ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN OLYMPIC
TOÁN HỌC SINH VIÊN NĂM 2010
M¤N: §¹I Sè
(Thời gian làm bài: 120 phút)
Câu 1.
Tính định thức của ma trận:
1
2
3
4
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
x
x
x
x
+
+
+
+
Trong đó
1 2 3 4
là các nghiệm của đa thức
4 2
6 1
f(x) x x
= − +
Câu2.
Cho 2 ma trận A,B sao cho
5 11
11 25
AB
=
,
14
14
x
BA
y
=
.
Hãy tìm x,y và A,B.
Câu 3.
Cho ma trận
3 2 0
2 4 2
0 2 5
A
= −
−
Tim giá trị riêng của ma trận
5
A
.
Câu 4.
Cho
a, b R
∈
.Tìm các đa thức P(x) thoả mãn điều kiện
xP(x a) (x b)P(x) x R
− = − ∀ ∈
Câu 5.
Cho B là ma trận thực ,vuông cấp n có hạng bằng 1 .Chứng minh rằng tồn tại duy
nhất số thực k sao cho
2
B kB
=
.
Câu 6.
Cho A là ma trận cấp nx(n+1).A’ là ma trận chuyển vị của A.B là ma trận phụ hợp
của ma trận A’A và
0
B
≠
.Xác định hạng của ma trận B.
Câu 7. Cho A là ma trận vuông cấp n có r(A) = k.Tìm r(A*).
Câu 8. Tìm ma trận vuông X cấp n sao cho AX = XA
A
∀
vuông cấp n.
________________________________________
Chú ý:
Sinh viên không được dùng tài liệu
Câu 1. Cho {
n
a
} là dãy số xác định bởi
0
1
a
>
và
1
1
n n
n
n
a a ,n
a
+
= + ≥
.
Chứng minh rằng dãy
n
a
n
hội tụ và tìm giới hạn của nó.
Câu 2.Cho các hàm f,g không là hàm hằng trên khoảng (a,b),
0
f(x) g(x)
+ ≠
và f(x).g’(x) – f ’(x)g(x) = 0
x (a,b)
∀ ∈
.Chứng minh rằng
0
g(x) x (a,b)
≠ ∀ ∈
và
f(x)
g(x)
là hằng số trên (a,b).
Câu 3. Cho hàm f(x) liên tục trên [0,a] ,khả vi trên (0,a) sao cho f(a) = 0.Chứng minh rằng tồn tại
0
c ( ,a)
∈
để
1
cf '(c) f(c)(c )
= −
.
Câu 4. Giả sử f(x) là hàm số có đạo hàm cấp 2 liên tục trên R và thoả mãn điều kiện
f(0) = f(1) = a .Chứng minh rằng
x [0,1]
max{f''(x)} 8(a-b)
∈
≥
với b =
x [0,1]
min {f(x)}
∈
Câu 5. Cho f :
R R
→
là hàm liên tục và
1
0
0
tf(t)dt
=
∫
.Chứng minh rằng tồn tại
0 1
c ( , )
∈
sao cho
1
0
2010
cf(c) f(t)dt
=
∫
Câu 6. Tìm tất cả các hàm số f :
R R
→
thoả mãn
f(f(x-y)) = f(x)f(y)- f(x) + f(y) – xy
x, y R
∀ ∈
----------------------------------------------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu
Bé Gi¸o dôc vµ §µo t¹o
Céng hoµ x· héi chñ nghÜa ViÖt Nam
Tr−êng §H Kinh tÕ quèc d©n
§éc lËp - Tù do - H¹nh phóc
===================
§Ò thi chän ®éi tuyÓn olympic to¸n häc sinh viªn n¨m 2010
M«n : Gi¶i tÝch
(Thêi gian lµm bµi: 120 phót)
Câu 1. Tính giới hạn
3 2
1
6 11 5
3
n
nk
k k k
lim (k )!
→+∞ =
+ + +
+
∑
Câu 2. Tính giới hạn 2
0
1
n
n
n
x
A lim dx
x
+∞
+
→+∞
=
+
∫
.
Câu 3. Cho hàm số f(x) khả vi trên [a,b] và thoả mãn điều kiện
0
2 2
[f(x)] [f'(x)] , x [a,b]
+ > ∀ ∈
Chứng minh rằng số các nghiệm của phương trình f(x) = 0 trên [a,b] là hữu hạn
Câu 4. Xét phương trình
2 2
1 1 1 1 1
0
2 1 4
... ...
x x x x k x n
+ + + + + + =
− − − −
n nguyên dương.Chứng minh rằng với mỗi n thì phương trình có nghiệm duy nhất trong (0,1) ;kí
hiệu nghiệm đó là
n
x
.Chứng minh dãy số (
n
x
) có giới hạn hữu hạn .
Câu 5. Cho a,b là các số thực 0 <a < b ;
f :[a,b] R
→
là hàm liên tục trên [a,b] ,khả vi trên
(a,b).Chứng minh rằng tồn tại
c (a, b)
∈
sao cho
1
b
a
cf(c) f(t)dt
ln b ln a
=
−
∫
Câu 6
. Tìm t
ấ
t c
ả
các hàm s
ố
đơ
n
đ
i
ệ
u f :
R R
→
tho
ả
mãn
f(x f(y)) f(x) y
+ = +
x, y R
∀ ∈
----------------------------------------------
Thí sinh không
đượ
c s
ử
d
ụ
ng tài li
ệ
u
Bé Gi¸o dôc vµ §µo t¹o
Céng hoµ x· héi chñ nghÜa ViÖt Nam
Tr−êng §H Kinh tÕ quèc d©n
§éc lËp - Tù do - H¹nh phóc
===================
§Ò thi chän ®éi tuyÓn olympic to¸n häc sinh viªn n¨m 2010
M«n : Gi¶i tÝch
(Thêi gian lµm bµi: 120 phót)
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN OLYMPIC
TOÁN HỌC SINH VIÊN NĂM 2010
M¤N: §¹I Sè
(Thời gian làm bài: 150 phút)
Câu 1.
Cho ma trận:
2 2 4
A 2 2 0
1 0 2
−
= −
−
Tính ma trận:
2 2009
E A A A
+ + + +
⋯
Câu2.
Cho A là ma trận vuông cấp n thoả mãn
A A
′
= −
. Chứng minh rằng
(
)
2
det E xA
+
là một số không âm với mọi số thực x.
Câu 3.
Cho A, B là các ma trận vuông cấp n thoả mãn:
Vết
(
)
AA BB
′ ′
+
= Vết
(
)
AB A B
′ ′
+
Chứng minh rằng
A B
′
=
.
Câu 4.
Cho
1 2 n
x , x , , x
…
là các số thực bất kỳ, tính định thức cấp n sau:
2 3 n
1 1 1
2 3 n
2 2 2
2 3 n
n n n
1 x x x
1 x x x
1 x x x
⋯
⋯
⋯⋯⋯⋯⋯
⋯
Câu 5.
Cho A là ma trận vuông cấp n sao cho tất cả các phần tử đều dương và tổng của tất
cả các phần tử trên mỗi dòng đều không vượt quá số k dương cho trước. Chứng minh rằng
tất cả các giá trị riêng thực của ma trận A (nếu có) đều nhỏ hơn k.
Câu 6.
Cho A, B là các ma trận vuông cùng cấp sao cho
B A 0
′
=
, chứng minh rằng:
(
)
(
)
(
)
r A B r A r B
+ = +
________________________________________
Chú ý:
Sinh viên không được dùng tài liệu