Lượng giác: Chương 4 (Tối ưu)

Chương VI: LƯỢNG GIÁC BÀI 1: CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC

I. Khái niệm cung và góc lượng giác: 1. Đường tròn định hướng và cung lượng giác:

Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó đã chọn một chiều di động gọi là chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm.Ta qui ước chọn chiều ngược chiều kim đồng hồ làm chiều dương

Trên đường tròn định hướng cho hai điểm A, B. Điểm M di động trên đường tròn theo một chiều (âm hoặc dương) từ A đến B tạo thành một cung đgl cung lượng giác

Kí hiệu : AB chỉ cung lượng giác có điểm đầu A điểm cuối B

Với 2 điểm A, B có vô số cung lượng giác.

2. Góc lượng giác:

Trên đường tròn định hướng cho cung lượng giác CD điểm M di động trên đường tròn từ C đến D. Tia OM quay xung quanh gốc O từ vị trí OC đến OD. Khi đó tia OM tạo ra một góc lượng giác có tia đầu là OC tia cuối là OD. Kí hiệu: (OC,OD)

3-Đường tròn lượng giác : Đường tròn lượng giác: là đường tròn định hướng tâm O bán kính R=1và cắt Ox tại A(1;

0) A’(-1; 0); cắt Oy tại B(0; 1) B’(0; -1). II. Số đo của cung và góc LG: 1. Độ và radian Trên đường tròn tùy ý cung có độ dài bằng bán kính được gọi là cung có số đo 1 rad

1800 = rad

10 = rad và rad=( )0

với 3,14; 10 0,01745rad Chú ý: Khi viết số đo của một góc (hay cung) theo đơn vị radian, ta thường không viết chữ

rad sau số đó. Ví dụ: ;

*Bảng chuyển đổi thông dụng:

Độ 300 450 600 900 1800 3600

Page 1 Vuihoc24h – Kênh học tập Online

rad 2

*Độ dài của một cung lượng giác Độ dài cung có số đo rad của đường trịn bán kính R là : l = R

§ 2 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG

M (x;y)

I. Các giá trị lượng giác của cung  1) Định nghĩa : Trên đường tròn lượng giác cho cung AM có sđ AM =  . Khi đó :  + Khi đó tung độ y= của điểm M gọi là sin của  H kí hiệu là sin  sin = y .

+ Khi đó hoảnh độ x= của điểm M gọi là côsin của 

kí hiệu là cos  cos = x .

+ Nếu cos   0, tỉ số gọi là tang của 

kí hiệu tan (hoặc tg ) tan=

+ Nếu sin   0, tỉ số gọi là côtang của 

kí hiệu cot (hoặc cotg ) cot = .

1800 thì các giá trị lượng giác của  cũng chính là các tỉ số lượng giác của góc 

Các giá trị sin , cos, tan , cot được gọi là các giá trị lượng giác của cung . Trục tung còn gọi là trục sin, trục hoành còn gọi là trục cosin.

* Chú ý : - Các định nghĩa trên cũng áp dụng cho các góc lượng giác. - Nếu 00  trong SGK HH10. 2) Các hệ quả :

sin( + k2) = sin cos( + k2) = cos 1 sin  ,cos  1

a) sin và cos đều được xác định  R. Ta có: b)  m  R, 1≤m≤ 1 đều tồn tại  và  sao cho sin = m và sin =m

c) tan xác định khi   + k  , k  Z.

cot  xác định khi   k  , k  Z. c) Dấu của các giá trị lượng giác

I II III IV

Góc phần tư Góc lượng giác sin cos tan cot + + + +   + + +     +  

Page 2 Vuihoc24h – Kênh học tập Online

3) Bảng giá trị lượng giác của một số cung hay góc đặc biệt :

0(00) /6(300) /4(450) /3(600) /2(900) Góc Giá trị lượng giác

Sin 0 1/2 1 /2

Cos 1 /2 1/2 0 /2 /2

Tg 0 1 || /3

Cotg || 1 0 /3

|| : không xác định

II) Ý nghĩa hình học của tan  và cot 

+ tan được biễu diễn bởi độ dài đại số của véctơ + cot được biểu diễn bởi độ dài đại số của véctơ trên trục t’At,trục này gọi là trục tang. trên trục s’Bs,trục này gọi là trục cotang.

Từ ý nghĩa hình học của tan  và cot ta có : tan(+k  ) = tan cot(+k  ) = cot ( k  Z ).

III. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác 1/ Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản

Với mọi k  Z ta có : sin2 + cos2 = 1

Ví dụ 1 : Cho sin  = 3/5 với 0<  </2. Tính cos  ? Ví dụ 2 : Cho tg  =2/3 với 3 /2 <<2 . Tính sin  và cos  ? Ví dụ 3 : Cho   /2+k  , k  Z . Chứng minh rằng :

Ví dụ 4 : Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào 

A =

Page 3 Vuihoc24h – Kênh học tập Online

2) Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt a) Cung đối nhau :  và   sin() = sin  cos() =  cos  tan() = tan  cot() = cot  . b) Cung bù nhau :  và 

sin() = sin cos() = cos tan()= tan cot()= cot  .

c) Cung hơn kém nhau  :  và  + 

sin(+) = sin cos(+) = cos tan(+) = tan cot(+) =cot  .

d) Cung phụ nhau :  và  

sin(/2) = cos cos(/2)= sin tan(/2) = cot cot(/2) = tan

e) Cung hơn kém nhau /2 :  và + (Xem)

sin(/2+) = cos  cos(/2+) = sin  tan(/2+) = cot  cot(/2+)= tan  . Ví dụ : Tính a) cos(11/4) = cos (11/4) = cos(3/4 + 2) = cos3/4=cos(/4)=cos(/4). b) tg(21/4)=tg(/4+5)=tg /4 = 1. sin(10500)=sin(3003.3600) =sin300 = ½ .

2. Số đo của cung lượng giác: VD: Xem hình 44 Kết luận: số đo của một cung lượng giác AM (A ≠M) là một số thực dương hay âm. Kí hiệu: số đo của cung AM là: sđAM.

Ghi nhớ:Số đo của các cung lượng giác có cùng điểm đầu và điểm cuối sai khác nhau một bội của . Và viết là:

sđAM = , (k Z)

Trong đó  là số đo của một cung lượng giác tuỳ ý có điểm đầu là A và điểm cuối là M.

, (k Z) M A  sđAA = k = 0  sđAA = 0 * Ta cũng có công thức tổng quát của số đo bằng độ của các cung lượng giác AM là:

SđAM = a0 + k3600, (k Z)

3. Số đo một góc lượng giác:

Page 4 Vuihoc24h – Kênh học tập Online

Số đo của góc lượng giác (OA,OC) là số đo của cung lượng giác AC tương ứng . Chú ý: Từ nay về sau khi nói về cung thì điều đó cũng đúng cho góc và ngược lại.

4.Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác:

Để biểu diễn một cung lượng giác có số đo  trên đường tròn lượng giác ta lấy điểm A

làm điểm gốc ,điểm cuối M được xác định theo hệ thức sau : sđ AM =  . Hệ thức này xác định một và chỉ một điểm M trên đường tròn lượng giác.

Ví dụ 1: Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung lượng giác có số đo là ; -7650

Giải: SGK tr139

Ví dụ 2: Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung sau

a) ; b) 4050

Giải a) 11/2 = -/2 + 6. Điểm ngọn M của cung 11/2 được xác định bởi hệ thức :

sđ AM = -/2 + 6 hay sđ AM = -/2 . Vậy M là điểm B’(0;-1). b) Ta có 4050 = 450 + 3600. Điểm ngọn N của cung 4050 được xác định bởi hệ thức: sđAN = 450 + 3600 hay sđ AN = 450.

Vậy N là trung điểm của cung hình học nhỏ AB.

Ví dụ 2 : Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung có số đo  = /2 + k , kZ.

Giải

kZ nên k có thể là số chẵn hoặc là số lẻ :

+ Nếu k chẵn thì k = 2n, nZ. Khi đó  = /2 + n2 , nZ.

Vậy điểm ngọn của  là B(0;1).

+ Nếu k lẻ thì k = 2n - 1, nZ. Khi đó  = /2 + (2n-1) = -/2 + n2 , nZ.

Vậy điểm ngọn của  là B’(0;-1).

§ 3 CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC

I) Công thức cộng

Với mọi số thực a , b ta có : cos(a  b) = cosa.cosb + sina.sinb cos(a + b) = cosa.cosb  sina.sinb sin(a  b) = sina.cosb  cosa.sinb sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb

(a  /2 + k ;b  /2 + k ;a+b  /2 + k  ;ab  /2 + k  ) Ví dụ1 : Tính

a) cos b) sin750 c) tg

Ví dụ 2 : Chứng minh rằng

Page 5 Vuihoc24h – Kênh học tập Online

Áp dụng tính A =  tg150 = ?

II) Công thức nhân 1) Công thức nhân đôi sin2a = 2sina.cosa cos2a = cos2a  sin2a

= 2cos2a  1 = 1  2sin2a

tg2a = ( a  /2 + k  , a  /4 + k /2 )

* Công thức nhân ba

sin3a = 3sina  4sin3a cos3a = 4cos3a  3cosa

tg3a =

Ví dụ :

a) Chứng minh rằng .

b) Chứng minh rằng

2) Công thức hạ bậc

( a  /2 + k  )

Ví dụ : Tính a ) cos /8 b)sin /8 c) tg /8

Giả sử a   + k  ,đặt t = tg ,ta có :

3) Công thức tính sina, cosa, tga theo t = tg (không học)

Ví dụ1 : Biết tg = , tính

III) Công thức biến đổi tích thành tổng

cosa.cosb = [cos(a+b) + cos(ab)]

sina.sinb =  [cos(a+b)  cos(ab)]

sina.cosb = [sin(a+b) + sin(ab)]

cosa.sinb = [sin(a+b)  sin(ab)]

Page 6 Vuihoc24h – Kênh học tập Online

Ví dụ 1 : Tính các biểu thức sau :

Ví dụ 2 : Biến đổi thành tổng các biểu thức sau C = cos5x.cos3x D = 4sinx.sin2x.sin3x = 2 sin2x(2sin3x.sinx) = 2sin2xcos2x 2sin2xcos4x = sin4x sin6x + sin2x