Báo cáo nghiên cứu khoa học: "ss-ảnh 1-phủ dãy của không gian mê"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Thêm vào BST

Báo xấu

68
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu khoa học hay nhất của trường đại học vinh năm 2008 tác giả. Lương Quốc Tuyển, Nguyễn Duy Nam, Nguyễn Thị Toàn, ss-ảnh 1-phủ dãy của không gian mêtric khả ly địa phương. Trong bài viết này, chúng tôi nghiên cứu một số tính chất của họ bảo tồn bao dóng di truyền.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: "ss-ảnh 1-phủ dãy của không gian mê"

Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Sự hội tụ trong không gian của mảng nhiều chiều các toán tử đo được khả tích đều"
S S -¶nh 1-phñ d·y cña kh«ng gian mªtric kh¶ ly ®Þa ph−¬ng L−¬ng Quèc TuyÓn (a) , NguyÔn Duy Nam(b) , NguyÔn ThÞ To n(c) Tãm t¾t. Trong bµi viÕt nµy, chóng t«i nghiªn cøu mét sè tÝnh chÊt cña hä b¶o tån bao ®ãng di truyÒn, b¶o tån bao ®ãng di truyÒn yÕu, mét sè bÊt biÕn cña kh«ng gian cã sn-l−íi ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng qua ¸nh x¹ ®ãng phñ-d y vµ ®Æc tr−ng cña kh«ng gian cã sn-l−íi ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng qua c¸c ¸nh x¹ 1-phñ-d y. më ®Çu C¸c kh¸i niÖm vÒ phñ ® ®−îc nhiÒu nhµ to¸n häc nh− E. Michael, K. Nagami, Y. Tanaka, L. Foged, . . . quan t©m tõ nh÷ng n¨m 70 cña thÕ kØ XX. §Æc biÖt, trong nh÷ng n¨m gÇn ®©y, c¸c vÊn ®Ò vÒ k -l−íi, cs∗ -l−íi, cs-l−íi, sn-l−íi, c¬ së yÕu, . . . cã tÝnh chÊt phñ nµo ®ã ® ®−îc nhiÒu ng−êi nghiªn cøu vÒ t«p« quan t©m vµ nghiªn cøu s©u h¬n. Ng−êi ta ® ®−a ra ®−îc nhiÒu kÕt qu¶ ®Ñp vÒ mèi quan hÖ cña c¸c lo¹i l−íi trªn kh«ng gian t«p« tæng qu¸t vµ mét sè kh«ng gian ®Æc biÖt. H¬n thÕ n÷a, hä cßn nghiªn cøu tÝnh bÊt biÕn cña c¸c lo¹i l−íi nµy qua mét sè ¸nh x¹, nghiªn cøu ®Æc tr−ng cña kh«ng gian víi l−íi cã tÝnh chÊt phñ nµo ®ã bëi ¶nh cña c¸c kh«ng gian mªtric qua mét sè ¸nh x¹ nh− ¸nh x¹ phñ-d y, 1-phñ-d y, më-yÕu, . . . vµ ®Æc tr−ng ¶nh cña kh«ng gian mªtric qua c¸c ¸nh x¹ ®ã. Trong bµi viÕt nµy, chóng t«i nghiªn cøu mét sè tÝnh chÊt cña hä b¶o tån bao ®ãng di truyÒn, hä b¶o tån bao ®ãng di truyÒn yÕu trªn k -kh«ng gian, k -kh«ng gian, nghiªn cøu tÝnh bÊt biÕn cña kh«ng gian cã sn-l−íi (c¬ së yÕu) ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng qua c¸c ¸nh x¹ Lindelof, ¸nh x¹ ®ãng, ¸nh x¹ phñ-d y, ¸nh x¹ 1-phñ-d y, . . . vµ ®Æc ¨ tr−ng c¸c kh«ng gian cã sn-l−íi (c¬ së yÕu) ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng bëi ss-¶nh 1-phñ-d y, phñ-compact (ss-¶nh më-yÕu, phñ-compact) cña kh«ng gian mªtric kh¶ li ®Þa ph−¬ng. Trong toµn bé bµi viÕt nµy, khi nãi ®Õn c¸c kh«ng gian X , Y , . . . , th× ta hiÓu r»ng X , Y lµ c¸c kh«ng gian t«p« vµ chóng t«i quy −íc r»ng tÊt c¶ c¸c kh«ng gian lµ Hausdorff, c¸c ¸nh x¹ ®Òu liªn tôc vµ toµn ¸nh, cßn c¸c kh¸i niÖm, thuËt ng÷ kh¸c, nÕu kh«ng nãi g× thªm th× ®−îc hiÓu th«ng th−êng. Ngoµi ra cßn dïng thªm c¸c kÝ hiÖu: f (P ) = {f (P ) : P ∈ P}, P = {P : P ∈ P}, P = {P : P ∈ P}, N = {1, 2, 3, . . . }. 1. Kh«ng gian víi k -l−íi σ -b¶o tån bao ®ãng di truyÒn yÕu 1.1. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö P = {Pα : α ∈ Λ} lµ hä gåm c¸c tËp con cña X . (1) Ta nãi P lµ hä b¶o tån bao ®ãng di truyÒn hay ®¬n gi¶n HCP , nÕu {Aα : α ∈ J } = {Aα : α ∈ J }, víi mäi J ⊂ Λ vµ Aα ⊂ Pα , víi mäi α ∈ J . (2) P ®−îc gäi lµ hä b¶o tån bao ®ãng di truyÒn yÕu hay ®¬n gi¶n W HCP , nÕu {x(P ) ∈ P : P ∈ P} lµ hä HCP . 1 NhËn bµi ngµy 03/11/2008. Söa ch÷a xong 16/04/2009.
(3) P ®−îc gäi lµ hä σ -b¶o tån bao ®ãng di truyÒn (σ -b¶o tån bao ®ãng di truyÒn yÕu) hay ®¬n gi¶n lµ σ -HCP (t−¬ng øng, σ -W HCP ), nÕu P = {Pn : n ∈ N} víi mçi Pn lµ hä HCP (t−¬ng øng, W HCP ). (4) P lµ hä ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng, nÕu víi mçi x ∈ X , tån t¹i l©n cËn V cña x sao cho V giao víi kh«ng qu¸ ®Õm ®−îc phÇn tö cña P . 1.2. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö P lµ hä gåm c¸c tËp con cña X . (1) P lµ l−íi, nÕu víi mäi x ∈ X vµ U lµ l©n cËn bÊt k× cña x, tån t¹i P ∈ P sao cho x ∈ P ⊂ U . (2) P lµ k -l−íi, nÕu víi mäi tËp con K compact vµ víi mäi U lµ l©n cËn cña K trong X , tån t¹i hä con h÷u h¹n F ⊂ P sao cho K ⊂ F ⊂ U . (3) P lµ cf p-phñ cña K , nÕu P lµ phñ cña K trong X vµ P cã c¸i mÞn h÷u h¹n gåm c¸c tËp con ®ãng cña K phñ K . (4) P lµ cf p-l−íi, nÕu víi mäi tËp con compact K ⊂ X vµ K ⊂ U víi U më trong X , tån t¹i hä con h÷u h¹n F ⊂ P sao cho F lµ cf p-phñ cña K vµ F ⊂ U . (5) P lµ k -l−íi ®ãng, nÕu P lµ k -l−íi vµ mçi phÇn tö cña P lµ ®ãng trong X . (6) P lµ cs-l−íi, nÕu víi mäi d y {xn } héi tô ®Õn x ∈ X vµ U lµ l©n cËn bÊt k× cña x, tån t¹i m ∈ N vµ P ∈ P sao cho {x} {xn : n ≥ m} ⊂ P ⊂ U. (7) P lµ cs∗ -l−íi, nÕu víi mäi d y {xn } héi tô ®Õn x ∈ X vµ U lµ l©n cËn bÊt k× cña x, tån t¹i d y con {xni : i ∈ N} cña {xn } vµ P ∈ P sao cho {x} {xni : i ∈ N} ⊂ P ⊂ U . (8) P lµ wcs∗ -l−íi, nÕu víi mäi d y {xn } héi tô ®Õn x ∈ X vµ U lµ l©n cËn bÊt k× cña x, tån t¹i d y con {xni : i ∈ N} cña {xn } vµ P ∈ P sao cho {xni : i ∈ N} ⊂ P ⊂ U . 1.3. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö X lµ kh«ng gian t«p«. (1) X ®−îc gäi lµ k -kh«ng gian, nÕu U ⊂ X lµ më (®ãng) trong X khi vµ chØ khi víi mäi tËp compact K ⊂ X ta ®Òu cã U ∩ K lµ më (t−¬ng øng, ®ãng) trong kh«ng gian con K . (2) X ®−îc gäi lµ k -kh«ng gian, nÕu víi mäi tËp con kh«ng ®ãng H ⊂ X vµ víi mäi ®iÓm x ∈ H \ H , tån t¹i tËp compact K ⊂ X sao cho x ∈ H ∩ K . (3) X ®−îc gäi lµ kh«ng gian d·y, nÕu víi tËp hîp A ⊂ X , A lµ ®ãng trong X khi vµ chØ khi kh«ng cã d y nµo trong A héi tô ®Õn ®iÓm n»m ngoµi A. (4) X ®−îc gäi lµ kh«ng gian Frechet, nÕu víi mäi H ⊂ X vµ víi mäi x ∈ H , tån t¹i d y trong H héi tô ®Õn x. (5) X ®−îc gäi lµ ℵ0 -kh«ng gian, nÕu nã cã cs-l−íi ®Õm ®−îc. (6) X ®−îc gäi lµ kh«ng gian Lasnev nÕu X lµ ¶nh ®ãng cña mét kh«ng gian mªtric. (1) Frechet ⇒ k -kh«ng gian ⇒ k -kh«ng gian. 1.4. NhËn xÐt. (2) Frechet ⇒ d y ⇒ k -kh«ng gian. 1.5. §Þnh lÝ. Gi¶ sö X lµ k -kh«ng gian vµ P lµ hä gåm c¸c tËp con ®ãng cña X . Khi ®ã, c¸c kh¼ng ®Þnh sau lµ t−¬ng ®−¬ng (1) P lµ hä W HCP ;
(2) P lµ hä HCP . Chøng minh. (1) ⇒ (2). Gi¶ sö P = {Pα : α ∈ Λ} lµ hä W HCP cña X . Ta cÇn chøng minh r»ng P lµ hä HCP . ThËt vËy, gi¶ sö ng−îc l¹i r»ng P kh«ng lµ hä HCP . Khi ®ã, tån t¹i Γ ⊂ Λ vµ mçi α ∈ Γ tån t¹i Fα ⊂ Pα tho¶ m n Fα . Do ®ã, Fα = α∈Γ α∈ Γ Fα kh«ng ®ãng trong X . MÆt kh¸c, v× X lµ k -kh«ng gian nªn tån t¹i tËp compact α∈ Γ K ⊂ X sao cho K ∩ kh«ng ®ãng trong K . B©y giê, ta sÏ chøng tá r»ng Fα α∈ Γ F (K ) = {F ∩ K : F ∈ F} h÷u h¹n, trong ®ã F = {Fα : α ∈ Γ}. ThËt vËy, gi¶ sö ng−îc l¹i r»ng F (K ) = {Rβ : β ∈ ∆} h÷u h¹n, trong ®ã ∆ lµ tËp v« h¹n. Ta chän d y {xn } ⊂ K nh− sau: LÊy β1 ∈ ∆ vµ x1 ∈ Rβ1 . Khi ®ã, ¾t tån t¹i β2 ∈ ∆ \ {β1 } sao cho tån t¹i x2 ∈ Rβ2 \ {x1 }, v× nÕu ng−îc l¹i ta suy ra r»ng Rβ = {x1 } víi mäi β ∈ ∆ \ {β1 }. §iÒu nµy m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt ph¶n chøng r»ng ∆ v« h¹n. TiÕp tôc qu¸ tr×nh trªn ta sÏ x©y dùng ®−îc c¸c d y ph©n biÖt {xn : n ∈ N} ⊂ K vµ {βn : n ∈ N} ⊂ ∆ tho¶ m n mçi xn ∈ Rβn . B©y giê, víi mçi n ∈ N ta lÊy Fβn ∈ F sao cho Rβn = Fαn ∩ K . Khi ®ã, xn ∈ Fβn vµ {Fβn : n ∈ N} lµ d y ph©n biÖt trong F . Tõ tÝnh chÊt W HCP cña F ta suy ra {xn : n ∈ N} lµ tËp ®ãng vµ rêi r¹c trong tËp compact K . §iÒu nµy m©u thuÉn. V× thÕ, F (K ) h÷u h¹n vµ ta cã thÓ ®Æt F (K ) = {A1 , . . . , Am }. m Cuèi cïng, v× K ∩ (K ∩ Fα ) = Ai vµ c¸c Ai ®ãng trong X nªn Fα = α∈ Γ α∈Γ i=1 m Ai lµ tËp con ®ãng trong X . Do ®ã, K ∩ lµ tËp con ®ãng cña K . §iÒu nµy Fα α∈Γ i=1 m©u thuÈn víi K ∩ kh«ng lµ tËp con ®ãng trong K . VËy F lµ hä HCP cña Fα α∈Γ X. (2) ⇒ (1). HiÓn nhiªn. 1.6. HÖ qu¶. Gi¶ sö P lµ hä gåm c¸c tËp con ®ãng cña k -kh«ng gian X . Khi ®ã, c¸c kh¼ng ®Þnh sau lµ t−¬ng ®−¬ng (1) P lµ hä σ -W HCP ; (2) P lµ hä σ -HCP . 1.7. HÖ qu¶ ([1]). Gi¶ sö P lµ hä gåm c¸c tËp con ®ãng cña kh«ng gian d·y X . Khi ®ã, c¸c kh¼ng ®Þnh sau lµ t−¬ng ®−¬ng (1) P lµ hä σ -W HCP ; (2) P lµ hä σ -HCP . 1.8. §Þnh lÝ. Gi¶ sö P lµ hä gåm c¸c tËp con cña k -kh«ng gian X . Khi ®ã, c¸c kh¼ng ®Þnh sau lµ t−¬ng ®−¬ng (1) P lµ hä W HCP ; (2) P lµ hä HCP ; (3) P lµ hä HCP ;
(4) P lµ hä W HCP . Chøng minh. (1) ⇒ (2). Gi¶ sö P = {Pα : α ∈ Λ} lµ hä W HCP cña X ta cÇn chøng minh r»ng P lµ hä HCP cña X . ThËt vËy, gi¶ sö ng−îc l¹i r»ng P kh«ng lµ hä HCP cña X . Khi ®ã, tån t¹i hä con Γ ⊂ Λ vµ víi mçi α ∈ Γ tån t¹i Fα ⊂ Pα sao cho Fα . Do ®ã, ¾t tån t¹i x ∈ Fα \ Fα ⊂ Fα \ Fα . Suy ra Fα = Fα α∈Γ α∈Γ α∈ Γ α∈Γ α∈Γ α∈Γ α∈ Γ kh«ng ®ãng trong X . MÆt kh¸c, v× X lµ k -kh«ng gian nªn tån t¹i tËp con compact K ⊂ X sao cho x∈K∩ Fα . α∈ Γ B©y giê, ta ®Æt F (K ) = {F ∩ K : F ∈ F }, trong ®ã F = {Fα : α ∈ Γ}. T−¬ng tù nh− chøng minh trong phÇn (1) ⇒ (2) cña §Þnh lÝ 1.5 ta suy ra r»ng F (K ) lµ tËp h÷u h¹n. V× thÕ, ta cã thÓ ®Æt F (K ) = {A1 , . . . , Am }. Khi ®ã, v× x ∈ K ∩ Fα ta cã α∈Γ m m x∈K∩ (K ∩ Fα ) = Ai ⊂ Fα = Ai = Fα . α∈ Γ α∈ Γ α∈ Γ i=1 i=1 §iÒu nµy m©u thuÉn víi x ∈ Fα . VËy P lµ hä HCP . / α∈Γ (2) ⇒ (3). Nhê Bæ ®Ò 2 trong [9]. (3) ⇒ (4) ⇒ (1). HiÓn nhiªn. 1.9. HÖ qu¶. Gi¶ sö P lµ hä gåm c¸c tËp con cña k -kh«ng gian X . Khi ®ã, c¸c kh¼ng ®Þnh sau lµ t−¬ng ®−¬ng (1) P lµ hä σ -W HCP ; (2) P lµ hä σ -HCP ; (3) P lµ hä σ -HCP ; (4) P lµ hä σ -W HCP . 1.10. HÖ qu¶ ([9]). Gi¶ sö P lµ hä gåm c¸c tËp con cña kh«ng gian Frechet X . Khi ®ã, c¸c kh¼ng ®Þnh sau lµ t−¬ng ®−¬ng (1) P lµ hä σ -W HCP ; (2) P lµ hä σ -HCP ; (3) P lµ hä σ -HCP ; (4) P lµ hä σ -W HCP . 1.11. §Þnh lÝ. C¸c kh¼ng ®Þnh sau lµ t−¬ng ®−¬ng ®èi víi kh«ng gian chÝnh quy X (1) X lµ kh«ng gian Lasnev; (2) X lµ k -kh«ng gian víi k -l−íi σ -HCP ; (3) X lµ k -kh«ng gian víi k -l−íi ®ãng σ -HCP ; (4) X lµ k -kh«ng gian víi k -l−íi σ -W HCP ; (5) X lµ k -kh«ng gian víi k -l−íi ®ãng σ -W HCP .
Chøng minh. (1) ⇒ (2). Nhê Bæ ®Ò 3 trong [9] vµ NhËn xÐt 1.4(1). (2) ⇔ (3) ⇔ (4) ⇔ (5). Nhê HÖ qu¶ 1.9 víi chó ý r»ng, trong kh«ng gian chÝnh quy, nÕu P lµ k -l−íi cña X , th× P còng lµ k -l−íi cña X . (5) ⇒ (1). Gi¶ sö X lµ k -kh«ng gian vµ P lµ k -l−íi σ -W HCP cña X . Tr−íc hÕt ta chøng tá r»ng X lµ kh«ng gian Frechet. ThËt vËy, gi¶ sö A ⊂ X vµ x ∈ A. (1) Gi¶ sö x ∈ A. Khi ®ã, ta lÊy S = {xn = x : n ∈ N}. HiÓn nhiªn r»ng S lµ d y héi tô ®Õn x. (2) Gi¶ sö x ∈ A \ A. Khi ®ã, v× X lµ k -kh«ng gian nªn tån t¹i tËp compact K sao cho x ∈ K ∩ A ⊂ K . V× X lµ kh«ng gian cã k -l−íi σ -W HCP nªn nhê MÖnh ®Ò 3 vµ Bæ ®Ò 7 trong [9] ta suy ra K lµ kh«ng gian con kh¶ mªtric, kÐo theo K lµ kh«ng gian con tho¶ m n tiªn ®Ò ®Õm ®−îc thø nhÊt. B©y giê ta sÏ chøng tá r»ng tån t¹i d y {xn : n ∈ N} ⊂ K ∩ A, héi tô ®Õn x. ThËt vËy, v× K lµ kh«ng gian con tho¶ m n tiªn ®Ò ®Õm ®−îc thø nhÊt nªn tån t¹i c¬ së l©n cËn ®Õm ®−îc {Vn : n ∈ N} cña x trong kh«ng gian con K tho¶ m n Vn+1 ⊂ Vn , víi mäi n ∈ N. MÆt kh¸c, v× x ∈ K ∩ A nªn víi mçi n ∈ N, tån t¹i xn ∈ Vn ∩ (K ∩ A). Do ®ã, ta ®−îc d y {xn : n ∈ N} ⊂ K ∩ A. HiÓn nhiªn r»ng {xn } lµ d y héi tô ®Õn x trong kh«ng gian con K , kÐo theo {xn } héi tô ®Õn x trong X . VËy X lµ kh«ng gian Frechet. Cuèi cïng, nhê HÖ qu¶ 2 trong [9] ta suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. 1.12. MÖnh ®Ò. C¸c kh¼ng ®Þnh sau lµ t−¬ng ®−¬ng ®èi víi kh«ng gian X (1) X cã l−íi W HCP ; (2) X cã k -l−íi W HCP ; (3) X cã wcs∗ -l−íi W HCP . Chøng minh. (1) ⇒ (2). Gi¶ sö P lµ l−íi W HCP , K lµ tËp con compact vµ U lµ l©n cËn cña K trong X . Khi ®ã, theo c¸ch chøng minh trong §Þnh lÝ 1.5 ta suy ra P (K ) = {P ∩ K = ∅ : P ∈ P} h÷u h¹n. B©y giê, víi mçi x ∈ K , do P lµ l−íi nªn tån t¹i Px ∈ P sao cho x ∈ Px ⊂ U . Suy ra hä {Px : x ∈ X } lµ mét phñ cña K vµ {Px ∩ K : x ∈ X } ⊂ P (K ). V× thÕ ta cã thÓ ®Æt {Px ∩ K : x ∈ X } = {A1 , . . . , An } n vµ K ⊂ Ai . B©y giê víi mçi i ∈ {1, 2, . . . , n}, ta lÊy Pxi ∈ {Px : x ∈ X } sao cho i=1 n Pxi ∩ K = Ai . HiÓn nhiªn lóc ®ã K ⊂ Pxi ⊂ U , kÐo theo P lµ k -l−íi cña X . VËy P i=1 lµ k -l−íi W HCP cña X . (2) ⇒ (3) ⇒ (1). HiÓn nhiªn. 1.13. HÖ qu¶. §èi víi k -kh«ng gian X , c¸c kh¼ng ®Þnh sau lµ t−¬ng ®−¬ng (1) X cã l−íi ®ãng HCP ; (2) X cã l−íi ®ãng W HCP ; (3) X cã k -l−íi ®ãng HCP ; (4) X cã k -l−íi ®ãng W HCP ; (5) X cã wcs∗ -l−íi ®ãng HCP ; (6) X cã wcs∗ -l−íi ®ãng W HCP .
1.14. HÖ qu¶. §èi víi k -kh«ng gian X , c¸c kh¼ng ®Þnh sau lµ t−¬ng ®−¬ng cã l−íi ®ãng HCP ; (1) X cã l−íi W HCP ; (2) X cã k -l−íi ®ãng HCP ; (3) X cã k -l−íi W HCP ; (4) X wcs∗ -l−íi ®ãng HCP ; cã (5) X wcs∗ -l−íi W HCP . cã (6) X Chøng minh. Suy trùc tiÕp tõ §Þnh lÝ 1.8 vµ Bæ ®Ò 1.12. 2. Mét sè bÊt biÕn qua c¸c ¸nh x¹ 2.1. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö f : X −→ Y lµ mét ¸nh x¹. (1) f lµ ss-¸nh x¹, nÕu víi mçi y ∈ Y , tån t¹i l©n cËn U cña y sao cho f −1 (U ) lµ tËp con kh¶ li cña X . (2) f lµ π -¸nh x¹, nÕu X lµ kh«ng gian mªtric sao cho víi mçi y ∈ Y vµ U lµ l©n cËn bÊt k× cña y ta cã d(f −1 (y ), X \ f −1 (U )) > 0. (3) f lµ ¸nh x¹ Lindelof (compact), nÕu f −1 (y ) lµ tËp con Lindelof (t−¬ng øng, ¨ ¨ compact) cña X víi mäi y ∈ Y . (4) f lµ ¸nh x¹ phñ-d·y, nÕu mçi d y héi tô trong Y lµ ¶nh cña d y héi tô nµo ®ã trong X . (5) f lµ ¸nh x¹ 1-phñ-d·y, nÕu víi mçi y ∈ Y , tån t¹i xy ∈ f −1 (y ) sao cho mçi d y héi tô ®Õn y lµ ¶nh cña d y nµo ®ã héi tô ®Õn xy . (6) f lµ ¸nh x¹ phñ-d·y con h÷u h¹n, nÕu víi mçi y ∈ Y , tån t¹i tËp con h÷u h¹n F ⊂ f −1 (y ) sao cho mçi d y S ⊂ Y héi tô ®Õn y , tån t¹i d y L ⊂ X héi tô ®Õn xy ∈ F vµ f (L) lµ d y con cña S . (7) f lµ ¸nh x¹ phñ-compact, nÕu mçi tËp con compact trong Y lµ ¶nh cña tËp compact nµo ®ã trong X . (8) f lµ ¸nh x¹ th−¬ng, nÕu U lµ tËp më (®ãng) trong Y khi vµ chØ khi f −1 (U ) lµ tËp më (t−¬ng øng, ®ãng) trong X . (9) f lµ ¸nh x¹ më-yÕu, nÕu tån t¹i mét c¬ së yÕu B = {By : y ∈ Y } cña Y vµ víi mçi y ∈ Y tån t¹i xy ∈ f −1 (y ) tho¶ m n víi mçi l©n cËn më U cña xy , tån t¹i By ∈ By sao cho By ⊂ f (U ). (1) ¸nh x¹ compact ⇒ ¸nh x¹ Lindelof. 2.2. NhËn xÐt. ¨ (2) ¸nh x¹ 1-phñ d y ⇒ ¸nh x¹ phñ-d y. (3) ¸nh x¹ 1-phñ-d y ⇒ ¸nh x¹ phñ-d y con h÷u h¹n. (4) ¸nh x¹ ®ãng ⇒ ¸nh x¹ th−¬ng. 2.3. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö P lµ tËp con cña kh«ng gian X vµ x ∈ X . Ta nãi P lµ l©n cËn d·y cña x, nÕu víi mäi d y {xn } héi tô ®Õn x, tån t¹i m ∈ N sao cho {x} {xn : n ≥ m} ⊂ P.
