Chuyên đề môn Toán lớp 9 - Chuyên đề 1: Nhân, chia căn thức bậc hai

Chia sẻ: Tran Du Moc | Ngày: | Loại File: DOCX | Số trang:20

Thêm vào BST

Báo xấu

106
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn và các em học sinh cùng tham khảo chuyên đề môn Toán lớp 9 - Chuyên đề 1: Nhân, chia căn thức bậc hai để hỗ trợ cho quá trình ôn luyện, củng cố kiến thức từ đó vận dụng vào giải các bài tập.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề môn Toán lớp 9 - Chuyên đề 1: Nhân, chia căn thức bậc hai

TOÁN 9 CHUYÊN ĐỀ 2 : NHÂN, CHIA CĂN THỨC BẬC HAI A – LÝ THUYẾT I . Liên hệ giữa phép nhân, phép chia với phép khai phương: 1. Với A ≥ 0, B ≥ 0 thì: Khai phương một tích Nhân các căn thức bậc hai 2. Với A ≥ 0, B > 0 thì: Khai phương một thương Chia hai căn thức bậc hai II . Bổ sung: 1. Với A1, A2, …, An ≥ 0 thì: 2. Với a ≥ 0; b ≥ 0 thì: (dấu “=” xảy ra a = 0 hoặc b = 0) 3. Với a ≥ 0; b ≥ 0 thì: (dấu “=” xảy ra a = b hoặc b = 0) 4. Công thức “căn phức tạp” Trong đó A > 0; B > 0 và A2 > B. 5. BĐT Côsi (còn gọi là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân) Với a ≥ 0, b ≥ 0 thì: (dấu “=” xảy ra a = b). Vài dạng khác của bất đẳng thức Côsi: Dạng có chứa dấu căn: với a ≥ 0; b ≥ 0; với a > 0; b > 0. Dạng không có chứa dấu căn: ; ; ; 6. BĐT Bunhiacốpxki (đối với hai bộ số) Mỗi bộ có hai số (a1 ; a2) và (b1 ; b2) ; Mỗi bộ có ba số (a1 ; a2 ; a3) và (b1 ; b2 ; b3) ; Mỗi bộ có n số (a1 ; a2 ; …; an) và (b1 ; b2 ; …; bn) ; (dấu “=” xảy ra với quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử bằng 0) B – BÀI TẬP DẠNG 1: Thực hiện phép tính. Bài tập 1: Tính: a) A = ;
b) B = . Bài tập 2: Thực hiện phép tính: a) ; b) ; c) . Bài tập 3: Thực hiện phép tính: a) ; c) . b) ; Bài tập 4: Cho a = . Tính giá trị của biểu thức: M = . Bài tập 5: Tính: a) ; b) ; c) ; d) . Bài tập 6: Biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng tích rồi tính: a) ; b) ; c) ; d) . Bài tập 7: Cho hai số có tổng bằng và có hiệu bằng . Tính tích của hai số đó. Bài tập 8: Tính biết: a) A = ; b) A = ; c) A = . Bài tập 9: Tính: a) ; b) ; c) . Bài tập 10: Thực hiện các phép tính: a) ; c) . b) ; Bài tập 11: Biết x = . Tính giá trị của biểu thức: M = Bài tập 12: Tính: a) Q = ; b) R = . Bài tập 13: So sánh: a) và ; b) và ; c) 18 và . Bài tập 14*: a) Nêu một cách tính nhẩm 9972; b) Tính tổng các chữ số của A, biết rằng = 99…96 (có 100 chữ số 9). DẠNG 2: Rút gọn biểu thức.
Bài tập 15: Rút gọn biểu thức M = . Bài tập 16: Rút gọn biểu thức: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; i) ; j) . Bài tập 17: Rút gọn các biểu thức: a) A = ; b) B = ; c) C = ; d) D = . Bài tập 18: Rút gọn biểu thức: M = . Bài tập 19: Rút gọn các biểu thức: a) A = ; b) B = ; c) C = . Bài tập 20: Rút gọn biểu thức: A = . Bài tập 21: Rút gọn biểu thức: P = . Bài tập 22: Rút gọn biểu thức: A = . Bài tập 23: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức: a) A = (x 0, hãy so sánh với . Bài tập 26: Rút gọn biểu thức: M = . Bài tập 27: Cho biểu thức: A = . a) Rút gọn A; b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của A là một số nguyên. Bài tập 28: Cho biểu thức: A = . a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức A; b) Rút gọn biểu thức A; c) Tìm giá trị của x để A
Bài tập 29: Lập một phương trình bậc hai với các hệ số nguyên, trong đó: a) là một nghiệm của phương trình; b) là một nghiệm của phương trình. Bài tập 30*: a) Rút gọn biểu thức A = với a > 0; b) Tính giá trị của tổng: B = . DẠNG 3: Giải phương trình. Bài tập 31: Giải phương trình: a) ; b) . Bài tập 32: Giải phương trình: a) ; b) ; c) ; d) . Bài tập 33: Tìm x và y biết rằng x + y + 12 = . Bài tập 34: Tìm x, y, z biết: trong đó a+b+c = 3. Bài tập 35: Giải phương trình: . Bài tập 36: Giải phương trình: . DẠNG 4: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức. Bài tập 37: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = . Bài tập 38: a) Tìm GTLN của biểu thức A = ; b) Tìm GTNN của biểu thức B = . Bài tập 39: Cho biểu thức: M = Rút gọn rồi tìm giá trị của x để M có giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó. DẠNG 5: Chứng minh biểu thức. Bài tập 40: Có tồn tại các số hữu tỉ dương a, b hay không nếu: a) ; b) . Bài tập 41: Cho ba số x, y, là các số hữu tỉ. Chứng minh rằng mỗi số , đều là số hữu t ỉ. Bài tập 42: Cho a, b, c, d là các số dương. Chứng minh rằng tồn tại một số dương trong hai số và .
Bài tập 43: a) Chứng minh rằng với a > 0 thì, b > 0 thì ; b) So sánh với . Bài tập 44: Cho a, b, x, y > 0. Chứng minh rằng . Bài tập 45: Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh: . Bài tập 46: Chứng minh bất đẳng thức: với 0 0, b > 0. Chứng minh rằng nếu và đều là các số hữu tỉ thì A + B và A.B cũng là các số hữu tỉ. Bài tập 49: Chứng minh các hằng đẳng thức sau với b ≥ 0, a ≥ : a) ; b) . Bài tập 50: Chứng minh rằng: với n . Áp dụng: cho S = . Chứng minh rằng 18
Bài tập 58: Tìm các số dương x, y, z sao cho x + y + z = 3 và x4 + y4 + z4 = 3xyz. Bài tập 59: Cho . Chứng minh rằng x + y ≥ 20. Bài tập 60: Cho ba số không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1. Chứng minh rằng: A =. C – Hướng dẫn – trả lời – đáp số: DẠNG 1: Thực hiện phép tính. Bài tập 1: Tính: a) A = = . b) B = = . Bài tập 2: Thực hiện phép tính: a) ; b) = ; c) = . Bài tập 3: Thực hiện phép tính: a) ; b) ; c) 0. Bài tập 4: Ta có: . Vậy M = . Bài tập 5: Tính: a) . b) . c) . d) . Bài tập 6: Biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng tích rồi tính: a) ;
b) ; c) ; d) . Bài tập 7: Tích của hai số là: . Bài tập 8: Tính biết: a) A = ; ; b) A = ; ; c) 2A = ; . Bài tập 9: Tính: a) = ; b) Biến đổi tương tự câu a). Đáp số: ; c) Biến đổi tương tự câu a). Đáp số: . Bài tập 10: Thực hiện các phép tính: a) Viết thành ta được: = . b) Đáp số: 8. c) Đặt = m, = n. Tính m2 ta được m2 = 2 nên m = . Tính n ta được . Đáp số: 1. Bài tập 11: M = . x = = . Vậy M = . Bài tập 12: Tính: a) Q = = =
= ; b) R = = = = = . Bài tập 13: So sánh: a) Ta có: , . Vì 180 hay 18 > . Cách 2: Ta có: = . Bài tập 14*: a) 9972 = 9972 – 32 + 32 = (997 – 3)(997 + 3) + 32 = 994.1000 + 9 = 994009. b) = Tổng các chữ số của A bằng: 900 + 2 + 1 + 6 = 909. DẠNG 2: Rút gọn biểu thức. Bài tập 15: Cách 1: Có: ; Do đó: M = . Cách 2: Dễ thấy M > 0. M2 =
= . Suy ra M = . (Vì M > 0). Cách 3: * Nhận xét: Với A = 4, B = 7 thì A2 – B = 16 – 7 = 9 là một số chính phương nên ta nghĩ đến việc sử dụng công thức “căn phức tạp”. * Trình bày lời giải: M = = = . Bài tập 16: Rút gọn biểu thức: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) 3; g) . Đáp số: 5. h) ; i) . Bài tập 17: Rút gọn các biểu thức: a) A = ; b) B = ; c) C = = . d) D = . Bài tập 18: Tính M2 = 2. Đáp số: . (Xem lại cách 2 bài tập 15) Bài tập 19: Rút gọn các biểu thức: a) A = = ; b) B = 1; c) C = 8. Bài tập 20: Rút gọn biểu thức: ĐKXĐ:
* Cách 1: = = = TH1: Nếu thì . Do đó: A = TH2: Nếu x ≥ 1 thì Do đó: A = . * Cách 2: Đặt = y ≥ 0, ta có 2x – 1 = y2. A = TH1: Với 0 ≤ y 2 thì P = . Bài tập 22: Nếu 2 ≤ x
A = . Tại x = 4 thì A = b) Với x ≥ 0 thì và có nghĩa. Giá trị của biểu thức B xác định. Ta có: B = (vì x ≥ 0). Tại x = thì B = . Bài tập 24: Rút gọn biểu thức: a) ĐK: . A = TH1: Nếu x > – y thì x + y > 0, ta có A = TH1: Nếu x 0. Ta có: (vì a > 0) B = 4(a + 2). Suy ra A2 0). Bài tập 26: Rút gọn biểu thức: ĐKXĐ: –1 ≤ x ≤ 1. Áp dụng công thức “căn phức tạp” ta tính được: = = Cả hai trường hợp đều có cùng một kết quả. = .
Vậy M = M = . Bài tập 27: a) A = TH1: Nếu x 0 và A = . b) Từ câu a) suy ra: Do đó: B = = 99 +
DẠNG 3: Giải phương trình. Bài tập 31: Giải phương trình: a) Điều kiện xác định của phương trình là: Suy ra Vì x = không thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình. Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = . b) Điều kiện xác định của phương trình là: Khi đó phương trình được đưa về dạng: Suy ra: Hay 2x – 3 = 4(x – 1) không thỏa mãn điều kiện x ≥ 1,5. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Bài tập 32: Giải phương trình: a) Điều kiện xác định của phương trình là Biến đổi phương trình về dạng: Phương trình đã cho có nghiệm x = 1. b) Điều kiện xác định của phương trình là: Phương trình được đưa về dạng;
, thỏa mãn điều kiện xác định. Phương trình đã cho có nghiệm x = 2, x = 3. c) Điều kiện xác định của phương trình là: hoặc Phương tình được đưa về dạng: Giải phương trình này được thỏa mãn điều kiện xác định. Vậy phương trình đã cho có nghiệm . d) Điều kiện xác định của phương trình là: Khi đó phương tình đưa về dạng: . Theo câu c), ta có , nhưng không thỏa mãn điều kiện . Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Bài tập 33: ĐKXĐ: x ≥ 0; y ≥ 1. ; Đáp số: x = 4; y = 10. Bài tập 34: ĐKXĐ: x ≥ a; y ≥ b; z ≥ c. Đáp số: x = a + 1; y = b + 1; z = c + 1. Bài tập 35: ĐKXĐ: x ≥ 1. Kết hợp với ĐKXĐ ta được . Bài tập 36: ĐKXĐ: x ≥ 3. DẠNG 4: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức. Bài tập 37: ĐKXĐ: 5 ≤ x ≤ 13 * Cách thứ nhất: Sử dụng bất đẳng thức Côsi:
P2 = P2 ≤ 8 + [(x – 5) + (13 – x)] = 16. (Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x – 5 = 13 – x x = 9). Suy ra max P2 = 16, do đó max P = 4 (khi và chỉ khi x = 9). * Cách thứ hai: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki: Với a1 = a2 = 1; b1 = ; b2 = . P2 = hay P2 ≤ 2 . 8 = 16 (dấu “=” xảy ra ). Suy ra max P2 = 16, do đó max P = 4 (khi và chỉ khi x = 9). Bài tập 38: a) Áp dụng bất đẳng thức (với a ≥ b ≥ 0) (Xem lại phần Bổ sung 3.) A = (dấu “=” xảy ra x = 8) Suy ra max A = 3 (khi và chỉ khi x = 8). b) Áp dụng bất đẳng thức (với a, b ≥ 0) (Xem lại phần Bổ sung 2.) B = (dấu “=” xảy ra x = 3 hoặc x = 5) Suy ra min B = (khi và chỉ khi x = 3 hoặc x = 5). Bài tập 39: M = (với ) Vì với mọi x nên . Vậy max A = khi x = 0. DẠNG 5: Chứng minh biểu thức. Bài tập 40: a) Có, chẳng hạn: . b) Không. Giả sử tồn tại các số hữu tỉ dương a và b mà . Bình phương hai vế được . Lại bình phương hai vế ta có: Vế phải là số hữu tỉ, vế trái là số vô tỉ (vì a + b ≠ 0), mâu thuẫn. Bài tập 41: Đặt x – y = a, (1) thì a, b là các số hữu tỉ. Xét hai trường hợp:
TH1: Nếu b ≠ 0 thì nên là số hữu tỉ. (2) Từ (1) và (2) ta có: là số hữu tỉ. là số hữu tỉ. TH2: Nếu b = 0 thì x = y = 0, hiển nhiên , là số hữu tỉ. Bài tập 42: Xét tổng hai số: . Tồn tại một trong hai số trên là số dương. Bài tập 43: a) Ta có: (1) (2) Vì a > 0, b > 0 nên > 0, do đó từ (1) và (2) suy ra: hay . b) Áp dụng câu a) cho hai số dương 2017 và 2018, ta có: Bài tập 44: Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên bất đẳng thức đã cho là đúng. (Dấu “=” xảy ra ay = bx ). Bài tập 45: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các cặp số không âm a và b, b và c, a và c, ta có: ; ; . Suy ra Do đó . Bài tập 46: Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên bất đẳng thức đã cho là đúng.
Áp dụng với n = 100; a = 1 ta được Bài tập 47: Giả sử tồn tại A, B để có đẳng thức: Suy ra: Do đó: là số hữu tỉ, vô lý. Bài tập 48: Ta có: A + B = A . B = Đặt , (p, q ) thì: A + B = p(p2 – 3q) + 2q A . B = q(q + 1) + pq(p2 – 3q) là các số hữu tỉ. Bài tập 49: (Hs tự chứng minh). Bài tập 50: (1) (2) Từ (1) và (2) suy ra đpcm. Áp dụng bất đẳng thức (1) ta được: . Áp dụng bất đẳng thức (2) ta được: . Vậy 18
Suy ra Cho n lần lượt lấy các giá trị từ 0 đến 2499 ta được: ……………… Vậy = . Bài tập 52: Ta có: Tương tự: ; . Vậy S = = 2(xy + yz + zx) = 2.1 = 2. Bài tập 53: Đặt a – b = x, b – c = y, c – a = z, ta có: = (vì x + y + z = a – b + b – c + c – a = 0). Vậy A = là số hữu tỉ. Áp dụng bất đẳng thức Côsi. Bất đẳng thức Bunhiacốpxki. Bài tập 54: Áp dụng bất đẳng thức Côsi đối với các số dương x, y, z ta được: ; ; Suy ra: hay (dấu “=” xảy ra x= y = z). Bài tập 55: ĐKXĐ: –3 ≤ x ≤ 5 (bất đẳng thức Côsi) (dấu “=” xảy ra x + 3 = 5 – x x = 1) Vậy |A| ≤ 4 mà A > 0 nên A ≤ 4 (dấu “=” xảy ra x = 1).
Bài tập 56: B = = Áp dụng bất đẳng thức Côsi đối với các số dương x2, y2, x4, y4 ta được: (Dấu “=” xảy ra x = y = 1) Bài tập 57: = (bất đẳng thức Côsi) Tương tự, ; Suy ra Do đó (dấu “=” xảy ra ). Bài tập 58: Áp dụng bất đẳng thức Côsi đối với các số dương x4, y4, z4 và x2, y2, z2 ta được: = = xyz(x + y + z) = 3xyz. Vậy x4 + y4 + z4 ≥ 3xyz (dấu “=” xảy ra x = y = z = 1). Do đó x = 1; y = 1; z = 1. Bài tập 59: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki cho hai bộ hai số (1; 2) và ta được: x + y ≥ 20 (Dấu “=” xảy ra ). Bài tập 60: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki cho hai bộ ba số (1; 1; 1) và ta được:
Vì A > 0 nên (Dấu “=” xảy ra x + y = y + z = z + x x = y = z = ).