ABC
¢
,M N
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÀ NẴNG TRƯỜNG THPT PHAN CHÂU TRINH KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG TSĐH NĂM HỌC 2022 - 2023 | MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ CHÍNH THỨC
A MN¢
(
)
cắt các cạnh Đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác . . ABC A B C¢ ¢ ,AB AC lần lượt tại . Mặt phẳng và song song với chia khối lăng trụ thành hai Câu 1: Cho lăng trụ BC
phần. Tỉ số thể tích của phần bé và phần lớn là
4 23
2 3
4 9
4 27
A. . B. . C. . D. .
.a
a
Sa
Sa
Sa
Câu 2: Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng S, diện tích đáy bằng diện tích một mặt cầu có bán kính
Sa
1 4
2
2
2
Oxyz
A. . B. . C. . D. . Khi đó thể tích của khối trụ tính theo S và 1 2 là 1 3
:
x
z
y
2
x
4
y
6
z
5
0
S ( )
Câu 3: Trong không gian , mặt cầu có bán kính bằng
+ + - + - - = .
5
19
MNEIF
A. . B. 3. C. D. 9.
ABCD
Câu 4: Một công ty quảng cáo muốn làm một bức tranh trang trí được tô đậm trong hình vẽ bên dưới ở có
m= 6 MN
,C D
I là . Kinh
2m
có hình parabol với đỉnh , CD m= 4 và đi qua hai điểm như phần chính giữa của một bức tường hình chữ nhật . 12 m= BC EIF Biết ; cung AB trung điểm của cạnh
1.200.000
. Hỏi công ty đó
13866 666
phí làm bức tranh là đồng/ cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh?
34266666
A. đồng. B. đồng.
14933333
27733333
4
y
z
:
d
Oxyz
C. đồng. D. đồng.
=
=
x 5
- 1
1 + 3 -
9
2
5
x
x
y
3
y
Câu 5: Trong không gian , cho đường thẳng . Trong các mặt phẳng sau đây
3
2
y
5
x
3
y
z
mặt phẳng nào song song với đường thẳng ?d 0 0 A. . B.
0
x
z - + + = z - + - =
z 2 + - + = 9 4 + + - =
Oxy
. 0 C. . . D.
M
z
Câu 6: , tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện
2
i- + = 1
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ là z
4R =
A. Đường tròn tâm , bán kính . B. Hình tròn tâm , bán kính .
2R = 4R =
2R =
I - 1; 1 ( ) I - )1;1 (
I - 1; 1 ( ) . D. Đường tròn tâm I - )1;1 (
2
C. Đường tròn tâm , bán kính , bán kính .
m
y
3
m
x
x m
3 x = -
+
9 + -
(
1 )
Câu 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có hai cực
2
,x x 1 2
x 1
2
thỏa ?
A. .
x- £ B.
3
5
2
. C. . D. . trị tại 4
A
B
C
-
( )P
1;0;0 , ( )
2; 1;3 , )
(
( -
1; 2;1 )
Câu 8: Mặt phẳng đi qua ba điểm nhận vectơ nào sau đây làm
2 1; 1;3 n
n 3 1;1; 0
4 7; 7; 0 n
. B. . C. . D. . vectơ pháp tuyến? A. 1 7;7; 4 n
Câu 9: Khẳng định nào sau đây sai?
C
=
+
d x 2 x
1 - x
ò
A. . B. . dx x C = +
ò
cot
ln
x C +
x C +
x d 2 sin
x = -
1 d x x =
C. . D. .
ò
ò
n
n
+
sin
Câu 10: Dãy số nào sau đây là dãy tăng?
u
nu
nu
n
=
+
=
( = -
11 )
nu = - (
21 n 3 ) (
1 )
p n
2 n n 3
3 2
1
n
+ +
1 n + +
1
A. . B. . C. . D. .
4; 2
y
3
x = - + -
[ - -
)
x
Câu 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên nửa khoảng ?
A. . B. . . D. .
2 + C.
)
)
)
)
y 6 y 7 y 4 y 5 = = = = min 4; 2 [ - - min 4; 2 [ - - min 4; 2 [ - - min 4; 2 [ - -
4a
4 .a
a
V
V
3 ,a a= 24
a= 48
a= 16
38 a= người Mỹ ngồi lên một chiếc
Câu 12: Cho một khối chóp tam giác có đáy là tam giác vuông và độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là ) của khối chóp đó là chiều cao của khối chóp là 3 3 và V Thể tích (tính theo 3 V A. . B. . C. . D. .
4
2
5 vị trí?. Biết những người cùng quốc tịch phải ngồi gần nhau.
11
người Việt Nam, người Pháp và
45602
1640
34560
3
. B. . C. . D. . Câu 13: Có bao nhiêu cách xếp ghế dài gồm A. 5760
m
y
23 x
4
=
x = - +
-
m=
f x ( )
f x ( )
Câu 14: Cho hàm số . Có bao nhiêu giá trị của để phương trình
7
3
4
2
f
x
x
x
. . C. . D. . có ba nghiệm thực phân biệt. B. A. 5
x
y
+
f x= ( )
x ¢ = - ( )
1 (
) (
1 )
Câu 15: Cho hàm số có đạo hàm với mọi . Hàm số đã cho nghịch
)0;1
(
)1;1- (
1;+¥ (
)
3
2
B. . . C. . D. . biến trên khoảng nào sau đây? A. )1;0- (
2
có đồ thị là đường cong hình bên. Điểm cực tiêu của hàm số y ax bx d = + cx + + Câu 16: Cho hàm số là
0
1
x =
x =
y = -
1; 2- (
)
A. . B. . C. . D. .
Câu 17: Cho các mệnh đề sau:
Mọi số thực không phải là số thuần ảo. Mọi số thuẩn ảo không phải là số thực. Phần thực của số phức là một số thực. Phần ảo của số phức là một số thuần ảo. Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là
3
4
2
1
A. . B. . C. . D. .
a
Câu 18: Với là số thực dương tuỳ ý khác bằng 1, log 2a a
1
2
2
+
1 log a 2
A. . B. . C. . D. . 1 log a + 1 log 2a-
y
f x= ( )
Câu 19: Cho hàm số xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
)0; 2
(
);1-¥ (
3;+¥ (
)
3;- +¥ (
)
log
0
A. . B. . C. . D. .
x + > 1 )
(
1 3
Câu 20: Tập nghiệm của bất phương trình là
0;+¥
)
(
1;- +¥ (
)
)1;0- (
);0-¥ (
A. . B. . C. . D. .
.S ABCD
ABCD
a
3
a
a
Câu 21: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , tam giác
3 3 6
3 3 2
A. C. D. B. . . . . đều và nằm trong SAB mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích của khối chóp đã cho tính theo cạnh làa 3 a 2 a 6
2 2 x - =
0
3
2
1
Câu 22: Số nghiệm thực của phương trình là 3 81 A. . B. . C. . D. .
Câu 23: Khối bát diện đều là khối đa diện đều loại
}5;3 {
}3; 4 {
}3;3 {
}4;3 {
B. . C. . D. . A. .
2
4
3 2
3
3
2
a
Câu 24: Cho là các số thực dương tùy ý thỏa mãn . Mệnh đề nào sau đây là mệnh 3log a log b 1 - =
. B. . C. . D. . a 2
,a b đề đúng? 3 A. b= 2 a
a b =
22 b=
b =
BC
ABC
A . Khi quay tam giác a= 2 tạo thành một hình nón tròn xoay. Thể tích của
AB
3
3
ap
Câu 25: Trong không gian, cho tam giác , và 3 AB a= quanh cạnh thì đường gấp khúc vuông tại BCA
3 3
2 ap
3 3 3
ABC khối nón tròn xoay tạo nên bởi hình nón tròn xoay nói trên là ap 2 3
x
t 1 2
ì = +
Oxyz
A. C. B. . . . D. . ap
:
d ( )
t
Câu 26: Trong không gian , đường thẳng có một vectơ chỉ phương là
1; 4; 3
2;0; 1
1;0; 3
2; 4; 1
A. . B. . . D. .
ïïïï =í 4 y ïï = - - 3 z ïïî C. n 1
n 2
u 4
u 3
Oxyz
2
x
z
0
B
( ): y b - - =
A - (
(
Câu 27: Trong không gian , cho hai điểm và mặt phẳng . ,
A B ,
đi qua và vuông góc với
A. .
1;0;1 ) ( )b B.
( )a y 3
x
1
z
0
3
x
1
y
z
0
2 + + + =
2 + + - =
.
x
1
3
y
z
0
3
x
1
y
z
0
2 - + + =
2 - + - =
2;1;1 ) có phương trình là ( ): a ( ): a
C. . D. . Mặt phẳng ( ): a ( ): a
2;1;0
Oxyz
u =
v =
(
)
Câu 28: Trong không gian , cho hai vectơ và . Tích vô hướng bằng .u v
A. . B. . D. .
1;3; 2 ( - C.
25
3
) 5
. 70
15
11
165
195
120
2
2
số hạng. Số hạng chính giữa bằng A. . B. . C. . . Tổng các số hạng đó bằng D. . Câu 29: Một cấp số cộng có 115
d
2
I
3
x
x
f x
f x
2 d
1
Câu 30: Nếu thì bằng
A. .
1 B.
3
4
2
1
I =
I =
I =
I =
1
1
. C. . D. .
2
f
2
x
f
d
x
10
d
x
¢
f-
=
+
=
f x ( )
1 ( )
0 ( )
(
1 )
x ( )
f x ( )
ò
0
0
Câu 31: Cho hàm số thỏa và . Tính
8
8
1
12
I = -
I =
ò I =
I =-
2
A. . B. . C. . D. .
x x sin d
nx
1 cos
0
Câu 32: Giá trị bằng
1 2n
1 1n- +
1 1n +
1 1n -
Oxyz
A. . B. . C. . D. .
2
4
y
0
z - + - =
P x ( ):
Câu 33: Trong không gian , cho điểm . Đường và mặt phẳng
M
t
x
1
x
1
x
t
t
t
x
1
ì = +
thẳng đi qua và vuông góc với
t 2
t
t
t
ïïïï = - - 2 2 t y í ïï = - + 3 z ïïî
M - 1; 2;3 ( ) có phương trình là ( )P ì =ïïïï = - y 2 t í ïï = + z 4 ïïî
ì = - ïïïï = - + y 2 í ïï = + z 1 3 t ïïî
ì = - + ïïïï = + 2 t 2 y í ïï = + 3 z ïïî
x
A. . C. . B. . D. .
0
ln 3
x =
x =
)H
(
Câu 34: Cho hình phẳng , các đường thẳng , và y e=
(
4
2p
4p
p
1 3
trục hoành. Thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay quanh trục hoành là giới hạn bởi đồ thị hàm số )H A. . B. . C. . D. .
y
x
1 2 ( = -
)
\
Câu 35: Tập xác định của hàm số là
1 ö÷ æ ; ç +¥÷ ç ÷ 2 çè ø
1 ö÷ æ ; ç-¥ ÷ ç ÷ 2 çè ø
1 ì üï ïï ïí ý 2 ï ïï ïî þ
A. . B. . C. . D. .
x
x
x
y
y
Câu 36: Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập số thực ?
3 4
1 2
æ ö÷ç= ÷ç ÷çè ø
æ ö÷ç= ÷ç ÷çè ø
A. . B. . C. . D. . y 5 x -= y = p
Câu 37: Đồ thị của hàm số nào sau đây có dạng như đường cong hình bên
22 x
23 x
22 x
y
4 x = +
4 x = -
4 x = -
=
x x
2 1
- +
A. . B. . C. . D. . y 3 y 3 y 3 - - -
1
y
=
5
x 2 - + 2 x x 4 - +
Câu 38: Số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số là
0
3
2
1
2
4
3
A. . B. . C. . D. .
Câu 39: Đồ thị của hàm số có điểm cực tiểu là . Tính . S y 6 x 12 x 1 3 x y 1 x = + 1 + + = A. . - B. . C. .
;M x y ( 1 1 D.
11
5
5
S = -
S = -
) S =
2
z
5
i
. - 6 4 x S =
1 (
)
Câu 40: Môđun của số phức là
5
i 2 = + - + . 3
4
2
Oxy
A. . B. C. . D. .
A
B
z
Câu 41: Trên mặt phẳng tọa độ gọi là điểm biểu diễn cho số phức và là điểm biểu diễn cho
y
. Chọn mệnh đề đúng của các mệnh đề sau:
z- số phức A. Hai điểm
x= -
y
và đối xứng với nhau qua đường thẳng .
A A A A
B B B B
x=
B. Hai điểm C. Hai điểm D. Hai điểm và và và đối xứng với nhau qua trục tung. đối xứng với nhau qua trục hoành. đối xứng với nhau qua đường thẳng .
3
3
3
2 2 cm
4cm 16 2 cm
8 2 cm
Câu 42: Hình lập phương có đường chéo của một mặt bên bằng . Thể tích khối lập phương đó là 3 A. . B. . . C. D. . 8cm
f x ( )
3
Câu 43: Cho hàm số có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
y
3
x
12
x
=
+ - +
f x (
3 )
Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
2;+¥
)
(
)1;5 (
)1;0- (
( -¥ -
; 1 )
A. . B. . C. . D. .
y
f x= ( ) điểm phân biệt và có
Câu 44: Cho hàm số xác định, liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ (chỉ cắt trục hoành tại
7
5
điểm cực trị).
f
f
x¢ ( ) f x ( )
x ¢ ( )
Biết đồ thị của không tiếp xúc với trục hoành. Phương trình
có ít nhất bao nhiêu nghiệm thực phân biệt. 2023 f 2024 f ¢ ¢ + = + x ( ) f x ( ) x ( )
10
13
12
Oxyz
B. . A. . C. . D. . f x ( ) 11
0
y
x
8
2
2
2
Câu 45: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho mặt phẳng
( ): 2 P và
2
y
4
z
3
0
:
y
x
z
2
x
N
+ + - - + - =
S ( ) phương với vectơ
. Giả sử sao cho cùng và mặt cầu MN
2 z + - + = SÎ ( ) nhỏ nhất. Tính
MN
N
M PÎ ( ) M và
u =
(
và khoảng cách giữa .
2 2
3 2
2
0;1; 1 ) - MN =
MN =
MN =
A. . B. . C. . D. . 3 MN =
Oxy
( 3;0)
(5; 4),
(1; 4),
(1;0),
C
B
A
D -
Câu 46: Trên măt phằng
2
x
là tập hợp tất cả các điểm
, ta xét đa giác M x y ) ( ; . Lấy ngẫu nhiên một điềm . Tính xác suất để với các điềm ABCD ,x y Î với SÎ M x y ) ( ; . Gọi nằm bền trong (kề cả trên cạnh) của đa giác y+ >
11 25
S ABCD 15 25
14 25
2 . 16 25
2
C. . A. . B. . D. .
2;z z
1
z z
z 1 z 1
2
+ -
Câu 47: Cho hai số phức phân biệt thỏa mãn điè̀u kiện là số ào.
Khẳng định nào sau đây đúng?
1
2
z 1
2
z 1
z 1
2
z=
z= 21;
=
z=
A. . B. . C. . D. . z 1 z= -
2
ABC
B
ABC
(
.S ABC chiếu vuông góc của S
BC a= AB
a
6
Câu 48: Cho hình chóp với . Biết là tam giác vuông tại ) có đáy lên mặt phẳng là trung điểm đoạn ; hình SA a= và khoảng cách giữa hai
AC
SB
.S ABC
3
3
3
3
đường thằng và bằng . Thể tích khối cầu ngọai tiếp hình chóp là
ap 5 5 6
ap 3 3 2
ap 3 5 2
3 ap 3 5 8
A. . C. . D. . . B.
);x y
(
3
y
6
y
x
7) 9
93 Câu 49: Có bao nhiêu cặp số nguyên dương và thoả mãn điều kiện x £
8log ( 2
x £ +
)
?
4 2 ( A.
+ .
+ - 69
106
92
2
x
. B. C. . D. .
0
a
x a ,
2
d
t
2
x
x >
6 + =
( ) t f 2 t
x Câu 50: Cho số thực với và . Biết . Tìm . a>
29
9
19
5
A. . B. . . D. .
ò a C. HẾT
BẢNG ĐÁP ÁN
1.A 11.B 21.A 31.A 41.B 2.A 12.D 22.A 32.D 42.C 3.C 13.D 23.C 33.B 43.A 4.D 14.C 24.A 34.B 44.A 5.D 15.B 25.C 35.D 45.A 6.D 16.B 26.B 36.B 46.D 7.B 17.B 27.D 37.D 47.C 8.C 18.C 28.C 38.A 48.A 9.D 19.C 29.B 39.A 49.B 10.D 20.C 30.A 40.A 50.B
ABC
HƯỚNG DẪN GIẢI.
,M N
A MN¢
(
)
¢ cắt các cạnh Đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác . . ABC A B C¢ ¢ ,AB AC lần lượt tại . Mặt phẳng và song song với chia khối lăng trụ thành hai Câu 1: Cho lăng trụ BC
phần. Tỉ số thể tích của phần bé và phần lớn là
4 23
2 3
4 9
4 27
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
BC
Chọn A
G
ABC
E
,AB AC
2 3 ,M N
Gọi là trọng tâm của tam giác . Gọi là trung điểm của
AG AEÞ = lần lượt tại
d
BC
G
Đường thẳng đi qua và song song , cắt các cạnh .
AMN
ABC
V
.
(2)
AM AB = (1) Þ = Þ = S S AM AN = AC AB AG AE 2 = Þ 3 4 9 AN AC = 2 3 2 3
A AMN
'.
AMN
ABC A B C .
'
'
'
ABC
AA¢
1 S = 3
V
A AMN
'.
V
V
ìïï ïïï í ïï ïïïî và Ta có V . AA ' S =
A AMN
'.
ABC A B C .
'
'
'
=
Þ
=
V
4 23
BmnC A B C .
'
'
'
. Từ (1) và (2) 4 27
.a
a
Sa
Sa
Sa
Câu 2: Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng S, diện tích đáy bằng diện tích một mặt cầu có bán kính
Sa
1 4
A. . B. . C. . D. . Khi đó thể tích của khối trụ tính theo S và 1 2 là 1 3
Lời giải
là bán kính đáy của hình trụ, h là chiều cao của hình trụ. Chọn A r Gọi
2
a
S
rh
2 r h
V
Sa
Theo bài ra ta có:
S
2
Û
Þ = p =
2 = p 2 r 4
ì ï ï í a ï p = p ï î
4 a p
r ì =ï ï ï í h ï = ï ï î
2
2
2
Oxyz
.
:
x
z
y
2
x
4
y
6
z
5
0
S ( )
Câu 3: Trong không gian , mặt cầu có bán kính bằng
+ + - + - - = .
A. . B. 3. C. D. 9. 5 19
Lời giải
2
2 1
( 2)
5
2 3
19
Chọn C
R =
+ - + + =
MNEIF
.
ABCD
Câu 4: Một công ty quảng cáo muốn làm một bức tranh trang trí được tô đậm trong hình vẽ bên dưới ở có
m= 6 MN
,C D
I là . Kinh
2m
có hình parabol với đỉnh , CD m= 4 và đi qua hai điểm như phần chính giữa của một bức tường hình chữ nhật . m= 12 BC EIF Biết ; cung AB trung điểm của cạnh
1.200.000
. Hỏi công ty đó
13866 666
đồng/ phí làm bức tranh là cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh?
34266666
A. đồng. B. đồng.
14933333
27733333
C. đồng. D. đồng.
Lời giải
O
MN
N
2;0
M Þ -
(
2;0 ; )
(
)
6
Chọn D Gọi là trung điểm cạnh và trùng với gốc toạ độ .
I
D
C
6;0
= -
+
P y : ( )
)0;6
(
( -
6;0 ; )
(
)
21 x 2
6
y
0;
x
x
2
Phương trình parapol đỉnh và đi qua hai điểm là .
= -
+
=
2; = - =
P y : ( )
21 x 2
2
2
2
Diện tích giới hạn bới ; .
S
x
6
dx
m
+
=
1 2
208 9
= - ò 2 -
.1.200.000
27733333
Khi đó: .
=
208 9
y
z
4
d
:
Oxyz
Vậy công ty đó cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đồng.
=
=
x 5
- 1
1 + 3 -
5
x
x
y
2
3
y
9
Câu 5: Trong không gian , cho đường thẳng . Trong các mặt phẳng sau đây
2
3
y
5
x
3
y
z
mặt phẳng nào song song với đường thẳng ?d 0 0 A. . B.
0
x
z - + + = z - + - =
z 2 + - + = 9 4 + + - =
. 0 C. . . D.
Lời giải
y
z
4
d
:
Chọn D
=
=
u = - 5; 3;1 ( )
x 5
- 1
1 + 3 -
Đường thẳng có vectơ chỉ phương .
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là vectơ chỉ phương của đường thẳng nên mặt phẳng vuông góc với đường thẳng .d
2
0
n = 1
1. n u = - + - = 5.1 3.1 1.
1;1; 2 ( -
)
)
( nằm trong mặt phẳng này.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là . Ta thấy . Tuy
d
M
d
0; 1; 4 -
Î
(
)
nhiên, điểm thuộc mặt phẳng nên đường thẳng
2
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là vectơ chỉ phương của đường thẳng nên mặt phẳng vuông góc với đường thẳng .d
n =
1;3; 4 (
)
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là . Ta thấy và điểm 5.1 3.3 1.4 0
d
M
d
0; 1; 4 -
Î
(
)
Oxy
không thuộc mặt phẳng nên đường thẳng 2. n u = - + = song song với mặt phẳng này.
M
z
, tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện Câu 6:
2
i- + = 1
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ là z
, bán kính A. Đường tròn tâm .
2R = .
4R =
B. Hình tròn tâm
, bán kính .
4R = 2R =
D. Đường tròn tâm , bán kính .
I - 1; 1 ( ) , bán kính I - 1; 1 ( ) C. Đường tròn tâm I - )1;1 ( I - )1;1 (
Lời giải
Chọn D
z
,
x = +
Î
yi x y (
)
2
2
Đặt . Ta có:
x
yi
x
y
i
i
1
2
y
x
2
4
+ - + = Û + + - = Û + + - =
(
)
(
1 )
(
1 )
(
(
1 )
1 )
.
M
z
z
2
i- + = 1
Vậy, tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện là đường tròn tâm
2R =
I - (
)1;1
2
, bán kính .
m
y
3
m
x
x m
3 x = -
+
9 + -
(
1 )
Câu 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có hai cực
2
x 1
2
thỏa ? ,x x 1 2
A. .
x- £ B.
3
5
2
. C. . D. . trị tại 4
Lời giải
2
2
Chọn B
y
3
m
x
x m
9
y
3
x
m
6
9
¢
3 x = -
+
+ - Þ =
-
(
1 )
(
x 1 ) + +
.
Hàm số có 2 điểm cực trị khi và chỉ khi
2
2
2
(
2
2
4
4
4
x 1
x 1
x 2
x x 1 2
x 2
x 2
x 1
-
£
)
)
1 3 . m 9 0 9 m 18 m 18 m m 0 2 2 0 ¢D = 27 + - > Û + 1 ) 3 1 > - + é < - - m ê - > Û + - > Û ê m êë
2 - £ Û - 2
2
( 4.3
m
m
m
4
4
3
0
3
1
( £ Û + m 2 + - £ Û + - £ Û - £ £
Û
(
1 )
.
2
3 1 3 Kết hợp với điều kiện ta được . m 1 1
m
y
3
m
x
x m
3 x = -
+
9 + -
(
1 )
3, 2,1
é- £ < - - m ê ê 3 - + < £ êë Vậy có 3 giá trị nguyên tham số để hàm số có hai cực trị tại
2
x 1
2
x- £
- -
thỏa là . ,x x 1 2
A
B
C
-
( )P
1;0;0 , ( )
2; 1;3 , )
(
( -
1; 2;1 )
Câu 8: Mặt phẳng đi qua ba điểm nhận vectơ nào sau đây làm
vectơ pháp tuyến?
1 7;7; 4 n
2 1; 1;3 n
n 3 1;1; 0
4 7; 7; 0 n
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
AC
, AB AC
7; 7;0
Þ
= - -
= -
1; 1;3 , ( ) = -
( = -
2; 2;1 )
(
)
7 1;1;0 (
)
ù ú û
. Chọn C AB
é ê ë có một vec tơ pháp tuyến là
n 3 1;1; 0
( )P
Vậy, mặt phẳng .
C
Câu 9: Khẳng định nào sau đây sai?
=
+
x d 2 x
1 - x
ò
A. . B. . dx x C = +
ò
cot
ln
x C +
x C +
x d 2 sin
x = -
1 x d x =
C. . D. .
ò
ò
Lời giải
ln
Chọn D
x C +
1 dx x =
.
ò
n
n
+
sin
Câu 10: Dãy số nào sau đây là dãy tăng?
u
nu
nu
n
=
+
=
( = -
11 )
nu = - (
21 n 3 ) (
1 )
p n
2 n n 3
3 2
1
n
+ +
1 n + +
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
n
+
sin
Chọn D
nu
2
nu
( = -
11 )
p n
1;
u
có nên không là dãy số tăng. 0; u u 1 u 1 = 1 = - <
u
u 1
2
u 1
nu
n
=
=
7 = < 8
2 n n 3
3 2
+ +
có nên không là dãy số tăng.
2;
u
2
3
nu
nu
u 1
2
u 1
=
1 = - +
= - <
1
n
1 n + +
1
có nên không là dãy số tăng.
4; 2
y
3
x = - + -
[ - -
)
x
Câu 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên nửa khoảng ?
A. . B. . . D. .
2 + C.
)
)
)
)
y 6 y 7 y 4 y 5 = = = = min 4; 2 [ - - min 4; 2 [ - - min 4; 2 [ - - min 4; 2 [ - -
Lời giải
1
y
1
2
¢ = - +
x
2
+
(
)
Chọn B
[ [
) )
y 0
x 1 4; 2 é = - Ï - - ê ¢ = Û ê = - Î - - x 3 4; 2 êë
)
Vậy . y 7 = min 4; 2 [ - -
4a
4 .a
a
V
V
3 ,a a= 24
a= 48
a= 16
38 a=
Câu 12: Cho một khối chóp tam giác có đáy là tam giác vuông và độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là ) của khối chóp đó là chiều cao của khối chóp là 3 3 và V Thể tích (tính theo 3 V A. . B. . C. . D. .
Lời giải
V
S h . .
a a .4 .3 .4
8
a
Chọn D
=
=
1 3
1 1 æ . ç ç 3 2 çè
ö÷ a =÷ ÷ ø
.3
4
2
5 vị trí?. Biết những người cùng quốc tịch phải ngồi gần nhau.
11
người Việt Nam, người Pháp và người Mỹ ngồi lên một chiếc
45602
34560
1640
. B. . D. . . Câu 13: Có bao nhiêu cách xếp ghế dài gồm A. 5760
C. Lời giải
4!
4
Chọn D Xếp người Việt Nam có cách.
5
5!
Xếp người Pháp có cách.
2!
2
Xếp người Mỹ có cách.
3!
Xếp vị trí cho người Việt Nam, Pháp, Mỹ có cách.
4!.5!.2!.3!
34560
=
3
Vậy có cách.
m
y
23 x
4
=
x = - +
-
m=
f x ( )
f x ( )
Câu 14: Cho hàm số . Có bao nhiêu giá trị của để phương trình
7
4
. . . D. . có ba nghiệm thực phân biệt. B. A. 5
C. 3 Lời giải
Chọn C
f
23 x
6
x
x ¢ = - + ( )
Ta có
0 f 0 x ¢ = Û ( ) 2 x é = ê x ê =ë
Bảng Biến thiên
Nhìn vào bảng biên thiên ta có:
4
0m
- < <
m=
f x ( )
Phương trình có ba nghiệm thực phân biệt khi .
m
m = - - - 3; 2; 1 }
{
2
f
x
x
x
Suy ra . Vậy có 3 giá trị của .
x
y
+
f x= ( )
x ¢ = - ( )
1 (
) (
1 )
Câu 15: Cho hàm số có đạo hàm với mọi . Hàm số đã cho nghịch
)0;1
(
1;+¥ (
)
B. . . C. . D. . biến trên khoảng nào sau đây? A. )1;0- (
)1;1- ( Lời giải
Chọn B
1 . (không tính nghiệm kép) f 0 x ¢ = Þ ( ) x é = - ê x 0 ê =ë
Bảng xét dấu
f
x¢ ( )
)1;0- (
3
2
Nhìn vào bảng xét dấu ta có, hàm số nghịch biến trên khoảng .
2
có đồ thị là đường cong hình bên. Điểm cực tiêu của hàm số y ax bx d = + cx + + Câu 16: Cho hàm số là
0
1
x =
x =
y = -
)
A. . B. . C. . D. .
1; 2- ( Lời giải
Chọn B Lí thuyết.
Câu 17: Cho các mệnh đề sau:
Mọi số thực không phải là số thuần ảo. Mọi số thuẩn ảo không phải là số thực. Phần thực của số phức là một số thực. Phần ảo của số phức là một số thuần ảo. Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là
3
4
2
1
A. . B. . D. . C. .
Lời giải
Chọn B
Mệnh đề 1 đúng.
0.
0
i =
Mênh đề 2 sai, vì số thuần ảo là số thực.
Mệnh đề 3 đúng.
Mệnh đề 4 sai, vì phần ảo của số phức là số thực.
Vậy có 2 đúng trong các mệnh đề trên.
a
1
Câu 18: Với là số thực dương tuỳ ý khác bằng 1, log 2a a
2
2
+
1 log a 2
A. . B. . C. . D. . 1 log a + 1 log 2a-
Lời giải
a
log
a
1 log 2
Chọn C
log 2 a
log 2 a
a
a
=
+
= +
1 = +
1 log
a
2
Ta có .
y
f x= ( )
Câu 19: Cho hàm số xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
)0; 2
(
);1-¥ (
)
3;- +¥ (
)
A. . B. . C. . D. .
3;+¥ ( Lời giải
Chọn C
3;+¥ (
)
log
0
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng .
x + > 1 )
(
1 3
Câu 20: Tập nghiệm của bất phương trình là
0;+¥
)
(
1;- +¥ (
)
);0-¥ (
A. . B. . D. . C. .
)1;0- ( Lời giải
Chọn C
(
1 3
0 x 1 Ta có . log x 0 x 0 + > Û 1 Û - < < 1 ) x 1 1 ì + > ïï í ï + < ïî
)1;0- (
Tập nghiệm của bất phương trình là .
.S ABCD
ABCD
a
3
a
a
Câu 21: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , tam giác
3 3 2
3 3 6
C. A. D. B. . . . . đều và nằm trong SAB mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích của khối chóp đã cho tính theo cạnh làa 3 a 2 a 6
Lời giải
a
3
Chọn A
AB
H
SH
ABCD
SH =
^
(
)
2
3
a
3
V
SH S .
Gọi là trung điểm , và .
S ABCD
.
ABCD
=
=
1 3
6
Thể tích khối chóp .
2 2 x - =
0
3
2
1
Câu 22: Số nghiệm thực của phương trình là 3 81 A. . B. . . D. .
C. Lời giải
2
2
x
2
x
2
2
2
-
-
3
3
4 3
6
2
x
x
x
6
Chọn A
81 = Û
4 = Û - = Û = Û = ±
.
2
Vậy phương trình có nghiệm thực.
Câu 23: Khối bát diện đều là khối đa diện đều loại
}4;3 {
}5;3 {
}3;3 {
A. . B. . C. . D. .
}3; 4 { Lời giải
Chọn C
2
4
3 2
3
3
2
a
Câu 24: Cho là các số thực dương tùy ý thỏa mãn . Mệnh đề nào sau đây là mệnh 3log a log b 1 - =
. B. . . D. . a 2
,a b đề đúng? 3 A. b= 2 a
a b =
22 b=
b = C. Lời giải
3
3
1 2
Chọn A
4
2
2
2
2
3 a Û =
3log a log b log a log b log a 2 b . log 2 2 b log 2 2 1 = Û - = + Û = 1 2
BC
ABC
A . Khi quay tam giác a= 2 tạo thành một hình nón tròn xoay. Thể tích của
AB
3
3
ap
Câu 25: Trong không gian, cho tam giác , và 3 AB a= quanh cạnh thì đường gấp khúc vuông tại BCA
3 3
2 ap
3 3 3
ABC khối nón tròn xoay tạo nên bởi hình nón tròn xoay nói trên là ap 2 3
A. C. B. . . . D. . ap
Lời giải
Chọn C
B
C
A
BC
a= 2
2
2
2
2
Hình nón tạo thành có chiều cao và đường sinh nên nó có bán kính đáy là 3 AB a=
(
)
. AC BC AB 2 a a 3 a = - = - =
(
)
3
3
a p
V
2 AC AB .
3
=
1 = p 3
1 2 . a a . = p 3
3
x
t 1 2
ì = +
Oxyz
Thể tích khối nón tạo thành là: .
:
d ( )
t
Câu 26: Trong không gian , đường thẳng có một vectơ chỉ phương là
2;0; 1
1;0; 3
2; 4; 1
A. . B. . . D. .
ïïïï =í 4 y ïï = - - 3 z ïïî C. n 1
n 2
u 4
u 3
1; 4; 3 Chọn B
2;0; 1
u 4
( )d
Oxyz
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là .
2
x
z
0
B
( ): y b - - =
A - (
(
Câu 27: Trong không gian , cho hai điểm và mặt phẳng . ,
A B ,
đi qua và vuông góc với
A. .
1;0;1 ) ( )b B.
( )a y 3
x
1
z
0
3
x
1
y
z
0
2 + + + =
2 + + - =
.
x
1
3
y
z
0
3
x
1
y
z
0
2 - + + =
2 - + - =
2;1;1 ) có phương trình là ( ): a ( ): a
C. . D. . Mặt phẳng ( ): a ( ): a
Lời giải
Chọn D
1; 1; 2
n
AB =
( )b
3;1;0 (
)
Ta có: , vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là .
1;0;1 1; 3; 2
n VTPT
A qua Suy ra , khi đó mặt phẳng có dạng: : 2;6; 4 , AB n
x
1
3
y
z
0
2 - + - =
( ): a
2;1;0
Oxyz
.
v =
u =
(
)
Câu 28: Trong không gian , cho hai vectơ . Tích vô hướng bằng và .u v
A. . B. . D. .
1;3; 2 ( - C.
25
3
) 5
. 70
3.1
1.2
5
Lời giải
=
(
2 .0 )
Ta có . Chọn C . u v = + + -
15
11
165
120
195
số hạng. Số hạng chính giữa bằng A. . B. . . Tổng các số hạng đó bằng D. . . Câu 29: Một cấp số cộng có 115
C. Lời giải
Chọn B
6
Ta có . u 15 5 d 15 u = Þ + = 1
)
)
2
2
d
2
I
3
x
x =
=
-
f x ( )
f x ( )
é ë
2 d ù û
1
1
10 d 5 d 11.15 165 Mặt khác . S 11 = = + = = u 11 ( 1 u 11 2 ( + 1 2
3
4
2
1
ò I =
I =
ò I =
I =
Câu 30: Nếu thì A. . B. . . D. .
bằng C. Lời giải
2
2
2
Chọn A
I
3
x
3
d
x
2 d
x
4
=
-
=
3.2 2 = - =
f x ( )
f x ( )
é ë
2 d ù û
ò
- ò
ò
1
1
1
1
1
Ta có .
2
f
2
x
f
d
x
10
d
x
¢
f-
=
+
=
f x ( )
1 ( )
0 ( )
(
1 )
x ( )
f x ( )
ò
0
0
Câu 31: Cho hàm số thỏa và . Tính
8
8
1
12
I = -
I =
ò I =
I =-
A. . B. . . D. .
C. Lời giải
1
1
1
du
dx
=
Chọn A
x
f
d
x
d
x
10
1 | 0
¢
Þ
+
=
(
1 )
x ( )
x ( = +
1 )
f x ( )
f x ( )
dv
- ò
ò
x = + f ¢
=
=
0
0
x ( )
f x ( )
u ì ï ï í ï ï î
ì ï ïÞ í v ï ï î
1
1
Đặt .
2
f
f
d
x
d
x
8
-
-
10 = Þ
= -
1 ( )
0 ( )
f x ( )
f x ( )
ò
ò
0
0
p 2
x x sin d
nx )
1 cos ( -ò
0
.
1 1n- +
1 1n +
A. . . B. C. . D. . bằng 1 2n Câu 32: Giá trị 1 1n - Lời giải
p 2
p 2
n
n
1
1 +
Chọn D
x
x x sin d
x
x
p | 2 0
=
=
=
1 cos ( -
)
1 cos ( -
n x d )
1 cos ( -
)
1 cos ( -
)
n
1
ò
ò
0
0
1 1n +
+
Oxyz
Ta có .
2
4
y
0
z - + - =
P x ( ):
Câu 33: Trong không gian , cho điểm và mặt phẳng . Đường
M
t
x
1
x
t
t
x
1
t
x
1
ì = +
thẳng đi qua và vuông góc với
t 2
t
t
t
M - 1; 2;3 ( ) có phương trình là ( )P ì =ïïïï = - y 2 t í ïï = + z 4 ïïî
ì = - + ïïïï = + 2 t 2 y í ïï = + 3 z ïïî
ïïïï = - - 2 2 t y í ïï = - + 3 z ïïî
C. . B. . D. . A. .
ì = - ïïïï = - + y 2 í ïï = + z 1 3 t ïïî Lời giải
Chọn B
d
M
Gọi là đường thẳng đi qua và vuông góc với .
( )P u = - 1; 2;1 ( )
t
x
1
ì = - + ïïïï = - y 2 2 t í ïï = + z t 3 ïïî
0
x
1 1
ì = - + =
và có phương trình tham số là: Suy ra đường thẳng có vecto chỉ phương d
0
N
N dÎ
4.
N
ïïïï = - = N 2 2.1 y í ïïï = + = 3 1 z ïî
t
x
Lấy điểm ta có
d
.
.
ì =ïïïï = - y 2 t í ïï = + 4 z t ïïî
x
Vậy đưởng thẳng cũng có phương trình tham số là:
0
ln 3
x =
x =
)H
(
Câu 34: Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , các đường thẳng , và y e=
)H
(
trục hoành. Thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay quanh trục hoành là
4
4p
2p
p
B. . D. . . A. .
C. Lời giải
2
x
2
x
Chọn B ln 3
V
e
x d
e
ln 3 | 0
= p
= p
4 = p
1 2
ò
0
1 3
.
y
x
1 2 ( = -
)
\
Câu 35: Tập xác định của hàm số là
1 ö÷ æ ; ç-¥ ÷ ç ÷ 2 çè ø
1 ö÷ æ ; ç +¥÷ ç ÷ 2 çè ø
1 ì üï ïï ïí ý 2 ï ïï ïî þ
C. . D. . B. . A. .
Lời giải
1 3
1 2
x
x
Chọn D
y
x
0 - > Û <
1 2 ( = -
)
1 2
;
Hàm số xác định khi .
D æ ç çè
1 ö÷ ç= -¥ ÷ ÷ 2 ø
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là .
x
x
x
y
y
Câu 36: Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập số thực ?
3 4
1 2
æ ö÷ç= ÷ç ÷çè ø
æ ö÷ç= ÷ç ÷çè ø
C. . A. . B. . D. . y 5 x -= y = p
x
Lời giải
có cơ số
1p >
Chọn B Hàm số nên đồng biến trên tập số thực . y = p
Câu 37: Đồ thị của hàm số nào sau đây có dạng như đường cong hình bên
22 x
23 x
22 x
y
4 x = +
4 x = -
4 x = -
=
x x
2 1
- +
A. . B. . C. . D. . y 3 y 3 y 3 - - -
Lời giải
Chọn D
y
=
x x
2 1
- +
x
1
0;
x
x
Đường cong đã cho có dạng của đồ thị hàm bậc bốn trùng phương nên loại hàm số .
Hàm số có 3 điểm cực trị nên loại các hàm số
= 22 x
23 x
1; = - = 4 x = +
4 x = -
, . y 3 y 3 - -
22 x
4 x = -
1
Ta thấy hàm số có đồ thị giống như đường cong đã cho. y 3 -
y
=
5
x 2 - + 2 x x 4 - +
Câu 38: Số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số là
0
3
2
1
D. . A. . B. . C. .
Lời giải
Chọn A
24 x
Vì nên hàm số có tập xác định là . x 5 0, x
1
1
- + > " Î Hàm số đã cho liên tục trên tập nên đồ thị không có tiệm cận đứng.
y
y
1
=
= -
=
=
lim x ®+¥
lim x ®+¥
1; lim x ®-¥
lim x ®-¥
5
5
x 2 - + 2 x x 4 - +
x 2 - + 2 x 4 x - +
.
2
4
3
Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận, đó là hai đường tiệm cận ngang.
Câu 39: Đồ thị của hàm số có điểm cực tiểu là . Tính . S y 6 x 12 x 1 3 x y 1 x = + 1 + + = - B. .
;M x y ( 1 1 D.
5
11
5
) S =
S = -
S = -
. A. . C. . - 6 4 x S =
Lời giải
Chọn A
3
2
4
3
2
1 Ta có ; . y 12 x 12 x 12 x 12 y ¢ = - - + 0 ¢ = Û x é = - ê 1 x ê =ë Bảng xét dấu
1; 10
M - -
(
)
Đồ thị của hàm số có điểm cực tiểu là . y 3 x 4 x 6 x 12 x 1 - - = + +
11
S = - - = - 1 10
Khi đó .
2
z
5
i
1 (
)
Câu 40: Môđun của số phức là
i 2 = + - + . 3
5
4
2
B. A. . C. . D. .
Lời giải
2
z
5
i 2
5
i
Chọn A
1 ( = + - + = Î
)
Ta có .
z =
Oxy
Vậy .5
A
B
z
Câu 41: Trên mặt phẳng tọa độ gọi là điểm biểu diễn cho số phức và là điểm biểu diễn cho
y
. Chọn mệnh đề đúng của các mệnh đề sau:
z- số phức A. Hai điểm
x= -
y
và đối xứng với nhau qua đường thẳng .
A A A A
B B B B
x=
B. Hai điểm C. Hai điểm D. Hai điểm và và và đối xứng với nhau qua trục tung. đối xứng với nhau qua trục hoành. đối xứng với nhau qua đường thẳng .
Lời giải
Chọn B
)
Gọi . z , , a bi a = + z Î Þ - = - + bi a b (
A a b B a b ,
;
;
Þ
(
)
( -
)
đối xứng với nhau qua trục tung.
4cm
3
3
3
2 2 cm
16 2 cm
8 2 cm
Câu 42: Hình lập phương có đường chéo của một mặt bên bằng . Thể tích khối lập phương đó là 3 A. . B. . C. . D. . 8cm
Lời giải
Chọn C
3
3
2 2 cm Độ dài cạnh hình lập phương là = 4 2
V 2 2 16 2 cm Vậy thể tích khối lập phương đó là: . = =
(
)
f x ( )
3
Câu 43: Cho hàm số có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
y
3
x
12
x
=
+ - +
f x (
3 )
Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
2;+¥
)
(
)1;5 (
( -¥ -
; 1 )
A. . B. . C. . D. .
)1;0- ( Lời giải
3
2
Chọn A Ta có: y 3 x 3 x x y f 3 x 12 ¢ ¢ = +
( 18
( x
y x x 3 6 x x 15 ¢ f x ( 3 f ¢= + + + 3 ) 3 ) + -
2 3 ) + +
2
3 x 3 ) + - 3 ) + - 15. 3 ) + -
3
f
( 3 ) + - t 18
y
15
¢
¢
- + -
3 = + Þ =
t ( )
Đặt 3 f ¢= ( x t 12 + - + Þ = 2 9 ( ) x 18 ( ( t 3
Từ bảng xét dấu ta thấy, hàm số nghịch biến khi
3 1 t 1 1 1 2 4 Û Û 5 > 3 + > > é - < < ê t 5 ê ë x é - < < - ê 2 x ê ë
y
Câu 44: Cho hàm số xác định, liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ (chỉ cắt trục hoành tại
7
5
x é - < + < ê x ê ë f x= ( ) điểm phân biệt và có điểm cực trị).
f
f
x ¢ ( )
x¢ ( ) f x ( )
Biết đồ thị của không tiếp xúc với trục hoành. Phương trình
có ít nhất bao nhiêu nghiệm thực phân biệt. 2023 f 2024 f ¢ ¢ + = + x ( ) f x ( ) x ( )
10
13
12
A. . B. . . D. . f x ( ) 11
C. Lời giải
f
x ¢ ( )
f x ( )
Chọn A
f
x ¢ ( )
f x ( )
Ta có 2023 f 2024 f ¢ ¢ + + = x ( )
f
0
x¢ = ( ) ta thấy được phương trình
. 2024 0 ¢ Û f x ( ) f x 2023 ( ( ) x ( ) x f ( ( ) 1 ) - + hoặc Dễ thấy nghiệm của phương trình thỏa phương trình ban đầu. f x ( ) 1 ) - = 0
5
0
Từ đồ thị hàm số có nghiệm phân biệt, phương
f x ( ) 7
f
0
f x = ( ) f x = ( ) 0
x¢ = ( )
trình có nghiệm phân biệt. Do có một nghiệm bội chẵn nên tổng số
11
0
f x = ( ) và 0
f
f
x ¢ ( )
nghiệm thực phân biệt của phương trình là .
f x = ( ) f x ( ) 2024
x¢ = ( ) f
11
Oxyz
Nên phương trình có ít nhất nghiệm. 2023 f ¢ ¢ + + = f x ( ) x ( ) x ( ) f x ( )
0
x
y
8
2
2
2
Câu 45: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho mặt phẳng
P ( ): 2 và
2
y
4
z
3
0
:
y
x
z
2
x
N
+ + - - + - =
S ( ) phương với vectơ
. Giả sử sao cho cùng và mặt cầu MN
2 z + - + = SÎ ( ) nhỏ nhất. Tính
MN
N
M PÎ ( ) M và
u =
(
và khoảng cách giữa .
2 2
3 2
2
0;1; 1 ) - MN =
MN =
MN =
A. . B. . . D. . 3 MN = C. Lời giải
I
)
5
Chọn A
:
Þ
=
S ( )
d I P , ) ( ( )
1;1; 2 ( - R 3
=
ì ïïí ï ïî
Ta có .
P
MN P ,
Do cùng phương với vectơ nên . MN sin
u =
0;1; 1 ) -
(
P
1 2 u n . u n
'N
N
NMN
'
'N
( )P
Gọi là hình chiếu của trên , khi đó tam giác vuông tại
( Vậy để khoảng cách giữa
'NN
N
M
NN
2
. MN Þ = sin NN ' MN P , ) ( ) và nhỏ nhất THÌ nhỏ nhất.
2 2
min
¢ = min
R - =
=
d , (
Ta có .
MNÞ thẳng và
N
I P ) ( ) I ,
I
Oxy
( 3;0)
(5; 4),
(1; 4),
(1;0),
C
B
A
Đẳng thức xảy ra khi nằm giữa và . , 'N N N ¢
D -
Câu 46: Trên măt phằng
2
x
là tập hợp tất cả các điểm
, ta xét đa giác M x y ( ; ) . Lấy ngẫu nhiên một điềm . Tính xác suất để với các điềm ABCD ,x y Î với SÎ M x y ) ( ; . Gọi nằm bền trong (kề cả trên cạnh) của đa giác y+ >
14 25
11 25
2 . 16 25
S ABCD 15 25
B. . C. . D. . A. .
Lời giải
Chọn D
ABCD
y y 0 4 Đa giác giới hạn bởi miền : D
3 1
ABCD
x Î
2 1
4
5
3
3
25.
n W = + + + + + + + + = 4
:Q
ta chọn số nguyên nằm trong miền đa giác . ì ³ïïïï £ï í y 0 x ï - + ³ ïïï - - £ y 0 x ïî y Î
x
có tọa độ nguyên nằm trong hoạc trên miền tứ giác mà có tọa độ nguyên Với mỗi Số phần tử của không gian mẫu ( ) 1 2 M Đặt
2 1 16.
3
n Q = + + + + + = 4
’’.
=
p Q ( )
n=
2
. ‘‘Chọn điểm y+ > 2 2 thỏa mãn Ta có ( ) 1 5 n Q 16 ( ) 25 ( ) W
2;z z
1
z z
z 1 z 1
2
+ -
Câu 47: Cho hai số phức phân biệt thỏa mãn điè̀u kiện là số ào.
Khẳng định nào sau đây đúng?
1
2
z 1
2
z 1
z 1
2
z=
z= 21;
=
z=
A. . B. . C. . D. . z 1 z= -
,
,
,
,
.
Lời giải
b i z , 1
2
b i a a b b , 2 2
2
1
1
a 1
a b , 2 1
b 2
a = + 1
a = + 2
Î
¹
¹
)
z
( z
z 1
2
a 1
a 2
2
+
a = + + + 2
-
a = - 1
-
+
b i z ; ) 1 2
b i ) 2
z
z
b ( 1 z 1
z 1
2
2
a 1
a 2
a 1
b 2
b 2
a 2
2
2
+
-
(
)
(
)(
b )( 1
)
Chọn C Giả sử z 1
mi .
- 2
+ 2
=
=
+
z z
z z
z 1 z 1
2
z 1 z 1
2
+ -
+ -
+ z 1
2
2
- z 1
)( z -
0
z
.
a 1
a 2
a 1
a 2
b 2
2 a 1
2 a 2
2 a 2
2 b 1
2 b 2
2 b 2
b 2
z 1
2
b ( 1 b )( 1 z - 2 a 1
+
2 b - = Û - = - + Û + = + Þ = 2
)(
) - + +
b ( 1
b )( 1
)
( .
Do là số ào ta có
2
ABC
B
ABC
(
.S ABC chiếu vuông góc của S
BC a= AB
a
6
Câu 48: Cho hình chóp với . Biết là tam giác vuông tại ) có đáy lên mặt phẳng là trung điểm đoạn ; hình SA a= và khoảng cách giữa hai
AC
SB
.S ABC
3
3
3
3
đường thằng và bằng . Thể tích khối cầu ngọai tiếp hình chóp là
3 ap 3 5 8
ap 5 5 6
ap 3 3 2
ap 3 5 2
. B. A. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
N
.AC
H
SH AB . Þ ^ Bt AC HK Bt H Bt , / /
là trung điểm của là trung điểm của
.
AB kẻ
ABC
^
Î
(
HL
SK L SK
,
.
Gọi , Gọi Trong mặt phẳng
^
Î
) )HSK
(
a
6
,
HL
,
d AC SB
,
.
Þ
=
=
=
=
(
)
d H S Bt , ( (
) )
d A S Bt , ( (
) )
1 2
6
1 2
Trong mặt phẳng kẻ
AB
2 ,
0
=
>
2
2
2
2
2
H
SH
SA
AH
2
a
x
.
) vuông tại
Þ
-
=
-
=
H
Đặt .
2
2
2
2
2
2
2
x x ( Ta có tam giác Tam giác SHK 1 1 2 HK HL
SHA vuông tại 1 SH
(
)
1
SH a .
a
x
2
2
= Þ = Þ =
1 Þ + 2 x
2
a
2 2 a
-
SH a
AB
SAB
4 Þ = = + + = + 4 d B AC , 1 SH 1 AB 1 BC 1 SH æ ç ç çè ö÷ +÷ ÷ ø
S
HA HB HS
a .
Þ =
=
=
= =
Þ D
x 1 2
Do vuông cân tại
HN
SAB
NA NB NS
^
Þ =
( )1 .
Ta có
) vuông tại
= ,B N
( ABC
AC
NA NB NC
Þ =
=
( )2 .
a
5
S ABC
.
R NC
AC
.
Do tam giác là trung điểm của
Þ =
=
=
NÞ
1 , 2 ( ) ( )
1 2
2
3
3
p
V
Từ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.S ABC
R = p =
4 3
a 5 5 6
Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là .
);x y
(
3
y
6
y
x
7) 9
93 Câu 49: Có bao nhiêu cặp số nguyên dương và thoả mãn điều kiện x £
8log ( 2
x £ +
)
?
4 2 ( A.
+ .
+ - 69
106
92
2
. B. C. . D. .
Lời giải
Chọn B
log
x
7
3
y
3
y
2
2
+
+
(
)
6
y
x
2
y
2
8log
x
8log ( 2
2
+
x £ +
7) 9 + - Û
+
+
+
( )*
8 3 (
2 ) + £
(
7 . )
4 2 (
)
t
Ta có
f
t 8
f
2 ln 2
0,
8
t
f
t 2 = +
+ > "
t ( )
t ¢ = ( )
t ( )
Xét hàm số , ta có nên hàm số đồng biến.
2
(
2
2
(
(
)
(
) )
log x 2 f y f log x 2 7 y log x 7 y Khi đó . Û 3 + Û + £ + Û £ * ( ) 3 ( 2 ) + £ 7 ) + - 3
2
(
+Î
log x 2 1 x 25 Vì nên . y ³ Û ³ 7 ) + - 3
2
(
1
log x 2 2 log 93 ( 2 y 1,548 93 Mặt khác suy ra . x £ £ £ » 7 ) + - 3 7 ) + - 3
y =
25 93 Do đó ứng với mỗi luôn xác định được duy nhất giá trị . x£ £
69
);x y
(
d
t
2
x
6
2
x
a
0
Vậy có cặp số nguyên dương .
x a ,
a
x
x a
Câu 50: Cho số thực với và . Biết . Tìm .
B. . D. .
t f ( ) 2 t C.
29
9
5
19
. A. .
Lời giải
x
Chọn B
x x
t d
2
x
=
6 + =
f x ( )
f x ( ) 2 x
t f ( ) 2 t
1 = Û x
ò
a
x
x
x
x
-
t
t
1 2
1 2
Ta có nên .
d
t
t
d
t
d
t
t 2
2
x
2
a
2
=
=
=
=
-
( ) t f 2 t
t
ò
ò
ò
a
a
a
a
Do đó .
Suy ra 2 x 2 a 2 x a - 6 + = 3 Û = Û = . a 9 HẾT
