zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Trung học phổ thông

Các dạng toán thường gặp trong phép biến hình và phép dời hình

Chia sẻ: Phan Duy Kha | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:30

Báo xấu

344
lượt xem 32
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu Các dạng toán thường gặp trong phép biến hình và phép dời hình. Hi vọng tài liệu sẽ là nguồn tư liệu bổ ích cho các bạn trong quá trình học tập cũng như ôn thi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Các dạng toán thường gặp trong phép biến hình và phép dời hình

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH PHÉP TỊNH TIẾN I.Tóm tắt lý thuyết : r 1. Định nghĩa : Trong mặt phẳng , cho véc tơ v ( a; b ) . Phép tịnh tiến theo véc tơ r uuuuur r v ( a; b ) là phép biến hình , biến một điểm M thành một điểm M’ sao cho MM ' = v Ký hiệu : Tvr . 2.Các tính chất của phép tịnh tiến : a/ Tính chất 1: *Định lý 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M,N thành hai điểm M’,N’ thì MN=M’N’. b/ Tính chất 2: * Định lý 2: Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó . HỆ QUẢ : Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng , biến một tia thành một tia , biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó , biến một tam giác thành một tam giác bằng nó , biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính , biến một góc thành một góc bằng nó . 3. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến r Giả sử cho v ( a; b ) và một điểm M(x;y) . Phép tịnh tiến theo véc tơ v biến điểm M x' = a + x thành điểm M’ thì M’ có tọa độ là : y' = y +b 4. Ứng dụng của phép tịnh tiến BÀI TOÁN 1: TÌM QUỸ TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM Bài toán : Cho một hình H , trên hình H có một điểm M . Tìm quỹ tích của điểm M khi trên hình H có một điểm A thay đổi . ( Thường điểm A chạy trên một đường (C ) cho sẵn ). Cách giải : Dựa vào các tính chất đã biết , ta tìm ra một véc tơ cố dịnh nằm trên hình H ( Với điều kiện : véc tơ này có phương song song với đường thẳng kẻ qua A ). Sau đó dựa vào định nghĩa về phép tịnh tiến ta suy ra M là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo véc tơ cố định . Dựa vào tính chất thay đổi của A ta suy ra giới hạn quỹ tích . Ví dụ 1: Cho hai điểm B,C cố định nằm trên (O,R) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó . Chứng minh rằng trực tâm của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định . Giải Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ ĐT: 02403833608 Trang 1
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH Kẻ đường kính BB’ .Nếu H là trực tâm của tam giác ABC thì AH=B’C. Do C,B’ uuur uuuur cố định , cho nên B’C là một véc tơ cố định � AH = B ' C . Theo định nghĩa về phép tịnh tiến điểm A đã biến thành điểm H . Nhưng A lại chạy trên (O;R) cho nên H r uuuur chạy trên đường tròn (O’;R) là ảnh của (O;R) qua phép tịnh tiến dọc theo v = B ' C Cách xác định đường tròn (O’;R) . Từ O kẻ đường thẳng song song với B’C . Sau uuuur uuuur đó dựng véc tơ : OO ' = B ' C . Cuối cùng từ O’ quay đường tròn bán kính R từ tâm O’ ta được đường tròn cần tìm . Ví dụ 2. Cho hình bình hành ABCD có hai đỉnh A,B cố định , còn đỉnh C chạy trên một đường tròn (O;R). Tìm quỹ tích đỉnh D khi C thay đổi . Giải : uuur uuur Theo tính chất hình bình hành : BA=DC � AB = CD . Nhưng theo giả thiết A,B cố uuur định , cho nên AB cố định . Ví C chạy trên (O;R) , D là ảnh của C qua phép tịnh tiến uuur theo AB , cho nên D chạy trên đường tròn O’ là ảnh của đường tròn O Cách xác định (O’) : Từ O kẻ đường thẳng // với AB , sau đó dựng véc tơ uuuur uuur OO ' = AB . Từ O’ quay đường tròn bán kính R , đó chính là đường tròn quỹ tích của D. Ví dụ 3. Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cùng với hai điẻm A,B . Tìm điểm uuuuur uuur M trên (O;R) và điểm M’ trên (O’R’) sao cho MM ' = AB . Giải a. Giả sử ta lấy điểm M trên (O;R). Theo giả thiết , thì M’ là ảnh của M qua phép uuur tịnh tiến theo véc tơ AB . Nhưng do M chạy trên (O;R) cho nên M’ chạy trên đường tròn ảnh của (O;R) qua phép tịnh tiến . Mặt khác M’ chạy trên (O’;R’) vì thế M’ là giao của đường tròn ảnh với đường tròn (O’;R’). b/ Tương tự : Nếu lấy M’ thuộc đường tròn (O’;R’) thì ta tìm được N trên (O;R) là giao của (O;R) với đường tròn ảnh của (O’;R’) qua phép tịnh tiến theo véc tơ AB c/ Số nghiệm hình bằng số các giao điểm của hai đường tròn ảnh với hai đường tròn đã cho . Ví dụ 3. Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định . Một đường kính MN thay đổi . Các đường thẳng AM và AN cắt các tiếp tuyến tại B lần lượt là P,Q . Tìm quỹ tích trực tâm các tam giác MPQ và NPQ ? Giải Tam giác MPQ có QA là một đường cao , vì vậy nếu ta kẻ MM’ vuông góc với PQ thì MM’ cắt QA tại trực tâm H . OA là đường trung bình của tam giác MNH suy ra : uuuur uuur uuur uuur MH = 2OA = BA . Vậy phép tịnh tiến theo BA biến điểm M thành điểm H . Nhưng M chạy trên (O;AB) cho nên H chạy trên đường tròn ảnh của (O;AB) qua phép tịnh uuur tiến BA . Tương tự đối với tam giác NPQ . Giới hạn quỹ tích . Do M không trùng với A,B cho nên trên đường tròn ảnh bỏ đi hai điểm ảnh của A,B . BÀI TOÁN 2: Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ ĐT: 02403833608 Trang 2
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH TÌM ĐIỂM M TRÊN ĐƯỜNG THẲNG D SAO CHO KHOẢNG CÁCH MA+MB NGẮN NHẤT ( A,B CỐ ĐỊNH CHO TRƯỚC ) Cách giải Bước 1: Tìm điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d . ( Khi đó đường thẳng d là đường trung trực của AB , suy ra M thuộc d thì MA=MA’ ). Bước 2: Kẻ đường thẳng A’B , thì đường thằng này cắt d tại M . M sẽ là điểm duy nhất Bước 3: Chứng minh nhận xét trên : Vì MA+MB=MA’+MB=A’B ( không đổi) do A cố dịnh , thì A’ cố định , suy ra A’B không đổi Chú ý : Trường hợp trên xảy ra khi A,B nằm trái phía với d . Ngoài ra : Có trường hợp biến thể là thay đường thẳng d bằng hai đường thẳng // cách nhau một đoạn cho trước không đổi . Ví dụ 1. Hai thôn nằm ở hai vị trí A,B cách nhau một con sông ( Xem hai bờ sống là hai đường thẳng song song ) . Người ta dự kién xây một cây cầu bắc qua sông (MN) và làm hai đoạn thẳng AM và BN .Tìm vị trí M,N sao cho AM+BN là ngắn nhất . Giải uuuur ur Vì khoảng cách giữa hai bờ sống là không đổi , cho nên MN = U . ur Tìm A’ là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo U . Khi đó AMNA’ là hình bình hành : A’N=AM . Do đó : MA+NB ngắn nhất Vì : MA+NB=A’N+NB Ví dụ 2. Cho hình chữ nhật ABCD . Trên tia đối của tia AB lấy điểm P , trên tia đối của tia CD lấy điểm Q . Hãy xác định điểm M trên BC và điểm N trên AD sao cho MN//CD và PN+QM nhỏ nhất . Giải Giống bài toán trên là khoảng cách giữa hai cạnh của hình chữ nhật không đổi . cho nên ta thực hiện theo cách của bài toán trên như sau : uuur ur uuuur Tìm ảnh của điểm Q qua phép tịnh tiến theo CD = U = QQ ' .Khi đó MN=QQ’ , suy ra MQ=NQ’ . Cho nên PN+MQ=PN+NQ’ ngắn nhất khi P,N,Q’ thẳng hàng . Các bước thực hiện : uuur ur uuuur +/ Tìm Q’ sao cho : CD = U = QQ ' +/ Nối PQ’ cắt AD tại điểm N +/ Kẻ NM //CD cắt BC tại M . Vậy tìm được M,N thỏa mãn yêu cầu bài toán . BÀI TOÁN 3: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG ( C ‘) QUA PHÉP TỊNH TIẾN THEO r u = ( a; b ) KHI BIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG (C ). Cách giải : Bước 1: lấy một điểm M(x;y=f(x) ) trên (C ) Bước 2: Thay x,y vào công thức tọ độ của phép tịnh tiến Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ ĐT: 02403833608 Trang 3
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH Bước 3: Rút gọn ta có phương trình F(x;y)=0 . Đó chính là phương trình của (C’ ) cần tìm . r Ví dụ . Trong mặt phẳng (Oxy) cho u = ( 1; −2 ) a/ Viết phương trình ảnh của mỗi đường trong trường hợp sau : +/Đường thẳng a có phương trình : 3x5y+1=0 ? +/Đường thẳng b có phương trình : 2x+y+100=0 b/ Viết phương trình đường tròn ảnh của đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 4x + y − 1 = 0 x2 y2 c/ Viết phương trình đường (E) ảnh của (E) : + =1 9 4 x2 y 2 d/ Viết phương trình ảnh của (H) : − = 1 16 9 Giải a/ Gọi M(x;y) thuộc các đường đã cho và M’(x’;y’) thuộc các đường ảnh của chúng. �x ' = 1 + x �x = x '− 1 Theo công thức tọa độ của phép tịnh tiến ta có : � � �y ' = −2 + y �y = y '+ 2 Thay x,y vào phương trình các đường ta có : Đường thẳng a’ : 3(x’1)5(y’+2)+1=0 3x’5y’12=0 Đường thẳng b’ : 2(x’1)+(y’+2)+100=0 hay : 2x’+y’+100=0 b/ Đường tròn (C’) : ( x '− 1) + ( y '+ 2 ) − 4 ( x '− 1) + y '+ 2 − 1 = 0 hay : x 2 + y 2 − 6x + 5 y + 10 = 0 2 2 c/ Đường (E’) : ( x '− 1) ( y '+ 2 ) = 1 � ( x − 1) + ( y + 2 ) = 1 2 2 2 2 + 9 4 9 4 d/ Đường (H’): ( x '− 1) ( y '+ 2 ) ( x − 1) ( y + 2) 2 2 2 2 − =1� − =1 16 9 16 9 Bài tập về nhà : Bài 1. Cho hai đường tròn không đồng tâm (O;R) và (O’;R’) và một điểm A trên uuuur uuur (O;R) . Xác định điểm M trên (O;R) và diểm N trên (O’;R’) sao cho MN = OA . Bài 2. ( Làm bài tập 4;5;6 – HH11NCtrang 9) Bài 3. ( Làm bài tập : 2;3 HH11CBtrang 7 ) Gợi ý uuuur uuur Bài 1. Vì : MN = OA TOA uuur : M N . Do đó N nằm trên đường tròn ảnh của (O;R) . Mặt khác N lại nằm trên (O’;R’) do đó N là giao của đường tròn ảnh với với (O’;R’) . Từ đó suy ra cách tìm : Vè đường tròn tâm A bán kính R , đường tròn náy cắt (O’;R’) tại N Kẻ đường thẳng d qua N và song song với OA , suy ra d cắt (O;R) tại M Bài 2. a/ Bài 4trang 9HH11NC. uuur ur Vì A,B cố định suy ra : AB = U . uuuuur uuur uuur uuuuur uuur uuur uuur Từ giả thiết : MM ' + MA = MB � MM ' = MB − MA = AB . Chứng tỏ : Tuuur:M AB M '. Nhưng M chạy trên (O;R) cho nên M’ chạy trên đường tròn (O’;R) là ảnh của (O;R) . b/ Bài 5. Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ ĐT: 02403833608 Trang 4
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH �x1' = x1cosα − y1 sin α + a � �x2' = x2cosα − y2 sin α + a � Tọa độ của M’ và N’ là : � ' M ' ; N ' �' �y1 = x1 sin α + y1cosα + b �y2 = x2 sin α + y2cosα + b Khoảng cách d giữa M,N và khoảng cách d’ giữa M’N’ . Ta có : MN = ( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2 M 'N ' = ( x2 − x1 ) 2 ( cos α + sin α ) + ( y 2 2 2 − y1 ) 2 ( cos α + sin α ) = ( x 2 2 2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) 2 2 Phép F là phép dời hình x' = x + a Khi : α = 0 sin α = 0; cosα = 1 . Đây là công thức của phép tịnh tiến . y' = y +b c/ Bài 6. Nếu F1 : M ( x; y ) M ' ( y; − x ) ; N ( x '; y ' ) N ' ( y '; − x ' ) thì khoảng cách giữa hai điểm MN và M’N’ là : MN = ( x '− x ) 2 + ( y '− y ) 2 ; M ' N ' = ( y '− y ) 2 + ( − x '+ x ) 2 . Chứng tỏ MN=M’N’cho nên đó chính là phép dời hình . Nếu : F2 : M ( x; y ) M ' ( 2x; y ) ; N ( x '; y ' ) N ' ( 2x '; y ' ) . Khi đó khoảng cách hai điểm là : MN = ( x '− x ) 2 + ( y '− y ) 2 ; M ' N ' = 4 ( x '− x ) 2 + ( y '− y ) 2 . Rõ ràng : MN
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d ( hay là phép đối xứng trục ) . Đường thẳng d gọi là trục đối xứng 2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC Ta chọn đường thẳng d trùng với trục Ox . Với mỗi điểm M(x;y) , gọi M’(x’;y’) là x' = x ảnh của M qua phép đối xứng trục thì : ( Đó chính là biểu thức tọa độ ) y' = −y 3. TÍNH CHẤT a/ Tính chất 1: Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ . b/ Tính chất 2: Phép đối xứng trục biến một đường thẳng thành một đường thẳng , biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó , biến một tam giác thành một tam giác bằng nó , biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính . 4. TRỤC ĐỐI XỨNG CỦA MỘT HÌNH Định nghĩa : * Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép dối xứng qua d biến hình H thành chính nó . 5. ỨNG DỤNG BÀI TOÁN 1. TÌM QUỸ TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM Bài toán : Cho hình H và một điểm A thuộc hình H thay đổi . Tìm quỹ tích của điểm M khi A thay đổi . Cách giải . Bước 1: Xét một vị trí bất kỳ của A và M . Sau dó tìm trên H có một đường thẳng cố định là trung trực của đoạn thẳng AM ( Chính là trục đối xứng ). Nếu A chạy trên một đường (C ) nào đó , theo tính chất của phép dối xứng trục , thì M chạy trên đường (C’) là ảnh của (C ) qua phép đối xứng trục . Ví dụ 1. ( Bài 10tr13HH11NC ) . Cho hai điểm B,C cố định nằm trên đường tròn (O;R) và điểm A thay đổi trên đường tròn đó . Hãy dùng phép đối xứng trục để chứng minh rằng trực tâm H nằm trên một đường tròn cố định . Giải Vẽ hình . Gọi H là giao ba đường cao của tam giác ABC . Kéo dài AH cắt (O;R) tại H’ . Nối CH’ Chứng minh IH=IH’ . Thật vậy Ta có : �A = �BCH ' ( Góc nội tiếp chẵn cung BH’ ).(1) CH ⊥ AB Mặt khác : � �A = �BCH ( 2 ) . Từ (1) và (2) suy ra : �BCH = �BCH ' CI ⊥ AH ' Chứng tỏ tam giác HCH’ là tam giác cân . Do BC vuông góc với HH’ , chứng tỏ BC là đường trung trực của HH’ . Hay H và H’ đối xứng nhau qua BC . Cho nên khi A chạy trên đường tròn (O;R) thì H’ cũng chạy trên (O;R) và H sẽ chạy trên đường tròn (O’;R) là ảnh của đường tròn (O;R) qua phép đối xứng trục BC Giới hạn quỹ tích : Khi A trùng với B và C thì tam giác ABC suy biến thành đường thẳng . Vì thế trên đường tròn (O’;R) bỏ đi 2 điểm là ảnh của B,C . * Chú ý : Ta còn có cách khác chứng minh H và H’ đối xứng nhau qua BC . Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ ĐT: 02403833608 Trang 6
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH Kẻ AA’ ( là đường kính của (O) ) suy ra BHCA’ là hình bình hành , cho nên BC đi qua trung điểm I của A’H . A’H’ song song với BC ( vì cùng vuông góc với AH ) Từ đó suy ra BC là đường trung bình của tam giác AHH’ – Có nghĩa là BC đi qua trung điểm của HH’ . Mặt khác AH vuông góc với BC suy ra BC là trục đối xứng của HH’ , hay H và H’ đối xứng nhau qua BC. Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có trực tâm H a/ Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác HAB,HBC,HCA có bán kính bằng nhau b/ Gọi O1 , O2 , O3 là tâm các đường tròn nói trên . Chứng minh rằng đường tròn đi qua ba điểm O1 , O2 , O3 bằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Giải . a/ Giả sử O1 là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC , thì theo bài taons của ví dụ 1 O1 chính là ảnh của (O) qua phép đối xứng trục BC . Cho nên bán kính của chúng bằng nhau . Tương tự hai đường tròn ngoại tiếp của hai tam giác còn lại có bán kính bằng bán kính của (O) . b/ Ta hoàn toàn chứng minh được O1 , O2 , O3 là các ảnh của O qua phép đối xứng trục BC,CA,AB . Vì vậy bán kính các đường tròn này bằng nhau . Mặt khác ta chứng minh tam giác ABC bằng tam giác O1O2O3 . BÀI TOÁN 2. TÌM ĐIỂM CHO ĐƯỜNG THẲNG d VÀ HAI ĐIỂM A,B . TÌM ĐIỂM M THUỘC d SAO CHO MA+MB NHỎ NHẤT. ( Khi A,B là hai điểm nằm về một phía của d ), MA − MB ĐẠT GIÁ TRỊ LỚN NHẤT( A,B nằm về hai phía của d ) Cách giải : Bước 1: Tìm điẻm A’ đối xứng với A qua đường thẳng d Bước 2: Nối A’B , đường thẳng này cắt d tại M . Là điểm cần tìm . Bước 3: Chứng minh M là điểm duy nhất . Ví dụ 1. (Bài 9tr13 HH11NC) Cho góc nhọn xOy và một điểm A nằm trong góc đó . Hãy tìm điểm B trên Ox , điểm C trên Oy sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất . Giải . Tìm A’ đối xứng với A qua Oy , B’ đối xứng với A qua Ox Nối A’B’ cắt Ox tại B , cắt Oy tại C . Đó chính là hai điểm cần tìm Chứng minh B,C là hai điểm duy nhất cần tìm . Thật vậy : Do A’ đối xứng với A qua Oy , cho nên CA=CA’ (1) . Mặt khác : B’ đối xứng với A qua Ox cho nên ta có BA=BB’ (2) . Gọi P là chu vi tam giác ABC thì P=CA+CB+BA =CA’+CB+BB’=A’B’ ( do từ (1) và (2) ). Ví dụ 2: Cho đường thẳng d và hai điểm A,B nằm cùng phía với d . Tìm điểm M trên d sao cho MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất ? Giải Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ ĐT: 02403833608 Trang 7
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH Nối A’B cắt d tại M . M chính là điểm cần tìm . Thật vậy : Vì A’ đối xứng với A qua d cho nên MA=MA’ (1). Do đó : MA+MB=MA’+MB=A’B . Giả sử tồn tại M’ khác M thuộc d thì : M’A+M’B=M’A’+M’B A ' B . Dấu bằng chỉ xảy ra khi A’M’B thẳng hàng . Nghĩa là M trùng với M’ . Ví dụ 3. Cho đường thẳng d và hai điểm A,B ( nằm về hai phía của d ). Tìm điểm M trên d sao cho MA − MB đạt GTLN . Giải . Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua d Nối A’B cắt d tại M . M chính là điểm cần tìm . Thật vậy : MA − MB = MA '− MB = A ' B . Giả sử tồn tại một điểm M’ khác với M trên d , khi đó : M ' A − M ' B = M ' A '− M ' B A ' B . Dấu bằng chỉ xảy ra khi M’A’B thẳng hàng , nghĩa là M trùng với M’. Ví dụ 4 . Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) và một đường thẳng d a/ Hãy tìm hai điểm M và M’ lần lượt nằm trên hai đường tròn đó sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’ b/ Hãy xác định điểm I trên d sao cho tiếp tuyến IT với (O;R) và tiếp tuyến IT’ với (O’;R’) tạo thành một góc TIT’ nhận đường thẳng d là đường phân giác trong hoặc ngoài . Giải Vẽ hình : a/ Giả sử M nằm trên (O;R) và M’ nằm trên (O’;R’) tỏa mãn yêu cầu bài toán Vì d là trung trực của MM’ cho nên M’ nằm trên đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (O;R) qua phép đối xứng trục d . Mặt khác M’ lại nằm trên (O’;R’) do vậy M’ là giao của (C’) với (O’;R’) Từ đó suy ra cách tìm : Tìm hai đường tròn ảnh của hai đường tròn đã cho qua phép đối xứng trục d ( Lần lượt là (C’) và (C’’) Hai đường tròn này cắt hai đường tròn đã cho tại M 1 , M 2 . Sau đó kẻ hai đường thẳng d’’ và d’’’ qua M 1 , M 2 cắt (O;R) và (O’;R’) tại M '1 ; M '2 Các điểm cần tìm là ( M 1M '1 ) và ( M 2 M '2 ) b/ Nếu MT và MT’ nhận d là phân giác trong hoặc ngoài của góc TIT’ thì MT và MT’ đối xứng nhau qua d . Từ đó suy ra cách tìm : Gọi d’ là ảnh của MT qua phép đối xứng d nghĩa là d’ là tiếp tuyến của đường tròn (C ) là ảnh của (O;R) qua phép đối xứng trục d. Mặt khác d’ là tiếp tuyến của (O’;R’) . Cho d’ là tiếp tuyến chung của (C ) với (O’;R’) . Từ đó ta suy ra cách tìm M : Tìm (C ) là ảnh của (O;R) qua phép đối xứng trục d Kẻ d’ là tiếp tuyến chung của (C ) và (O’;R’) . Khi đó d’ cắt d tại M . Chính là điểm cần tìm . Tương tự áp dụng cho (O’;R’) Số nghiệm hình bằng số giao điểm của các tiếp tuyến chung cắt d . Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ ĐT: 02403833608 Trang 8
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH BÀI TOÁN :3 TÌM ĐIỂM ĐỐI XỨNG VỚI ĐIỂM QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG Bài toán : Cho điểm A(x;y) và một đường thẳng d : ax+by+c=0 . Tìm tọa độ điểm B đối xứng với điểm A qua đường thẳng d ? Cách giải : Bước 1: Gọi B(x’;y’) là điểm đối xứng với A qua d và H là trung điểm của uuur ur AB.U = 0 ( 1) AB thì điều kiện : H d ( 2) Bước 2: Giải hai điều kiện (1) và (2) suy ra tọa độ của B Ví dụ 1. Cho điểm M(2;3) tìm tọa độ điểm N đối xứng với M qua đường thẳng d : y=x Giải Gọi N(x;y) là điểm đối xứng với M qua d và H là trung điểm của MN thì M,N đối uuuur ur MN .U = 0 ( 1) xứng nhau qua d thì điều kiện là : H d ( 2) uuuur ur � � x+2 y +3 Ta có : MN = ( x − 2; y − 3) U = ( 1;1) H = � ; �. �2 2 � ( x − 2 ) .1 + ( y − 3) .1 = 0 �x + y = 5 �y = 2 Điều kiện (*) � �x + 2 y+3 �� N = ( 3; 2 ) = �x = y + 1 �x = 3 2 2 Ví dụ 2. Cho điểm M(2;3) . Tìm ảnh của điểm M qua phép đối xứng trục d : y2x=0 Giải Gọi N(x;y) là điểm đối xứng với M qua d và H là trung điểm của MN thì M,N đối uuuur ur MN .U = 0 ( 1) xứng nhau qua d thì điều kiện là : H d ( 2) uuuur ur �x + 2 y − 3 � Ta có : MN = ( x − 2; y + 3 ) U = ( 1; 2 ) H =� ; �. �2 2 � 1 ( x − 2 ) .1 + ( y + 3) .2 = 0 y= x + 2y + 4 = 0 � 3 � � 14 1 � Điều kiện (*) � �x + 2 y −3 �� N = �� − ; � = y = x+5 �x = − 14 � 3 3� 2 2 3 BÀI TOÁN :4 CHO ĐƯỜNG (C ) VÀ ĐƯỜNG THẲNG d HÃY VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG (C’) LÀ ẢNH CỦA (C ) QUA PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC d CÁCH GIẢI Bước 1: Trên đường (C ) lấy hai điểm A,B Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ ĐT: 02403833608 Trang 9
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH Bước 2: Tìm hai điểm A’,B’ đối xứng với A,B qua phép đối xứng trục d Bước 3: Viết phương trình đường (C’) đi qua A’,B’ Ví dụ 1: Cho đường thẳng d : x2y2=0 và đường thẳng d’: y=x . Lập phương trình đường thẳng (m) đối xứng với đường thẳng d’ qua đường thẳng d . Giải �x − 2 y − 2 = 0 �x = −2 Tìm giao của d và d’ bằng A(x;y) là nghiệm của hệ : � � .A(2; �x − y = 0 �y = −2 2) Trên d’ lấy điểm M (3;3) . Gọi N(x;y ) là điểm đối xứng với M qua d .Gọi H là uuuur ur MN .U = 0 ( 1) trungđiểm của MN thì điều kiện để M,N đối xứng nhau qua d là : (*) H d ( 2) uuuur ur �x + 3 y + 3 � Ta có : MN = ( x − 3; y − 3 ) U = ( 2;1) H =� ; � �2 2 � ( x − 3) 2 + ( y − 3) .1 = 0 � 2x + y = 9 �x = 5 �x=+−3 Điều kiện (*) �� y + 3 � � � N ( 5; 1) . − 2. � �− 2 = 0 �x − 2 y = 7 �y = −1 2 �2 � uuur Đường thẳng (m) là đường thẳng đi qua AN có véc tơ chỉ phương là AN = ( 7;1) , x+2 y+2 nên (m) có phương trình là : = � x − 7 y − 12 = 0 . 7 1 Ví dụ 2. Cho hai đường thẳng d: 2xy+2=0 ; d’ : x+3y3=0 . Lập phương trình đường thẳng (m) đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng d’ . Giải Tìm tọa độ điểm A là giao của d với d’ . Khi đó tọa độ A là nghiệm của hệ hai 3 x=− 2x − y + 2 = 0 7 � 3 8� phương trình : � �� A=�− ; � x + 3y − 3 = 0 8 � 7 7� y= 7 Trên đường thẳng d chọn điểm M(0;2) Tìm tọa độ điểm N đối xứng với M qua đường thẳng d’ . Khi đó nếu M,N đối uuuur ur MN .U = 0 ( 1) ur xứng nhau qua d’ thì điều kiện : (*) Với H là trung điểm của MN , U d H ( 2) uuuur ur �x y + 2 � là véc tơ chỉ phương của d’ . Ta có : MN = ( x; y − 2 ) U = ( 3; −1) H = � ; �. �2 2 � 3x. − ( y − 2 ) .1 = 0 3 x=− � 3xy = −2 � 5 � 3 1� Điều kiện (*) ��x= − �y + 2 � � � N � ; � �2 + 3. � 2 �− 3 = 0 x + 3y = 0 � 1 � 5 5� � � y= 5 Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ ĐT: 02403833608 Trang 10
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH � 3 1� Đường thẳng (m) =(AN) đi qua N = �− ; � và có véc tơ chỉ phương � 5 5� uuur � 6 33 � ur AN = �− ; − �/ /U = ( 2;11) . � 35 35 � 3 1 x+ y− Do đó (m) : 5 = 5 = 0 � 11x − 2 y + 7 = 0 . 2 11 Ví dụ 3 . Cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 4x + 2 y + 1 = 0 và đường thẳng d : 2xy+2=0. Hãy viết phương trình của đường tròn (C’) là ảnh của (C ) qua phép đối xứng trục d . Giải Do tính chất của phép đối xứng trục biến (C ) thành (C’) có cùng bán kính . Cho nên ta chỉ cần tìm tọa độ tâm I’ của (C’) đối xứng với tâm I của (C ) . Vậy từ giả thiết ta có tâm I của (C ) có tọa độ : I(2;1) và R=2 . ur Gọi I’(x;y ) là tâm của (C’)H là trung điểm của II’ , U = ( 1; 2 ) là véc tơ chỉ phương uur ur II '.U = 0 ( 1) của đường thẳng d . Để I’ đối xứng với I qua d thì điều kiện : (*) H d ( 2) uur ur � x + 2 y −1 � Ta có : II ' = ( x − 2; y + 1) U = ( 1; 2 ) H = � ; �. �2 2 � ( x2 ) .1 + ( y + 1) .2 = 0 �x+y = 0 �x = 1 �=� Điều kiện (*) �� −x + 2 � �y − 1 � � � I' ( 3;3) 2. � �− � �+ 2 = 0 �2x − y + 9 = 0 �y = −1 � 2 ��2 � Vậy (C’): ( x + 3) + ( y − 3) = 4 . 2 2 x2 y 2 Ví dụ 4. Cho (E) : + = 1 . Và đường thẳng d : x+y2=0 . Lập phương trình (E’) 9 4 là ảnh của (E) qua phép đối xứng trục d . Giải Vẽ (E) chỉ ra tọa độ các đỉnh của trục lớn : A(3;0) ,A’(3;0) và tọa độ hai đỉnh của trục nhỏ : B(0;2) ;B’(0;2 ) Tìm tọa độ của 4 đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là ảnh của 4 đỉnh hình chữ nhật cơ sở của (E) đã cho . Bằng cách giải các bài toán nhỏ như ở trên , dễ dàng tìm được tạo độ của O’(2;2) là ảnh của O(0;0) , M’(4;5) là ảnh của M(3;2 ). N’(4;1 ) là ảnh của N(3;2) . P’(0;1) là ảnh của P(3;2) và Q’( 0;5) là ảnh của Q(3;2) . Áp dụng cách vữ (E) ta suy ra cách vẽ của (E’) . * Chú ý : Đây là bài toán tương đối khó , chưa gặp trong các đề thi đại học , nhưng lấy ví dụ này là để mở rộng cho trường hợp đối xứng trục . Dù đường (C ) cho là đường gì đi chăng nữa , ta chỉ cần sử dụng tốt kiến thức đã học là có thể giải được . BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Gọi m là đường phân giác ngoài của góc A của tam giác ABC . Chứng minh rằng với mọi điểm M trên m , chu vi tam giác MBC không nhỏ hơn chu vi tam giác ABC Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ ĐT: 02403833608 Trang 11
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH Bài 2. Cho (E) với hai tiêu điểm F1 , F2 . Gọi M là một điểm nằm trên (E) nhưng không nằm trên đường thẳng F1 F2 và m là phân giác ngoài tại đỉnh M của tam giác M F1 F2 . Chứng minh rằng m chỉ cắt (E) tại M duy nhất ( đường thẳng m như thế gọi là tiếp tuyến của E tại M ) Bài 3. Cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 6x + 2 y + 1 = 0 . Tìm phương trình đường tròn (C’) qua phép đối xứng trục d : xy0 . Bài 4 . Cho hai đường thẳng d : xy+2=0 và d’: 3x+4y1=0 . Tìm đường thẳng m là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xừng trục là d’ . Bài 5. Cho đường thẳng d: x+y2=0 và hai điểm A(4;3) ,B(2;1) . Tìm điểm M trên d sao cho MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất Bài 6. Cho hai điểm A(4;3) và B(2;0) . Tìm trên đường thẳng d : x+y2=0 điểm M sao cho MA − MB đạt gía trị lớn nhất . Bài 7.( Bài 39tr106BTHH10NC) �4 7 � Cho tam giác ABC có đỉnh A � ; �. Hai đường phân giác trong của hai góc B và C 5 5 � � lần lượt có phương trình x2y1=0 và x+3y1=0 . Viết phương trình cạnh BC của tam giác . GỢI Ý CÁCH GIẢI Bài 1. Kẻ đường phân giác ngoài của góc A . Tìm điểm C’ đối xứng với C qua m . T a có : MB+MC=MB+MC’ BC ' . Mà BC’=AB+AC . Suy ra MB+MC+BC AB + AC + BC . Đó chính là điều phải chứng minh . Bài 2. Giả sử trục lớn của (E) là 2a , tức là M nằm trên E khi : MF1 + MF2 = 2a . Theo cách chứng minh bài 1 , nếu M’ nằm trên phân giác m thì : M ' F1 + M ' F2 MF1 + MF2 = 2a . Dấu bằng chỉ xảy ra khi M’ trùng với M . Vậy nếu M’ khác M thì M’ không nằm trên E . Suy ra m cắt E tại một điểm duy nhất tại M . Bài 3. Đường tròn (C ) có tâm I(3;1) và bán kính R=3 . Gọi I’ là tâm của đường tròn (C’) . Nếu I và I’ đối xứng nhau qua d thì ta có hệ : x − 3 + y −1 = 0 �x + y = 4 �x = 0 �x + 3 y − 1 �� I ' = ( 0; 4 ) . − =0 �x − y = −4 �y = 4 2 2 Vậy đường tròn (C’): x 2 + ( y − 4 ) = 9 đối xứng với (C ) qua trục đối xứng d . 2 Bài 4. Gọi A là giao của d và d’ thì tọa độ A là nghiệm của hệ : �x − y + 2 = 0 �x = −1 � �� A = ( −1;1) . Trên d lấy điểm M(0;2) . Tìm M’(x;y) là ảnh �3x + 4 y − 1 = 0 �y = 1 ur của M qua phép đối xứng trục d’ ( có U = ( 4; −3) Khi đó tọa độ M’ là nghiệm của hệ : 4x − 3( y − 2) = 0 33 x=− � 4x − 3 y + 6 = 0 � 25 � 33 6 � �=� �� −x − 1 � �y + 2 � � � M ' � ; �. �3 � �+ 4 � �− 1 = 0 3x + 4 y + 3 = 0 �y = 6 � 25 25 � �2 � � 2 � 25 Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ ĐT: 02403833608 Trang 12
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH Khi đó đường thẳng m đối xứng với d qua d’ là đường thẳng AM’ đi qua A(1;1) có uuuuur � 8 19 � ur x +1 y −1 véc tơ chỉ phương AM ' = � ; − �/ /U = ( 8; −19 ) suy ra (m) : = . Hay đường �25 25 � 8 19 thẳng (m) : 19x8y+27=0. Bài 5. Tìm tọa độ A’(x;y) đối xứng với A(4;3) qua phép đối xứng trục d: x+y2=0 x + 4 − ( y + 3) = 0 �x − y + 1 = 0 �x = 5 Suy ra hệ : �x − 4 y − 3 �� A ' = ( 5;6 ) . + −2=0 �x + y − 11 = 0 �y = 6 2 2 uuuur ur Lập đường thẳng (A’B) đi qua A’(5;6) có véc tơ chỉ phương A ' B = ( −3; −7 ) / /U = ( 3;7 ) x = 5 + 3t . Do đó (A’B): t R . Vậy M là giao của (A’B) với d cho nên tọa độ của M y = 6 + 7t 9 t=− x = 5 + 3t 10 � � 23 �23 3 � là nghiệm của hệ : �y = 6 + 7t � �x = � M = � ; − � �x + y − 2 = 0 � 10 �10 10 � 3 y=− 10 Bài 6. Tương tự cách làm bài tập 5 , ta có tạo độ A’(x;y) đối xứng với A(4;3) qua d x − 3 − ( y − 3) = 0 3 x= � x− y =0 � �3 3 � là nghiệm của hệ : ��x + 4 � �y − 3 � �� 2 � A ' = � ; �. �� + � �− 2 = 0 x+ y −3= 0 �y = 3 �2 2 � �2 ��2 � 2 uuuur � 7 3 � ur Đường thẳng (A’B) đi qua B(2;0) có véc tơ chỉ phương : A ' B = �− ; − �/ /U = ( 7;3) . �2 2� x = −2 + 7t Do đó (A’B): t R . Điểm M cần tìm là giao của (A’B) với d , cho nên tọa y = 3t 2 t= x = −2 + 7t 5 � � 4 �4 6 � độ M là nghiệm của hệ : �y = 3t � �x = � M = � ; �. �x + y − 2 = 0 � 5 �5 5 � 6 y= 5 Bài 7. Tìm tọa độ hai điểm M,N lần lượt là ảnh của A qua phép đối xứng trục là hai đường phân giác của hai góc B và C , thì M,N phải nằm trên BC . Từ đó đường thẳng (BC) chính là đường thẳng (MN) : y+1=0 . Bài 4. PHÉP QUAY VÀ PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM 1. Định nghĩa phép quay . * Trong mặt phẳng cho điểm O cố định và góc lượng giác ϕ không đổi . Phép biến hình biến điểm O thành điểm O, biến điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM=OM’và góc (OM;OM’)= ϕ . Được gọi là phép quay tâm O góc quay là ϕ . 2. Định lý : Phép quay là phép dời hình . Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ ĐT: 02403833608 Trang 13
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH 3. Phép đối xứng tâm . * Định nghĩa : Phép đối xứng qua điểm O là một phép biến hình , biến mỗi điểm M uuuur uuuuur r thành điểm M’ đối xứng với M qua O , có nghĩa là : OM + OM ' = 0 . * Ký hiệu và các thuật ngữ : Phép đối xứng tâm O ký hiệu : DO . Trong đó O là tâm đối xứng *Biểu thức tọa độ : Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm I(a;b) . Nếu phép đối xứng tâm I biến điểm x ' = 2a − x M(x;y) thành điểm M’(x’;y’) thì : ( Đó chính là biểu thức tọa độ của y ' = 2b − y phép đối xứng tâm ) . * Tâm đối xứng của một hình : Là điểm sao cho biến hình H thành chính nó *Biểu thức tọa độ của phép quay có tâm I(a;b) điểm M(x;y) , điểm M’(x’;y’) và góc quay là α : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Q(I, ) , với I(a; b). Khi đó Q(I, ) biến điểm M (x; y) thành M’(x’; y’) xác định bởi: x' a ( x a ) cos ( y b) sin (IVb) ( Chứng minh cho HS ) y ' b ( x a ) sin ( y b) cos 4. Các ứng dụng của phép quay và đối xứng tâm . BÀI TOÁN 1: BÀI TOÁN QUỸ TÍCH ĐIỂM Bài toán : Cho hình H và một điểm M thay đổi trên đường (C ) ( thuộc H ). Tìm quỹ tích của điểm N khi M thay đổi . Cách giải : Bước 1: Tìm một điểm I cố định sao cho I là trung điểm của MN Bước 2: Dựa vào tính chất của phép đối xứng tâm I ta suy ra quỹ tích của N Ví dụ 1. ( bài toán 2tr17HH11NC). Cho đường tròn (O;R) và hai điểm A,B cố định . Với mỗi điểm M , ta xác định uuuuur uuur uuur điểm M’ sao cho MM ' = MA + MB . Tìm quỹ tích điểm M’ khi điểm M chạy trên (O;R) . Giải Gọi I là trung điểm của AB . Theo tính chất của véc tơ trung tuyến thì : uuur uuur uuur uuuuur uuur MA + MB = 2MI , suy ra : MM ' = 2 MI . Có nghĩa là I là trung điểm của MM’ Ví A,B cố định , cho nên I cố định . Do đó DI : M M ' . Nhưng M chạy trên (O;R) cho nên M’ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I sẽ chạy trên đường tròn ảnh của (O;R) Cách xác định (O’;R) như sau : Nối IO kéo dài , đặt IO’=IO . Sau đó lấy O’ làm tâm , quay đường tròn có bán kính R . Ví dụ 2. ( Bài 17tr19HH11NC). Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ ĐT: 02403833608 Trang 14
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH Cho hai điểm B,C cố định trên đường tròn (O;R)và một điểm A thay đổi tren đường tròn đó . Hãy dùng phép đối xứng tâm để chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định . ( Hay : tìm quỹ tích của H khi A thay đổi ). Giải Vẽ hình theo giả thiết cho . Nối đường kính AM , tìm vị trí của H . Ta thấy CH ∟AB và MB∟AB suy ra CH//BM . Tương tự BH//MC và tứ giác BHCM là hình bình hành , do đoa hai đường chéo BC và MH cắt nhau tại trung điểm I của BC . Do B,C cố định cho nên I cố định . Vậy H là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I . Mặt khác M chạy trên (O;R) do đó H chạy trên đường tròn (O’;R) là ảnh của (O;R) qua phép đối xứng tâm I . Ví dụ 3. ( Bài 34tr10BTHH11NC) . Cho đường thẳng a và một điểm G không nằm trên a . Với mỗi điểm A nằm trên a ta dựng tam giác đều ABC có tâm là G. Tìm quỹ tích hai điểm B và C khi A chạy trên a? Giải Vẽ hình . Từ hình vẽ và tính chất của tam giác đều ta thấy góc �AGC = �AGB = 1200 . Như vậy phép quay tâm G với góc quay ϕ = 120 bién A thành C 0 và biến A thành B . Nhưng A chạy trên d vì thế B và C chạy trên đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép quay ϕ = 1200 . Ví dụ 4. ( Bài 35tr10BTHH11NC). Cho đường tròn (O) và tam giác ABC . Một điểm M thay đổi trên (O) . Gọi M 1 là điểm đối xứng với M qua A, M 2 là điểm đối xứng với M 1 qua B và M 3 là điểm đối xứng với M 2 qua C . Tìm quỹ tích điểm M 3 ? Giải . Vẽ hình . Từ hình vẽ ta có : Do M 1 , M 2 đối xứng nhau qua B cho nên BM 1 = BM 2 ( 1) Vì M 2 và M 3 đối xứng nhau qua C cho nên : CM 2 = CM 3 (2) . Từ (1) và (2) chứng tỏ BC là đường trung bình của tam giác M 1M 2 M 3 , có nghĩa là BC// M 1M 3 (3) . Gọi D là trung điểm của M M 3 thì AD là đường trung bình của tam giác MM 1M 3 AD / / M 1M 3 (4) . Từ (3) và (4) suy ra AD//BC và tứ giác ABCD là hình bình hành . Có nghĩa là D cố định. Như vậy : DD : M M 3 . Mà M chạy trên (O) cho nên M3 Chạy trên đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép đối xứng tâm D . BÀI TOÁN 2: DỰNG HÌNH Hãy tham khảo một vài ví dụ sau Ví dụ 1. ( Bài toán 3tr17HH11NC) Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ ĐT: 02403833608 Trang 15
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cắt nhau tại hai điểm B,C . Hãy dựng một đường thẳng d đi qua A và cắt (O;R) và (O’;R’) lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của MN . Giải Giả sử đường thẳng d đã dựng xong , do A là trung điểm của MN cho nên N là ảnh của M qua phép đối xứng tâm A vì vậy N phải nằm trên đường tròn (O’’) là ảnh của đường tròn (O;R) ( vì M chạy trên (O) ). Mặt khác N lại thuộc (O’;R’) vì thế cho nên N là giao của (O’’) với (O’;R’) . Từ đó suy ra cách dựng . +/ Dựng đường tròn (O’’) là ảnh của đường tròn (O) : Nối OA , đặt OA=O’’A . +/ Đường tròn (O’’) cắt đường tròn (O’) tại N . Nối NA cắt (O) tại M . Giới hạn quỹ tích : Số nghiệm hình bằng số giao điểm của (O’’) cắt (O’) . Ví dụ 2. ( Bài 18tr19HH11NC) Cho đường tròn (O;R) , đường thẳng d và điểm I . Tìm điểm A trên (O;R) và điểm B trên d sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB . Giải Vẽ hình . Do I là trung điểm của AB cho nên B là ảnh của A qua phép đối xứng tâm I . Mặt khác A chạy trên (O;R) vì thế B chạy trên đường tròn (O’’) là ảnh của (O) qua phép đối xứng tâm I . Nhưng B lại nằm trên d vì vậy B là giao của d với (O’’) Từ đó suy ra cách tìm . Nối IO đặt IO=IO’’ , sau đó dựng đường tròn (O’’) bán kính R , cắt d tại B . Nối BI cắt (O;R) tại A . Giới hạn quỹ tích : Số nghiệm hình bằng số giao điểm của (O’’) với d . BÀI TOÁN 3: BÀI TOÁN CHỨNG MINH Để làm được dạng bài toán chứng minh ta cần phải lắm chắc kiến thức về phép đối xứng tâm và phép quay . Đồng thời phải nhớ lại các kiến thức về tam giác , tứ giác : Hình bình hành , hình vuông , hình chữ nhật . Ví dụ 1. ( Bài toán 1tr17HH11NC) Cho hai tam giác đều OAB và OA’B’ . Gọi C và D lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AA’ và BB’ . Chứng minh rằng OCD là tam giác đều ? Giải Xét phép quay tâm O với góc quay bằng góc lượng giác ( OA,OB)= 600 . Rõ ràng A biến thành B và A’ biến thành B’ , vì thế cho nên phép quay đã biến đoạn thẳng AA’ thành đoạn thẳng BB’ . Từ đó suy ra phép quay đã biến C thành D , do đó OC=OD . Vì góc quay bằng 600 cho nên tam giác cân OCD là tam giác đều . Ví dụ 2. ( Bài 43tr11BTHH11NC)Về phía ngoài của tam giác ABC vẽ các hình vuông BCMN và ACPQ có tâm là O và O’ . a/ Chứng minh rằng khi cố định hai điểm A,B và cho C thay đổi thì đường thẳng NQ luôn đi qua một điểm cố định . b/ Gọi I là trung điểm của AB . Chứng minh rằng IOO’ là tam giác vuông cân . Giải . Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ ĐT: 02403833608 Trang 16
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH a/ Vẽ hình theo giả thiết đã cho . Từ hình vẽ , giải cho học sinh bài toán phụ : Cho hai điểm A,B cố dịnh , với mỗi điểm M và với hai phép quay tâm A , tâm B có cùng góc quay thì phép hợp của hai phép quay là một phép đối xứng mà tâm đối xứng là đỉnh goác vuông của tam giác vuông cân OAB ( O là tâm đối xứng ). Như vậy : QA : C N QB : C Q NQ đi qua tâm đối xứng H được xác định bằng cách dựng tam giác vuông cân HAB b/ Tương tự như trên : QO : C B ; QO ' : C A AB đi qua tâm đối xứng I được xác định bằng tam giác vuông cân OO’I ( với I là đỉnh của góc vuông ). Như vậy tam giác O’OI là tam giác vuông cân . BÀI TOÁN 4: TÌM ẢNH CỦA MỘT HÌNH BẰNG PHÉP QUAY VÀ PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM CÁCH GIẢI . Sử dụng các định nghĩa , tính chất của phép quay và phép đối xứng tâm cùng với biểu thức tọa độ của chúng . Ví dụ 1. ( Bài 1tr15HH11CB) Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(1;3) và đường thẳng d có phương trình : x 2y+3=0 . Tìm ảnh của A và d qua phép đối xứng tâm O Giải Gọi A’(x;y) là ảnh của A qua phép đối xứng tâm O(0;0) . Theo công thức tọa độ của phép đối xứng ta có : �x ' = 0 − x �x = − x ' �x ' = 1 � �� A ' = ( 1; −3) �y ' = 0 − y �y = − y ' �y ' = −3 Tương tự Gọi M(x;y) là một điểm bất kỳ thuộc d và M’(x’;y’) là một điểm bất kỳ thuộc d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm O . Theo công thức tọa độ của phép �x ' = 0 − x �x = − x ' đối xứng ta có : � �� ( − x ') − 2 ( − y ') + 3 = 0 � x '− 2 y '− 3 = 0 . Do đó d’ �y ' = 0 − y �y = − y ' có phương trình là : x2y3=0 . Ví dụ 2. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (O;R) : x 2 + y 2 + 2x − 6 y + 6 = 0 và x2 y 2 (E) : + = 1 điểm I(1;2) . Tìm ảnh của (O;R) và (E’) qua phép đối xứng tâm I 9 4 Giải Gọi M(x;y) là điểm bất kỳ thuộc (O;R) và (E) . Từ công thức chuyển trục ta có : ( 2 − x ') + ( 4 − y ') + 2 ( 2 − x ') − 6 ( 4 − y ') + 6 = 0 2 2 �x ' = 2.1 − x �x = 2 − x ' �� ( 2 − x ') + ( 4 − y ') = 1 2 2 �y ' = 2.2 − y �y = 4 − y ' 9 4 x 2 + y 2 − 6x − 2 y + 6 = 0 ( 2 − x) ( 4 − y) 2 2 + =1 9 4 *Chú ý : (O;R) : ( x + 1) + ( y − 3) = 4 � J (−1;6), R = 2 . 2 2 Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ ĐT: 02403833608 Trang 17
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH Ta chỉ tìm J’(x;y) là ảnh của J qua phép đối xứng tâm I(1;2) bằng công thức chuyển �x ' = 2 − (−1) �x ' = 3 trục tọa độ : � �� J ' = ( 3;1) . �y ' = 4 − (3) �y ' = 1 Do đó (O’) : ( x − 3) + ( y − 1) = 4 là ảnh của (O;R) qua phép đối xứng tâm I . 2 2 Ví dụ 3.( Bài 1.13BTHH11CB) Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: x2y+2=0 và d’: x2y8=0 . Tìm phép đối xứng tâm biến d thành d’ và biến trục Ox thành chính nó . Giải Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì ta làm như sau : Gọi M(x’y) thuộc d , M’(x’;y’) thuộc d’ . Giả sử tâm đối xứng là I(a;b) , thì theo x ' = 2a − x công thức chuyển trục : � ( 2a − x ) − 2 ( 2b − y ) − 8 = 0 � x − 2 y + 4b − 2a + 8 = 0 . y ' = 2b − y Để trục Ox thành chính nó thì tâm đối xứng phải có dạng : I(a;0) tức là b=0 �4b − 2a + 8 = 2 �a=3 Từ hai kết quả trên ta có : � �� I = ( 3;0 ) . �b=0 b=0 � Ví dụ 4. ( Bài 1.14 –tr21BTHH11CB) Cho ba điểm không thẳng hàng I,J,K . Hãy dựng tam giác ABC nhận I,J,K lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,CA,AB . Giải Phân tích : Giả sử tam giác ABC đã dựng xong thỏa mãn điều kiện đầu bài . Vì I,J,K là trung diểm cho nên Ị là đường trung bình suy ra Ị=KB , tương tự KJ=IC . Từ đó suy ra cách dựng : +/ Tìm điểm P là ảnh của J qua phép đối xứng tâm I +/ Kẻ Px //KJ và đặt PQ=KJ . Từ Q kẻ Qy //Ị và đặt QC=IP. +/ Tìm B đối xứng với C qua I và A đối xứng với B qua K . Như vậ tam giác ABC đã dựng xong . * Chú ý : Ngoài cách trên ta còn có cách khác như sau +/ Lấy một điểm N bất kỳ . Tìm các điểm M đối xứng với N qua I , P đối xứng với N qua J và Q đối xứng với P qua K . ( Vẽ hình ) uuuur uuur uuur uuur +/ Từ đó suy ra : CM = − BN = AP = −CQ . Do đó C là trung điểm của MQ . Từ đó suy ra cách dựng . Ví dụ 5 ( Bài 1tr19HH11NC) Cho hình vuông ABCD a/ Tìm ảnh của điểm C qua phép quay tâm A góc quay 900 b/ Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm O góc quay 900 . Giải a/ Từ hình vẽ ta thấy ảnh của C qua phép quay tâm A góc 900 là C’ hoặc C’’ sao cho các tam giác ACC’ và ACC’’ là các tam giác vuông cân b/ Ta nhận thấy ảnh của C qua phép quay tâm O góc quay 900 là B hoặc D . Còn ảnh của B qua phép quay tâm O góc quay 900 là A hoặc C , do đó ảnh của BC là AB hoặc DC . Ví dụ 6 .( Bài 2tr19HH11NC) . Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ ĐT: 02403833608 Trang 18
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A (2;0) và đường thẳng d : x+y2=0 . Tìm ảnh của điểm A và d qua phép quay tâm O góc quay 900 . Giải Vẽ hình . Từ hình vẽ ta thấy A thuộc d . Ảnh của A qua phép quay tâm O góc quay 900 . Là B(0;2) hoặc B’(0;2) . Điểm B’ có ảnh qua phép quay là A(2;0) hoặc A’( 2;0) Vì B’ và A nằm trên d cho nên ảnh của d qua phép quay này sẽ là (AB) hoặc x y −x y (A’B’) lần lượt có phưng trình : − = 1 � x − y − 2 = 0; + =1� x − y + 2 = 0 . 2 2 2 2 PHÉP VỊ TỰ I. ĐỊNH NGHĨA Cho điểm O và một số k 0 . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành một điểm M’ uuuuur uuuur sao cho OM ' = kOM được gọi là phép vị tự tâm , tỉ số vị tự là k . Ký hiệu : V(O ,k ) : M M ' , hay : M’= V( O , k ) ( M ) � M = V� 1 �( O, � � M ') � k� II. TÍNH CHẤT Tính chất 1. Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M,N thành hai điểm M’,N’ thì : uuuuuur uuuur M ' N ' = k MN . Tính chất 2: Phép vị tự tỉ số k : a/ Biến ba điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự các điểm ấy b/ Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng âý , biến một tia thành một tia , biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng . c/ Biến một tam giác thành một tam giác đồng dạng với nó , biến một góc thành một góc bằng nó . d/ Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính . III. TÂM VỊ TỰ CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN 1. Định lý : Với hai đường tròn bất kỳ luôn có một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia và ngược lại .Tâm của phép vị tự gọi là tâm vị tự của hai đường tròn 2. Cách tìm tâm vị tự của hai đường tròn . Trường hợp : I trùng với I’ . Khi đó phép vị tự tâm I tỉ số R’/Rvà phép vị tự tâm I tỉ số R’/R biến đường tròn (I;R) thành đường tròn (I;R’) . Trường hợp I I '; R R ' . Trên (O;R) lấy một diểm M bất kỳ , trên (O’;R’) lấy điểm M’ sao cho IM//I’M’ và I’M’’//IM . Hai đường thẳng MM’ và MM’’ cắt đường thẳng nối hai tâm II’ tại hai điểm O và O’ . Khi đó O nằm ngoài II’ gọi là tâm vị tự ngoài , còn O’ nằm trong đoạn II’ gọi là tâm vị tự trong . Trường hợp I khác I’ và R=R’ . Khi đó MM’//II’ nên chỉ có phép vị tự tâm O’ với k=1 . Đó chính là phép đối xứng . IV. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP BÀI TOÁN 1 : TÌM ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA MỘT PHÉP VỊ TỰ Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ ĐT: 02403833608 Trang 19
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH Sử dụng định nghĩa và các tính chất của phép vị tự . Từ định nghía nếu tâm vị tự là I(a;b) , điểm M(x;y) điểm M’(x’;y’) thì ta có : uuuur �x '− a = k ( x − a ) uuur � �x ' = k ( x − a ) + a � � IM ' = k IM � � �� (*) . �y '− b = k ( y − b ) �y ' = k ( y − b ) + b Chính là biểu thức tọa độ của phép vị tự tâm I tỉ số vị tự là k . . Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng d: 3x+2y6=0 . Hãy viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm I(1;2) tỉ số vị tự k=2 ? Giải Gọi M(x;y) thuộc d ,M’(x’;y’) là một điểm bát kỳ thuộc d’ thì theo biểu thức tọa độ của phép vị tự ta có : x '− 1 x '− 3 x= +1 = �x '− 1 = −2 ( x − 1) � −2 −2 � � . y '− 2 = −2 ( y − 2 ) y '− 2 y '− 6 y= +2= � −2 −2 �x '− 3 � �y '− 6 � Thay vào phương trình của đường thẳng d: 3 � �+ 2 � �− 2 = 0 � 3x '+ 2 y '− 9 = 0 � −2 � � −2 � Do vậy d’: 3x+2y9=0 . Ví dụ 2 .( Bài 1.23tr33BTHH11CB) Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: 2x+y4=0 a/ Hãy viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm O tỉ số vị tự k=3 . b/ Hãy viết phương trình đường thẳng d’’ là ảnh của d qua phép vị tự tâm I (1;2) tỉ số vị tự k=2 Giải a/ Từ công thức tọa độ : x' x= �x '− 0 = 3 ( x − 0 ) � 3 �x ' � �y ' � � �� 2 � �+ � �− 4 = 0 � 2 x '+ y '− 12 = 0 y '− 0 = 3 ( y − 0 ) y' �3 � �3 � y= 3 Do đó đường thẳng d’: 2x+y12=0 . b/ Tương tự : x '+ 1 x '+ 3 x= −1 = x '+ 1 = − 2 ( x + 1) −2 � 2 �x '+ 3 �+ �y '− 6 �− 4 = 0 � 2x '+ y '+ 8 = 0 � � −2 � � � � �� . y '− 2 = −2 ( y − 2 ) y '− 2 y '− 6 � −2 � � −2 � y= +2= � −2 −2 Do đó đường thẳng d’’: 2x+y+8=0 . Ví dụ 3. ( Bài 1.24tr33BTHH11CB) Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ ĐT: 02403833608 Trang 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.06: Bộ 240 Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2023

240 tài liệu

1117 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.