2.4. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö P = {Px : x ∈ X } lµ mét phñ cña kh«ng gian X vµ víi mçi x ∈ X , Px tho¶ m n hai ®iÒu kiÖn (i) vµ (ii) sau ®©y (i) Px lµ l−íi cña x, nghÜa lµ víi U lµ l©n cËn cña x, tån t¹i P ∈ Px sao cho x ∈ P ⊂ U; (ii) NÕu P1 , P2 ∈ Px , tån t¹i P ∈ Px sao cho P ⊂ P1 ∩ P2 . (1) P lµ c¬ së yÕu cña X , nÕu tËp G ⊂ X lµ më khi vµ chØ khi víi mçi x ∈ G, tån t¹i P ∈ Px sao cho P ⊂ G. Khi ®ã, mçi Px ®−îc gäi lµ c¬ së l©n cËn yÕu t¹i x. (2) P lµ sn-l−íi cña X , nÕu mçi phÇn tö cña Px lµ l©n cËn d y cña x víi mäi x ∈ X . (3) X lµ gf -®Õm ®−îc (snf -®Õm ®−îc), nÕu X cã c¬ së yÕu (t−¬ng øng, sn-l−íi) P = {Px : x ∈ X } tho¶ m n Px ®Õm ®−îc víi mäi x ∈ X . (1) C¬ së yÕu ⇒ sn-l−íi. V× thÕ, gf -®Õm ®−îc ⇒ snf -®Õm ®−îc. 2.5. NhËn xÐt. (2) Trong kh«ng gian d y, sn-l−íi ⇔ c¬ së yÕu vµ snf -®Õm ®−îc ⇔ gf -®Õm ®−îc. 2.6. §Þnh lÝ. Gi¶ sö f : X −→ Y vµ X lµ kh«ng gian cã sn-l−íi ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng. Khi ®ã, nÕu mét trong c¸c tÝnh chÊt sau tho¶ m·n, th× Y cã sn-l−íi ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng (1) f lµ ¸nh x¹ Lindelof, ®ãng, phñ-d·y con h÷u h¹n. ¨ (2) f lµ ¸nh x¹ Lindelof, ®ãng, 1-phñ-d·y. ¨ Chøng minh. (1) Gi¶ sö f : X −→ Y lµ ¸nh x¹ Lindelof ®ãng, phñ-d y con h÷u h¹n ¨ vµ P lµ sn-l−íi ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng cña X . Khi ®ã, v× X cã sn-l−íi ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng vµ f lµ ¸nh x¹ phñ-d y con h÷u h¹n nªn nhê Bæ ®Ò 3.11 [10] ta suy ra Y lµ kh«ng gian snf -®Õm ®−îc. MÆt kh¸c, v× f lµ ¸nh x¹ Lindelof ®ãng nªn nhê Bæ ®Ò ¨ 3.12 [10], f (P ) lµ hä ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng cña Y . H¬n n÷a, v× f lµ ¸nh x¹ phñ-d y con h÷u h¹n vµ P lµ sn-l−íi cña X nªn ta dÔ dµng chøng minh ®−îc r»ng f (P ) lµ cs∗ -l−íi cña Y . V× thÕ, nhê MÖnh ®Ò 1.2.10 [8] ta suy ra r»ng Y cã sn-l−íi ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng. (2) Suy trùc tiÕp tõ (1) vµ NhËn xÐt 2.2(2). 2.7. HÖ qu¶. C¬ së yÕu ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng ®−îc b¶o tån qua ¸nh x¹ Lindelof ®ãng, ¨ phñ-d·y con h÷u h¹n. Chøng minh. Gi¶ sö f : X −→ Y lµ ¸nh x¹ ®ãng, phñ-d y con h÷u h¹n vµ X lµ kh«ng gian cã c¬ së yÕu ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng. Khi ®ã, nhê NhËn xÐt 2.5(1) vµ §Þnh lÝ 2.6(1) ta suy ra Y lµ kh«ng gian cã sn-l−íi ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng. MÆt kh¸c, v× ¸nh x¹ th−¬ng b¶o tån kh«ng gian d y nªn nhê NhËn xÐt 2.2(4) vµ NhËn xÐt 2.5(2) ta suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. 2.8. §Þnh lÝ. C¬ së yÕu ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng ®−îc b¶o tån qua ¸nh x¹ ®ãng, phñ-d·y. Chøng minh. Gi¶ sö f : X −→ Y lµ ¸nh x¹ ®ãng, phñ-d y vµ P lµ c¬ së yÕu ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng cña X . V× mäi hä ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng lµ hä ®Õm ®−îc theo ®iÓm vµ f lµ ¸nh x¹ ®ãng phñ-d y nªn nhê Bæ ®Ò 3.1 [6] ta suy ra Y lµ gf -®Õm ®−îc. Do ®ã, nhê HÖ qu¶ 10 [11] ta suy ra Y kh«ng chøa b¶n copy nµo cña Sω . MÆt kh¸c, v× X lµ
kh«ng gian cã c¬ së yÕu ®Õm ®−îc theo ®iÓm vµ f lµ ¸nh x¹ ®ãng nªn nhê Bæ ®Ò 3.2 [6] ta suy ra mçi ∂f −1 (y ) lµ tËp con compact cña X . B©y giê ta chøng minh kh¼ng ®Þnh (∗) sau ®©y (∗) y ∈ Y lµ ®iÓm c« lËp cña Y khi vµ chØ khi ∂f −1 (y ) = ∅. ThËt vËy, gi¶ sö y lµ ®iÓm c« lËp cña Y . Khi ®ã, {y } lµ tËp më trong Y , kÐo theo f −1 (y ) lµ tËp më trong X . MÆt kh¸c, v× ∂f −1 (y ) ⊂ f −1 (y ) vµ f −1 (y ) = intf −1 (y ) = f −1 (y ) \ ∂f −1 (y ) nªn ta suy ra ∂f −1 (y ) = ∅. Ng−îc l¹i, gi¶ sö ∂f −1 (y ) = ∅. Khi ®ã, v× intf −1 (y ) = f −1 (y ) \ ∂f −1 (y ) = f −1 (y ) nªn f −1 (y ) lµ tËp hîp më, kÐo theo f −1 (y ) lµ l©n cËn më cña f −1 (y ). MÆt kh¸c, v× f lµ ¸nh x¹ ®ãng, f −1 (y ) lµ l©n cËn më cña f −1 (y ) nªn tån t¹i l©n cËn më V cña y sao cho f −1 (V ) ⊂ f −1 (y ). §iÒu nµy chøng tá r»ng {y } = V , kÐo theo y lµ ®iÓm c« lËp cña Y. B©y giê víi mçi y ∈ Y , ta chän xy ∈ f −1 (y ) vµ ®Æt {∂f −1 (y ) : y ∈ Y } {xy : y lµ ®iÓm c« lËp cña Y }. D= Ta sÏ chøng tá r»ng D lµ tËp con ®ãng cña X . ThËt vËy, gi¶ sö x ∈ X \ D. Khi ®ã, ¾t tån t¹i y ∈ Y sao cho x ∈ f −1 (y ). NÕu y lµ ®iÓm c« lËp cña Y , th× nhê (∗) ta suy ra U = f −1 (y ) \ {xy } = intf −1 (y ) \ {xy } lµ l©n cËn më cña x vµ U ∩ D = ∅. NÕu y kh«ng lµ ®iÓm c« lËp cña Y , th× nhê (∗) ta suy ra ∂f −1 (y ) = ∅ vµ x ∈ intf −1 (y ). Lóc ®ã, nÕu ta ®Æt U = intf −1 (y ), th× U lµ l©n cËn më cña x vµ U ∩ D = ∅. VËy víi mçi x ∈ X \ D, tån t¹i l©n cËn U cña x sao cho U ∩ D = ∅. §iÒu nµy chøng tá r»ng D lµ tËp con ®ãng cña X . §Æt F = {P ∩ D : P ∈ P}. Nhê Bæ ®Ò 2.1 trong [6], ta suy ra F lµ c¬ së yÕu ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng cña D. H¬n n÷a, nÕu ®Æt g = f |D , th× nhê (∗) suy ra r»ng víi mçi y ∈ Y , ta cã {xy } nÕu y lµ ®iÓm c« lËp cña Y g −1 (y ) = ∂f −1 (y ) nÕu y kh«ng lµ ®iÓm c« lËp cña Y. Do ®ã, g lµ ¸nh x¹ compact. MÆt kh¸c, v× D lµ tËp con ®ãng cña X vµ f lµ ¸nh x¹ ®ãng nªn g lµ ¸nh x¹ ®ãng. Cuèi cïng, ta cã (i) g (F ) lµ hä ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng cña Y , v× nhê Bæ ®Ò 3.12 [10], g lµ ¸nh x¹ compact, ®ãng vµ F lµ hä ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng. (ii) g (F ) lµ cs∗ -l−íi cña Y . Gi¶ sö {yn } lµ d y trong Y héi tô ®Õn y vµ U lµ l©n cËn bÊt k× cña y , ta cã thÓ gi¶ thiÕt r»ng c¸c yn ph©n biÖt. V× D cã c¬ së yÕu ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng nªn D lµ kh«ng gian d y. MÆt kh¸c, v× A = {yn : n ∈ N} kh«ng ®ãng trong Y vµ g lµ ¸nh x¹ th−¬ng nªn B = g −1 (A) kh«ng lµ tËp ®ãng trong X . H¬n n÷a, v× X lµ kh«ng gian d y nªn tån t¹i d y {xn } ⊂ B héi tô ®Õn ®iÓm x ∈ B . Do ®ã, {g (xn )} lµ / d y con cña {yn }. Cuèi cïng, v× {xn } héi tô ®Õn x, g −1 (U ) lµ l©n cËn cña x vµ F lµ c¬
së yÕu cña D nªn tån t¹i P ∈ F vµ m ∈ N sao cho {x} {xn : n ≥ m} ⊂ P ⊂ g −1 (U ). V× thÕ, {y } {g (xn ) : n ≥ m} ⊂ g (P ) ⊂ U . Bëi v× {g (xn )} lµ d y con cña {yn } nªn ta suy ra g (F ) lµ cs∗ -l−íi cña Y . (iii) Y lµ kh«ng gian cã c¬ së yÕu ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng, v× nhê MÖnh ®Ò 1.2.11 trong [8], Y lµ kh«ng gian gf -®Õm ®−îc vµ g (F ) lµ cs∗ -l−íi ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng. Tõ §Þnh lÝ 2.8, HÖ qu¶ 2.4 trong [2] vµ NhËn xÐt 2.2(2) ta cã c¸c hÖ qu¶ sau 2.9. HÖ qu¶ ([5], Theorem 4.6). C¬ së yÕu ®Õm ®−îc ®−îc b¶o tån qua ¸nh x¹ ®ãng vµ më. 2.10. HÖ qu¶ ([5], Theorem 4.7). C¬ së yÕu ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng ®−îc b¶o tån qua ¸nh x¹ ®ãng vµ më. 3. ss-¶nh 1-phñ-d y cña kh«ng gian mªtric kh¶ li ®Þa ph−¬ng 3.1. Bæ ®Ò. C¸c kh¼ng ®Þnh sau lµ t−¬ng ®−¬ng, ®èi víi kh«ng gian X . (1) X cã sn-l−íi ®Õm ®−îc; (2) X lµ ¶nh 1-phñ-d·y, phñ-compact cña kh«ng gian mªtric kh¶ li; (3) X lµ ¶nh 1-phñ-d·y cña kh«ng gian mªtric kh¶ li. Chøng minh. (1) ⇒ (2). Gi¶ sö X cã sn-l−íi ®Õm ®−îc. Khi ®ã, X lµ ℵ0 -kh«ng gian. Do vËy, nhê §Þnh lÝ 12 [3], tån t¹i ¸nh x¹ phñ-d y, phñ-compact f : M −→ X , trong ®ã M lµ kh«ng gian mªtric kh¶ li. MÆt kh¸c, v× M lµ kh«ng gian mªtric kh¶ li nªn f lµ s-¸nh x¹. H¬n n÷a, v× X lµ kh«ng gian cã sn-l−íi ®Õm ®−îc nªn X lµ snf -®Õm ®−îc. Do ®ã, nhê MÖnh ®Ò 2.2 [2] ta suy ra f lµ ¸nh x¹ 1-phñ-d y. VËy X lµ ¶nh 1-phñ-d y, phñ-compact cña kh«ng gian mªtric kh¶ li. (2) ⇒ (3). HiÓn nhiªn. (3) ⇒ (1). Gi¶ sö f : M −→ X lµ ¸nh x¹ 1-phñ-d y. Khi ®ã, v× M lµ kh«ng gian mªtric kh¶ li nªn nã cã c¬ së ®Õm ®−îc B . MÆt kh¸c, v× f lµ ¸nh x¹ 1-phñ-d y nªn víi mçi y ∈ X , tån t¹i xy ∈ f −1 (y ) sao cho víi mäi d y trong X , héi tô ®Õn y lµ ¶nh cña d y trong M héi tô ®Õn xy . B©y giê chóng ta ®Æt Py = {f (B ) ∈ B : xy ∈ B }, P = {Py : y ∈ Y }. Ta cã (i) Py lµ l−íi t¹i y . ThËt vËy, gi¶ sö y ∈ U , víi U më trong X . V× f lµ ¸nh x¹ liªn tôc nªn f −1 (U ) lµ l©n cËn më cña xy . MÆt kh¸c, v× B lµ c¬ së cña M nªn tån t¹i B ∈ B sao cho xy ∈ B ⊂ f −1 (U ). Suy ra f (B ) ⊂ U . VËy Py lµ l−íi t¹i y . (ii) Gi¶ sö P1 , P2 ∈ Py . Khi ®ã, tån t¹i B1 , B2 ∈ B sao cho xy ∈ B1 ∩ B2 vµ P1 = f (B1 ), P2 = f (B2 ). V× B lµ c¬ së cña M vµ B1 ∩ B2 lµ l©n cËn cña xy nªn tån t¹i B ∈ B sao cho xy ∈ B ⊂ B1 ∩ B2 . §Æt P = f (B ), ta cã P ∈ Py vµ P ⊂ P1 ∩ P2 . (iii) Mçi phÇn tö cña Py lµ l©n cËn d y cña y . ThËt vËy, gi¶ sö P ∈ Py vµ {yn } lµ d y héi tô ®Õn y trong X . V× P ∈ Py nªn tån t¹i B ∈ B sao cho xy ∈ B vµ P = f (B ). MÆt kh¸c, v× f lµ ¸nh x¹ 1-phñ-d y nªn tån t¹i d y {xn } trong M héi tô ®Õn xy sao cho xn ∈ f −1 (yn ). H¬n n÷a, v× xy ∈ B vµ B më trong M nªn tån t¹i m ∈ N sao cho
{xy } {xn : n ≥ m} ⊂ B . Suy ra {y } {yn : n ≥ m} ⊂ f (B ) = P . Do ®ã, P lµ l©n cËn d y cña y . Tõ (i), (ii) vµ (iii) ta suy ra P lµ sn-l−íi cña X . Cuèi cïng, v× B lµ ®Õm ®−îc nªn ta suy ra P lµ sn-l−íi ®Õm ®−îc cña X . Tõ Bæ ®Ò 3.1, MÖnh ®Ò 1.2.11 [8] vµ HÖ qu¶ 2.3 [2], ta cã hÖ qu¶ sau 3.2. HÖ qu¶. C¸c kh¼ng ®Þnh sau lµ t−¬ng ®−¬ng, ®èi víi kh«ng gian X (1) X cã c¬ së yÕu ®Õm ®−îc; (2) X lµ ¶nh më-yÕu, phñ-compact cña kh«ng gian mªtric kh¶ li; (3) X lµ ¶nh 1-phñ-d·y, phñ-compact, th−¬ng cña kh«ng gian mªtric kh¶ li; (4) X lµ ¶nh më-yÕu cña kh«ng gian mªtric kh¶ li. 3.3. §Þnh lÝ. C¸c kh¼ng ®Þnh sau lµ t−¬ng ®−¬ng ®èi víi kh«ng gian X (1) X cã sn-l−íi ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng; (2) X lµ ss-¶nh 1-phñ-d·y, phñ-compact cña kh«ng gian mªtric kh¶ li ®Þa ph−¬ng; (3) X lµ ss-¶nh 1-phñ-d·y cña kh«ng gian mªtric kh¶ li ®Þa ph−¬ng. Chøng minh. (1) ⇒ (2). Gi¶ sö F = {Fx : x ∈ X } lµ sn-l−íi ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng cña X . V× F lµ hä ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng nªn víi mçi x ∈ X , tån t¹i l©n cËn më Vx chØ giao víi ®Õm ®−îc phÇn tö cña F . Víi mçi x ∈ X , ®Æt Px = {P ∈ Fx : P ⊂ Vx } vµ P = {Px : x ∈ X }. HiÓn nhiªn r»ng P lµ sn-l−íi ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng cña X . B©y giê, gi¶ sö r»ng P = {Pα : α ∈ Λ}. Khi ®ã, víi mçi α ∈ Λ, ®Æt Pα,x = {Pα ∩ F : F ∈ Px } vµ Pα = {Pα,x : x ∈ X }. DÔ dµng kiÓm tra ®−îc r»ng mçi Pα lµ sn-l−íi ®Õm ®−îc cña Pα . Do ®ã, nhê Bæ ®Ò 3.1 ta suy ra r»ng, víi mçi α ∈ Λ, tån t¹i kh«ng gian mªtric kh¶ li Mα vµ ¸nh x¹ 1-phñ-d y, phñ-compact gα : Mα −→ Pα . §Æt Mα :−→ M= Mα , g = gα : Pα , α∈Λ α∈Λ α∈ Λ α∈ Λ Pα −→ X lµ ¸nh x¹ tù nhiªn vµ f = h ◦ g . Khi ®ã, M lµ kh«ng gian mªtric kh¶ h: α∈ Λ li ®Þa ph−¬ng. H¬n n÷a, Mα nªn nã cã c¬ së B = {Bα : α ∈ Λ}, trong (i) f lµ ss-¸nh x¹. Bëi v× M = α∈Λ ®ã mçi Bα lµ c¬ së ®Õm ®−îc cña Mα . B©y giê, víi mçi x ∈ X , v× Vx chØ giao ®Õm ®−îc phÇn tö cña P nªn ta cã thÓ ®Æt {P ∈ P : P ∩ Vx = ∅} = {Pαi : i ∈ N}. Lóc ®ã ta cã f −1 (Vx ) ⊂ f −1 P αi ⊂ Mα i . i∈N i∈N f −1 (V Mαi nªn f −1 (Vx ) kh¶ li MÆt kh¸c, v× lµ tËp con më trong tËp con kh¶ li x) i∈ N trong M . VËy f lµ ss-¸nh x¹. (ii) f lµ ¸nh x¹ 1-phñ-d y. Víi mçi x ∈ X , ta lÊy α(x) ∈ Λ sao cho x ∈ Pα(x) ∈ Px . − V× gα(x) lµ ¸nh x¹ 1-phñ-d y nªn tån t¹i zx ∈ gα(1 ) (x) sao cho víi mäi d y S héi tô x ®Õn x trong Pα(x) , tån t¹i d y L héi tô ®Õn zx trong Mα(x) tho¶ m n gα(x) (L) = S . B©y
giê gi¶ sö {xn } lµ d y héi tô ®Õn x trong X . Khi ®ã, v× Pα(x) lµ l©n cËn d y cña x nªn tån t¹i m ∈ N sao cho {x} {xn : n ≥ m} ⊂ Pα(x) . MÆt kh¸c, v× {xn : n ≥ m} lµ d y héi tô ®Õn x trong Pα(x) nªn tån t¹i d y {zn : n ≥ m} héi tô ®Õn zx trong Mα(x) sao cho víi mçi n ≥ m ta cã gα(x) (zn ) = xn , kÐo theo f (zn ) = xn víi mäi n ≥ m. Cuèi cïng, víi mçi n = 1, 2, . . . , m − 1, ta lÊy zn ∈ M sao cho f (zn ) = xn . HiÓn nhiªn r»ng {zn } lµ d y héi tô ®Õn zx trong M vµ f (zn ) = xn víi mäi n ∈ N. VËy f lµ ¸nh x¹ 1-phñ-d y. (iii) f lµ ¸nh x¹ phñ-compact. Gi¶ sö K lµ tËp compact trong X . V× P lµ sn-l−íi ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng vµ mäi hä ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng lµ compact-®Õm ®−îc nªn nhê MÖnh ®Ò 1.2.15 [8] ta suy ra r»ng P lµ cf p-l−íi cña X . Do ®ã, ¾t tån t¹i hä h÷u h¹n ∆ ⊂ Γ sao cho mçi α ∈ ∆ tån t¹i tËp con ®ãng Cα ⊂ Pα tho¶ m n K ⊂ {Cα : α ∈ ∆}. B©y giê, víi mçi α ∈ ∆, ®Æt Kα = K ∩ Cα . HiÓn nhiªn r»ng mçi Kα lµ tËp con compact cña Pα . Cuèi cïng, v× mçi α ∈ ∆, gα lµ ¸nh x¹ phñ-compact nªn tån t¹i tËp compact Lα ⊂ Mα sao cho Kα = gα (Lα ). §Æt L = Lα . Khi ®ã, L lµ tËp con compact cña M α∈ Γ vµ f (L) = K . VËy f lµ ¸nh x¹ phñ-compact. Tõ chøng minh trªn ta suy ra r»ng X lµ ss-¶nh 1-phñ-d y, phñ-compact cña kh«ng gian mªtric kh¶ li ®Þa ph−¬ng. (2) ⇒ (3). HiÓn nhiªn. (3) ⇒ (1). Gi¶ sö f : M −→ X lµ ss-¸nh x¹ 1-phñ-d y vµ M lµ kh«ng gian mªtric kh¶ li ®Þa ph−¬ng. Khi ®ã, v× M lµ kh«ng gian mªtric nªn nã cã mét c¬ së ®Õm ®−îc theo ®iÓm