Nội dung chương 4 "Lượng giác" giới thiệu đến các bạn những nội dung về cung và góc lượng giác, giá trị lượng giác của một cung, công thức biến đổi lượng giác,... Với các bạn đang học và ôn thi môn Toán thì đây là tài liệu tham khảo hữu ích.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Chương 4: Lượng giác
- Chương VI: LƯỢNG GIÁC
BÀI 1: CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC
I. Khái niệm cung và góc lượng giác:
1. Đường tròn định hướng và cung lượng giác:
Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó đã chọn một chiều di động gọi là chiều
dương, chiều ngược lại là chiều âm.Ta qui ước chọn chiều ngược chiều kim đồng hồ làm chiều
dương
+
A
-
Trên đường tròn định hướng cho hai điểm A, B. Điểm M di động trên đường tròn theo
một chiều (âm hoặc dương) từ A đến B tạo thành một cung đgl cung lượng giác
Kí hiệu : AB chỉ cung lượng giác có điểm đầu A điểm cuối B
Với 2 điểm A, B có vô số cung lượng giác.
2. Góc lượng giác:
Trên đường tròn định hướng cho cung lượng giác CD điểm M di động trên đường tròn từ C
đến D. Tia OM quay xung quanh gốc O từ vị trí OC đến OD. Khi đó tia OM tạo ra một góc lượng
giác có tia đầu là OC tia cuối là OD.
Kí hiệu: (OC,OD)
3-Đường tròn lượng giác :
Đường tròn lượng giác: là đường tròn định hướng tâm O bán kính R=1và cắt Ox tại A(1;
0) A’(-1; 0); cắt Oy tại B(0; 1) B’(0; -1).
B(0; 1)
+
O
A'(-1; 0) A(1; 0)
B'(0; -1)
II. Số đo của cung và góc LG:
1. Độ và radian
Trên đường tròn tùy ý cung có độ dài bằng bán kính được gọi là cung có số đo 1 rad
1800 = rad
180 0
10 = rad và rad=( )
180
với 3,14; 10 0,01745rad
Chú ý: Khi viết số đo của một góc (hay cung) theo đơn vị radian, ta thường không viết chữ
rad sau số đó. Ví dụ: ;
3 2
*Bảng chuyển đổi thông dụng:
Độ 300 450 600 900 1800 3600
Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 1
- rad
2
6 4 3 2
*Độ dài của một cung lượng giác
Độ dài cung có số đo rad của đường trịn bán kính R là : l = R
§ 2 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG
I. Các giá trị lượng giác của cung
1) Định nghĩa : B
M (x;y)
Trên đường tròn lượng giác cho cung AM có K
sđ AM = . Khi đó :
+ Khi đó tung độ y= OK của điểm M gọi là sin của
H
kí hiệu là sin sin = y .
A' O A
+ Khi đó hoảnh độ x= OH của điểm M gọi là côsin của
kí hiệu là cos cos = x . B'
sin
+ Nếu cos 0, tỉ số gọi là tang của
cos
sin
kí hiệu tan (hoặc tg ) tan=
cos
cos
+ Nếu sin 0, tỉ số gọi là côtang của
sin
cos
kí hiệu cot (hoặc cotg ) cot = .
sin
Các giá trị sin , cos, tan , cot được gọi là các giá trị lượng giác của cung . Trục
tung còn gọi là trục sin, trục hoành còn gọi là trục cosin.
* Chú ý :
- Các định nghĩa trên cũng áp dụng cho các góc lượng giác.
- Nếu 00 1800 thì các giá trị lượng giác của cũng chính là các tỉ số lượng giác của góc
trong SGK HH10.
2) Các hệ quả :
a) sin và cos đều được xác định R. Ta có:
sin( + k2) = sin
cos( + k2) = cos
1 sin ,cos 1
b) m R, 1≤m≤ 1 đều tồn tại và sao cho sin = m và sin =m
c) tan xác định khi + k , k Z.
