BỘ 15 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN LỚP 12
CẤP QUỐC GIA NĂM 2020-2021
MỤC LỤC
1. Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp Quốc gia năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Bến
Tre
2. Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp Quốc gia năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Cao
Bằng
3. Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp Quốc gia năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT
Đồng Tháp
4. Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp Quốc gia năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Hà
Nam
5. Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp Quốc gia năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Hà
Nội
6. Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp Quốc gia năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Hà
Tĩnh
7. Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp Quốc gia năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT
Hưng Yên
8. Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp Quốc gia năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT
Khánh Hòa
9. Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp Quốc gia năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT
Kiên Giang
10. Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp Quốc gia năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Lâm
Đồng
11. Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp Quốc gia năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT
Ninh Bình
12. Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp Quốc gia năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT
Quảng Bình
13. Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp Quốc gia năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT
Quảng Trị
14. Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp Quốc gia năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Thái
Nguyên
15. Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp Quốc gia năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Tiền
Giang
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẾN TRE
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI
QUỐC GIA LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
NĂM HỌC 2020 - 2021
Môn: TOÁN
Ngày thi: 17/09/2020
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1. (4 điểm)
Giải hệ phương trình:
4
22
56
56
xy
xy x


với ,xy
.
Câu 2. (4 điểm)
Cho đa thức

;Pxy không phải là đa thức hằng, thỏa mãn: ( ; ). ( ; ) ( ; )Pxy Pzt Pxz ytxt yz, , , , .xyzt
Chứng minh rằng:

;Pxy chia hết cho ít nhất một trong hai đa thức ( ; )Qxy x y, ( ; )Hxy x y.
Câu 3. (4 điểm)
Tìm tất cả các hàm số :f
thỏa mãn:

11
() () ()
22
fx xy fy fx fy




với mọi ,xy.
Câu 4. (4 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn có
0
30BAC . Hai đường phân giác trong và ngoài của
ABC lần lượt cắt đường thẳng
AC tại 1
B
và 2
B
; hai đường phân giác trong và ngoài của
ACB lần lượt cắt đường thẳng AB tại 1
Cvà 2
C. Giả
sử đường tròn đường kính 12
B
B
và đường tròn đường kính 12
CC cắt nhau tại một điểm P nằm bên trong tam
giác ABC. Chứng minh rằng
0
90BPC .
Câu 5. (4 điểm)
Cho dãy số

n
u được xác định bởi:



12
*
21
20; 30
3 vôùi
nnn
uu
uuun
.
Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho

1
15..
nn
uu
là một số chính phương.
-------------------- HẾT --------------------
https://toanmath.com/
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI CHỌN
CAO BẰNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM 2020
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
ĐỀ BÀI
(Đề gồm: 01 trang)
Câu 1 (4,0 điểm).
Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:
3 3 2
3
6 13 10
x y x x y
x x x y
Câu 2 (4,0 điểm).
Cho dãy số
n
u
xác định bởi: 1 2
2 1
1; 9
.
10 , 1
n n n
u u
u u u n
a) Tính giá trị của 2
2 1
. .
n n n
A u u u
b) Chứng minh rằng 2
6 2
n
u
là số chính phương.
Câu 3 (4,0 điểm).
a) Chứng minh rằng trong 5 số nguyên dương bất kì, luôn tồn tại 3 số có tổng chia hết cho 3.
b) Chứng minh rằng trong 13 ước nguyên dương của
2019
6
, luôn tồn tại 3 số có tích là lập phương của
một số tự nhiên.
Câu 4 (4,0 điểm).
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có trung điểm các cạnh AC, AB lần lượt là M và N. Đường
thẳng đi qua A lần lượt vuông góc với AC, AB cắt đường thẳng BC tại X và Y. Gọi
XM AB P
,
.YN AC Q
Chứng minh rằng O, P, Q thẳng hàng.
Câu 5 (4,0 điểm).
Tìm tất cả các hàm số :f
thỏa mãn điều kiện:
2
2 2
( ) 2 ( ) ( )f x y x yf x f y
,
, .
x y
---------- HẾT ----------
(Thí sinh không được sử dụng tài liệu, giám thị không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh: ...................................................................... Số báo danh: ……………................
Họ tên, chữ ký của giám thị: ……………………………………………………………….................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH ĐỒNG NAI
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN ĐỘI DỰ TUYỂN
THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM 2021
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1. (4 điểm)
Cho dãy số
n
u
xác định bởi 1
2020
u và 1
1
2021
n n
u u
n
với mọi
*
n
.
Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương n sao cho
0
n
u
.
Câu 2. (4 điểm)
Tìm các số nguyên dương x và y thỏa mãn
4 2
7 47
x
x y
.
Câu 3. (4 điểm)
Tìm các hàm số :f
thỏa mãn
3
2( ) ( ) ( )
f a f a f b f a b
, ,a b
.
Câu 4. (4 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A, lấy điểm D thuộc cạnh AB khác A và B, gọi
O
là đường tròn ngoại tiếp tam giác
BCD, tiếp tuyến của đường tròn
O
tại D cắt đường thẳng AC tại điểm E, vẽ tiếp tuyến EF của đường tròn
O
tại tiếp điểm F khác D. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng BF và CD, gọi K là giao điểm của hai
đường thẳng AI và BC. Chứng minh 2
BK CK
.
Câu 5. (4 điểm)
Một tổ gồm có 5 học sinh được phân công trực nhật 6 ngày trong tuần từ thứ hai đến thứ bảy thỏa mãn các điều
kiện sau: Mỗi ngày đều có từ 1 đến nhiều nhất là 2 học sinh trực và trong cả tuần mỗi học sinh trực đúng 2 lần,
mỗi lần trực 1 ngày. Tính số các cách phân công trực nhật của tổ thỏa mãn các điều kiện đã cho.
-------------------- HẾT --------------------
https://toanmath.com/
+ Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay, không được sử dụng tài liệu.
+ Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . .