
= 0
k
.
.
.
= 0
2
2
2
2
2
2
x
x
y
y
z
z
x
y
z
x
y
z
x
x
y
y
z
z
Bảng 6. Phương trình thấm ổn định ba hướng trong đất bão hoà
Dị hướng
Đẳng hướng
Không đồng nhất
2
2
2
2
2
2
sx
w
sy
w
sz
w
w
w
w
s
w
s
w
s
w
w
w
w
h
h
h
h
h
h
k
h
k
h
k
h
k
h
k
h
k
h
sx
sy
sz
s
k
k
k
.
.
.
= 0
k
.
.
.
= 0
2
2
2
2
2
2
x
x
y
y
z
z
x
y
z
x
y
z
x
x
y
y
z
z
Đồng nhất
2
2
2
2
2
2
w
w
w
w
w
w
sx
sy
+
k
k
k + sz
= 0
= 0
h 2 x
h 2 y
h 2 z
h 2 x
h 2 y
h 2 z
29
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 1(30).2009
4. Kết luận
Trong việc đánh giá tính thấm của đất không bão hoà, có đưa đến khái niệm độ hút dính (matric suction): ua - uw. Trên cơ sở đó, áp dụng định luật thấm (Darcy) cho đất
. không bão hoà: v = kw(ua - uw)
h y
Có thể xem hiện tượng thấm trong đất bão hòa là một trường hợp của hiện thấm trong đất không bão hoà, hay nói cách khác, thấm trong đất không bão hòa là trường hợp thấm tổng quát cho cả nền đất.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Trần Văn Cúc, Cơ học chất lỏng, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội,
2004.
[2] Phan Ngọc Cừ, Tôn Sĩ Kinh, Động lực nước dưới đất, Nhà xuất bản Đại học và
Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, 1981.
[3] C.W.Fetter, Địa chất thuỷ văn ứng dụng, T1&T2, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội,
2000
[4] D.G.Fredlund, H.Rahardjo, Cơ học đất không bão hòa, T1&T2, Nhà xuất bản Giáo
dục, Hà nội, 1998
30
[5] Doãn Tam Hoè, Phương trình vi phân, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội, 2005.
