111
Chương 5
NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM
5.1 NỘI SUY BẰNG ĐA THỨC
Nội suy là cơ sở của nhiều khái niệm trong giải tích số. Đó là công cụ để
khôi phục các đặc trưng liên tục của một hàm số y=f(x) từ các tập hợp dữ liệu rời
rạc do đo đạc hay quan sát được. Khi f(x) là một hàm phức tạp, khó tính toán và
khảo sát thì cũng cần được xấp xỉ bởi một đa thức. Nội suy đơn giản nhất là nội
suy bằng đa thức. Lý do đa thức là một hàm đơn giản: dễ tính đạo đạo hàm và
nguyên hàm…
Nội suy bằng đa thức là tìm một đa thức P(xi) bậc n-1 qua n mốc nội suy xi
với
1,
i n
thỏa mãn P(xi )= f(xi ). Nói cách khác, có thể mô tả tập các điểm dữ
liệu rời rạc của hàm y = f(x) dưới dạng bảng:
x x1 x2 ... xn
y y1 y2 ... yn
Sau đó tính các hệ số của đa thức P(x) bậc n-1 thỏa mãn:
yi=P (xi),
1,
i n
(5.1)
Bây giời ta cần xây dựng công thức tính các hệ số của đa thức P(x). Giả sử
đa thức P(x) được viết dưới dạng tường minh:
P(x) = p1xn-1 + p2xn-2+...+pn-1x+ pn
Từ điều kiện (5.1), để tìm các hệ số pi của đa thức nội suy P(x) ta có thể giải
hệ phương trình sau đây:
1 2
1 1 2 1 1 1 1
1 2
1 2 2 2 1 1 2
1 2
1 2 1
...
...
... ... ... ...
...
n n n n
n n n n
n n
n n n n n n
p x p x p x p y
p x p x p x p y
p x p x p x p y
112
hay
1 2
1 1 1
1 2
2 2 2
1 2
... 1
... 1
... ...
... ... ... ...
... 1
n
n
n
n n n
x x x
p y
p y
x x x
p y
x x x
.
Ma trận hệ số của hệ phương trình chính là ma trận Vandermonde của
vector x=( x1,x2,...xn). Do đó, để giải hệ phương trình trên có thể sử dụng một câu
lệnh đơn giản trong Matlab:
>> p =vander(x)\y (5.2)
Đa thức nội suy được tính theo công thức trên đơn giản, nhưng khá cồng
kềnh. Tính hệ số của đa thức nội suy dạng tường minh bằng giải hệ phương trình
như trên sẽ mất nhiều công sức tính toán khi số nút nội suy lớn. Do đó ta cần phải
nghiên cứu một số phương pháp tìm đa thức nội suy khác, đơn giản hơn.
Định lý 5.1 (Tính duy nhất của đa thức nội suy). Đa thức nội suy bậc n-1
thoả mãn (5.1) là duy nhất.
Chứng minh.
Thật vậy. Giả sử có 2 đa thức nội suy bậc n-1 là P(x) và Q(x) cùng thoả mãn
điều kiện (5.1). Nghĩa là yi=P(xi)=Q(x) với
1,
i n
.
Xét đa thức R(x)=P(x)-Q(x). Rõ ràng là:
R(xi)=P(xi)-Q(xi) =0 ,
1,
i n
.
Như vậy R(x) là đa thức bậc không quá n-1 nhưng có tới n nghiệm khác
nhau x1,x2,...xn. Do đó R(x) =0 với mọi x, hay P(x)
Q(x). Điều đó chứng tỏ rằng
đa thức nội suy bậc n-1 thỏa mãn (5.1) là duy nhất (đ.p.c.m).
Khi số nút nội suy lớn, thì việc giải hệ phương trình như trên tốn rất nhiều
công sức. Sau đây chúng ta sẽ nghiên cứu một số phương pháp khác để tìm đa
thức nội suy mà không cần giải hệ phương trình.
5.1.1 Đa thức nội suy Lagrange
Trước hết ta xây dựng các đa thức cơ bản như sau:
1 2 1 1
i1 2 1 1
... ...
L x ... ...
i i N
i i i i i i i N
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
với
1,
i n
.
113
Dễ thấy các đa thức cơ bản có tính chất:
0 khi i j
1 khi i j
i j
L x
Do đó nếu đặt P (x) =
n
iii xLy
1)( (5.3)
thì P(x) là đa thức bậc không quá n thoả mãn P(xi)=yi, với
1,
i n
. Do đó
P(x) chính là đa thức nội suy bậc n-1 của hàm số đã cho. Đa thức dạng (5.3) còn
gọi là đa thức nội suy Lagrange. Nó có dạng tổng của n đa thức bậc n-1.
Thí dụ 1. Xây dựng đa thức nội suy Lagrange bậc 2 từ bảng dữ liệu có dạng
sau đây:
x x1 x2 x3
y y1 y2 y3
Giải: Ta có các đa thức nội suy cơ bản:
2 3 1 3
1 2
1 2 1 3 2 1 2 3
( ) , ( )
x x x x x x x x
L x L x
x x x x x x x x
và
1 2
3
3 1 3 2
( ) x x x x
L x
x x x x
.
Do đó
2 3 1 3 1 2
123
1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2
( ) x x x x x x x x x x x x
P x y y y
x x x x x x x x x x x x
.
5.1.2 Đa thức nội suy Newton
Nội suy bằng đa thức Lagrange là một phương pháp khá đơn giản, sử dụng
rất ít các kiến thức về đại số, nên dễ nhớ. Tuy nhiên đây lại là một phương pháp
kém hiệu quả. Bây giờ xét trường hợp giữ bảng dữ liệu cũ và bổ sung thêm một
nút nội suy mới (để hàm số được nội suy chính xác hơn) thì tất cả các đa thức nội
suy cơ bản lại phải tính toán lại từ đầu. Thay cho công thức nội suy dạng
Lagrange ta viết đa thức nội suy P(x) dưới dạng:
P(x)= a1+ a2(x-x1) + a3(x-x1)(x-x2)+…+ aN(x-x1)(x-x2)(x-x3)...(x-xn-1) (5.4)
Các hệ số ai của đa thức có thể được tính trong bảng tỉ hiệu (tỉ sai phân)
theo công thức qui nạp như sau: