Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán 10 năm 2017-2018 có đáp án - Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn

SỞ GD VÀ ĐT NGHỆ AN<br /> <br /> ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG<br /> <br /> TRƯỜNG THPT NGUYỄN XUÂN ÔN<br /> <br /> NĂM HỌC: 2017-2018<br /> <br /> MÔN TOÁN: KHỐI 10<br /> Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)<br /> <br /> 1<br /> 2017<br /> <br /> x  2018<br /> x2  4 x<br /> Câu II: (3điểm) Cho phương trình: ( x2  5x  6)( x2  9 x  20)  2m 1  0 (1)<br /> Câu I:(2điểm)Tìm tập xác định của hàm số: y <br /> <br /> Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x thỏa mãn: x2  7 x  9  0<br /> Câu III:(5điểm)<br /> 1.(2điểm)Giải phương trình: 3x 1  x  2  2 x  7  2<br />  x3  2 x3 y  1<br /> 2.(3điểm)Giải hệ phương trình: <br />  xy3  2  x<br /> 1<br /> 3<br /> <br /> 1<br /> 2<br /> <br /> Câu IV:(2điểm) Cho hình vuông ABCD . Điểm I , J xác định bởi: BI  BC , CJ   CD<br /> Đường thẳng AI cắt BJ tại K .Chứng minh: AK vuông góc với CK<br /> Câu V:(2 điểm)<br /> Để đo chiều cao từ mặt đất đến đỉnh cột cờ<br /> của một kỳ đài trước Ngọ Môn (Đại Nội-Huế),<br /> người ta cắm hai cọc AM và BN cao 1,5 mét<br /> so với mặt đất. Hai cọc này song song và cách<br /> nhau 10 mét và thẳng hàng so với tim cột cờ<br /> (Hình vẽ minh họa). Đặt giác kế tại đỉnh A và<br /> B để nhắm đến đỉnh cột cờ, người ta được các<br /> góc lần lượt là 510 40' và 45039' so với đường<br /> song song với mặt đất. Hãy tính chiều cao của<br /> cột cờ (làm tròn 0,01 mét).<br /> <br /> A<br /> <br /> M<br /> <br /> B<br /> <br /> N<br /> <br /> Câu VI(3điểm)<br /> Cho tam giác ABC với A(5;6), B(1;2) đường phân giác trong của góc A song song với<br /> trục tung, góc C bằng 600 . Tìm tọa độ đỉnh C.<br /> Câu VII.(3điểm)<br /> Xét hình chữ nhật ABCD và điểm M di động trên BC. Phân giác góc DAM cắt BC tại<br /> N. Hãy xác định vị trí của M để<br /> <br /> AN<br /> đạt giá trị nhỏ nhất.<br /> MN<br /> <br /> …....................................…….Hết……..................................….<br /> (Học sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.)<br /> <br /> Đáp án và hướng dẫn chấm<br /> Câu<br /> Câu I<br /> (2đ)<br /> <br /> Lời giải<br />  x  2018  0<br /> <br /> Điều kiện: <br /> <br /> 1,0<br /> <br /> 2<br /> x  4x  0<br />  x  2018<br /> <br />  x  0<br />  x  4<br /> <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> D=  ;0   (4; 2018)  (2018; )<br /> Câu II<br /> (3điểm)<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> ( x 2  5 x  6)( x 2  9 x  20)  2m  1  0<br /> <br /> 0,5<br /> (1)<br /> <br />  ( x2  7 x  10)( x2  7 x  12)  2m  1  0 (2)<br /> 2<br /> Đặt: t  x  7 x  9 suy ra t  0<br /> Khi đó (2) trở thành: (t+1)(t + 3) -2m -1 = 0, (với t ≤ 0) (3)<br /> PT (1) có nghiệm x thỏa mãn đề bài khi và chỉ khi pt (3) có nghiệm t thỏa mãn: t ≤ 0<br /> Xét: t2 + 4t +2 = 2m ( Với t ≤ 0) (*)<br /> Xét hàm số: f(t) = t2 + 4t+2 ( với t ≤ 0)<br /> t<br /> -∞<br /> -2<br /> 0<br /> +∞<br /> +∞<br /> <br /> 1,0<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> 2<br /> f(t)<br /> <br /> -2<br /> <br /> Suy ra (*) có nghiệm khi: 2m ≥ -2  m ≥ -1<br /> Kết luận: pt(1) có nghiệm x thỏa mãn đề bài khi: m ≥ -1<br /> Câu III<br /> (5điểm)<br /> <br /> 1.(2điểm)Giải phương trình:<br /> ĐK: x ≥ 2,<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 3x  1  x  2  2 x  7  2<br /> <br /> khi đó phương trình đã cho trở thành:<br /> <br /> 3x  1  2  x  2  2 x  7<br /> <br /> 0,25<br /> 0,5<br /> <br />  3 x  1  4 3 x  1  4  2 x  7  2 ( x  2)(2 x  7)  x  2<br /> <br /> 0,25<br /> <br />  2 3 x  1  ( x  2)(2 x  7)<br /> <br /> 0,25<br /> <br />  2 x  9 x 18  0<br /> x  6<br /> <br /> x   3<br /> <br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Đối chiếu với điều kiện, suy ra phương trình đã cho có nghiêm x = 6<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> <br />  x3  2 x3 y  1<br /> (I )<br /> 2. (3điểm)Giải hệ phương trình: <br />  xy3  2  x<br /> 1  2 y  t 3<br /> 1<br /> Đặt x  Khi đó hệ (I) trở thành: <br /> 3<br /> t<br /> 1  2t  y<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> (t  y )(t 2  ty  y 2  2)  0<br /> <br /> <br /> 3<br /> <br /> 1  2t  y<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> t  y  0<br /> <br /> 3<br /> 1  2t  y<br /> t  y<br />  3<br />  y  2 y 1  0<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> t  y<br /> <br /> <br />   y  1<br /> <br />  <br /> 1 5<br />  y  2<br /> <br /> 1 5<br /> <br />   y  2<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Suy ra hệ có nghiệm (x,y) là: (-1;-1);(<br /> CâuIV<br /> (2điểm)<br /> <br /> A<br /> <br /> 5 1 5  1<br />  5 1 2<br /> ;<br /> )<br /> ;<br /> ); (<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 1 5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> B<br /> I<br /> K<br /> <br /> D<br /> <br /> C<br /> <br /> J<br /> <br /> Đặt độ dài cạnh hình vuông bằng a, AB  a, AD  b , khi đó: a  b  a , a.b  0<br /> <br /> 1<br /> 3<br /> <br /> Giả sử BK  xBJ , ta có: AI  a  b, AK  AB  BK  (1 <br /> <br /> 1<br /> 2<br /> x  3x  x <br /> 2<br /> 5<br /> 1<br /> 1<br /> 3<br /> Khi đó ta có: AI  a  b, CK  a  b<br /> 3<br /> 5<br /> 5<br /> 1 1<br /> 3<br /> 1<br /> 1<br /> Xét: AI .CK  (a  b)( a  b)  a 2  a 2  0<br /> 3 5<br /> 5<br /> 5<br /> 5<br /> Suy ra AI vuông góc với CK , hay AK vuông với CK<br /> Vì AI , AK cùng phương nên ta có: 1 <br /> <br /> Câu VI<br /> (2điểm)<br /> <br /> 1<br /> x)a  xb<br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> 0,5<br /> 0,25<br /> 0,5<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> C<br /> <br /> D<br /> <br /> B<br /> <br /> A<br /> <br /> M<br /> <br /> N<br /> <br /> Ta có: CAB  128 20 , ACB  6 1<br /> 0<br /> <br /> '<br /> <br /> 0 '<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Áp dụng định lý hàm số sin trong ABC :<br /> Suy ra: AC <br /> <br /> AC<br /> AB<br /> <br /> 0<br /> '<br /> sin 45 39 sin 601'<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> AB.sin 45039'<br /> sin 601'<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Xét trong tam giác vuông ACD: CD  AC.sin 51040'<br /> 0<br /> <br /> Suy ra: CD <br /> <br /> AB.sin 45 39'.sin 51 40'<br /> sin 601'<br /> <br /> Suy<br /> <br /> ra<br /> <br /> chiều<br /> <br /> h  1,5  CD  1,5 <br /> Câu VII<br /> (3điểm)<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0<br /> <br /> 0<br /> <br /> 0,25<br /> cao<br /> <br /> cột<br /> <br /> cờ<br /> <br /> là:<br /> <br /> 0<br /> <br /> AB.sin 45 39'.sin 51 40'<br />  55, 01(m)<br /> sin 601'<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> y<br /> A<br /> <br /> 6<br /> <br /> C<br /> <br /> 2<br /> <br /> B<br /> <br /> O<br /> <br /> 1<br /> <br /> I<br /> 5<br /> <br /> B’<br /> 9<br /> <br /> x<br /> <br /> Đường phân giác trong của góc A song song với trục Oy nên có phương là x = 5(d)<br /> Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua (d), suy ra B’(9;2) và  ABB’ vuông cân tại A<br /> Suy ra C thuộc cạnh AB’<br /> 0<br /> 0<br /> 0<br /> Xét ABC , có AB  4 2, A  90 , C  60 suy ra AC  AB.cot 60 <br /> <br /> 4 2<br /> 3<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,5<br /> <br />  AC  AB<br /> <br /> Gọi C(x;y), khi đó ta có: <br /> 4 2 (I)<br /> AC<br /> <br /> <br /> 3<br /> <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> AB(4; 4); AC ( x  5; y  6)<br /> <br /> 0,25<br /> <br />  x  y  11<br /> <br /> Theo (I) ta có hệ: <br /> 32<br /> 2<br /> 2<br /> ( x  5)  ( y  6)  3<br /> 4<br /> <br /> <br />  x  5  3<br />  x  5 <br /> Giải Hệ (2) có nghiệm: <br /> hoặc <br /> 4<br /> y  6 <br /> y  6 <br /> <br /> <br /> 3<br /> Câu VIII<br /> (3điểm)<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 4<br /> 3<br /> 4<br /> 3<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> A<br /> <br /> B<br /> <br /> <br /> <br /> M<br /> C<br /> <br /> D<br /> <br /> N<br /> Đặt AB = a; AD = b; AM = m> 0, AN = n > m; AMN = .<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Theo giả thiết ta có:AN là phân giác góc MAD  MAD  ANB (cùng bằng NAD )<br /> 0,5<br /> <br /> Vậy ANM cân tại M MN = AM = m.<br /> Theo định lý cosin cho ANM có: n 2  m2  m2  2m.m.cos  2m2 (1  cos)<br /> <br /> 0,5<br /> <br />  n  m 2(1  cos )<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Theo bài ra ta có:<br /> <br /> AN<br /> n m 2(1  cos )<br /> <br /> <br />  2(1  cos )<br /> MN m<br /> m<br /> <br /> Ta có:>900(vì M di động trên đoạn BC)cos0 <br /> <br /> <br /> AN<br />  2(1  cos )  2<br /> MN<br /> <br /> AN<br /> AN<br />  2,<br /> đạt giá trị nhỏ nhất khi<br /> MN<br /> MN<br /> <br /> xảy ra  cos = 0   =90  M B.<br /> 0<br /> <br /> Chú ý: - Chấm phải bám biểm điểm đã cho, không thay đổi biểu điểm<br /> - Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br />