2
cot xác định khi k , k Z.
c) Dấu của các giá trị lượng giác
Góc phần tư
I II III IV
Góc lượng giác
sin + +
cos + +
tan + +
cot + +
Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 2
- 3) Bảng giá trị lượng giác của một số cung hay góc đặc biệt :
Góc
Giá trị 0(00) /6(300) /4(450) /3(600) /2(900)
lượng giác
Sin 0 1/2 2 /2 3 /2 1
Cos 1 3 /2 2 /2 1/2 0
Tg 0 3 /3 1 3 ||
Cotg || 3 1 3 /3 0
|| : không xác định
II) Ý nghĩa hình học của tan và cot
y y
B B S
t
M K
K M
A' H O A x O H A x
B' T B'
+ tan được biễu diễn bởi độ dài đại số của véctơ AT trên trục t’At,trục này gọi là trục tang.
+ cot được biểu diễn bởi độ dài đại số của véctơ BS trên trục s’Bs,trục này gọi là trục cotang.
Từ ý nghĩa hình học của tan và cot ta có :
tan(+k ) = tan
cot(+k ) = cot ( k Z ).
III. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác
1/ Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản
Với mọi k Z ta có :
sin2 + cos2 = 1
1 1
1 2 ( k )
tg cos 2
2
1 1
1 ( k )
cot g sin 2
2
tg . cot g 1 ( k )
2
Ví dụ 1 : Cho sin = 3/5 với 0<
- 2) Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
a) Cung đối nhau : và
sin() = sin
cos() = cos
tan() = tan
cot() = cot .
b) Cung bù nhau : và
sin() = sin
cos() = cos
tan()= tan
cot()= cot .
c) Cung hơn kém nhau : và +
sin(+) = sin
cos(+) = cos
tan(+) = tan
cot(+) =cot .
d) Cung phụ nhau : và
2
sin(/2) = cos
cos(/2)= sin
tan(/2) = cot
cot(/2) = tan
e) Cung hơn kém nhau /2 : và + (Xem)
2
sin(/2+) = cos
cos(/2+) = sin
tan(/2+) = cot
cot(/2+)= tan .
Ví dụ : Tính
a) cos(11/4) = cos (11/4) = cos(3/4 + 2) = cos3/4=cos(/4)=cos(/4).
b) tg(21/4)=tg(/4+5)=tg /4 = 1.
sin(10500)=sin(3003.3600) =sin300 = ½ .
2. Số đo của cung lượng giác:
VD: Xem hình 44
Kết luận: số đo của một cung lượng giác AM (A ≠M) là một số thực dương hay âm.
Kí hiệu: số đo của cung AM là: sđAM.
Ghi nhớ:Số đo của các cung lượng giác có cùng điểm đầu và điểm cuối sai khác nhau một bội
của 2 . Và viết là:
sđAM = k 2 , (k Z)
Trong đó là số đo của một cung lượng giác tuỳ ý có điểm đầu là A và điểm cuối là M.
M A sđAA = k2 , (k Z)
k = 0 sđAA = 0
* Ta cũng có công thức tổng quát của số đo bằng độ của các cung lượng giác AM là:
SđAM = a0 + k3600, (k Z)
3. Số đo một góc lượng giác:
Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 4
- Số đo của góc lượng giác (OA,OC) là số đo của cung lượng giác AC tương ứng .
Chú ý: Từ nay về sau khi nói về cung thì điều đó cũng đúng cho góc và ngược lại.
4.Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác:
Để biểu diễn một cung lượng giác có số đo trên đường tròn lượng giác ta lấy điểm A
làm điểm gốc ,điểm cuối M được xác định theo hệ thức sau :
sđ AM = . Hệ thức này xác định một và chỉ một điểm M trên đường tròn lượng giác.
25
Ví dụ 1: Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung lượng giác có số đo là ; -7650
4
Giải: SGK tr139
Ví dụ 2: Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung sau
11
a) ; b) 4050
2
Giải
a) 11/2 = -/2 + 6. Điểm ngọn M của cung 11/2 được xác định bởi hệ thức :
sđ AM = -/2 + 6 hay sđ AM = -/2 . Vậy M là điểm B’(0;-1).
b) Ta có 4050 = 450 + 3600. Điểm ngọn N của cung 4050 được xác định bởi hệ thức:
sđAN = 450 + 3600 hay sđ AN = 450.
Vậy N là trung điểm của cung hình học nhỏ AB.
Ví dụ 2 : Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung có số đo
= /2 + k , kZ.
Giải
kZ nên k có thể là số chẵn hoặc là số lẻ :
+ Nếu k chẵn thì k = 2n, nZ. Khi đó = /2 + n2 , nZ.
Vậy điểm ngọn của là B(0;1).
+ Nếu k lẻ thì k = 2n - 1, nZ. Khi đó = /2 + (2n-1) = -/2 + n2 , nZ.
Vậy điểm ngọn của là B’(0;-1).
§ 3 CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC
I) Công thức cộng
Với mọi số thực a , b ta có :
cos(a b) = cosa.cosb + sina.sinb
cos(a + b) = cosa.cosb sina.sinb
sin(a b) = sina.cosb cosa.sinb
sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
tga tgb
tg(a b)
1 tgatgb
(a /2 + k ;b /2 + k ;a+b /2 + k ;ab /2 + k )
Ví dụ1 : Tính
13 7
a) cos b) sin750 c) tg
12 14
Ví dụ 2 : Chứng minh rằng
1 tga
a) tg( a )
4 1 tga
1 tga
b) tg( a )
4 1 tga
Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 5
- 1 tg15 0
Áp dụng tính A = tg150 = ?
1 tg15 0
II) Công thức nhân
1) Công thức nhân đôi
sin2a = 2sina.cosa
cos2a = cos a sin a
2 2
= 2cos2a 1
= 1 2sin a
2
2tga
tg2a = ( a /2 + k , a /4 + k /2 )
1 tg 2 a
* Công thức nhân ba
sin3a = 3sina 4sin a
3
cos3a = 4cos3a 3cosa
3tga tg3a
tg3a =
1 3tg 2 a
Ví dụ :
1
a) Chứng minh rằng sin 4 a cos4 a 1 sin 2 2a .
2
cos 2a cos a sin a
b) Chứng minh rằng
1 sin 2a cos a sin a
2) Công thức hạ bậc
1 cos 2a
cos2 a
2
1 cos 2a
sin 2 a
2
1 cos 2a
tg 2 a ( a /2 + k )
1 cos 2a
Ví dụ : Tính a ) cos /8 b)sin /8 c) tg /8
a
3) Công thức tính sina, cosa, tga theo t = tg (không học)
2
a
Giả sử a + k ,đặt t = tg ,ta có :
2
2t 1 t2 2t
sin a ; cos a ; tga .
1 t2 1 t2 1 t2
a 2 2 3 cos a
Ví dụ1 : Biết tg = , tính
2 3 4 5 sin a
III) Công thức biến đổi tích thành tổng
cosa.cosb = 1 [cos(a+b) + cos(ab)]
2
sina.sinb = 1 [cos(a+b) cos(ab)]
2
sina.cosb = 1 [sin(a+b) + sin(ab)]
2
1
cosa.sinb = [sin(a+b) sin(ab)]
2
Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 6
- Ví dụ 1 : Tính các biểu thức sau :
5 7 5
A cos sin B sin sin
12 12 24 24
Ví dụ 2 : Biến đổi thành tổng các biểu thức sau
C = cos5x.cos3x
D = 4sinx.sin2x.sin3x = 2 sin2x(2sin3x.sinx) = 2sin2xcos2x 2sin2xcos4x
= sin4x sin6x + sin2x
IV) Công thức biến đổi tích thành tổng
xy xy
cos x cos y 2 cos cos
2 2
xy xy
cos x cos y 2 sin sin
2 2
xy xy
sin x sin y 2 sin cos
2 2
xy xy
sin x sin y 2 cos sin
2 2
sin( x y)
tan x tan y
cos x cos y
Ví dụ1 : Biến đổi biểu thức cosx + sinx thành tích
cos x sin x 2 cos(x ) 2 sin(x )
4 4
Khi đó ta có các công thức : cos x sin x 2 cos(x )
4
sin x cos x 2 sin(x )
4
Ví dụ 2 : Biến đổi biểu thức sau thành tích
A = sinx + sin2x + sin3x = (sin3x+sinx) + sin2x =2sin2xcosx + 2sinxcosx
= 2cosx(sin2x + sinx ) =
Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 7
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