B . MÆt kh¸c, v× f lµ ss-¸nh x¹ nªn víi mçi x ∈ X , tån tai l©n cËn Vx cña x sao cho f −1 (Vx ) kh¶ li. H¬n n÷a, v× B lµ c¬ së ®Õm ®−îc theo ®iÓm vµ f −1 (Vx ) kh¶ li víi mäi x ∈ X nªn víi mçi x ∈ X , f −1 (Vx ) chØ giao víi ®Õm ®−îc phÇn tö cña B . §iÒu nµy chøng tá r»ng f (B ) lµ hä ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng. Bëi v× f lµ ¸nh x¹ 1-phñ-d y nªn víi mçi x ∈ X , tån t¹i zx ∈ f −1 (x) sao cho mçi d y héi tô ®Õn x lµ ¶nh cña d y nµo ®ã héi tô ®Õn zx . Cuèi cïng, víi mçi x ∈ X , ta ®Æt Px = {f (B ) : B ∈ B, zx ∈ B } vµ ®Æt P = {Px : x ∈ X }. Khi ®ã, v× P ⊂ f (B ) vµ f (B ) lµ hä ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng nªn P lµ hä ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng. H¬n n÷a, dÔ dµng kiÓm tra ®−îc r»ng, P lµ sn-l−íi cña X . VËy X lµ kh«ng gian cã sn-l−íi ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng. Tõ §Þnh lÝ 3.3, MÖnh ®Ò 1.2.11 [8] vµ HÖ qu¶ 2.3 [2], ta cã hÖ qu¶ sau 3.4. HÖ qu¶. C¸c kh¼ng ®Þnh sau lµ t−¬ng ®−¬ng, ®èi víi kh«ng gian X (1) X cã c¬ së yÕu ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng; (2) X lµ ss-¶nh më-yÕu, phñ-compact cña kh«ng gian mªtric kh¶ li ®Þa ph−¬ng; (3) X lµ ss-¶nh më-yÕu cña kh«ng gian mªtric kh¶ li ®Þa ph−¬ng. 3.5. VÝ dô. Tån t¹i kh«ng gian víi c¬ së yÕu ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng kh«ng lµ π , ss-¶nh më-yÕu cña kh«ng gian mªtric. Chøng minh. Gi¶ sö víi mçi n ∈ N, Cn lµ d y héi tô gåm c¶ ®iÓm giíi h¹n cña nã vµ tho¶ m n Cn ∩ Cm = ∅ víi mçi m = n. Gi¶ sö Q = {qn : n ∈ N} lµ tËp tÊt c¶ c¸c sè h÷u tû cña tËp sè thùc R. §Æt M = ( {Cn : n ∈ N}) ⊕ R vµ gi¶ sö X lµ kh«ng
gian th−¬ng thu ®−îc tõ M bëi ®ång nhÊt mçi pn trong Cn víi qn trong R. Khi ®ã, nhê chøng minh trong VÝ dô 3.1 [4] ta suy ra r»ng X lµ kh«ng gian víi c¬ së yÕu ®Õm ®−îc ®Þa ph−¬ng vµ X kh«ng lµ π -¶nh th−¬ng phñ-d y cña kh«ng gian mªtric. Ta sÏ chøng tá X kh«ng lµ π , ss-¶nh më-yÕu cña kh«ng gian mªtric. ThËt vËy, gi¶ sö ng−îc l¹i r»ng X lµ π , ss-¶nh më-yÕu cña kh«ng gian mªtric. Khi ®ã, v× X lµ kh«ng gian mªtric nªn nhê HÖ qu¶ 2.1.25 [8] vµ NhËn xÐt 2.2(2) ta suy ra r»ng X lµ π -¶nh th−¬ng, phñ-d y cña kh«ng gian mªtric. §iÒu nµy m©u thuÉn. t i liÖu tham kh¶o [1] Tran Van An and Nguyen Thi Le, Spaces with σ -hereditarily closure-preserving k- networks, pseudo bases, T¹p chÝ khoa häc §¹i häc Vinh, TËp 34, 1A, 2005, 5-15. [2] Tran Van An, Luong Quoc Tuyen, Further properties of 1-sequence-covering maps, Comment. Math. Univ. Carolin., 49 (3), 2008, 477-484. [3] Y. Ge, ℵ0 -spaces and images of separable metric spaces, Seberian Electronic Math. Rep., 2, 2005, 62-67. [4] Y. Ge, S. Lin, g -metrizable spaces and the images of semi-metric spaces. Czechoslovak Math J., 57 (132), 2007, 1141-1149. [5] C. Liu and M. Dai, Spaces with a locally countable weak base*, Math. Japonica., 41 (2), 1995, 261-267. [6] C. Liu, On weak bases. Topology and its Applications, 150, 2005, 91-99. [7] Y. Tanaka and Y. Ge, Around quotient compact images of metric space, and symmetric spaces, Houston J. Math., 32 (1), 2006, 99-117. [8] L−¬ng Quèc TuyÓn, Kh«ng gian víi k-l−íi vµ s-¶nh phñ-compact cña kh«ng gian mªtric, LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc, Vinh 2007. [9] L−¬ng Quèc TuyÓn, NguyÔn ThÞ HuyÒn Nga vµ NguyÔn ThÞ Toµn, Kh«ng gian víi k-l−íi σ -b¶o tån bao ®ãng di truyÒn yÕu, T¹p chÝ khoa häc, Tr−êng §¹i häc Vinh, TËp 35, 4A, 2006, 112-122. [10] X. Ge, Spaces with a locally countable sn-network, Lobachevskii J. Math., 26, 2007, 33-49. [11] P. Yan, S. Lin, Point-countable k-networks, cs∗ -network and α4 -spaces, Topology Proc., 24, 1999, 345-354. summary 1-sequence-covering ss-images of locally separable metric spaces In this paper, we investigated some properties of weakly hereditarily closure preserving, hereditarily closure preserving families, some invariants of spaces with locally countable sn-networks by sequence-covering closed maps, and characterized spaces with locally countable sn-networks by 1-sequence-covering maps. (a) Khoa To¸n, tr−êng §¹i Häc S− ph¹m § N½ng (b) Cao häc 14, chuyªn ng nh Gi¶i tÝch, tr−êng §¹i Häc Vinh (c) Khoa To¸n, tr−êng §¹i Häc Vinh.