Đẳng thức lượng giác đến bất đẳng thức đại số P1
lượt xem 154
download
" Đẳng thức lượng giác đến bất đẳng thức đại số P1 " để giúp các em học sinh có tài liệu ôn tập, luyện tập nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các bài tập toán học một cách thuận lợi và tự kiểm tra đánh giá kết quả học tập của mình
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Đẳng thức lượng giác đến bất đẳng thức đại số P1
- G.NTH 1. C¸c kiÕn thøc cÇn n¾m 1.1. C¸c hÖ thøc c¬ b¶n 1 π + cos 2 α + sin 2 α = 1 + 1 + tg2α = (α ≠ + kπ) cos α 2 2 kπ 1 + tgα . cotgα = 1 (α ≠ ) + 1 + cotg2α = (α ≠ kπ) 2 sin 2 α 1.2. C«ng thøc céng gãc + cos(α ± β) = cosα cosβ sinα sinβ + sin(α ± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ tgα ± tgβ π + tg (α ± β) = (α ; β ≠ + kπ) 1 tgα tgβ 2 cot gα. cot gβ 1 + cotg(α ± β) = (α; β ≠ kπ) cot gα ± cot gβ 1.3. C«ng thøc nh©n + sin2α = 2 sinα cosα + cos2α = cos2α - sin2α = 2cos2α - 1 = 1 - 2sin2α 2 tgα π π + tg2α = (α ≠ + k ) 1 − tg α 2 4 2 cot g 2 α − 1 kπ + cotg2α = (α ≠ ) 2 cot gα 2 + sin3α = 3sinα - 4sin3α + cos3α = 4cos3α - 3cosα 3tgα − tg 3α π π + tg3α = (α ≠ + k ) 1 − 3tg α3 6 3 1.4. C«ng thøc h¹ bËc 1 + cos 2α 1 − cos 2α + cos2α = + sin2α = 2 2 1 − cos 2α π + tg2α = (α ≠ + kπ) 1 + cos 2α 2 1.5. C«ng thøc biÕn ®æi tæng thµnh tÝch: α+β α −β + cosα + cosβ = 2cos cos 2 2 α +β α β + cosα - cosβ = - 2sin sin 2 2 α+β α β + sinα + sinβ = 2sin cos 2 2 α +β α −β + sinα - sinβ = = - 2cos sin 2 2 1
- G.NTH sin(α ± β) π + tgα ± tgβ = (α; β ≠ + kπ) cos α. cos β 2 1.6. C«ng thøc biÕn ®æi tÝch thµnh tæng: 1 + cosα.cosβ = [cos(α + β) + cos(α − β)] 2 1 + sinα.sinβ = [cos(α − β) + cos(α + β)] 2 1 + sinα.cosβ = [sin(α + β) + sin(α − β)] 2 BiÓu thøc lîng gi¸c BiÓu thøc ®¹i sè C«ng thøc lîng gi¸c t¬ng tù 1 1 + x2 1 + tan2t 1+tan2t = cos 2 t 4x3 - 3x 4cos3t - 3cost 4cos3t - 3cost = cos3t 2x2 - 1 2cos2t - 1 2cos2t - 1 = cos2t 2x 2 tan t 2 tan t = tan2t 1− x2 1 − tan 2 t 1 − tan 2 t 2x 2 tan t 2 tan t = sin2t 1+ x2 1 + tan 2 t 1 + tan 2 t x+y tan + tan tan + tan = tan(α+β) 1 − xy 1 − tan tan 1 − tan tan 1 1 x2 - 1 −1 − 1 = tan2α cos α 2 cos α 2 ... .... ...... mét sè ph¬ng ph¸p lîng gi¸c ®Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè I. D¹ng 1: Sö dông hÖ thøc sin2 + cos2 = 1 1) Ph¬ng ph¸p: x = sin α a) NÕu thÊy x2 + y2 = 1 th× ®Æt víi α ∈ [0, 2π] y = cos α x = r sin b) NÕu thÊy x2 + y2 = r2 (r > 0) th× ®Æt víi α ∈ [0, 2π] y = r cos 2. C¸c vÝ dô minh ho¹: VD1: Cho 4 sè a, b, c, d tho¶ m·n: a2 + b2 = c2 + d2 = 1 Chøng minh r»ng: − 2 ≤ a(c+d) + b(c-d) ≤ 2 2
- G.NTH Gi¶i: a = sin u c = sin v §Æt vµ ⇒ S = sinu(sinv+cosv) + cosu(sinv-cosv) b = cos u d = cos v ⇒ P = a(c+d) + b(c-d) = (sinucosv+cosusinv) - (cosucosv - sinusinv) = sin(u+v) - cos(u+v) π ⇔ S = 2 sin(u + v) − ∈[− 2, 2] ⇒ − 2 ≤ S = a(c + d) + b(c − d) ≤ 2 (®pcm) 4 2 2 1 1 25 VD2: Cho a + b = 1. Chøng minh r»ng: a 2 + 2 + b 2 + 2 ≥ 2 2 a b 2 Gi¶i: §Æt a = cosα vµ b = sinα víi 0 ≤ α ≤ 2π. ThÕ vµo biÓu thøc vÕ tr¸i råi biÕn ®æi. 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 a + 2 + b + 2 = cos α + + sin α + 2 a b cos α 2 sin α 1 1 cos 4 α + sin 4 α = cos4α + sin4α + + 4 + 4 = cos 4 α + sin 4 α + +4 cos 4 α sin α cos 4 α. sin 4 α ( = cos 4 α + sin 4 α 1 +) 1 +4 cos α. sin α 4 4 [( ) = cos 2 α + sin 2 α − 2 cos 2 α sin 2 α 1 +] 1 +4 cos α. sin α 4 4 1 16 1 17 25 = 1 − sin 2 2α 1 + 4 + 4 ≥ 1 − (1 + 16) + 4 = + 4 = (®pcm) 2 sin 2α 2 2 2 B©y giê ta ®Èy bµi to¸n lªn møc ®é cao h¬n mét bíc n÷a ®Ó xuÊt hiÖn a2+b2=1 VD3: Cho a2 + b2 - 2a - 4b + 4 = 0. Chøng minh r»ng: A = a 2 − b 2 + 2 3ab − 2(1 + 2 3 )a + (4 − 2 3 )b + 4 3 − 3 ≤ 2 Gi¶i: BiÕn ®æi ®iÒu kiÖn: a2 + b2 - 2a - 4b + 4 = 0⇔ (a-1)2 + (b-2)2 = 1 a − 1 = sin α a = 1 + sin α §Æt ⇒ ⇒ A = sin 2 α − cos 2 α + 2 3 sin α cos α b − 2 = cos α b = 2 + cos α 3 1 π A = 3 sin 2α − cos 2α = 2 sin 2α − cos 2α = 2 sin( 2α − ) ≤ 2 (®pcm) 2 2 6 VD4: Cho a, b tho¶ m·n : 5a + 12b + 7 = 13 3
- G.NTH Chøng minh r»ng: a2 + b2 + 2(b-a) ≥ - 1 Gi¶i: BiÕn ®æi bÊt ®¼ng thøc: a2 + b2 + 2(b-a) ≥ - 1 ⇔ (a-1)2 + (b + 1)2 ≥ 1 a − 1 = R sin α a = R sin α + 1 §Æt víi R ≥ 0 ⇔ ⇔ (a − 1) 2 + (b + 1) 2 = R 2 b + 1 = R cos α b = R cos α − 1 Ta cã: 5a + 12b + 7 = 13 ⇔ 5(R sin α + 1) + 12(R cos α − 1) + 7 = 13 5 12 5 ⇔ 5R sin α + 12R cosα = 13 ⇔ 1 = R sin α + cosα = R sin α + arccos ≤ R 13 13 13 Tõ ®ã ⇒ (a-1)2 + (b+1)2 = R2 ≥ 1 ⇔ a2 + b2 + 2(b - a) ≥ - 1 (®pcm) II. D¹ng 2: Sö dông tËp gi¸ trÞ | sin α |≤ 1 ; | cos α | ≤ 1 1. Ph¬ng ph¸p: x = sin khi ∈ − 2 ; 2 a) NÕu thÊy |x| ≤ 1 th× ®Æt x = cos khi ∈ [ 0; ] x = m sin khi ∈ − 2 ; 2 b) NÕu thÊy |x| ≤ m ( m ≥ 0 ) th× ®Æt x = m cos khi ∈ [ 0; ] 2. C¸c vÝ dô minh ho¹: VD1: Chøng minh r»ng: (1+x)p + (1-x)p ≤ 2p ∀ |x| ≤ 1 ; ∀ P ≥ 1. Gi¶i: §Æt x = cosα víi α ∈ [0, π], khi ®ã (1 + x)p + (1 - x)p = (1+cosα)p + (1-cosα)p p p α α α α α α = 2 cos 2 + 2 sin 2 = 2 p cos 2 p + sin 2 p ≤ 2 p cos 2 + sin 2 = 2 p 2 2 2 2 2 2 (®pcm) 3−2 3+2 VD2: Chøng minh r»ng: ≤ 3x 2 + x 1 − x 2 ≤ 2 2 Gi¶i: Tõ ®k 1 - x2 ≥ 0 ⇔ |x| ≤ 1 nªn §Æt x = cosα víi 0 ≤ α ≤ π ⇒ 1 − x 2 = sinα. Khi ®ã ta cã: P= 2 3 x 2 + 2 x 1 − x 2 = 2 3 cos 2 + 2 cos sin = 3 (1 + cos 2 ) + sin 2 4
