Báo cáo khoa học: " DẠY VÀ HỌC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 2 HỆ SỐ HẰNG VỚI SỰ TRỢ GIÚP PHẦN MỀM TOÁN HỌC MAPLE"

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(28).2008

DẠY VÀ HỌC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 2 HỆ SỐ HẰNG VỚI SỰ TRỢ GIÚP PHẦN MỀM TOÁN HỌC MAPLE TEACHING AND LEARNING LINEAR EQUATIONS OF THE SECOND ORDER CONSTANT FACTOR WITH THE HELP OF MAPLE MATHEMATICAL SOFTWARE

Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

TRẦN QUỐC CHIẾN

HV Cao học khoá 2005 – 2008

TRẦN NGỌC VIỆT

TÓM TẮT

Mục tiêu của bài báo này là viết chương trình toán học bằng phần mềm MAPLE để phân tích quá trình giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng với điều kiện ban đầu (Bài toán Cauchy). Từ đó áp dụng giải một số bài toán dạng phương trình vi phân cấp 2.

ABSTRACT

This paper presents a new approach to solve differential equations of the second order constant factor with initial conditions (Cauchy problem) with THE help of program written with the Maple software. This program is then applied to some linear equations of the second order.

=

1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 Định nghĩa 1.1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có dạng

y

+ ''

p x y ( )

+ '

q x y ( )

f x ( )

(1.1)

,

p x q x

( ), ( ),

f x là các hàm số liên tục.

( )

trong đó

f x = , thì (1.1) gọi là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất có dạng ( ) 0

y

+ ''

p x y ( )

+ '

q x y ( )

= 0

(1.2)

+ Nếu

0

=

+ Nếu

f x ≠ , thì (1.1) gọi là phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất có ( ) (1.3)

p x y ( )

q x y ( )

f x ( )

+ ''

+ '

y

dạng

p x q x là các hằng số thì (1.1) gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 2

( ), ( )

+ Nếu

hệ số hằng.

2

Định lý 1.2. Nếu ( ), ( ) y x y x là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình vi phân 1

=

+

y C y x C y x ( ) ( )

2

2

1 1

62

thuần nhất (1.2) thì là nghiệm tổng quát của (1.2) , trong đó

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(28).2008

1

2

,C C là 2 hằng số tùy ý.

Chứng minh. Xem tài liệu tham khảo [4], định lý 5.3, tr.220.

Định lý 1.3. Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất bằng tổng của

nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất ( )y và một nghiệm riêng nào đó ( )Y của

phương trình không thuần nhất là y = + . y Y

Chứng minh. Xem tài liệu tham khảo [4], định lý 5.9, tr.227.

2. Phương pháp giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng

y

+ ''

p y .

+ '

q y .

= , 0

(2.1)

2.1. Phương trình thuần nhất. Cho phương trình thuần nhất có dạng

,p q là 2 hằng số.

trong đó

2

Để giải phương trình thuần nhất (2.1) ta thực hiện như sau:

(2.2)

+ - Giải phương trình đặc trưng: + = , k p k q . 0

- Căn cứ vào các trường hợp sau để kết luận nghiệm:

2

k x . 1

k x . 2

+ Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm phân biệt ,k k thì nghiệm tổng quát của 1

=

+

phương trình thuần nhất là , với

y C e .

1

,C C là 2 hằng số tùy ý.

C e . 2

1

2

2

1

+ Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép thì nghiệm tổng quát của phương k= k 1

=

+

trình thuần nhất là , với

y

. ). k x

,C C là 2 hằng số tùy ý.

C C x e ( 2

1

1

2

2

= + = − + Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm phức thì nghiệm α β i , k α β i k 1

=

β

tổng quát của phương trình thuần nhất là , với

y

.cos

+ x C

.sin

β x

)

α x . e C ( 1

2

1

,C C là 2

=

2 hằng số tùy ý.

y

+ ''

p y .

+ '

q y .

f x ( )

(2.3)

2.2. Phương trình không thuần nhất. Cho phương trình không thuần nhất có dạng ,

f x ≠ . ( )

0

,p q là 2 hằng số và

trong đó

Để giải phương trình không thuần nhất (2.3) ta thực hiện như sau:

Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất ( )y thực hiện như nêu trên.

x

.

Bước 2: Tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất ( )Y thực hiện như sau:

nP x là đa thức bậc n

n

= *Trường hợp 1. Vế phải có dạng , f x ( ) P x eα ( ). ( )

2

.

x

=

+ Nếu α α≠ ( ) không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng (2.2) thì tìm k k , 1

( ).

Y Q x eα

nQ x cùng bậc với

nP x . ( )

n

nghiệm riêng dưới dạng , ( )

2 )kα≡

63

+ Nếu α là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng (2.2) thì tìm kα≡ hoặc ( 1

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(28).2008

.

x

=

Y

x Q x eα . ( ).

nQ x cùng bậc với

nP x . ( )

n

nghiệm riêng dưới dạng , ( )

2

x

2

.

=

= + Nếu α α≡ ( là nghiệm kép của phương trình đặc trưng (2.2) thì tìm nghiệm k 1

Y

( ).

.

nQ x cùng bậc với

nP x . ( )

n

x

=

+

riêng dưới dạng , ( ) ) k x Q x eα

f x ( )

α . e

(

β ( ) co s

( ) sin

β x

)

P x m

x P x n

*Trường hợp 2. Vế phải có dạng ,

,m n và β là hằng số.

n

trong đó ( ), ( ) P x P x là những đa thức bậc m

.iα β±

=

β

β

=

+ Nếu không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng (2.2) thì tìm nghiệm

Y

α x . ( e

.cos

.sin

x k ),

max( ,

n m

)

P k

+ x Q k

riêng dưới dạng .

.iα β± α . x

=

β

β

=

+ Nếu là nghiệm của phương trình đặc trưng (2.2) thì tìm nghiệm riêng dưới

(

.cos

.sin

max( ,

)

Y

. x e

), x k

n m

P k

+ x Q k

dạng .

Bước 3: Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là y = + . y Y

3. Chương trình toán học giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng

trả về dữ liệu nhập

3.1. Lệnh nhập xuất dữ liệu + Hàm readstat(""): hiện dấu nhắc từ bàn phím.

print(data1, data2,… ): hiển thị dữ liệu ra màn hình. Lưu ý: xâu ký .

+ Hàm tự đặt trong dấu ` ` 3.2. Xây dựng thủ tục trong Maple + Maple là một ngôn ngữ lập trình hướng thủ tục (procedure). Chế độ thủ tục được thực hiện bằng cách đóng gói một dãy các lệnh xử lí cùng một công việc vào một thủ tục duy nhất, sau đó chỉ cần gọi thủ tục này và Maple tự động thực hiện các lệnh có trong chu trình đó một cách tuần tự và sau đó trả lại kết quả cuối cùng.

+ Khai báo thủ tục như sau:

Procedure_name:=proc(parameter_sequence)

[local local_sequence]

[global global_sequence]

[options options_sequence]

statements_sequence

end;

Chương trình giải và vẽ đồ thị nghiệm của phương trình vi phân dạng:

=

y

+ ''

p y .

+ '

q y .

f x ( )

= = , điều kiện đầu ) , ) ' y x ( 0 y 0 y x '( 0 y 0

>

64

> restart; proc_eq2:=proc() # Thu tuc giai pt vi phan

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(28).2008

local p,q,f,init_con,pt,ptthuannhat,ptdactrung,dactrung,thuannhat ,phuongtrinh,nktt:

global global_pt:

p:=readstat("p="):

q:=readstat("q="):

f:=readstat("f(x)="):

init_con:=readstat("DKdau="):

global_pt:=pt:

print(`---------------Bài Giai----------------`);

pt:=diff(y(x),x$2)+p*diff(y(x),x)+q*y(x)=f:pt:

print(`Phuong trinh vi phan tuyen tinh cap 2 la:`);

print(pt);

ptthuannhat:=diff(y(x),x$2)+p*diff(y(x),x)+q*y(x)=0:ptthuan nhat:

print(`Phuong trinh thuan nhat la:`);

print(ptthuannhat);

ptdactrung:=k^2+p*k+q=0:ptdactrung:

print(`Phuong trinh dac trung tuong ung la:`);

print(ptdactrung);

dactrung:=solve({ptdactrung},{k}):dactrung:

print(`Nghiem pt dac trung la:`);

print(dactrung);

thuannhat:=dsolve(ptthuannhat):thuannhat:

print(`Nghiem tong quat cua phuong trinh thuan nhat la:`);

print(thuannhat );

nktt:=dsolve(pt):nktt:

print(`Nghiem tong quat cua phuong trinh khong thuan nhat la:`);

print(nktt);

print(` Dieu kien ban dau la:`);

print(init_con);

phuongtrinh:=dsolve({pt,init_con},{y(x)}):phuongtrinh:

print(`Vay, nghiem cua phuong trinh da cho la:`);

print(phuongtrinh);

65

with(DEtools):

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(28).2008

DEplot(pt,y(x),-8..10,{[init_con]},y=- 8..10,arrows=NONE,stepsize=0.3,linecolor=blue,title=`VE DO THI NGHIEM CUA PT VI PHAN`);

end;

#Ket thuc chuong trinh 3.3. Lưu và nạp chương trình + Maple cho phép lưu chương trình để sử dụng một cách thuận tiện như sau:

> save proc_eq2 "\\thu_tuc.m":

+ Trong file có sử dụng chương trình thực hiện lệnh read fileproc, trong đó fileproc là tên file (có cả đường dẫn) chứa chương trình biên dịch, được tạo bởi lệnh save:

>

>

> restart; read "\\thu_tuc.m"; proc_eq2(-2,2,4*exp(x),y(0)=1,D(y)(0)=2);

3.4. Sử dụng chương trình Ví dụ: Giải và vẽ đồ thị nghiệm của phương trình vi phân sau

y

(0) 1,

y=

'(0)

= 2

+ = , điều kiện đầu y − '' 2 ' 2 y y 4 x e

>

p=

q= proc_eq2(); # khai bao chu trinh -2; # khai bao he so hang p 2; # khai bao he so hang q f(x)= 4*exp(x); # khai bao ve phai ham f(x)

---------------Bài Giai----------------

Phuong trinh vi phan tuyen tinh cap 2 la:

−

+

=

y''

2 y'

2 y

4 e x

Phuong trinh thuan nhat la: +

=

−

2 y'

2 y

y''

0

Phuong trinh dac trung tuong ung la:

−

=

k 2

2 k

+ 2

0

Nghiem pt dac trung la:

{

= k

+ 1 I

} ,

{

= k

− 1 I

}

Nghiem tong quat cua phuong trinh thuan nhat la:

+

= y

_C1 e x

sin x (

)

_C2 e x

cos x ( )

66

DKdau= y(0)=1,D(y)(0)=2; # nhap gia tri DK ban dau

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(28).2008

Nghiem tong quat cua phuong trinh khong thuan nhat la:

+

+

= y

e x

sin x _C2 )

(

e x

cos x _C1 )

(

4 e x

Dieu kien ban dau la:

=

y 0 (

)

= 1

,

)D y 0

(

(

)

2

Vay, nghiem cua phuong trinh da cho la:

= y

e x

sin x (

− )

3 e x

cos x (

+ )

4 e x

4. Kết luận Bài báo này đã trình bày các bước cơ bản phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng bằng chương trình toán học. Kinh nghiệm cho thấy là nếu viết một chương trình phức tạp thì trước hết ta viết và chạy từng lệnh một để xem kết quả thế nào, khi thấy kết quả tốt ta nhóm các lệnh trên thành một chương trình hoàn chỉnh.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Trần Quốc Chiến (2008), Giáo trình Phần mềm toán học, ĐH ĐN.

[2] Phạm Huy Điển, Đinh Thế Lục, Tạ Duy Phượng (1998), Hướng dẫn thực hành tính

67

toán trên chương trình MAPLE V, NXB Giáo dục, Hà Nội.

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(28).2008

[3] Lê Ngọc Lăng, Tống Đình Quỳ, Nguyễn Đăng Tuấn, Mai Văn Được(2001), Giúp

ôn tập tốt môn Toán cao cấp, NXB ĐHQG HN, Hà Nội.

[4] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2001), Toán học cao cấp,

NXB Giáo dục, Hà Nội.

[5] K. Von Bulow supervised by E.S. Cheb-Terrab. "Equivalence Methods for Second Order Linear Differential Equations." Master's thesis, Faculty of Mathematics, University of Waterloo (2000).

[6] E.S. Cheb-Terrab and T. Kolokolnikov. "First-order ordinary differential equations, symmetries and linear transformations." European Journal of Applied Mathematics (2003), 14:231-246.

[7] J.A. Weil, "Recent Algorithms for Solving Second-Order Differential Equations"

68

(2002), available at http://pauillac.inria.fr/algo/seminars/sem01-02/weil.pdf.