Trang 1
PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ MINH HỌA
1. Góc lượng giác
Khái niệm góc lượng giác
Cho hai tia
,Oa Ob
.
- Nếu một tia
Om
quay quanh gốc
O
của nó theo một chiều cố định bắt đầu từ vị trí tia
Oa
và
dừng ở vị trí tia
Ob
thì ta nói tia
Om
quét một góc lượng giác có tia đầu
Oa
, tia cuối
Ob
, kí
hiệu
( , )Oa Ob
.
- Khi tia
Om
quay một góc
, ta nói số đo của góc lượng giác
( , )Oa Ob
bằng
, kí hiệu
( , )sd Oa Ob
.
Chú ý: Với hai tia
Oa
và
Ob
cho trước, có vô số góc lượng giác tia đầu
Oa
và tia cuối
Ob
.
Ta dùng chung kí hiệu
( , )Oa Ob
cho tất cả các góc lượng giác này.
Ví dụ 1. Xác định số đo của các góc lượng giác
( , )Oa Ob
trong Hình 5.
Hình 5
Giải
Số đo của góc lượng giác
( , )Oa Ob
trong Hình 5a là
90
.
Số đo của góc lượng giác
( , )Oa Ob
trong Hình 5b là
90 360 450
.
Số đo của góc lượng giác
( , )Oa Ob
trong Hình 5c là
90 2.360 810
.
Số đo của góc lượng giác
( , )Oa Ob
trong Hình
5
d là
3360 270
4
.
Nhận xét: Số đo của các góc lượng giác có cùng tia đầu
Oa
và tia cuối
Ob
sai khác nhau một
bội nguyên của
360
nên có công thức tổng quát là:
( , ) 360 ( )sđ Oa Ob k k
, thường viết là
( , ) 360Oa Ob k
với
là số đo của một góc lượng giác bất kì có tia đầu
Oa
và tia cuối
Ob
. Chẳng hạn, trong
Hình 5a,
( , ) 90 360 ( )Oa Ob k k
.
Hệ thức Chasles (Sa-lơ)
Ta thừa nhận hệ thức sau về số đo của góc lượng giác, gọi là hệ thức Chasles:
Với ba tia
,Oa Ob
và
Oc
bất kì, ta có
( , ) ( , ) ( , ) 360 ( ).Oa Ob Ob Oc Oa Oc k k
2. Đơn vị radian
Trên đường tròn bán kính R tuỳ ý, góc ở tâm chắn một cung có độ dài đúng bằng R được gọi
là một góc có số đo 1 radian (đọc là 1 ra-đi-an, viết tắt là 1 rad).
BÀI 1. GÓC LƯỢNG GIÁC
•CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Trang 2
Trên đường tròn bán kính R, một góc ở tâm có số đo
rad thì chắn một cung có độ dài
R
(Hình 10).
Hình 10
Vì góc bẹt
180
chắn nữa đường tròn với độ dài là
R
, nên góc bẹt có số đo theo đơn vị
radian là
. Khi đó ta viết
180 .πrad
Suy ra, với
3,14π
, ta có
1180
π
rad
0,0175
rad và
1
rad
180 57,3
π
(hay
57 17 45΄ ΄΄
).
Do đó ta có công thức chuyển đổi số đo góc từ đơn vị radian sang độ và ngược lại như sau:
180
a
a rad
180
rad
Ví dụ 2. Đổi các số đo góc sau đây từ radian sang độ hoặc ngược lại:
a)
60
,
b)
2
5rad
c)
3rad
.
Giải
a)
60
60 180 3
rad rad
;
b)
2 2 180 72
5 5
rad
;
c)
180 540
3 3 171,89rad
.
Chú ý:
a) Khi ghi số đo của một góc theo đơn vị radian, người ta thường bỏ đi chữ rad sau số đo.
Vi dụ,
2
rad được viết là
, 2
2
rad được viết là 2.
b) Với đơn vị radian, công thức số đo tổng quát của góc lượng giác
( , )Oa Ob
là
( , ) 2 ( ),Oa Ob α k π k
trong đó
là số đo theo radian của một góc lượng giác bất kì có tia đầu
Oa
và tia cuối
Ob
.
Lưu ý không được viết
360k
hay
2a k
(vì không cùng đơn vị đo).
3. Đường tròn lượng giác
Trong mặt phẳng toạ độ
Oxy
, cho đường tròn tâm
O
bán kính bằng 1. Trên đường tròn này,
chọn điểm
(1;0)A
làm gốc, chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ và chiều âm là
chiều cùng chiều kim đồng hồ. Đường tròn cùng với gốc và chiều như trên được gọi là đường
tròn lượng giác.
Trang 3
Hình 11
Cho số đo góc
bất kì. Trên đường tròn lượng giác, ta xác định được duy nhất một điểm M
sao cho số đo góc lượng giác
( ,OA OM
) bằng
(Hình 12
)
. Khi đó điểm M được gọi là
điểm biểu diễn của góc có số đo
trên đường tròn lượng giác.
Hình 12
Ví dụ 3. Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các góc lượng giác có số đo là:
a)
865
b)
7
3
,
Giải
a) Ta có
865 145 2.360
. Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo
865
là điểm M
trên phần đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ II sao cho
145AOM
(Hình
13a
).
b) Ta có
7( 1).2
3 3
. Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo
7
3
là điểm
N
trên phần đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ IV sao cho
(
3
AON
Hình
13 b
).
Hình 13
PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN (PHÂN DẠNG)
Dạng 1. Đơn vị đo góc
Câu 1. Cho
60MON
. Xác định số đo của các góc lượng giác được biểu diễn trong Hình 6 và viết
công thức tổng quát của số đo góc lượng giác
( , )OM ON
.
Hình 6
Trang 4
Câu 2. Trong các khoảng thời gian từ 0 giờ đến 2 giờ 15 phút, kim phút quét một góc lượng giác là
bao nhiêu độ?
Câu 3. Trong Hình 8, chiếc quạt có ba cánh được phân bố đều nhau. Viết công thức tổng quát số đo
của góc lượng giác
( , )Ox ON
và
( , )Ox OP
.
Hình 8
Câu 4. Hoàn thành bảng chuyển đổi đơn vị đo của các góc sau đây:
Câu 5. Hoàn thành bảng sau:
Số đo độ
15
?
0
900
?
?
Số đo
rađian
?
3
8
?
?
7
12
11
8
Câu 6. a) Đổi từ độ sang rađian các số đo sau:
360 ; 450
;
b) Đổi từ rađian sang độ các số đo sau:
11
3 ; 5
.
Câu 7. Đổi số đo cung tròn sang số đo độ:
a)
3
4
b)
5
6
c)
32
3
d)
3
7
e)
2,3
f)
5,6
Câu 8. Đổi số đo cung tròn sang số đo radian:
a)
45
b)
150
c)
72
d)
75
Câu 9. Đổi số đo của các góc sau đây sang radian:
a)
38
;
b)
115
;
c)
3
.
Câu 10. Đổi số đo của các góc sau đây sang độ:
a)
12
;
b)
5
;
c)
13
9
.
Dạng 2. Độ dài cung tròn
Câu 11. Một đường tròn có bán kính
20 cm
. Tìm độ dài của các cung trên đường tròn đó có số đo sau:
a)
12
; b) 1,5 ; c)
35
; d)
315
.
Câu 12. Một đường tròn có bán kính
36m
. Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo là
a)
3
4
b)
0
51
c)
1
3
Trang 5
Câu 13. Bánh xe máy có đường kính kể cả lốp xe
55
cm. Nếu xe chạy với vận tốc
40
km/h thì trong
một giây bánh xe quay được bao nhiêu vòng?
Câu 14. Một máy kéo nông nghiệp với bánh xe sau có đường kính là
184 cm
, bánh xe trước có đường
kính là
92 cm
, xe chuyển động với vận tốc không đổi trên một đoạn đường thẳng. Biết rằng vận
tốc của bánh xe sau trong chuyển động này là 80 vòng/phút.
a) Tính quãng đường đi được của máy kéo trong 10 phút.
b) Tính vận tốc của máy kéo (theo đơn vị km/giờ).
c) Tính vận tốc của bánh xe trước (theo đơn vị vòng/phút).
Câu 15. Bánh xe của người đi xe đạp quay được 11 vòng trong 5 giây.
a) Tính góc (theo độ và rađian) mà bánh xe quay được trong 1 giây.
b) Tính độ dài quãng đường mà người đi xe đã đi được trong 1 phút, biết rằng đường kính của
bánh xe đạp là
680 mm
.
Câu 16. Hải lí là một đơn vị chiều dài hàng hải, được tính bằng độ dài một cung chắn một góc
1
60
của đường kinh tuyến (Hình 17). Đổi số đo
sang radian và cho biết 1 hải lí bằng
khoảng bao nhiêu kilômét, biết bán kính trung bình của Trái Đất là
6371 km
. Làm tròn kết quả
đến hàng phần trăm.
Hình 17
Dạng 3. Mối liên hệ giữa góc hình học và góc lượng giác
Câu 17. Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các góc lượng giác có số đo là:
a)
1485
b)
19
4
Câu 18. Xác định các điểm
M
và
N
trên đường tròn lượng giác lần lượt biểu diễn các góc lượng giác
có số đo bằng
15
4
và
420
.
Câu 19. Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm
M
biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau:
a)
2
3
; b)
11
4
; c)
150
; d)
225
.