Diendantoanhoc.net
DIỄN ĐÀN TOÁN HỌC VMF
Tháng06/2015
Diendantoanhoc.net
Lêi nãi ®Çu
Taøi lieäu naøy khoâng phaûi laø taøi lieäu chính thöùc cuûa Dieãn ñaøn toaùn hoïc
(VMF) nhöng do caù nhaân toâi laø thaønh vieân cuûa trang dieãn ñaøn thaûo luaän toaùn
hoïc naøy neân toâi xin maïo muoäi ghi xuaát xöù laø VMF mong quaûn trò cuûa trang
web boû qua yeáu toá treân.
Haøng naêm moãi giaùo vieân trung hoïc phoå thoâng ñeàu laøm moät saùng kieán
kinh nghieäm veà lónh vöïc chuyeân moân giaûng daïy, tuy nhieân löôïng kieán thöùc maø
thaày (coâ) daøy coâng boû ra nghieân cöùu ña phaàn bò boû queân. Hoâm nay toâi coá
gaéng toång hôïp laïi caùc saùng kieán kinh nghieäm ñeå ñöa vaøo chung thaønh moät taøi
lieäu “CAÙC CHUYEÂN ÑEÀ TOAÙN PHOÅ THOÂNG”. Ñeå tieän cho vieäc toång
hôïp vaø theo doõi, toâi chia ra thaønh nhieàu taäp vôùi ñoä daøy moãi taäp taàm khoaûng
50 trang. Chæ laø vieäc toång hôïp noäi dung caùc saùng kieán ñeå cho caùc baïn tham
khaûo neân coù ñieàu gì sai soùt mong caùc baïn boû qua.
Ngöôøi toång hôïp
CD13
Taäp naøy goàm caùc noäi dung:
+ Moät soá sai laàm khi giaûi toaùn nguyeân haøm – tích phaân 1
+ Moät soá sai laàm khi giaûi toaùn nguyeân haøm – tích phaân 2
+ Phöông phaùp giaûi moät soá baøi toaùn xaùc suaát
+ Söû duïng vectô trong chöùng minh baát ñaúng thöùc
+ Moät soá baøi toaùn cöïc trò hình hoïc toaï ñoä
+ Giaûi toaùn baèng phöông phaùp toaï ñoä
Diendantoanhoc.net
MỘT SỐ SAI LẦM KHI GIẢI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN 1
Trongquátrìnhgiảngdạynộidungnguyênhàm–tíchphântôinhậnthấynhiều
họcsinhcònmắcnhữngsailầmkhôngđángcó.Quabàiviếtnàythôngquanhữngvídụ
tôimuốncácemhọcsinhcóthểtựmìnhđiềuchỉnhkỹnănggiảitoánphầnnguyênhàm
–tíchphânđểcókếtquảtốtnhất.
1. Phân tích những sai lầm thông qua một số ví dụ minh họa
1.1. Sai lầm khi vận dụng định nghĩa nguyên hàm
a, Ví dụ 1: chứng minh rằng
( ) (1 )
x
F x x e
là một nguyên hàm của hàm
( )
x
f x xe
trênR.Từđóhãytìmnguyênhàmcủahàm
( ) ( 1) .
x
g x x e
*Một học sinh đã giải như sau:
F’(x)=-e-x+(1+x)e-x=f(x)vớimọix=>F(x)làmộtnguyênhàmcủahàmf(x)trênR.
1 1
x x x x x
g x dx x e dx xe dx e dx x e c e c
(1 ) .
x x x
x e e xe
* Phân tích: họcsinhviếtchunghằngsốcchomọiphéptínhnguyênhàm.
* Lời giải đúng:
1 2
1 1
x x x x x
g x dx x e dx xe dx e dx x e c e c
x
xe c
vớic=c1–c2.
b,Ví dụ 2: Tính cot
xdx
* Một học sinh đã giải như sau:
cos
cot
. Đặt 2
cos1
sinx sin
cos sinx
x
du dx
u
x
dv xdx v
2
1 sinx.cos
.sinx 1 0 1???
sinx sin
x
I dx I
x
* Phân tích: họcsinhviếtchunghằngsốcchomọiphéptínhnguyênhàm.
* Lời giải đúng:
sinx
cos
cot ln sinx
sin sinx
d
x
I xdx dx c
x
.
1.2.Sai lầm khi vận dụng bảng nguyên hàm cơ bản
Ví dụ 3: tính
3
I 2x 1 dx
* Một học sinh đã giải như sau:
4
32x 1
I 2x 1 dx c
4
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:
Họcsinhvậndụngcôngthức n 1
nx
x dx c
n 1
vớin≠–1.
* Lời giải đúng:
Đặt2x+1=t
4
4
332x 1
dt dt t
dt 2dx dx 2x 1 dx t c c
2 2 8 8
Diendantoanhoc.net
1.3.Sai lầm khi vận dụng định nghĩa tích phân
Ví dụ 4: tínhtíchphân
2
2
2
dx
I
x 1
* Một học sinh đã giải như sau:
2
2 2
2 2
2 2 2
dx d(x 1) 1 1 4
I 1
x 1 3 3
x 1 x 1
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:hàmsố
2
1
y
x 1
khôngxácđịnhtại
x 1 2;2
* Lời giải đúng: Hàm số
2
1
y
x 1
không xác định tại
x 1 2;2
suy ra hàm
khôngliêntụctrên
2;2
,dođótíchphântrênkhôngtồntại.
* Chú ý đối với học sinh: khitínhtíchphân b
a
f(x)dx
cầnchúýkiểmtraxemhàmsố
y=f(x)cóliêntụctrênđoạn[a,b]không?Nếucóthìápdụngcácphươngphápđược
họcđểtínhtíchphânđãcho,cònnếukhôngthìkếtluậnngaytíchphânđókhôngtồntại.
1.4. Sai lầm khi biến đổi hàm số
Ví dụ 5: Tínhtíchphân
4
2
0
I x 6x 9dx
* Một học sinh đã giải như sau:
4
4 4 4 2
2 2
0 0 0 0
(x 3) 1 9
I x 6x 9dx (x 3) dx (x 3)d(x 3) 4
2 2 2
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:
Phépbiếnđổi 2
(x 3) x 3;x [0,4]
làkhôngtươngđương.
* Lời giải đúng:
4 4
2 2
0 0
4
32
4 3 4 2
0 0 3 03
I x 6x 9dx (x 3) dx
x 3
(x 3) 9 1
x 3d(x 3) (3 x)d(x 3) (x 3)d(x 3) 5
2 2 2 2
* Chú ý đối với học sinh:
2n
2n
f x f x
(n≥1,nnguyên)
b b
2n
2n
a a
f x dx f x dx
,taphảixétdấuhàmsốf(x)trênđoan[a,b]rồidùngtính
chấtđểbỏdấugiátrịtuyệtđối.
1.5. Sai lầm khi vận dụng phương pháp đổi biến
Ví dụ 6:Tínhtíchphân
1
2
0
I 1 x dx
* Một học sinh đã giải như sau:
Đặtx=sintsuyradx=costdt
Diendantoanhoc.net
1
1 1 1
2 2
0
0 0 0
1 os2 sin2 1 1
1 sin .cos . os . . ( ) sin2
2 2 4 2 4
c t t t
I t t dt c t dt dt
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:họcsinhđổibiếnnhưngkhôngđổicận.
* Lời giải đúng:Đặtx=sintsuyradx=cost.dt
Đổicận: x 0 t 0;x 1 t
2
2 2 2 2
2 2
0
0 0 0
1 os2 sin2
1 sin .cos . os . . ( )
2 2 4 4
c t t t
I t t dt c t dt dt
* Chú ý đối với học sinh:
Khigặp tíchphândạng
b
2 2
a
I c x dx
, nếu tíchphân tồn tại thìthông thường ta
tínhtíchphânbằngcáchđặtx=c.sint(hoặcx=c.cost)đổicận,chuyểnvềtínhtíchphân
theot.
Ví dụ 7:Tínhtíchphân
1
3
4
2
0
x
I dx
1 x
* Một học sinh đã giải như sau:
Đặtx=sintsuyradx=costdt.Đổicân:
1 1
x 0 t 0;x t arcsin
4 4
1 1 1
arcsin arcsin arcsin
3 3
4 4 4 3
2
0 0 0
sin t sin t
I cost.dt cost.dt sin t.dt
cost
1 cos t
Đếnđâyhọcsinhthườngrấtlúngtúngvìsốlẻ,dođócácemkhôngtìmrađượcđápsố.
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:khigặptíchphâncủahàmsốcóchứabiểuthức
2
1 x
thôngthườngtađặtx=sint(hoặcx=cost);nhưngđốivớivídụ7,nếulàmtheocách
nàysẽgặpkhókhănkhiđổicận.Cụthểkhix=1/4takhôngtìmchínhxácđượct.
* Lời giải đúng:
Đặtt= 2 2 2
t 1 x t 1 x 2tdt 2xdx xdx tdt
Đổicận:
1 15
x 0 t 1;x t
4 4
15 15 15
2 3
4 4 4
2
1 1 1
(1 t )( tdt) t 15 15 15 2 33 15 2
I (1 t )dt t
t 3 192 4 3 192 3
* Chú ý đối với học sinh: khigặptíchphâncủahàmsốcóchứabiểuthức
2
1 x
,nếu
câncủatíchphânlàgiátrịlượnggiáccủagócđặcbiệtthìtamớitínhtíchphânbằng
cáchđặtx=sint(hoặcx=cost)cònnếukhôngthìtaphảitìmphươngphápkhác.
1.6 Sai lầm vì dùng công thức không có trong sách giáo khoa
Ví dụ 8:Tínhtíchphân
0
2
1
1
I dx
x 2x 2
* Một học sinh đã giải như sau: