Chuyển động tối ưu khứ hồi của tay máy bốc xếp theo một quỹ đạo định sẵn

Chia sẻ: Dạ Thiên Lăng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

9
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài báo "Chuyển động tối ưu khứ hồi của tay máy bốc xếp theo một quỹ đạo định sẵn" đã khảo sát bài toán điều khiển tối ưu của tay máy bốc xếp vận chuyển tải (được mô hình là chất điểm) di chuyển tải khứ hồi giữa hai vị trí thuộc quỹ đạo yêu cầu, tức xử lý bài toán điều khiển tối ưu động lực bị ràng buộc cả về quỹ đạo và cả điểm xuất phát và điểm đích được xác định trên quỹ đạo đã định sẵn. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyển động tối ưu khứ hồi của tay máy bốc xếp theo một quỹ đạo định sẵn

104 Chuyển động tối ưu khứ hồi của tay máy bốc xếp theo một quỹ đạo định sẵn Đỗ Đăng Khoa2, *, Trần Sĩ Kiên1, Phan Đăng Phong1 và Đỗ Sanh2 1 Viện Nghiên cứu Cơ khí 2 Đại học Bách Khoa Hà Nội *Email: khoa.dodang@hust.edu.vn Tóm tắt. Yêu cầu của tay máy bốc xếp là cần vận chuyển tải đến một vị trí cho trước và quay về vị trí đầu để tiếp tục thực hiện công việc. Trong bài báo đã khảo sát bài toán điều khiển tối ưu của tay máy bốc xếp vận chuyển tải (được mô hình là chất điểm) di chuyển tải khứ hồi giữa hai vị trí thuộc quỹ đạo yêu cầu, tức xử lý bài toán điều khiển tối ưu động lực bị ràng buộc cả về quỹ đạo và cả điểm xuất phát và điểm đích được xác định trên quỹ đạo đã định sẵn. Bài toán này được quan tâm lớn khi hoặc cần tránh một số vật cản hoặc cần rút ngắn quãng đường di chuyển. Bài toán đã đề xuất phương pháp xử lý dựa vào nguyên lý phù hợp, nguyên lý điều khiển tối ưu Pontryagin với sự hỗ trợ của phương pháp ma trận truyền. Để minh họa đã khảo sát chuyển động của một tay máy phẳng gồm 3 khâu (hai khâu quay và một khâu tịnh tiến) có nhiệm vụ chuyển tải (mô hình chất điểm) khứ hồi giữa hai điểm xác định trên quỹ đạo thẳng định sẵn. Từ khóa: Điều khiển tối ưu, Nguyên lý Pontryagin, Nguyên lý phù hợp, Tay máy bốc xếp 1. Mở đầu Điều khiển tối ưu là một hướng rất được quan tâm trong công nghệ logistics khi liên quan đến vận chuyển hàng hóa, đặc biệt trong lĩnh vực cơ khí là bài toán điều khiển chuyển động. Như đã biết, trong 3 hướng xử lý bài toán điều khiển chuyển động thường được sử dụng là phương pháp biến phân, phương pháp Bellman và phương pháp tối ưu Pontryagin[1-4]. Phương pháp Pontryagin được sử dụng khá rộng rãi do hệ phương trình mô tả trạng thái được viết trong dạng biến Lagrange và dạng biến liên hợp, là những hệ biến rất cơ bản để mô tả trạng thái của các hệ cơ khí và những hệ kỹ thuật (máy công cụ, máy công tác, hệ điều khiển tự động,...) [5-10]. Thời gian gần đây nhiều bài toán điều khiển hệ nhiều vật [11-14], bài toán điều khiển tay máy robot bốc xếp, tay máy tương tác môi trường (đào bới, hàn mài,...) [15-18] đang được quan tâm nhiều. Trong bài báo này, pháp ma trận truyền và nguyên lý phù hợp được sử dụng để viết phương trình vi phân chuyển động của tay máy. Sau đó nguyên lý Pontryagin được sử dụng để giải bài toán điều khiển tối ưu. 2. Đặt vấn đề Bài báo khảo sát tay máy bốc xếp có dạng chuỗi ba khâu gồm hai khâu quay và một khâu tịnh tiến (khâu cuối). Khâu cuối chuyển tải từ vị trí A (vị trí xuất phát) đến vị trí B (vị trí đích) dọc theo đoạn thẳng AB trong mặt phẳng thẳng đứng với yêu cầu các điều khiển đạt tiêu chuẩn tối ưu. Cấu trúc tay máy được mô tả trên hình 1 với: các khâu coi như các thanh thẳng có chiều dài lần lượt là l1 , l2 , l3 ; khâu 1 có trọng tâm C1 tại trục quay, c1 = 0 ; trọng tâm các khâu 2 và khâu 3 được ký hiệu lần lượt là C2 , C3 với c= AC2 , c= BC3 ; khối lượng các khâu lần lượt là m1 , m2 , m3 ; mômen quán tính đối với các khối 2 3 tâm của từng khâu lần lượt là J1 , J 2 , J 3 . Tải cần vận chuyển có khối lượng m (mô hình chất điểm, gắn vào điểm cuối khâu tịnh tiến). Tính đàn hồi của hai khâu quay và khâu tịnh tiến được mô hình hóa lần lượt bởi hai lò xo xoắn có độ cứng là k1 , k2 và lò xo kéo nén có độ cứng k3 . Chọn tọa độ suy rộng lần lượt là q1 , q2 và q3 .
105 Đ. Đ. Khoa, T. S. Kiên, P. Đ. Phong và Đ. Sanh Hình 1. Tay máy phẳng ba bậc tự do Chọn hệ trục Oxy , vị trí các điểm A, B được xác định qua các tọa độ { x A , y A , xB , yB } . Các điểm xuất phát và điểm đích đều nằm trên đường thẳng có phương trình: f ( x, y ) ≡ y + ax − b =0 (1) Bài toán đặt ra là xác định lực tác dụng lên các khâu, các biến điều khiển u1 , u2 , u3 , để phương trình (1) được thực hiện đồng thời thỏa mãn điều kiện tối ưu. Để xử lý bài toán cần viết phương trình chuyển động tay máy trong biến Lagrange, tiếp theo chuyển sang biến liên hợp Hamilton để sử dụng nguyên lý Pontryagin giải bài toán điều khiển tối ưu. 3. Phương trình chuyển động của tay máy Trong phần này, nguyên lý phù hợp và phương pháp ma trận truyền được sử dụng để viết phương trình chuyển động tay máy. Kể từ đây, các ma trận được viết bởi chữ in đậm và các vectơ được xem như ma trận cỡ (3x1). Phương trình chuyển động của tay máy dạng phương trình Lagrange được viết dưới dạng ma trận [8-10] có dạng như sau: = DAq D(Q + Q qt ) (2) Trong đó: A - ma trận các hệ số quán tính, cỡ (3x3), đối xứng và xác định dương:  a11 a12 a13  A =  a12  a22 a23   (3)  a13  a23 a33    q - ma trận của các gia tốc suy rộng, cỡ (3x1); Q - ma trận của các lực hoạt đông, cỡ (3x1); Q qt - ma trận của các thành phần của các lực quán tính, cỡ (3x1) D - ma trận cỡ (2x3), nhận được từ các hệ số khi biểu diễn các gia tốc suy rộng qua các gia tốc suy rộng độc lập [7-9]. Để tính các ma trận trong phương trình (2), ta sử dụng phương pháp ma trận truyền [8-10] để xây dựng các ma trận sau:
106 Chuyển động tối ưu khứ hồi của tay máy bốc xếp theo một quỹ đạo định sẵn cos q1 − sin q1 0  cos q2 − sin q2 l1  1 0 −q3  =  q1 cos q1 0  ; t2 t1  sin =   sin q=  2 cos q3 0  ; t3  0 1 0  ;    0  0 1  0  0 1  0 0 1     − sin q1 − cos q1 0   − sin q2 − cos q2 0  1 0 −1 =  cos q1 − sin q1 = t11  0  ; t21   cos q  2 − sin q2 = 0 1 0  ;  ;t 0  31    0  0 0  0  0 0 0 0 0     cos q1 sin q1 0   cos q2 sin q2 0   1 0 0 T1 =  − sin q cos q 0  ; T = − sin q cos q 0  ; T = 0 1 0 ; 1 1  2  2 2  3    0  0 1   0  0 1   − q3  0 1  − sin q1 cos q1 0   sin q2 cos q2 0   0 0 0 T11 =  − cos q − sin q 0  ; T =  − cos q − sin q = 0  ; T31  0 0 0 ; 1 1  21  2 2     0  0 0   0  0 0  −1 0 0    = [c= [c3= [l= [ q1 0 1] ; r3 0 1] ; r 0 1] ; q   q2 q3 ] ; q   =  [ q1   q3 ]  T T T T T r2 2 3 q2 =R2 [c2 1] ; R3 0= [c3 1] ; R 0= [l3 0 1] (4) Ma trận quán tính A có các thành phần được tính như sau: = m2 R2T2T11t11t2 r2 + m3 R3T3T2T11t11t2t3 r3 + mRT3T2T11t11t2t3 r + J1 + J 2 + J 3 a11 = m2 (l12 + c2 + 2c2l1 cos q2 ) + m3 (l12 + l2 − 2l3 q3 + q3 − 2l1q3 cos q2 ) 2 2 2 + m(l12 + l32 − 2l3 q3 + q3 − 2l1l3 cos q2 − 2l1q3 cos q2 ) + J1 + J 2 + J 3 2 = m2 R2T21T1t11t2 r2 + m3 R3T3T21T1t11t2t3 r3 + mRT3T21T1t11t2t3 r + J 2 + J 3 a12 = m2 (c2 + l1c2 cos q2 ) + m3 (c3 − 2c3 q3 ; + q3 + l1c3 cos q2 − l1q3 cos q2 ) 2 2 2 + m(l32 − 2l3 q3 + q3 + l1l3 cos q2 ) + J 2 + J 3 2 a13 =R3T3T2T11t1t2t31r3 + mRT3T2T11t1t2t31r = 3 + m)l1 sin q2 m3 −( m = m2 R2T21T1t1t21r2 + m3 R3T3T21T1t1t21t3 r3 + mRT3T21T1t1t21t3 r + J 2 + J 3 a22 = m2 c2 + m3 (c3 + q3 − 2c3 q3 ) + m(l32 − 2c3 q3 + q3 ) + J 2 + J 3 2 2 2 2 a23 = m3 R3T31T2T1t1t21t3 r3 + mRT31T2T1t1t21t3 r = 0 a33 =2t31r3 + mRT31T2T1t1t2t31r = m3 R3T31T2T1t1t m + m3 (5) Để tính ma trận D, ta viết lại biểu thức (1) trong các tọa độ suy rộng. Điểm cuối M của khâu thao tác có tọa độ { x, y} được tính từ biểu thức rM = t1t 2 t 3r (6) Từ đây nhận được:  xM =( l1 − q3 ) cos ( q1 + q2 ) + l1 cos q1   (7)  yM =( l1 − q3 ) sin ( q1 + q2 ) + l1 sin q1 
107 Đ. Đ. Khoa, T. S. Kiên, P. Đ. Phong và Đ. Sanh Thay (7) vào (1), ta nhận được: f ≡ (l3 − q3 )[a cos(q1 + q2 ) + sin(q1 + q2 )] + l1 (a cos q1 + sin q1 ) − b =0; (8) Từ (8), ta tính các hệ số: ∂f h1 = = l3 − q3 )[a sin(q1 + q2 ) + cos(q1 + q2 )] + l1 cos q1 − a sin q1 ; ( ∂q1 ∂f h2 = =(l3 − q3 ) cos(q1 + q2 ) − a (sin(q1 + q2 ); (9) ∂q2 ∂f h3 = = sin(q1 + q2 ) − a cos(q1 + q2 ) ∂q3 Ma trận D cỡ (2x3) có dạng như sau:  h1  1 0 − h  D=  3 (10)  h2  0 1 − h   3  Lực suy rộng của các lực hoạt động Q = [Q1 Q2 Q3 ] là ma trận cỡ (3x1), gồm các biến điều T khiển u1 , u2 , u3 và có thể được xác định từ hàm thế năng π như sau: =π { g[(m2 c2 + m3 (c3 − q3 ) + m(l3 − q3 ))sin(q1 + q2 ) + (m + m2 + m3 )l1 sin q1 ]} ∂π Q1 =u1 − =u1 + {(m2 + m3 + m)l1 cos(q1 ) + [m2 c2 + m3 (q3 − c3 ) + m(q3 − l3 )]cos(q1 + q2 )]} g ∂q1 ∂π Q2 =u2 − =u2 + {[m2 c2 + m3 (c3 − q3 ) + m(l3 − q3 )]cos(q1 + q2 )]} g ∂q2 ∂π Q3 = 3 − u = 3 − g (m3 + m)sin(q1 + q2 ) u (11) ∂q3 Lực suy rộng Q qt được tính từ các đại lượng như trong [7-9]:  ∂a11 ∂a12 ∂a13     ∂qi ∂qi ∂qi    q1qi   ∂a ∂a22 ∂a23  q q  =  12 ∂i A = 1,3) =  (i  ; qi   (12) ∂qi   2 i  ∂qi ∂qi  q3 qi   ∂a    ∂a23 ∂a33   13   ∂qi  ∂qi ∂qi  Từ đó ta tính được lực Q qt như sau:
108 Chuyển động tối ưu khứ hồi của tay máy bốc xếp theo một quỹ đạo định sẵn Q qt Q qt1 − Q qt 2 = T Q qt1 =Q1qt1 Q2 1 Q3qt1    qt  0.5   ; Qiqt1 = qT ∂ i Aq (i = 1,3) (13) 3 Q qt= 2 ∑ ∂ Aq i =1  i i Phương trình (2) được viết lại như sau:  PT 1 ≡ h3 pt1 − h1 pt 3 = 0  (14)  PT 2 ≡ h3 pt1 − h2 pt 3 =0 Với: ∂π    pt1 a11q1 + a12 q2 + a13 q3 − u1 + = − Q1qt1 + Q1qt 2 ∂q1 ∂π =    pt 2 a12 q1 + a22 q2 + a23 q3 − u2 + − Q2 1 + Q2 2 qt qt (15) ∂q1 ∂π    pt 3 a13 q1 + a23 q2 + a33 q3 − u3 + = − Q3qt1 + Q3qt 2 ∂q3 Theo nguyên lý phù hợp [5-7], chuyển động của cơ hệ với liên kết (8) sẽ nhận được phương trình sau:    PT 3 ≡ h1q1 + h2 q2 + h3 q3  ∂h ∂h ∂h   ∂h ∂h ∂h          +  1 q1 + 1 q2 + 1 q3  q1 +  2 q1 + 2 q2 + 2 q3  q2 (16)  ∂q1 ∂q2 ∂q3   ∂q1 ∂q2 ∂q3   ∂h ∂h ∂h      +  3 q1 + 3 q2 + 3 q3  q3  ∂q1 ∂q2 ∂q3  Nói một cách khác phương trình (16) sẽ là một phương trình thành phần của hệ phương trình mô tả chuyển động của cơ hệ được khảo sát. Như vậy, với các giá trị xác định của các biến điều khiển {u1 , u2 , u3 } sẽ xác định chuyển động của cơ hệ thực hiện yêu cầu là điểm cuối của khâu thao tác sẽ di    chuyển theo quỹ đạo (1). Từ hệ phương trình (15), (16) sẽ xác định được các gia tốc suy rộng {q1 , q2 , q2 } là hàm của các tọa độ suy rộng, vận tốc suy rộng và các biến điều khiển: qi      = qi (q1 , q2 , q3 , q1 , q2 , q3 , u1 , u2 , u3 ) ; i 1,3 = (17) 2. Bài toán điều khiển tối ưu Bài toán đặt ra là xác định các điều khiển tối ưu để chuyển tải không những theo quỹ đạo xác định (1) mà phải vận chuyển đến điểm M B (đích) trên quỹ đạo và sau đó quay về vị trí xuất phát M A cũng theo quỹ đạo lúc đi. Thời gian của hành trình đi và về có ký hiệu tương ứng là td và tv , còn thời gian thực hiện một chu trình (đi và về) được ký hiệu là t f= td + tv . Để thực hiện được điều kiện này sẽ sử dụng Nguyên lý Pontryagin với yêu cầu tối ưu về lực. Đầu tiên cần xác định là điểm đến M B và điểm xuất phát M A phải là điểm của quỹ đạo (1). Từ đây sử đụng ký hiệu “d” ứng với các đại lượng cho hành trình đi và “v” cho hành trình về và tọa độ các điểm đi {xd , yd } và điểm xuất phát (về ) {xv , yv } . Từ các
109 Đ. Đ. Khoa, T. S. Kiên, P. Đ. Phong và Đ. Sanh đại lượng này sử dụng phương pháp ma trận sẽ xác định được các tọa độ suy rộng tương ứng của các điểm đến và về, tức M B (q1d , q2 d , q3d ) và M A (q1v , q2 v , q3v ) Để áp dụng Nguyên lý Pontryagin, cần viết phương trình chuyển động nhờ hệ biến liên hợp: {q1 , q2 , q3 , q4 , q5 , q6 , p1 p2 p3 , p4 , p5 p6 } (18) Một phần của hệ biến này là các biến Lagrange, đó là các biến q1 , q2 , q3 và các biến    q4 ≡ q1 , q5 = q2 , q6 = q3 , còn các biến còn lại được xác định từ hàm Hamilton H: H = f 0 + p1 f1 + p2 f 2 + p3 f3 + p4 f 4 + p5 f5 + p6 f6 − (19) Trong đó: = 0.5{(u1 − k1q1 ) 2 + (u2 − k2 q2 ) 2 + (u3 − k3 q3 ) 2 }, f0 (20) = 6 , f 4  = q= q5 , f 3 q= q1 , f 5 q= q3 f1 4 , f2 = 2 , f 6  Với q1 , q2 , q3 là hàm của các biến liên hợp qi (i = 1,6) .    3.1. Bài toán tối ưu trong hành trình đi Trong hành trình đi, điểm cuối M ( xM , yM ) của khâu thao tác sẽ di chuyển từ điểm M A đến điểm M B trong thời gian 0 ≤ t ≤ td . Bằng cách quy ước dấu xác định của hàm Hamilton trong biểu thức (19), phiếm hàm mục tiêu của hành trình đi là: td =z1 ∫ f dt → min 0 0 (21) Theo nguyên lý Pontryagin [9,10], các điều khiển tối ưu ui (i = 1,3) được tìm từ ∂H ∂H ∂H = 0 ; = 0 ; = 0 (22) ∂u1 ∂u2 ∂u3 Thay các điều khiển ui (i = 1,3) tìm được từ (22) vào hệ phương trình sau: dq1 dq dq dq4 dq5 dq6 dz = f1 ; 2 f= f= f= f= = f 0 = 2; 3 3; 4; 5; f6 ; 1 dt dt dt dt dt dt dt (23) dp1 ∂H dp ∂H dp ∂H dp ∂H dp ∂H dp ∂H =2 =3 =4 =5 =6 = − ; − ; − ; − ; − ; − dt ∂q1 dt ∂q2 dt ∂q3 dt ∂q4 dt ∂q5 dt ∂q6 sẽ tìm được chuyển động tối ưu với điều kiện biên thích hợp. Nguyên lý phù hợp đảm bảo chuyển động thực hiện yêu cầu về quỹ đạo, còn để đảm bảo di chuyển đến đúng vị trí đích M B cần phải chọn điều kiện biên thích hợp. Để đến được điểm đích cần thực hiện điều kiện Gd 0.5[( xM − xd ) 2 + ( yM − yd ) 2 ] 0 = = (24) Chọn điều kiện biên bằng cách thay { x, y} biểu diễn qua các tọa độ suy rộng vào biểu thức (24) và tính các đại lượng: ∂Gd ∂Gd ∂Gd =λ1 = =; λ2 ; λ3 (25) ∂q1 ∂q2 ∂q3
110 Chuyển động tối ưu khứ hồi của tay máy bốc xếp theo một quỹ đạo định sẵn Trong hành trình đi, bài toán được giải quyết nhờ nghiệm của hệ phương trình (22) với các điều kiện biên như sau: q1 (0) = , q2 (0) = , q3 (0) = , q1 (td ) =d , q2 (td ) = d , q3 (td ) = d , q10 q20 q30 q1 q2 q3    (26)  p1 (td ) λ1d , p2 (td ) λ2 d , p3 (td ) λ3d , p4 (td ) 0, p5 (td ) 0, p6 (td ) 0, z1 (td ) 0  = = = = = = = Trong = λi (t= 1,3 . đó λid d) ; i 3.2. Bài toán tối ưu trong hành trình về Trong hành trình về, điểm cuối M ( xM , yM ) của khâu thao tác sẽ di chuyển từ điểm M B đến điểm M A trong thời gian td ≤ t ≤ t f . Bằng cách quy ước dấu xác định của hàm Hamilton trong biểu thức (19), phiếm hàm mục tiêu của hành trình về là: tf =z2 ∫ f dt → min td 0 (27) Để trở về đúng vị trí xuất phát, cần thực hiện điều kiện: Gv 0.5[( xM − xv ) 2 + ( yM − yv ) 2 ] 0 = = (28) Ứng với điều kiện (28), điều kiện biên có dạng: ∂Gv ∂Gv ∂Gv =µ1 = =; µ2 ; µ3 (29) ∂q1 ∂q2 ∂q3 Với hành trình về, ngoài các biến liên hợp đã chọn, đưa vào biến zv thay cho biến zd . Như vật hệ phương trình khi quay về là: dq1 dq dq dq4 dq5 dq6 dz = f1 ; 2 f= f= f= f= f 6 ; 2 f 0 ; = 2; 3 3; 4; 5; = dt dt dt dt dt dt dt (30) dp1 ∂H dp ∂H dp ∂H dp ∂H dp ∂H dp ∂H =2 =3 =4 =5 =6 = − ; − ; − ; − ; − ; − dt ∂q1 dt ∂q2 dt ∂q3 dt ∂q4 dt ∂q5 dt ∂q6 Với điều kiện biên: = q= q= q= q= q= q3v , q1 (td ) 1d , q2 (td ) 2 d , q3 (td ) 3d , q1 (t f ) 1v , q2 (t f ) 2 v , q3 (t f )      (31)  p1 (t f ) µ1 f , p2 (t f ) µ2 f , p3 (t f ) µ3 f , p4 (t f ) 0, p5 (t f ) 0, p6 (t f ) 0, z2 (t f ) 0   = = = = = = =   Trong= µi (t f ) ; i 1,3 . đó µif = 4. Mô phỏng số Số liệu của tay máy: l1 = 0.5 (m), l3 = 0.75 (m), m2 = 15 (kg ), m3 = 10 (kg ), c1 = 0, c2 = 0.25 (m), c3 = 0.0375 (m), J1 = 2 ), J 2 = 2 ), J 3 = 2 ), g =/s 2 ), k1 = /rad ), 2.5 (kgm 1.5 (kgm 1(kgm 10 (m 45 ( Nm k2 = 25 ( Nm /rad ), k3 = 25 ( N /m), t f = 2 ( s ), td = 1, 25 ( s ) Khối lượng vận chuyển đi là: md = (kg ), mv = (kg ). 25 0
111 Đ. Đ. Khoa, T. S. Kiên, P. Đ. Phong và Đ. Sanh Quỹ đạo vận chuyển: y =ax + b với a = 0.5 (m), b = 1(m) . − Tọa độ điểm đến M d = M B trong hành trình đi và tọa độ điểm đến M v = M A trong hành trình về là M d ( = 0.1294095225, = 0.9352952387) (m); M v (= 1.196152423, = 0.4019237886) (m) . xd yd xv yv 4.1. Kết quả mô phỏng hành trình đi Điểm cuối khâu thao tác di chuyển từ điểm M A đến điểm M B trong thời gian 0 ≤ t ≤ 1.25 ( s ) . Các điều kiện biên cho hành trình đi như sau: q1 (0) == ) =  π /6, q3 (0) −0.0538475772, q1 (td 5π /12, q2 (td ) = 0, q2 (0) = π /12,   = = = = =  q3 (td ) 0.2976676745, p1 (td ) 0, p2 (td ) 0, p3 (td ) 0, p4 (td ) 0,  (32)  p (t ) = (t ) = (t ) =   5 d 0, p6 d 0, z1 d 0  Hình 2. Tọa độ suy rộng hành trình đi Hình 3. Vận tốc suy rộng hành trình đi Hình 4. Tọa độ điểm cuối hành trình đi Hình 5. Quỹ đạo điểm cuối hành trình đi
112 Chuyển động tối ưu khứ hồi của tay máy bốc xếp theo một quỹ đạo định sẵn Hình 6. Lực điều khiển hành trình đi Hình 7. Hàm mục tiêu hành trình đi Kiểm tra điểm đến: - Kết quả từ phần mềm các tọa độ suy rộng là = 1.30899693899575 (= 0.268799387799149 (rad ); q3 (td );0.2976676745 (rad ) q1 (td ) rad ); q2 (td ) - Từ (7) tính được: xd = q3 (td ) cos(q1 (td ) + q2 (td )) + l1 cos(q1 (td )) = (l3 − 0.1294095225 (m) yd = q1 (td ) + q2 (td )) + l1 sin(q1 (td )) = 0.9352952387 (m) (l3 − q3 (td )sin( Từ các kết quả mô phỏng, có thể thấy điểm cuối khâu thao tác di chuyển chính xác theo quỹ đạo định sẵn và giữ cho phiếm hàm mục tiêu đạt giá trị rất nhỏ trong quá trình di chuyển. 4.2. Kết quả mô phỏng hành trình về Điểm cuối khâu thao tác di chuyển từ điểm M B đến điểm M A trong thời gian 1.25 ≤ t ≤ 2 ( s ) . Các điều kiện biên cho hành trình về như sau: q1 (td ) = 5π= π= 0.2976676745, /12, q2 (td ) /12, q3 (td )    q1 (t f ) = 0, q2 (t f ) = π /6, q3 (t f ) = −0.05384757720,  (33)    p1 (t f = 0, p2 (t f = 0, p3 (t f = 0, p4 (t f = 0, p5 (t f = 0, p6 (t f = 0, z2 (t f = 0  ) ) ) ) ) ) )
113 Đ. Đ. Khoa, T. S. Kiên, P. Đ. Phong và Đ. Sanh Hình 8. Tọa độ suy rộng hành trình về Hình 9. Vận tốc suy rộng hành trình về Hình 10. Tọa độ điểm cuối hành trình về Hình 11. Quỹ đạo điểm cuối hành trình về Hình 12. Lực điều khiển hành trình về Hình 13. Hàm mục tiêu hành trình về Kiểm tra điểm về: - Kết quả từ phần mềm các tọa độ suy rộng là q1 (t f ) = 0(rad ); q2( t f ) = (0.523598775598299 (rad ); q3 (t f ) = 0.05384757720 (rad ) - Từ (7) tính được: xv = (0.75 + 0.05384757720) cos(0.523598775598299) + 0.5= 1.196152423; yv = (0.75 + 0.05384757720)sin(0.523598775598299) = 0.4019237886 Từ kết quả mô phỏng, có thể thấy quỹ đạo điểm cuối khâu thao tác trong hành trình về giống với quỹ đạo trong hành trình đi, hàm mục tiêu hành trình về cũng được giữ đạt giá trị rất nhỏ trong quá trình di chuyển. Bài toán điều khiển tối ưu tay máy chuyển động khứ hồi trên quỹ đạo định sẵn đã được thực hiện thông qua áp dụng phương pháp đã đề xuất. 5. Kết luận Bài báo khảo sát chuyển động của tay máy bốc xếp với các yêu cầu sau: Bị ràng buộc về quỹ đạo, tối ưu về động lực và chuyển động khứ hồi giữa 2 vị trí được định trước trên quỹ đạo. Khó khăn đối với bài toán là phải xử lý cùng lúc nhiều yêu cầu như ràng buộc quỹ đạo, tối ưu động lực, ràng buộc điểm
114 Chuyển động tối ưu khứ hồi của tay máy bốc xếp theo một quỹ đạo định sẵn xuất phát và điểm đến, đặc biệt phải chọn được điều kiện biên thích hợp. Để xử lý yêu cầu về ràng buộc quỹ đạo đã sử dụng Nguyên lý Phù hợp, để đạt được tiêu chuyển tối ưu về động lực đã áp dụng Nguyên lý Pontryagin, còn yêu cầu về chuyển động khứ hồi giữa hai vị trí xác định sẽ được giải quyết nhờ việc chọn các điều kiện biên thích hợp. Đây là khó khăn khi sử dụng Nguyên lý tối ưu Pontryagin do Nguyên lý Pontryagin chỉ là điều kiện cần. Với sự hỗ trợ của phương pháp ma trận truyền các phương pháp đề xuất để giải quyết bài toán đặt ra đã được áp dụng cho bài toán tay máy bốc xếp phẳng gồm hai khâu quay và một khâu tịnh tiến. Tính đúng đắn của phương pháp đề xuất đã được khẳng định qua các kết quả nhận được từ việc mô phỏng sử dụng phần mềm Maple. Tài liệu tham khảo [1] Athans M., and Falb P.L., Optimal Control, McGraw-Hill Book Company, New York, (1966). [2] Angelles, Fundamentals of Robotic Mathematical Systems, Second Edi., Springer-Verlag, New York, (2003). [3] Pontryagin, L.S., et al.: The Mathematical Theory of Optimal Processes, trans. by Triorgoff, K., Interscience Publishers, John Wiley and Sons. Inc., New York, US (1962). [4] Julius T. Tou J., Modern Control Theory, Mc Graw-Hill Book Company Inc., New York, (1964). [5] Sanh, D.: On the principle of compatibility and equations of motion of constrained. In: Mechanical Systems ZAMM 60, Berlin (1980), pp. 210–212 [6] Sanh, D.: On the motion of controlled mechanical systems. Adv. Mech.2(7), Varsawa, (1984), pp 3–24. [7] Sanh, D.: On the Motion of Constrained Mechanical Systems Mechanisms, Thesis of Doctorate in Science, Hanoi University of Science and Technology, Vietnam (1984). [8] Do, S., Do, D.K.: Method of transmission matrix applying for investigation of motion of planar mechanism. Mach. Dyn. Res.34(4), Varsaw (2010), pp 5–22. [9] Đỗ Sanh, Đỗ Đăng Khoa, Điều khiển tối ưu các hệ động lực – Điều khiển chương trình và điều khiển tối ưu, Nhà xuất bản Bách Khoa, (2010). [10] Đỗ Sanh, Đỗ Đăng Khoa, Phan Đăng Phong, Điều khiển động lực học máy và rô bốt, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, (2010). [11] Do Sanh, D.V.P., Do Dang Khoa, T.D.: A method for solving the motion of constrained mechanical systems. In: Proceedings of the 16th Asian Pacific Vibration Conference, Hanoi, Vietnam (2015), pp. 803–811. [12] Nguyễn Nhật Lệ, Nguyễn Văn Quyền, Giải bài toán tối ưu hóa và điều khiển tối ưu bằng phần mềm Maple, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, Hà Nội, (2018). [13] Nguyễn Doãn Phước, Tối ưu hóa trong điều khiển và điều khiển tối ưu, Nhà xuất bản Bách Khoa, Hà Nội, (2016). [14] Nguyễn Văn Khang, Nguyễn Văn Quyền, Lương Bá Trường, Nguyễn Văn Long, Động lực học tay máy robot có liên kết chương trình, Tuyển tập hội nghị khoa học toàn quốc lần thứ nhất, Đà Nẵng, (2019), trang 177-183. [15] Do Dang Khoa, Tran Si Kien, Phan Dang Phong, Do Sanh, Optimal Control of a 3-link Robot Manipulator Moving to a Prescribed Trajectory, Advances in Asian Mechanism and Machine Science, Proceedings of IFToMM Asian MMS, (2021), pp. 455-462. [16] Do Dang Khoa, Tran Si Kien, Phan Dang Phong, Do Sanh, Optimal Control of a 3-DOF Robot Manipulator Prescribed to a Trajectory, Advances in Asian Mechanism and Machine Science, Proceedings of IFToMM Asian MMS (2021), pp. 462-471. [17] Do Dang Khoa, Tran Si Kien, Phan Dang Phong, Do Sanh, Analysis of Optimal Motion of the Palletizing Manipulator in an Operating Cycle, Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc lần thứ hai, (2022), pp. 37-41. [18] Binh Vu Duc, Khoa Do Dang, Phong Phan Dang, Sanh Do, Dynamics Analysis of a 3- DOF Manipulator subject to Non ideal Constraints in Environment Interaction Optimal Motion, Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc lần thứ hai, (2022), pp. 8-13.