- G.NTH 3 1 π = 2 cos2α + sin 2α + 3 = 2 sin 2α + + 3 ⇒ 3 − 2 ≤ A ≤ 3 + 2 (®pcm) 2 2 3 VD3: Chøng minh r»ng: 1 + 1 − a 2 [ (1 + a) 3 ] − (1 − a )3 ≤ 2 2 + 2 − 2a 2 (1) Gi¶i: Tõ ®k |a| ≤ 1 nªn α α §Æt a=cosα víi α∈[0,π] ⇒ 1 − a = 2 sin ; 1 + a = 2 cos ; 1 − a 2 = sin α 2 2 α α α α α α (1)⇔ 1 + 2 sin cos .2 2 cos 3 − sin 3 ≤ 2 2 + 2 2 sin cos 2 2 2 2 2 2 α α α α α α α α α α ⇔ sin + cos cos − sin cos2 + sin cos + sin 2 ≤ 1 + sin cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 α α α α α α ⇔ sin + cos cos − sin = cos 2 − sin 2 = cos α ≤ 1 ®óng ⇒ (®pcm) 2 2 2 2 2 2 ( ) ( VD4: Chøng minh r»ng: S = 4 (1 − a 2 )3 − a 3 + 3 a − 1 − a 2 ≤ 2 ) Gi¶i: Tõ ®k |a| ≤ 1 nªn: §Æt a = cosα víi α ∈ [0, π] ⇒ 1 − a 2 = sinα. Khi ®ã biÕn ®æi S ta cã: S= 4(sin 3 α − cos 3 α) + 3(cos α − sin α) = (3 sin α − 4 sin 3 α) + (4 cos 3 α − 3 cos α) π = sin 3α + cos 3α = 2 sin 3α + ≤ 2 ⇒ (®pcm) 4 ( VD5: Chøng minh r»ng A = a 1 − b 2 + b 1 − a 2 + 3 ab − (1 − a 2 )(1 − b 2 ) ≤ 2 ) Gi¶i: Tõ ®iÒu kiÖn: 1 - a2 ≥ 0 ; 1 - b2 ≥ 0 ⇔ |a| ≤ 1 ; |b| ≤ 1 nªn. π π §Æt a = sinα, b = sin β víi α, β ∈ − ; 2 2 Khi ®ã A = sin α cos β + cos α sin β − 3 cos(α + β) = 1 3 π = sin(α + β) − 3 cos(α + β) = 2 sin(α + β) − cos(α + β) = 2 sin(α + β) − ≤ 2 2 2 3 (®pcm) VD6: Chøng minh r»ng: A = |4a3 - 24a2 + 45a - 26| ≤ 1 ∀a ∈ [1; 3] 5
- G.NTH Gi¶i: Do a ∈ [1, 3] nªn |a-2| ≤ 1 nªn ta ®Æt a - 2 = cosα ⇔ a = 2 + cosα. Ta cã: A = 4(2 + cosα)3 − 24 2 + cosα)2 + 45 2 + cosα) − 26 = 4cos α − 3cosα = cos3α ≤1 ( ( 3 (®pcm) VD7: Chøng minh r»ng: A = 2a − a 2 − 3a + 3 ≤ 2 ∀ a ∈[0, 2] Gi¶i: Do a ∈ [0, 2] nªn |a-1| ≤ 1 nªn ta ®Æt a - 1 = cosα víi α ∈ [0, π]. Ta cã: A= 2(1 + cos α ) − (1 − cos α ) 2 − 3 (1 + cos α ) + 3 = 1 − cos 2 α − 3 cos α 1 3 π = sin α − 3 cos α = 2 sin α − 2 cos α = 2 sin α + ≤ 2 (®pcm) 2 3 1 1 π III. D¹ng 3: Sö dông c«ng thøc: 1+tg2 = ⇔tg2α= 2 −1 (α ≠ + kπ) cos α 2 cos α 2 1) Ph¬ng ph¸p: a) NÕu |x| ≥ 1 hoÆc bµi to¸n cã chøa biÓu thøc x2 −1 1 π 3π th× ®Æt x = víi α∈ 0; ∪ π, cos α 2 2 b) NÕu |x| ≥ m hoÆc bµi to¸n cã chøa biÓu thøc x 2 − m2 m π 3π th× ®Æt x = víi α∈ 0; ∪ π, cos α 2 2 2. C¸c vÝ dô minh ho¹: a2 −1 + 3 VD1: Chøng minh r»ng A = ≤ 2 ∀ a ≥1 a Gi¶i: Do |a| ≥ 1 nªn : 1 π 3π §Æt a = víi α∈ 0; ∪ π, ⇒ a 2 − 1 = tg 2 α = tgα . Khi ®ã: cos α 2 2 a 2 −1 + 3 π A= = (tgα + 3) cosα = sin α + 3 cosα = 2 sin α + ≤ 2 (®pcm) a 3 5 − 12 a 2 − 1 VD2: Chøng minh r»ng: - 4 ≤ A = ≤ 9 ∀ a ≥1 a2 Gi¶i: 6
- G.NTH Do |a| ≥ 1 nªn: 1 π 3π §Æt a = víi α∈ 0; ∪ π, ⇒ a 2 − 1 = tg 2 α = tgα . Khi ®ã: cos α 2 2 5−12 a2 −1 5(1+ cos2α) A = 2 = (5-12tgα)cos2α = 5cos2α-12sinαcosα= − 6sin2α a 2 5 13 5 12 5 13 5 = + cos 2α − sin 2α = + cos 2α + arccos 2 2 13 13 2 2 13 5 13 5 13 5 5 13 ⇒-4= + (−1) ≤ A = + cos 2α + arccos ≤ + .1 = 9 (®pcm) 2 2 2 2 13 2 2 a 2 − 1 + b2 − 1 VD3: Chøng minh r»ng: A = ≤1 ∀ a ; b ≥1 ab Gi¶i: Do |a| ≥ 1; |b| ≥ 1 nªn . 1 1 π 3π §Æt a = ;b= víi α∈ 0; ∪ π, . Khi ®ã ta cã: cos α cos β 2 2 A = ( tgα + tgβ) cos α cos β = sin α cos β + sin β cos α = sin(α + β) ≤ 1 (®pcm) a VD4: Chøng minh r»ng: a + ≥ 2 2 ∀ a >1 a −1 2 Gi¶i: Do |a| > 1 nªn: 1 π a 1 1 1 §Æt a = víi α∈ 0; ⇒ = . = . Khi ®ã: cos α 2 a 2 − 1 cos α tg 2 α sin α a 1 1 1 1 2 2 a+ = + ≥ 2. . = ≥ 2 2 (®pcm) a2 −1 cos α sin α cos α sin α sin 2α VD5: Chøng minh r»ng y x 2 − 1 + 4 y 2 − 1 + 3 ≤ xy 26 ∀ x ; y ≥ 1 Gi¶i: x2 − 1 1 4 y2 − 1 3 BÊt ®¼ng thøc ⇔ + + ≤ 26 (1) x x y y 1 1 π Do |x|; |y| ≥ 1 nªn §Æt x = ; y= víi α, β∈ 0 . , cos α cosβ 2 7
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
LƯỢNG GIÁC MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ ỨNG DỤNG - TẬP 1 : BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC VÀ HỆ THỨC LƯỢNG
211 p | 962 | 485
-
Giáo trình: Bất Đẳng Thức Lượng Giác
106 p | 1165 | 275
-
Công thức lượng giác và bất đẳng thức cần nắm
14 p | 906 | 239
-
Phân loại và phương pháp giải các dạng toán Đại số 10: Cung góc, lượng giác, công thức lượng giác
9 p | 902 | 233
-
Chuyên Đề : bất đẳng thức lượng giác
101 p | 609 | 155
-
Bài giảng Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) - ThS. Lê Văn Đoàn
132 p | 667 | 145
-
Đẳng thức lượng giác đến bất đẳng thức đại số P2
7 p | 316 | 119
-
Bất đẳng thức lượng giác - Lê Tuấn Tú
112 p | 327 | 76
-
Công thức lượng giác và các dạng bài tập
19 p | 371 | 75
-
Công thức lượng giác và bài tập có lời giải
11 p | 558 | 74
-
Ứng dụng lượng giác giải bài toán bất đẳng thức hình học - Hoàng Minh Quân
8 p | 310 | 42
-
Luyện thi vào Đại học và Cao đẳng - Tuyển tập 570 bài toán lượng giác chọn lọc từ năm 1990 đến 1999-2000 (In lần thứ hai): Phần 1
272 p | 126 | 23
-
Chủ đề Nhận diện tam giác - Tuyển tập Đề thi vào Đại học, Cao đẳng từ năm 1970 đến 2000-2001 toàn quốc: Phần 1
132 p | 189 | 22
-
Một số phép biến đổi thường dùng khi giải phương trình lượng giác
9 p | 283 | 21
-
Tổng hợp các kiến thức lượng giác
7 p | 154 | 13
-
Chương 4: Một số vấn đề liên quan đến lượng giác và bất đẳng thức
22 p | 89 | 9
-
Một vài cách nhớ các công thức lượng giác
5 p | 101 | 9
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn