Các định lí hình học

Chia sẻ: Phung Tuyet | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

55
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'các định lí hình học', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Các định lí hình học

Các ð nh Lý Hình H c N i Ti ng “Famous Geometry Theorems” – Dr. Kin-Yin LI Khoa Toán, ðH Khoa H c và K Thu t Hong Kong 1. L i gi i thi u Có r t nhi u ñ nh lý hình h c n i ti ng. Chúng ta s cùng nhìn l i các ñ nh lý này và m t vài áp d ng c a chúng. Trư c h t, ta s vi t P = WX ∩ YZ ñ kí hi u P là giao ñi m c a hai ñư ng AB AB th ng WX và YZ . N u các ñi m A, B, C th ng hàng, ta s qui ư c d u = (vì v y n u B BC BC AB AB n m gi a A và C , thì ≥ 0 (ngư c l i ≤ 0 )). BC BC 2. Các ñ nh lý 2.1. ð nh lý Menelaus (Nhà toán h c c Hy L p (th k I sau công nguyên)) Cho tam giác ABC . Các ñi m X , Y , Z l n lư t n m trên các ñư ng th ng AB, BC, CA . Khi ñó AX BY CZ X , Y , Z th ng hàng ⇔ . . = −1 . XB YC ZA Ch ng minh. (⇒) G i L là ñư ng th ng vuông góc v i ñư ng th ng ch a các ñi m X , Y , Z , chúng c t nhau t i O . G i A ', B ', C ' l n lư t là chân các ñư ng vuông góc h t các ñi m A, B, C xu ng ñư ng th ng L . Khi ñó, ta có AX A ' O BY B ' O CZ C ' O = , = , = . XB OB ' YC OC ' ZA OA ' Nhân các ñ ng th c trên theo t ng v , ta nh n ñư c AX BY CZ A 'O B 'O C 'O . . = . . = −1 . XB YC ZA OB ' OC ' OA ' (⇐) G i Z ' = XY ∩ CA . Áp d ng ñ nh lý Menelaus (ph n thu n) cho ñư ng th ng qua các ñi m X , Y , Z ' , ta nh n ñư c AX BY CZ ' . . = −1 . XB YC Z ' A AX BY CZ ' AX BY CZ CZ ' CZ T ñó suy ra . . = . . hay = . Do ñó Z ' ≡ Z . XB YC Z ' A XB YC ZA Z ' A ZA 2.2. ð nh lý Ceva (Nhà toán h c Ý (1647 – 1734)) Cho tam giác ABC . Các ñi m D, E , F l n lư t n m trên các ño n th ng BC, CA, AB . Khi ñó AF BD CE AD, BE , CF ñ ng quy ⇔ . . =1 FB DC EA 1
Ch ng minh. (⇒) Áp d ng ñ nh lý Menelaus cho ñư ng th ng AD (ñ i v i tam giác BCE ), ta có BD CA EP . . = −1 . DC AE PB Ti p t c áp d ng ñ nh lý Menelaus cho ñư ng th ng CF (ñ i v i tam giác ABE ), ta có AF BP EC . . = −1 . FB PE CA Nhân các ñ ng th c trên theo t ng v , ta thu ñư c AF BD CE . . = 1. FB DC EA (⇐) G i P = AD ∩ BE , F ' = CP ∩ AB . S d ng ñ nh lý Ceva (ph n thu n), ta có AF ' BD CE . . =1. F ' B DC EA AF ' BD CE AF ' BD CE AF ' AF ' T ñó suy ra . . = . . hay = . Do ñó F ' ≡ F . F ' B DC EA F ' B DC EA F 'B F 'B 2.3. ð nh lý Pascal (Nhà toán h c Pháp (1623 – 1662)) Cho A, B, C , D, E , F là các ñi m cùng n m trên m t ñư ng tròn (có th không x p theo th t như trên). G i P = AB ∩ DE , Q = BC ∩ EF , R = CD ∩ FA . Khi ñó các ñi m P, Q, R th ng hàng. Ch ng minh. G i X = EF ∩ AB, Y = AB ∩ CD, Z = CD ∩ EF . Áp d ng ñ nh lý Menelaus cho các ñư ng th ng BC , DE , FA (ñ i v i tam giác XYZ ), ta có ZQ XB YC XP YD ZE YR ZF XA . . = −1, . . = −1, . . = −1 . QX BY CZ PY DZ EX RZ FX AY Nhân các ñ ng th c trên, chú ý r ng XA. XB = XE. XF , YC.YD = YAYB, ZE.ZF = ZC.ZD , ñư c . ZQ XP YR . . = −1 . QX PY RZ Theo ñ nh lý Menelaus, ta nh n ñư c các ñi m P, Q, R th ng hàng. 2.4. ð nh lý Newton (Nhà toán h c Anh (1642 – 1727)) M t ñư ng tròn n i ti p t giác ABCD , l n lư t ti p xúc v i các c nh AB, BC , CD, DA t i các ñi m E , F , G , H . Khi ñó, các ñư ng th ng AC , EG , BD, FH ñ ng quy. 2
Ch ng minh. G i O = EG ∩ FH và X = EH ∩ FG . Vì D là giao ñi m c a các ti p tuy n v i ñư ng tròn t i G , H , s d ng ñ nh lý Pascal cho các ñi m E , G , G, F , H , H ta suy ra các ñi m O, D, X th ng hàng. Tương t , s d ng ñ nh lý Pascal cho các ñi m E , E , H , F , F , G ta suy ra các ñi m B, X , O th ng hàng. Do ñó, B, O, D th ng hàng, vì th các ñư ng th ng EG , BD, FH c t nhau t i O . Ch ng minh tương t , ta cũng nh n ñư c các ñư ng th ng AC , EG , FH c t nhau t i O . Do ñó, các ñư ng th ng AC , EG , BD, FH ñ ng quy t i O . 2.5. ð nh lý Desargues (Nhà toán h c Pháp (1593 – 1662)) Cho hai tam giác ABC , A ' B ' C ' . N u các ñư ng th ng AA ', BB ', CC ' ñ ng quy t i ñi m O , thì các ñi m P, Q, R th ng hàng, trong ñó P = BC ∩ B ' C ', Q = CA ∩ C ' A ', R = AB ∩ A ' B ' . Ch ng minh. Áp d ng ñ nh lý Menelaus l n lư t cho các ñư ng th ng A ' B ' ñ i v i tam giác OAB ; ñư ng th ng B ' C ' ñ i v i tam giác OBC , ñư ng th ng C ' A ' ñ i v i tam giác OCA , ta có OA ' AR BB ' OB ' BP CC ' AA ' OC ' CQ . . = −1, . . = −1, . . = −1 . A ' A RB B ' O B ' B PC C ' O A ' O C ' C QA Nhân các ñ ng th c trên theo t ng v , ta thu ñư c AR BP CQ . . = −1 . RB PC QA Theo ñ nh lý Menelaus, ta suy ra các ñi m P, Q, R th ng hàng. 2.6. ð nh lý Brianchon (?) Các ñư ng th ng AB, BC , CD, DE , EF , FA ti p xúc v i m t ñư ng tròn l n lư t t i các ti p ñi m G , H , I , J , K , L (có th không x p theo th t như này). Khi ñó, các ñư ng th ng AD, BE và CF ñ ng quy. Ch ng minh. G i M = AB ∩ CD, N = DE ∩ FA . Áp d ng ñ nh lý Newton cho t giác AMDN , suy ra các ñư ng th ng AD, IL, GJ ñ ng quy t i ñi m A ' . Tương t , các ñư ng th ng BE , HK , GJ ñ ng quy t i ñi m B ' ; các ñư ng th ng CF , HK , IL ñ ng quy t i ñi m C ' . Chú ý r ng IL ≡ A ' C ' . Áp d ng ñ nh lý Pascal cho các ñi m G , G , I , L, L, H , suy ra các ñi m A, O, P th ng hàng, trong ñó O = GI ∩ LH , P = IL ∩ HG . Ti p t c áp d ng ñ nh lý Pascal cho các ñi m H , H , L, I , I , G , suy ra C , O, P th ng hàng. Do ñó A, C , P th ng hàng. Bây gi ta ñ t G = AB ∩ A ' B ', H = BC ∩ B ' C ', P = CA ∩ IL = CA ∩ C ' A ' . Áp d ng ñ nh lý Desargues (ph n ñ o) cho các tam giác ABC, A ' B ' C ' , suy ra các ñư ng th ng AA' ≡ AD, BB' ≡ BE, CC ' ≡ CF ñ ng quy. Lưu ý r ng, ph n ñ o c a ñ nh lý Brianchon cũng ñúng. Th t v y, g i O = BB '∩ CC ' . Xét 3
các tam giác RBB ', QCC ' . Vì các ñư ng th ng RQ, BC , B ' C ' c t nhau t i P , và A = RB ∩ QC , O = BB '∩ CC ' , A ' = BR '∩ C ' Q , s d ng ñ nh lý Desargues (ph n thu n), ta có A, O, A ' th ng hàng. Do ñó, các ñư ng th ng AA ', BB ', CC ' ñ ng quy. 3. M t s bài toán áp d ng Bài toán 1. Trong tam giác ABC , M là chân ñư ng vuông góc h t A xu ng ñư ng phân giác trong c a góc ∠BCA . N , L l n lư t là chân các ñư ng vuông góc h t các ñ nh A, C xu ng ñư ng phân giác trong c a góc ∠ABC . G i F là giao ñi m c a các ñư ng th ng MN và AC , E là giao ñi m c a các ñư ng th ng BF và CL , D là giao ñi m c a các ñư ng th ng BL và AC . Ch ng minh r ng DE và MN song song v i nhau. L i gi i. Kéo dài AM c t BC t i G, kéo dài AN c t BC t i I . Khi ñó AM = MG, AN = NI , suy ra MN và BC song song v i nhau. Vì AM = MG nên ta có AF = FC . Kéo dài CL c t AB t i J . Khi ñó JL = LC , suy ra LF và AB song song v i nhau. G i H = LF ∩ BC . Ta có BH = HC . Trong tam giác BLC , các ño n th ng BE , LH , CD c t nhau t i F . S d ng ñ nh lý Ceva, ta nh n ñư c BH CE LD . . = 1. HC EL DB CE DB Vì BH = HC nên = . T ñó suy ra DE và BC song song v i nhau. Do ñó, DE và EL LD MN song song v i nhau. Bài toán 2. (Macedonia 2001) Cho tam giác ABC n i ti p trong m t ñư ng tròn. G i D là giao ñi m c a ti p tuy n t i A v i ñư ng th ng BC , E là giao ñi m c a ti p tuy n t i B v i ñư ng th ng CA , F là giao ñi m c a ti p tuy n t i C v i ñư ng th ng AB . Ch ng minh r ng các ñi m D, E , F th ng hàng. L i gi i. Áp d ng ñ nh lý Pascal cho các ñi m A, A, B, B, C , C cùng n m trên ñư ng tròn, d th y ñư c các ñi m D, E , F th ng hàng. Bài toán 3. Cho tam giác ABC n i ti p trong m t ñư ng tròn. D, E l n lư t là các ñi m gi a c a các cung AB, AC . G i P là m t ñi m thu c cung BC , Q = DP ∩ BA, R = PE ∩ AC . Ch ng minh r ng ñư ng th ng QR ch a tâm I ñư ng tròn n i ti p c a tam giác ABC . L i gi i. 4
Vì D là ñi m gi a c a cung AB nên ñư ng th ng CD chia ñôi góc ∠ACB . Tương t , ñư ng th ng EB chia ñôi góc ∠ABC . Do ñó I = CD ∩ EB . Áp d ng ñ nh lý Pascal cho các ñi m C , D , P, E , B, A , ta nh n ñư c các ñi m I , Q, R th ng hàng. Bài toán 4. (Australia 2001) Cho A, B, C , A ', B ', C ' là các ñi m n m trên m t ñư ng tròn sao cho AA ' vuông góc BC , BB ' vuông góc CA , CC ' vuông góc AB . M t ñi m D n m trên ñư ng tròn. G i DA '∩ BC = A '', DB '∩ CA = B '', DC '∩ AB = C '' . Ch ng minh r ng A '', B '', C '' và tr c tâm c a tam giác ABC th ng hàng. L i gi i. G i H là tr c tâm c a tam giác ABC . Áp d ng ñ nh lý Pascal cho các ñi m A, A ', D, C ', C , B , ta suy ra H , A '', C '' th ng hàng. Tương t , áp d ng ñ nh lý Pascal cho các ñi m B ', D, C ', C , A, B , ta cũng nh n ñư c B '', C '', H th ng hàng. T ñó suy ra A '', B '', C '', H th ng hàng. Bài toán 5. (IMO 1991 unused) Cho tam giác ABC và P là m t ñi m trong tam giác. G i P , P2 l n lư t là chân các ñư ng vuông góc h t P xu ng các c nh AC , BC . N i AP, BP ; t C 1 k các ñư ng vuông góc xu ng AP, BP . G i Q1 , Q2 là chân các ñư ng vuông góc này. Gi s r ng Q2 ≠ P , Q1 ≠ P2 . Ch ng minh r ng các ñư ng th ng PQ2 , Q1P2 , AB ñ ng quy. (kí hi u ≠ ch 1 1 các ñư ng th ng không trùng nhau) L i gi i. Vì ∠CP P, ∠CP2 P, ∠CQ2 P, ∠CQ1P ñ u là các góc vuông nên các ñi m C , Q1 , P , P, P2 , Q2 cùng 1 1 n m trên m t ñư ng tròn có ñư ng kính là CP . Chú ý r ng A = CP ∩ PQ1 , B = Q2 P ∩ P2C . Áp 1 d ng ñ nh lý Pascal cho các ñi m C , P , Q2 , P, Q1 , P2 ta nh n ñư c X = PQ2 ∩ Q1P2 thu c ñư ng 1 1 th ng AB . Bài toán 6. (China 2005) M t ñư ng tròn c t ba c nh BC , CA, AB c a tam giác ABC t i các ñi m D1 , D2 ; E1 , E2 ; F1 , F2 . Các ño n D1E1, D2 F2 c t nhau t i L , các ño n E1F1 , E2 D2 c t nhau t i M , các ño n F1D1, F2 E2 c t nhau t i N . Ch ng minh r ng các ñư ng th ng AL, BM,CN ñ ng quy. L i gi i. 5
G i P = D1F1 ∩ D2 E2 , Q = E1D1 ∩ E2 F2 , R = F1E1 ∩ F2 D2 . • Áp d ng ñ nh lý Pascal cho các ñi m E2 , E1 , D1 , F1 , F2 , D2 , ta nh n ñư c A, L, P th ng hàng. • Áp d ng ñ nh lý Pascal cho các ñi m F2 , F1 , E1 , D1 , D2 , E2 , ta nh n ñư c B, M , Q th ng hàng. • Áp d ng ñ nh lý Pascal cho các ñi m D2 , D1 , F1 , E1 , E2 , F2 , ta nh n ñư c C , N , R th ng hàng. G i X = E2 E1 ∩ D1F2 = CA ∩ D1F2 ,Y = F2 F1 ∩ E1D2 = AB ∩ E1D2 , Z = D2 D1 ∩ F1E2 = BC ∩ F1E2 . • Áp d ng ñ nh lý Pascal cho các ñi m D1 , F1 , E1 , E2 , D2 , F2 , ta nh n ñư c P, R, X th ng hàng. • Áp d ng ñ nh lý Pascal cho các ñi m E1 , D1 , F1 , F2 , E2 , D2 , ta nh n ñư c Q, P, Y th ng hàng. • Áp d ng ñ nh lý Pascal cho các ñi m F1 , E1 , D1 , D2 , F2 , E2 , ta nh n ñư c R, Q, Z th ng hàng. Xét hai tam giác ABC , PQR , ta có X = CA ∩ RP, Y = AB ∩ PQ, Z = BC ∩ QR . Áp d ng ñ nh lý Desargues (ph n ñ o), ta có AP ≡ AL, BQ ≡ BM , CR ≡ CN là các ñư ng th ng ñ ng quy. 4. M t s bài toán t luy n Bài 1. Cho tam giác ABC .G i E là chân ñư ng vuông góc h t B xu ng AC , D là chân ñư ng vuông góc h t E xu ng BC , F là trung ñi m c a AB . Ch ng minh r ng AD, BE , CF ñ ng quy khi và ch khi ∠ABC = 900 Bài 2. Cho P là m t ñi m n m trong t giác l i ABCD . Các ñư ng phân giác trong c a các góc ∠APB, ∠BPC, ∠CPD, ∠DPA l n lư t c t các ñư ng th ng AB, BC, CD, DA t i các ñi m K , L, M , N . Ch ng minh r ng n u KLMN là hình bình hành thì PB = PD, PA = PC . Bài 3. Cho tam giác ABC vuông t i C . V phía ngoài c a tam giác ABC , ta l n lư t d ng các hình vuông ACMQ, BCNP . Ch ng minh r ng các ñư ng th ng AP, BQ ñ ng quy v i ñư ng cao CH c a tam giác ABC . Bài 4. Cho M là m t ñi m n m trên ñư ng tròn n i ti p tam giác ABC , và R là m t ñi m b t kỳ. Các ñư ng th ng AR, BR, CR l n lư t c t ñư ng tròn n i ti p t i các ñi m A1 , B1 , C1 . Ch ng minh r ng giao ñi m c a các c p ñư ng th ng MA1 , BC ; MB1 , CA; MC1 , AB th ng hàng và ñư ng th ng này cũng ch a ñi m R . Bài 5. Các ñi m A1 ,..., A6 cùng n m trên m t ñư ng tròn; các ñi m L, L, M , N l n lư t thu c các ñư ng th ng A1 A2 , A3 A4 , A1 A6 , A4 A5 sao cho KL A2 A3 , LM A3 A6 , MN A6 A5 . Ch ng minh r ng NK A5 A2 . Tài li u tham kh o [1]. Kiran S. Kadlaya, “Geometry unbound”, 2006 [2]. Kin Y. LI, “Famous Geometry Theorems”, Mathematical Excalibur, Vol.10, No.3, 2005 [3]. Nguy n Văn Ban, Hoàng Chúng “Hình H c C a Tam Giác”, NXB Giáo D c, 1996 [4]. Paul Yiu, “Euclidean Geometry”, 1998 [5]. Viktor Prasolov, “Problems in Plane and Solid Geometry”, 2001 Ngư i d ch: Cao Minh Quang GV THPT chuyên Nguy n B nh Khiêm, Vĩnh Long, Vi t Nam E-mail: kt13quang@yahoo.com 6