Chương 1: Một số vấn đề về đa thức và hàm số

Chia sẻ: Đinh Trường Gấu | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

98
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Ngoài nhiệm vụ chính của phương pháp tính là tìm các phương pháp giải gần đúng các bài toán, nó còn có nhiệm vụ khác như nghiên cứu tính chất nghiệm, nghiên cứu bài toán cực trị, xấp xỉ hàm v.v. Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu một loạt bài toán thường gặp trong thực tế và đưa ra chương trình giải chúng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 1: Một số vấn đề về đa thức và hàm số

CHƯƠ NG 1: MỘT SỐ VẤ N Đ Ề VỀ ĐA THỨC VÀ HÀM SỐ §1. KHÁI NIỆ M CHUNG 1. Khái niệ m về ph ương pháp tính : Phươ ng pháp tính là môn học về nhữ ng lí luậ n cơ bản và các ph ươ ng pháp giải gầ n đúng, cho ra kết qu ả bằng số của các bài toán thườ ng gặ p trong toán học cũng nh ư trong kĩ thu ậ t. Chúng ta th ấ y rằng h ầ u h ết các bài toán trong toán học nh ư giải các phươ ng trình đại số hay siêu việt, các hệ ph ươ ng trình tuy ế n tính hay phi tuy ế n, các phươ ng trình vi phân thườ ng hay đ ạ o hàm riêng,tính các tích phân,... thườ ng khó giải đúng đ ượ c, nghĩa là khó tìm kết qu ả dướ i dạ ng các biể u thức. Một số bài toán có thể giải đúng đượ c nh ư ng biể u thức kết qu ả lại cồng k ềnh, ph ứ c tạ p kh ối lượng tính toán rấ t lớn. Vì nh ữ ng lí do trên, việc giải gần đúng các bài toán là vô cùng cần thiế t. Các bài toán trong kĩ thu ậ t th ườ ng d ựa trên số liệ u thực nghi ệ m và các giả thiế t gần đúng. Do vậy việc tìm ra kết qu ả gần đúng với sai số cho phép là hoàn toàn có ý nghĩa thực tế. Từ lâu ngườ i ta đã nghiên cứu ph ươ ng pháp tính và đạ t nhiề u kết quả đáng kể. Tuy nhiên để lời giải đạ t đ ượ c độ chính xác cao, khối lượng tính toán thườ ng rấ t lớn. Với các ph ươ ng tiện tính toán thô sơ, nhiề u ph ươ ng pháp tính đã đượ c đề xuấ t không thể thực hiện đ ượ c vì khố i lượng tính toán quá lớn. Khó khăn trên đã làm phươ ng pháp tính không phát triể n đượ c. Ngày nay nh ờ máy tính điệ n tử ngườ i ta đã giải rất nhanh các bài toán khổ ng lồ, ph ứ c tạ p, đã kiể m nghi ệ m đ ượ c các ph ươ ng pháp tính cũ và đề ra các phươ ng pháp tính mới. Ph ươ ng pháp tính nh ờ đó phát triể n rất mạ nh mẽ. Nó là cầ u nối giữa toán học và thực tiễn. Nó là môn học không thể thiế u đố i với các kĩ sư. Ngoài nhiệ m vụ chính của ph ươ ng pháp tính là tìm các ph ươ ng pháp giải gầ n đúng các bài toán,nó còn có nhiệ m vụ khác nh ư nghiên cứu tính chất nghi ệ m, nghiên cứu bài toán cực trị, xấp xỉ hàm v.v. Trong ph ầ n này chúng ta sẽ nghiên cứu mộ t loạt bài toán thườ ng gặ p trong th ực tế và đư a ra chươ ng trình giải chúng. 2. Các đặc điể m của phươ ng pháp tính : Đặc điể m về ph ươ ng pháp của môn học này là hữ u hạ n hoá và rời rạc hoá. Phươ ng pháp tính thườ ng biến cái vô hạ n thành cái hữ u hạ n, cái liên tục thành cái rời rạc và sau cùng lại trở về với cái vô hạ n, cái liên tục. Nh ư ng cần chú ý rằ ng quá trình trở lại cái vô hạ n, cái liên tục ph ải trả giá đắ t vì khố i lượng tính toán tăng lên rấ t nhiề u. Cho nên trong th ực tế ng ười ta d ừng lại khi nghi ệm g ần đúng sát với nghiệ m đúng ở mộ t mức độ nào đó. Đặc điể m thứ hai của môn học là sự tiến đế n kết quả bằng quá trình liên tiế p. Đó là quá trình chia ngày càng nhỏ hơ n, càng dày đặ c hơ n hoặc quá trình tính toán bước sau d ựa vào các kết quả của các bước trướ c. Công việc tính toán lặ p đi lặ p lại này rất thích hợ p với máy điệ n toán. Khi nghiên cứu ph ươ ng pháp tính ngườ i ta th ườ ng triệt để lợi dụ ng các kế t quả đạ t đ ượ c trong toán học. Cùng mộ t bài toán có thể có nhiề u ph ươ ng pháp tính khác nhau. Một ph ươ ng pháp tính đ ượ c coi là tố t nế u nó đạ t các yêu cầ u sau: ph ươ ng pháp tính đ ượ c biể u diễ n bằng m ột dãy hữ u hạ n các bước tính cụ thể. Các bước tính toán cụ thể này của ph ươ ng pháp tính đượ c gọi là thuậ t toán. Thuậ t toán càng đơ n giản càng tốt. đánh giá đượ c sai số và sai số càng nhỏ càng tốt. thu ậ t toán thực hiệ n đ ượ c trên máy điệ n toán và thời gian chạy máy ít nhấ t 1
3. Các loại sai số: Trong việc thi ết lập và giải các bài toán thực tế ta th ườ ng gặ p các loại sai số. Giả sử ta xét bài toán A nào đó. Nghiên cứu các quy luậ t liên hệ giữa các đạ i lượng trong bài toán đẫ n đế n ph ươ ng trình có dạ ng tổ ng quát : y = Bx Trong đó : x đại lượng đã biết y đại lượng chưa biết B quy luật biến đổi từ x sang y Bài toán thực tế th ườ ng rất ph ức tạp. Để đơ n giả n và có thể diễ n đạ t nó bằ ng toán học, ng ườ i ta đư a ra mộ t số giả thiết không hoàn toàn chính xác để nhậ n đượ c ph ươ ng trình trên. Vì vậy nế u gọi y 1 là giá trị đúng của y thì khi đó y y 1. Giá trị | y y 1| đượ c gọi là sai số giả thiết của bài toán. Do x là số liệu ban đ ầ u của bài toán,thu đượ c từ đo lường,thí nghiệ m nên nó chỉ là giá trị gần đúng. Sai số này đ ượ c gọi là sai số của các số liệu ban đầu . Để giải gần đúng ph ươ ng trình trên ta thườ ng thay B bằng C hay x b ằng t để ph ươ ng trình đ ơ n giản hơ n và có thể giải đượ c. Bằng cách đó ta tìm đượ c y 2 gần đúng với y. Giá trị | y 2 y | đượ c gọi là sai số phương pháp của bài toán. Cuối cùng khi thực hiện các phép tính ta thườ ng thu gọn các kết qu ả trung gian hay kết quả cuối cùng nên đáp số của bài toán là y 3. Giá trị | y 3y | là sai số tính toán. Trong ph ầ n này chúng ta quan tâm tới sai số ph ươ ng pháp. 4. Xấp xỉ và hội tụ: Xét bài toán y = Bx Giả sử y là nghi ệ m đúng của bài toán mà ta chưa biết. Bằng ph ươ ng pháp nào đó ta lấy y 1 thay cho y và khi đó y 1 gọi là xấ p xỉ thứ nh ấ t của nghiệ m và viế t : y 1 y Cũng bằng ph ươ ng pháp tươ ng tự, ta xây dự ng đượ c mộ t dãy các xấ p xỉ y 1,y 2,y 3,..y n . Nế u ta có : lim y n y n thì ta nói dãy xấ p xỉ hội tụ tới nghi ệ m y. §2. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA ĐA THỨC 1. Sơ đồ Horner: Giả sử chúng ta cần tìm giá trị của mộ t đa thức tổng quát dạ ng: P(x) = a 0xn + a 1xn 1 + a 2xn 2 +....+ a n (1) tại mộ t trị số x nào đó. Trong (1) các hệ số a i là các số thực đã cho. Chúng ta viết lại (1) theo thu ậ t toán Horner d ướ i d ạ ng: P(x o) = (...((a 0x + a 1)x+ a 2x)+...+ a n 1 )x + a n (2) Từ (2) ta nh ậ n th ấ y : P 0 = a 0 P 1 = P 0x + a 1 P 2 = P 1x + a 2 P 3 = P 2x + a 3 .................. P(x) = P n = P n1x + a n Tổng quát ta có : P k = P k1x + a k với k = 1, 2...n ; P 0 = a 0 Do chúng ta chỉ quan tâm đế n trị số của P n nên trong các công thức truy h ồi v ề sau chúng ta sẽ bỏ qua ch ỉ số k của P và viết gọn P := Px + a k với k = 0...n.Khi ta tính tới k = n thì P chính là giá trị cần tìm của đa thức khi đã cho x. Chúng ta thử các bước tính nh ư sau : Ban đầ u P = 0 2
Bước 0 k = 0 P = a o Bước 1 k = 1 P = a ox + a 1 Bước 2 k = 2 P = (a ox + a 1)x + a 2 ................................. Bước n1 k = n 1 P = P(x o) = (...((a ox + a 1)x+a 2x)+...+a n1)x Bước n k = n P = P(x o) = (...((a ox + a 1)x+a 2x)+...+a n1)x + a n Sau đây là chươ ng trình thực hiên thu ậ t toán trên Chương trình 11 #include #include #define m 10 void main(void) { int k,n; float p,x; float a[m]; clrscr(); printf("\nCho bac cua da thuc n = "); scanf("\%d",&n); printf("Vao cac he so a:\n"); for (k=1;k
So sánh (2) và (3) ta có : P (x0 ) P (x 0 ) ( x x 0 )Pn 1 ( x 0 ) Pn ( x 0 ) Pn ( x 0 ) (x x0 ) ( x x 0 )2 1! 2! P ( n ) (x 0 ) ( x x 0 )n 2! hay : P (x0 ) P (x 0 ) P (n ) (x0 ) ( x x 0 )Pn 1 ( x ) (x x0 ) ( x x 0 )2 ( x x 0 )n 1! 2! 2! và khi chia hai vế cho (x x 0) ta nhậ n đ ượ c : P (x 0 ) P (x 0 ) P ( n ) (x 0 ) Pn 1 ( x) (x x0 ) ( x x 0 )n 1 (5) 1! 2! 2! So sánh (4) và (5) ta nhậ n đượ c kết qu ả : P (x 0 ) Pn 1 ( x 0 ) 1! Trong đó Pn 1(x) lại có thể phân tích giống nh ư P n (x) d ạ ng (3) để tìm ra P n1(xo). Quá trình này đượ c tiế p tục cho đế n khi ta tìm hế t các hệ số của chuỗ i Taylor của P n (x) Tổng quát thu ậ t toán thể hiệ n ở bảng sau: P n (x) a o a1 a2 a3 ... a n1 an x = xo 0 b oxo b 1xo b 2xo b n2xo b n1xo P+ 1(x) b o b1 b2 b3 ... b n1 b n = P n (xo) Để hiể u rõ hơ n chúng ta lấy mộ t ví dụ cụ thể sau: Khai triển đa thứ c sau tại x0 = 2 P(x) = x5 2x4 + x3 5x + 4 Ta lậ p bảng tính sau : 2 1 2 1 0 5 4 0 2 0 2 4 2 2 1 0 1 2 1 2 = P(2)/0! 0 2 4 10 24 2 1 2 5 12 23 = P'(2)/1! 0 2 8 26 2 1 4 13 38 = P"(2)/2! 0 2 12 2 1 6 25 = P"'(2)/3! 0 2 2 1 8 = P""(2)/4! 0 1 = P""'(2)/4! Nh ư vậy : P n (x) = (x 2)5 + 8(x 2)4 + 25(x 2)3 + 38(x 2)2 + 23(x 2) + 2 Chươ ng trình sau dùng để xác đị nh các hệ số của chuỗi Taylor của đa thứ c P(x) tại x0 = 2. Chương trình 12 #include #include 4
#define m 10 void main(void) { float a[m],b[m],c[m]; int n,i,j,k; float x; clrscr(); printf("Cho bac cua da thuc n = "); scanf("%d",&n); printf("Cho gia tri x = "); scanf("%f",&x); printf("Vao cac he so a\n"); for (k=n;k>=0;k) { printf("a[%d] = ",nk); scanf("%f",&a[k]); } printf("\n"); b[n] = a[n]; c[n] = a[n]; for (k=0;k=k;i) b[i] = b[i+1]*x + a[i]; c[k] = b[k]; for (j=n;j>=k+1;j) a[j] = b[j]; } printf("\nSo do Horner tong quat"); printf("\nKhai trien tai x = %.4f\n",x); for (k=n;k>=0;k) printf("%10.4f\t",c[k]); getch(); } §3. CÁC PHÉP TÍNH TRÊN ĐA THỨC 1. Phép cộng hai đa thức : Giả sử chúng ta có hai đa thức A(x) bậc n và B(x) bậc m với n > m. Khi cộng hai đa thức này, chúng ta cộng lần lượt các hệ số cùng bậc của chúng với nhau. Ta có chươ ng trình sau : Chương trình 13 #include #include #define t 10 void main(void) { int k,n,m; float a[t],b[t],c[t]; 5
clrscr(); printf("Cho bac cua da thuc A n = "); scanf("%d",&n); printf("Vao cac he so a\n"); for (k=1;k
Chương trình 14 #include #include #define t 10 void main() { int k,n,m,l,i,j,p; float a[t],b[t],c[2*t]; clrscr(); printf("Cho bac cua da thuc A n = "); scanf("%d",&n); printf("Vao cac he so a\n"); for (k=1;k
3. Chia hai đa thức: Giả sử ta có hai đa thức là A n (x) và Bm (x) với n m. Thươ ng hai đa thức này là : A n (x) R m 1 ( x) Qn m (x) Bm ( x) Bm ( x ) Chươ ng trình sau th ực hiện việc chia 2 đa thức : Chương trình 15 #include #include #include #define t 10 void main() { int k,n,m,l,i,j,jp; float a[t],b[t],q[t],r[t],epsi; clrscr(); printf("Cho bac cua da thuc A n = "); scanf("%d",&n); printf("Vao cac he so a\n"); for (k=1;k
j=j1; } while ((abs(r[i])0)) { for (i=1;i