TẦN SỐ DAO ĐỘNG RIÊNG CỦA KHUNG THÉP CÓ NÚT NỬA CỨNG NATURAL FREQUENCIES OF THE STEEL FRAME WITH SEMI-RIGID CONNECTIONS
ĐỖ MINH ĐỨC Trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng
TÓM TẮT Báo cáo này trình bày việc tính tần số dao động riên g của khung thép phẳng có nút nửa cứng bằng phương pháp phần tử hữu hạn. Các ma trận độ cứng, ma trận khối lượng cuả phần tử thanh phẳng có liên kết góc quay đàn hồi tuyến tính tại hai đầu được thiết lập. Để áp dụng, tác giả ứng dụng phần mềm Matlab lập trình, phân tích và đánh giá cho một khung phẳng cụ thể. Kết quả đạt được có thể phục vụ cho tính toán thiết kế cũng như nghiên cứu kết cấu khung có nút nửa cứng chịu tải trọng động.
ABSTRACT This paper presents the caculation of the natural frequencies of the planar steel frames with semi-rigid connections by finite element method. The stiffness matrix and mass matrix for a planar frame member wtih two linear elastic rotational springs at the end are found. The author used Matlab program to analyse and assess a planar frame. The obtained result can be applied for designi as well as research frame structures with semi-rigid connections under dynamic loads.
ϕ R
M 1. Mở đầu Các nút khung thường có độ đàn hồi nhất định – còn được gọi là nút nửa cứng, nhưng trong tính toán kết cấu, để đơn giản, người ta thường quan niệm là tuyệt đối cứng. Kết quả tính toán không gây sai số đáng kể khi nút khung được thiết kế và cấu tạo có độ cứng đủ lớn như khung bê tông cốt thép đổ toàn khối. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp thực tế, ví dụ như khung bê tông cốt thép lắp ghép hoặc bán lắp ghép, khung thép… các kết cấu này có nút liên kết với độ đàn hồi nhất định sẽ ảnh hưởng đến kết quả tính toán nội lực và biến dạng theo quan điểm trên. Để đánh giá tính đàn hồi của nút khung , người ta dùng đại lượng R gọi là độ cứng đàn hồi của nút, là tỷ số giữa mômen tác dụng tại nút M với góc xoay biến dạng của nút .
R (1 - 1) M
Hình 1. Hình ảnh nút đàn hồi
R có thứ nguyên (Lực x chiều dài/rad) Do cách cấu tạo khung lắp ghép và khung
thép là các cột thường liền khối và các liên kết thường được chế tạo tại vị trí nách dầm (Hình 1). Chính các liên kết này tạo ra độ đàn hồi của nút khung. Do vậy, thường chỉ 8
Hiện nay, đã có nhiều đề tài quan tâm nghiên cứu giải bài toán kết cấu có xét
xét tính đàn hồi tại vị trí liên kết của dầm vào cột. Mặt khác, tại vị trí liên kết này, qua nghiên cứu cho thấy ảnh hưởng của biến dạng cắt và biến dạng dọc trục khá bé so với biến dạng góc xoay, cho nên thường chỉ xét đến tính quay đàn hồi của nút nửa cứng. đến độ đàn hồi của nút, như: + Trong [1] và [2], các tác giả tập trung nghiên cứu để giải bài toán bằng phương pháp lực, phương pháp chuyển vị và áp dụng kết quả đạt được để phân tích đánh giá một số kết cấu cụ thể.
+ Trong [7], một số tác giả xây dựng cách giải bài toán bằng phương pháp phần
tử hữu hạn và áp dụng các tiêu chuẩn vào thực tế thiết kế xây dựng.
+ Trong [9], một số tác giả đi sâu vào việc mô hình hóa tính đàn hồi của nút từ
các số liệu thí nghiệm thực tế cũng như xây dựng các sơ đồ cơ học cho các liên kết.
+ Trong [3] và [6], các tác giả nghiên cứu hệ chịu tải trọng tác dụng động và
đánh giá ảnh hưởng tính đàn hồi của nút đến sự làm việc thực tế của kết cấu.
