SỞGD&ĐTVĨNHPHÚC ĐỀKTCLÔNTHIĐẠIHỌCLẦN 3NĂMHỌC20132014
Môn:TOÁN;KhốiD
Thờigianlàmbài:180phút,khôngkểthờigianphátđề
I.PHẦNCHUNGCHOTẤTCẢCÁCTHÍSINH(7,0điểm)
Câu1(2,0điểm).Chohàmsố: 2
1
x
y x
-
= -cóđồthịlà( C).
a)Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthị( )C củahàmsố.
b)Tìmtấtcảcácgiátrịthựccủathamsốmđểđườngthẳng
( )
:
m
d y x m = - +cắtđồthị( C)tạihaiđiểm
,A B phânbiệtsaochođộdàiđoạnthẳng AB nhỏnhất.
Câu2(1,0điểm). Giảiphươngtrình: 2
(2tan 1)cos 2 cos2x x x - = - .
Câu3(1,0điểm). Giảihệphươngtrình:
4 2 2 2 3 2 2
3 2
2 5 2 1 0
x x y y y x y x
y x
ì + - = + +
ï
í - - - =
ï
î
( , ).x y R Î
Câu4(1,0điểm).Tìmtấtcảcácgiátrịthựccủathamsốmđểphươngtrình: 2 2m x x m + = +cóhai
nghiệmthựcphânbiệt.
Câu5(1,0điểm).Chohìnhchóp .S ABCDcóđáyABCDlàhìnhthangcân với BC CD DA a = = = ;
2AB a =;cạnhbênSAvuônggócvớimặtphẳng ( )ABCD ;SCtạovớimặtphẳng ( )ABCD mộtgóc
bằng 0
60 .Tínhthểtíchcủakhốichóp .S ABCDvàdiệntích mặtcầungoạitiếphìnhchóp .S ABCDtheoa.
Câu6(1,0điểm). Cho , ,x y z làcácsốthựcdươngthoảmãn: 2 2 2 1x y z + + = . Tìmgiátrịlớnnhấtcủa
biểuthức:zyx
xzyzxyT + +
+ + + =1
222 .
II.PHẦNRIÊNG(3,0điểm). Thísinhchỉđượclàmmộttronghaiphần(phầnAhoặcphầnB)
A.TheochươngtrìnhChuẩn
Câu7.a(1,0điểm).Trongmặtphẳngvớihệtrụctoạđộ Oxy ,chohìnhchữnhậtABCDcó 4 2AB =,
điểm A cóhoànhđộâm.Đườngthẳng AB cóphươngtrình 2 0x y + + = ,đườngthẳng BD cóphương
trình 3 0x y + = .Viếtphươngtrìnhcácđườngthẳngchứacáccạnhcònlạicủahìnhchữnhật.
Câu8.a(1,0điểm).Trongmặtphẳngvớihệ trục toạđộOxy ,chotamgiácABCđều.Đườngtrònnộitiếptam
giácABCcóphươngtrình 2 2
( 4) ( 2) 5x y - + - =,đườngthẳngBCđiqua 3;2
2
M æ ö
ç ÷
è ø. Tìm toạđộđiểmA .
Câu9.a (1,0 điểm).Cho số nguyên dươngnthỏa mãn 2 1 2 4 6
n n
n n n
A C C n
- -
= + + +.Tìmhệsốcủa 16
x
trongkhaitriểnnhịthứcNiutơn
( )
3 2n
x x -(với 0x >).
B.TheochươngtrìnhNângcao
Câu7.b(1,0điểm). Trongmặtphẳngvớihệtrụctoạđộ Oxy ,chocácđiểm (4; 3); (4;1)A B - vàđường
thẳng ( ) : 6 0d x y + = .Viếtphươngtrìnhđườngtròn ( )C điquaAvàBsaochotiếptuyếncủa(C)tại
AvàBcắtnhautạimộtđiểmthuộc ( )d .
Câu8.b(1,0điểm).Trongmặtphẳngvớihệtrụctọađộ Oxy ,choelíp
( )
Eđiquađiểm 3 2; 2
2
M æ ö
ç ÷
ç ÷
è ø
và
cóđộdàitrụclớnbằng 6.TìmtọađộcủađiểmNthuộc( E)saocho 5ON =.
Câu9.b(1,0điểm). Cho sốnguyên dươngnthỏamãn 3
2 20( 2)
n
A n
- = -.Tìmsố hạngkhông chứax
trong khaitriểnnhịthứcNiutơn 3 1n
x x
æ ö
+
ç ÷
è ø(với 0x ¹).
Hết
Thísinhkhôngđượcsửdụngtàiliệu.Cánbộcoithikhônggiảithíchgìthêm.
SỞGD&ĐTVĨNHPHÚC
(Đápáncó06trang)
ĐÁPÁNKTCLÔNTHIĐHLẦN1NĂMHỌC20132014
Môn:TOÁN;KhốiD
I.LƯUÝCHUNG:
Hướngdẫnchấmchỉtrìnhbàymộtcáchgiảivớinhữngýcơbảnphảicó.Khichấmbàihọcsinhlàm
theocáchkhácnếuđúngvàđủýthìvẫnchođiểmtốiđa.
Điểmtoànbàitínhđến0,25vàkhônglàmtròn.
Vớibàihìnhhọckhônggiannếuthísinhkhôngvẽhìnhhoặcvẽhìnhsaithìkhôngchođiểmtươngứng
vớiphầnđó.
II.ĐÁPÁN:
Câu Ý Nộidungtrìnhbày Điểm
1 a 1,0điểm
+ TXĐ:
{ }
\ 1D R =
+Sựbiếnthiên: Tacó: 2
1 0,
( 1)
y x D
x
¢= > " Î
-. 0,25
+Hàmsốđãcho đồngbiếntrêncáckhoảng ( ;1) -¥ và(1; ) +¥ .
+Hàmsốkhôngcócựctrị
+Giớihạn,tiệmcận.
1 1
lim ;lim
x x
y y
- +
® ®
= +¥ = -¥ Þđồthịhàmsốcótiệmcậnđứnglàđườngthẳng: 1x =.
lim 1;lim 1
x x
y y
®+¥ ®-¥
= = Þđồthịhàmsốcótiệmcậnnganglàđườngthẳng 1y = ;
0,25
+BảngBiếnthiên
+
+
0,25
+ĐồthịhàmsốcắttrụcOxtạiđiểm(2;0) ,trụcOy tạiđiểm(0;2)
f( x) =(x 2 )/(x 1 )
f( x) =1
x (t )=1 , y (t ) =t
3 2 1 1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
0,25
b 1,0điểm
Phươngtrìnhhoành độgiaođiểmcủa( )
m
dvà ( )C là:
2 2 0x mx m - + - = (1) ( 1x ¹). 0,25
Vì
2 4 8 0
1 2 1 0
m m
m m
ìD = - + >
í - + - = - ¹
îvớim "nên (1)có2nghiệmphânbiệtkhác1vớim ".
Suyra( )
m
dcắt( )C tạihaiđiểmphânbiệtvớim ".
0,25
Gọicácgiaođiểmcủa( )
m
d và ( )C là: ( ; ); ( ; )
A B B B
A x y B x y vớiA
x ;B
x làcácnghiệm
của phươngtrình (1) .TheoVietcó: 2
A B A B
x x m; x x m + = = -. 0,25
Tacó
[ [ [
2 2 2
2 2
2( ) 2 ( ) 4 . 2 4( 2) 2 ( 2) 4 8
A B A B A B
AB x x x x x x m m m
ù ù ù
= - = + - = - - = - + ³
û û û
Vậy AB nhỏnhấtbằng 2 2 đạtđượckhi 2m =. 0,25
2 1,0điểm
Điềukiện:cos 0 ( )
2
x x k k
p p
¹ Û ¹ + Î Z
Tacó:
( )
2 2
2
2
(2tan 1)cos 2 cos2 3 cos 2 2cos 1
cos
x x x x x
x
æ ö
- = - Û - = - -
ç ÷
è ø
0,25
3 2
2cos 3cos 3cos 2 0x x x Û - - + =
Đặt
[ ]
cos ; 0, 1;1t x t t = ¹ Î -tađược: 3 2
1
2 3 3 2 0 2
1
2
t
t t t t
t
é
ê = -
ê
- - + = Û =
ê
ê =
ê
ë
0,25
Với 1 cos 1 (2 1) ;t x x k k Z
p
= - Þ = - Û = + Î (thoảmãn).
Với 2t =(loại)
Với 1 1
cos 2 ;
2 2 3
t x x k k Z
p p
= Þ = Û = ± + Î(thoảmãn)
0,25
Vậynghiệmcủaphươngtrình đãcholà: (2 1)k
p
+; 2
3k
p p
± +(k Z Î) 0,25
3 1,0điểm
( )
( )
4 2 2 2 3 2 2
3 2
1
2 5 2 1 0 2
x x y y y x y x
y x
ì + - = + +
ï
í - - - =
ï
î
Đk: 5
2
x £.
Phươngtrình 2 2 2
(1) ( 1 )( ) 0x y x y Û - - + =
0.25
2
0
1
x y
x y
= =
é
Û ê = +
ë
Trườnghợp 0x y = = thếvào(2)khôngthoảmãn.
0.25
Trườnghợp 2 1x y = +thếvàophươngtrình (2):
( )
3
2 3 2 1 0 3y y - - - =
Xéthàm 3 3
( ) 2 3 2 1; ;2
f t t t t æ ù
= - - - Î -¥
ç ú
è û
2 1
( ) 6 3 2
f t t t
¢ = + -; 3
( ) 0; ;2
f t t æ ö
¢ > " Î -¥
ç ÷
è ø
Vậyhàmsố ( )f t đồngbiếntrên 3
;2
æ ù
-¥
ç ú
è û;mà (1) 0f =
Suyraphươngtrình(3)cónghiệmduynhất 1y =
0.25
Với 2
1 2 2y x x = Þ = Û = ± (thỏamãn điềukiện)
Vậynghiệmcủahệphươngtrìnhlà: ( 2;1);( 2;1) -. 0.25
4 1,0điểm
Tậpxácđịnh: D R =
Tacó:
( )
( )
2 2
2
x 2  1 x 2 1 ( )
x 2 1
x
m x m m x m f x + = + Û + - = Û = =
+ -
0.25
Tacó:
( )
2
2
2 2
2 x 2
'( )
x 2 x 2 1
f x - +
=
+ + -
,x R " Î0.25
( )
2
2
2
2 2
2
2 x 2
'( ) 0 0 2 x 2 0 2
x 2 x 2 1
x
f x x
é = -
- +
= Û = Û - + = Û ê =
ê
ë
+ + -
1
x
lim f ( x )
®-¥ = - ; 1
x
lim f ( x )
®+¥ =
Bảngbiếnthiên:
0
0
1
2
 2
1
_
+
_
+¥
2
 2
¥
f(x)
f'(x)
x
0.25
Từbảngbiếnthiên tađược
( ) ( )
2; 1 1; 2mÎ - - Èthỏamãn. 0.25
5 1,0điểm
VìBC CD DA a = = =; 2AB a =nên AB làđáylớn; DClàđáynhỏcủahìnhthang
ABCD .GọiOlàtrungđiểmcủa AB .
Tacó cáctứgiác DAOC; DOBClàcáchìnhthoivàcáctamgiác DAO; DCO;
OCBlàcáctamgiácđềucạnha ÞOlàtâmđườngtrònngoạitiếp DABC.
Tacó:
2 2
3 3 3
3 3. 4 4
ABCD AOD
a a
S S = = =(đvdt).
0.25
Tronghìnhthoi DAOC,tacó: 3AC a =
TrongtamgiácvuôngSACcógóc
·
0
60SCA = Þ0
.tan 60 3. 3 3aSA AC a = = =
Þ
2 3
.
1 1 3a 3 3a 3
. . .3a.
3 3 4 4
S ABCD ABCD
V SA S = = = (đvtt)
0.25
GọiIlàtrungđiểmcủaSB ÞO//SAI Þ đườngthẳng OIlàtrụccủađườngtròn
ngoạitiếpđagiácđáynên DIA IB IC I = = =.
MặtkháctamgiácSABvuôngtạiđỉnhA ÞISIA IB = =
Þ IS DIA IB IC I = = = =hay I làtâmmặtcầungoạitiếphìnhchóp .S ABCD .
0.25
Bánkínhcủamặtcầuđólà:
2 2 2 2
9a 4a 13
IS 2 2 2 2
SB SA AB a
R IA IB + +
= = = = = = =.
Diệntíchcủamặtcầuđólà:
2
2 2
13a
4 4 13
4
R a
p p p
= = (đvdt)
0.25
6 1,0điểm
Đặt 0; > = + + ttzyx
Tacó:
( )
( )
1
2
1
2
2222
2
> Þ
-
=
+ + - + +
= + + t
tzyxzyx
zxyzxy
Lạicó:
( ) ( ) ( )
0
222 ³ - + - + - xzzyyxnên
( )
( )
222
2 3 zyxzyx + + £ + +
0.25
33
2 £ Þ £ Þ tt.
Khiđó:t
tT1
1
2 + - =với
(
]
3;1 Ît
Xéthàmt
ttf1
1)( 2 + - =với
(
]
3;1 Ît;
2
1
2)(t
ttf - =
¢;
(
]
3;1;0)( Î " >
¢ttf
0.25
Tacóbảngbiếnthiêncủahàmsốtrên
(
]
3;1
2+
1
3
1
+
3
1
f(t)
f'(t)
t
0.25
Từ bảngbiếnthiên suyra 1
2 3
T £ + ,dấu“=”xảyrakhi 3
1
= = = zyx
VậyTlớnnhất bằng ( 3
1
2+) đạtđượckhi 3
1
= = = zyx.
0.25
7.a 1,0điểm
4 2
3x+y=0
x+y+2=0
D C
B
A
Tacó: (1; 3)B AB BD B = Ç Þ -
+ ( ; 2); ( 0)A AB A t t t Î Þ - - <
Tacó 2 2
4 2 ( 1) ( 1) 32BA t t = Û - + - + =
0.25
2 3
( 1) 16 5
t
t t
= -
é
Û - = Û ê =
ë
Với 5t =loạivì 0t <.
Với 3 ( 3;1)t A AD = - Þ - Þ qua A vàvuônggócvới AB nêncóphươngtrình
( 3) ( 1) 0x y + - - = Û4 0x y - + = .
0.25
ĐườngthẳngBCqua B vàvuônggócvới AB nêncóphươngtrình:
( 1) ( 3) 0 4 0x y x y - - + = Û - - = .
+ D(1:3)D AD BD = Ç Þ
0.25
ĐườngthẳngDCqua D vàsongsongvới AB nêncóphươngtrình :
( 1) ( 3) 0 2 0x y x y + + - = Û + - =
Vậy: : 4 0;BC x y - - = : 2 0DC x y + - = ; : 4 0AD x y - + =
0.25