ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2021 - 2022
Ngày thi thứ nhất: thứ ba 28/9/2021
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
----------------------------------------------------
Bài 1. (5,0 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên dương
n
sao cho
7 1
n
chia hết cho
2
2 1 .
n
n
Bài 2. (5,0 điểm)
Cho
n
là số nguyên dương. Tính bộ số có thứ tự
0 1
, ,...,
n
a a a
với
0, 1, 2, 3, 4, 5
i
a
với mọi
0, 1, 2,..,i n
thỏa mãn điều kiện
2
0 1 2
3 3 ... 3 .
n
n
n a a a a
Bài 3. (5,0 điểm)
Cho tam giác
ABC
nhọn không cân nội tiếp đường tròn
O
đường kính
.AK
Gọi
I
là tâm đường tròn nội tiếp
tam giác
ABC
và
D
là trung điểm cung nhỏ
BC
của
.O
Lấy
P
thuộc trung trực
AI
sao cho
PI OI
và
H
là hình chiếu của
P
lên
.IK
Lấy
L
trên
IK
sao cho
AH DL
và
Q
trên
AD
sao cho
.QL IK
Chứng minh
rằng
2 .IA IQ
Bài 4. (5,0 điểm)
Cho
, ,abc
là các số thực dương. Chứng minh rằng:
4 4 4
3 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3.
a b c
b a ab b c b bc c a c ca a
----------------------------HẾT----------------------------