Nhìn chung, các đề tài đã đi sâu và giải quyết được nhiều trường hợp của hệ chịu tải trọng tác dụng tĩnh. Còn với tải trọng động, do tính chất phức tạp nên tác giả nhận thấy vẫn chỉ mới bắt đầu được nghiên cứu và còn nhiều vấn đề cần phải tiếp tục giải quyết, làm sáng tỏ. Để góp một phần vào việc nghiên cứu kết cấu có nút nửa cứng, trong bài báo này, tác giả trình bày kết quả nghiên cứu xác định tần số dao động của khung phẳng có xét đến tính quay đàn hồi của nút bằng phương pháp phần tử hữu hạn. Cụ thể là kết quả thiết lập các ma trận độ cứng, ma trận khối lượng của phần tử thanh phẳng và ứng dụng phần mềm Matlab [13] để lập chương trình xác định tần số dao động riêng. Kết quả có thể được áp dụng vào việc phân tích các khung phẳng có nút nửa cứng chịu tải trọng động.
0
2. Cơ sở lý thuyết Phương trình chuyển động tự do không cản của kết cấu:
(2 - 1)
M u
K u
2
2
0 trình (2-1) được viết lại: (2 - 2) ( K
K Giải phương trình Giả thiết chuyển động là dao động điều hòa với tần số dao động riêng ω, phương M ) u sẽ xác định được tần số dao động riêng ωi M 0
K
và M
(i = 1, …, n). 5 Trong đó: EJ EA r2 2 r1 1 4
là ma trận độ cứng và khối lượng của hệ, được lắp ghép từ các ma trận độ cứng và khối lượng phần tử.
R1 R2 6 3
l
Hình 2. Phần tử thanh có nút nửa cứng
9
2.1. Ma trận độ cứng phần tử thanh phẳng Dùng phương pháp chuyển vị đơn vị, tác giả lập được ma trận độ cứng của phần tử
trên Hình 2. Kết quả được biểu diễn ở biểu thức (2 - 3). Ma trận độ cứng được thiết lập là trùng khớp với kết quả trong [7].
22
23
25
26
0 0 0 0 EA l EA l 0 k k 0 k k
32
33
35
36
e
52
53
55
56
0 k k 0 k k K (2 -3) 0 0 0 0 EA l 0 k k EA l 0 k k
62
63
65
66
0 k k 0 k k
(r 1
r r ) 1 2
k
k
k
Trong đó:
k
k
22
23
32
25
52
; ;
k 22
4
r (2 1 4
r 2
12EJ 3 l
6EJ 2 l
r r 1 2
r ) 2 r r 1 2
35
53
26
62
33
k
k
k
k k k k k ; ; k 23 r (2 2 4 4EJ l 4 6EJ 2 l r ) 1 r r 1 2 3r 1 r r 1 2
k
k
k
k
36
63
66
55
22
56
65
; ;
; k 26
2EJ l
4
4EJ l
4
3r r 1 2 r r 1 2
3r 2 r r 1 2
r i
R l i
3EJ
R l i
Với (i = 1, 2).
ứng với liên kết tuyệt đối cứng; r là đại lượng không thứ nguyên. Nhận xét rằng r biến thiên trong đoạn [0,1]; r = 0 ứng với liên kết khớp; r = 1
l
2.2. Ma trận khối lượng của phần tử thanh phẳng = 1) tại Tác giả đã lập được các hàm dạng ui(x) ứng với các chuyển vị đơn vị (ui các đầu phần tử. Và theo [4]&[10], các số hạng trong ma trận khối lượng được xác định theo biểu thức:
ij
i
j
0
m m u (x)u (x)dx (2 - 4)
Từ đó, sử dụng chương trình Mathematica [14] để tính các tích phân (2 - 4), ma
trận khối lượng của phần tử có thể biểu diễn:
23
26
m 0 0 m 0 0
e
11 0 m m 22 0 m m 32 0
33 0 m
14 0 m m 25 0 m m 35 0
36 0
2 r r ) 1 2
53
56
41 0 m m 52 0 m m 62
63
44 0 m m 55 0 m m 65
66
M (2 - 5) m ml 420(4
10
Trong đó: m là khối lượng phân bố dọc theo chiều dài phần tử. l là chiều dài phần tử.
11
2 r r ) 1 2
m
4(560
22
32r (7 1
r ) 1
196r 2 2(16
r (328 1
r (25 1
55r )r 1 2 2 16r ))r ) 1
2
m 140(4
23
1
2 r ) 2
2 25r )) 2
32
2
m
m
2(560
25
28r 2
64r 2
52
184r 2
r ( 28 1 2 r ( 64 1
5r 2
2 5r ) 2 2 41r )) 2
m m 2lr (32(7 5r 2 r (64 1 86r 2
m
m
lr (8( 49
26
62
16r ) 2
r (100 1
r (64 1
55r ) 2
38r )) 2
2
33
2 2 4l r (32 1
2 8r ) 2
m 31r 2
35
2 55r )r ) 1
2
53
1
m m lr (392 2(50 ( 64 128r 1 19r )r 1 2
36
2 l r r (124 1 2
63
m m 64r 2 r ( 64 1 31r )) 2
41
14
2 r r ) 1 2
m m 70(4
44
2 r r ) 1 2
m
16(35
55
2 4(r (32 1
50r 2
2 32r ) 2
2r (7 2
r )) 2
r (196 1
r (328 2
55r ))) 2
m 140(4
56
65
2
2
m m 2lr (32(7 ( 5 (64 r )r ) 1 1 r ( 86 1 25r ))r ) 1 2
2 4l (32
66
2 8r )r 1 2
m 31r 1
Kiểm tra cho thấy ứng với trường hợp r1 = r2 = 0 và r1 = r2
= 1 cho kết quả trùng khớp với trường hợp phần tử có hai đầu khớp lý tưởng và tuyệt đối cứng trong thư viện phần tử mẫu phương pháp phần tử hữu hạn.
3. Áp dụng tính tần số dao động riêng khung phẳng r2
r1 R1 R2
m 6 , 3
Xét 1 khung thép 3 t ầng có nút nửa cứng như trên Hình 3. r1
R2 r2 R1 - Cột sử dụng thép hình số hiệu I40 có J = 19062(cm4),
m 6 , 3
m 6 , 3
6(N/cm2
), trọng lượng bản thân g = 570(N/m). r2 r1 - Dầm sử dụng thép hình số hiệu I30 có J = 7080(cm R1 R2
).
Hình 3. Sơ đồ tính khung
= R. = 6000(N/m). - Môđun đàn hồi của vật liệu E = 21.10 1 = r2 = r; R1 = R2 - Giả thiết r 5,5m 3.1. Số liệu bài toán Khung có c ấu tạo như sau: A = 72,7(cm2 4), A = 46,5(cm2), trọng lượng bản thân g = 363(N/m) và trọng lượng do sàn tầng truyền vào g1
11
3.2. Phân tích:
Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn với các ma trận độ cứng, ma trận khối lượng phần tử thiết lập ở trên kết hợp lập chương trình tính toán với sự hỗ trợ bằng phần mềm Matlab [13], giải được tần số dao động riêng ωi và khảo sát theo r. Kết quả thể hiện trong Bảng 1.
giảm khi Các tần số dao động riêng ω1, ω2, ω3 tăng trong khi các tần số ω4, ω5
Khi r ≤ 0,01 có thể xem nút là khớp; khi r ≥ 0,9999999 có thể xem nút là tuyệt
.100% 27,79%
3.3. Đánh giá kết quả: r tăng. đối cứng. Theo [7], hệ số r trung bình trong các khung thép khoảng 0,8. Như vậy, tần số dao động riêng trong ví dụ phân tích so với trường hợp nút tuyệt đối cứng (r = 1) tăng
11,654-9,1190 9,1190
khoảng đối với ω1; tương tự là 10,02% đối với ω2;
. 1,53% đối với ω3, giảm khoảng 13,38% đối với ω4; 25,42% đối với ω5
Bảng 1. Bảng kết quả phân tích tần số dao động riêng theo độ cứng của nút
r
1 (rad/s)
2 (rad/s)
3 (rad/s)
4 (rad/s)
5 (rad/s)
Rl
Rl
3EJ
ω ω ω ω ω STT R (N.cm/rad)
8109,9 81106 811790 81,917E5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 90,109E6 20,275E7 54,065E7 81,098E7 18,923E8 32,439E8 72,988E8 81,017E10 81,09E11 81,097E12 81,098E13 81,098E14 81,098E15 0,00001 0,0001 0,001 0,01 0,1 0,2 0,4 0,5 0,7 0,8 0,9 0,999 0,9999 0,99999 0,999999 0,9999999 0,99999999 6,2154 6,2159 6,2191 6,2440 6,4488 6,7615 7,3051 7,8286 8,4968 9,1190 9,7164 10,303 10,754 11,114 11,408 11,654 11,654 108,5 208,65 336,79 40,243 108,5 208,65 336,79 40,244 108,5 208,65 336,78 40,247 40,275 108,51 208,65 336,72 40,502 108,6 208,56 336,21 40,865 108,75 208,18 335,36 41,536 109,03 206,99 333,67 42,231 109,31 205,10 331,80 43,183 109,68 201,98 328,93 44,134 110,05 198,04 292,89 45,101 110,42 193,36 267,05 46,096 110,79 188,07 248,54 46,894 111,09 183,14 236,85 47,549 111,35 178,74 228,83 48,095 111,56 174,88 222,94 48,559 111,74 171,54 218,41 48,559 111,74 171,54 218,41
12
4. Kết luận Kết quả nghiên cứu đã lập được ma trận độ cứng [K]e, ma trận khối lượng [M]e phần tử thanh phẳng dưới dạng tường minh, góp phần bổ sung thêm vào thư viện các phần tử mẫu của phương pháp phần tử hữu hạn.
Kết quả nghiên cứu có thể sử dụng để phân tích kết cấu khung phẳng có nút nửa
Khối lượng tính toán rất lớn, đặc biệt là với bài toán dao động, đòi hỏi phải l ập
cứng chịu tải trọng tĩnh và động. Kết quả nghiên cứu cho thấy, tần số dao động riêng khi xét đến độ cứng của nút khác với quan điểm nút tuyệt đối cứng và có xu hướng tăng ứng với các dao động bậc thấp, giảm đối với các dao động bậc cao khi độ cứng của nút tăng. chương trình trên máy tính mới có thể giải được.
TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Ngô Thanh Dũng, Tính khung phẳng có kể đến độ đàn hồi của nút khung, Luận văn
thạc sỹ Kỹ thuật, Hà Nội, 2004.
[2] Bùi Anh Ngọc, Đỗ Minh Đức, Tính khung phẳng có kể đến độ đàn hồi của nút khung bằng phương pháp chuyển vị, Tuyển tập Báo cáo khoa học Hội nghị sinh viên nghiên cứu khoa học Đại học Đà Nẵng, 2008.
[3] Nguyễn Hồng Sơn, Phân tích kết cấu khung thép phẳng có liên kết nửa cứng phi
tuyến, Luận án tiến sĩ Kỹ thuật, Hà Nội, 2007.
[4] Võ Như Cầu, Tính kết cấu theo phương pháp động lực học, Nhà xuất bản Xây
dựng, Hà Nội, 2006.
[5] Võ Như Cầu, Tính kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn, Nhà xuất bản Xây
dựng, Hà Nội, 2005.
[6] P S Joana, Prof GM Samuel Knight, Dynamic response of steel beam with semi –
rigid connection, IE (I) Journal – CV, 2005.
[7] W Chen, Practical Analysis for semi – rigid Frame design, Pubished World
Scienticfic Pulishing Co Pte.Ttd, Singapore, 2000.
[8] S.L Chan & P.T.T Chui, Non – linear static and cyclic analysic of steel freams with
semi – rigid connections, Pubisher Elsevier 2000.
[9] C.Faella, V.Piluso and G.Rizzano, Structural steel semirigid connections,
Published by CRC Press LLC, 2000.
[10] Ray W. Clough, Joseph Penzien, Dynamics of structures, Second edition, McGraw-
Hill, Inc, 1993.
[11] Young W. Kwon, Hyochoong Bang, The Finite Element Method Using Matlab,
second edition, CRC Press LLC, 2000.
[12] M. Soares Filho, M. J. R. Guimaraes, C. L. Sahlit and J. L. V. Brito, Wind
Pressures in Frame Structures with Semi-rigid Connections, 2004.
13
[13] Matlab, Version 7.0, Mathworks, Inc, 2004. [14] Mathematica 5, Wolfram Research, 2003.
