SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THỊ CHỌN ĐỘI TUYẾN CỦA TỈNH THAM DỰ LẠNG SƠN KỲ THỊ CHỌN HSG QUỐC GIA NĂM HỌC 2023-2024 (Vòng 2)
: Môn thi: TOÁN ĐÈ CHÍNH THỨC Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đê) - Ngày thi thứ nhất (Đề thi gôm 01 trang, 04 câu)
u„ =a>]1

Câu 1 (5,0 điểm). Cho dãy số (z„) xác định bởi 4„„¡ =3 + , Vu ш. Chứng minh rằng
[=uốa u?
h
(u„) có giới hạn, tìm limz,„.
Câu 2 (5,0 điểm). Xét các đa thức P (x) với hệ số thực thỏa mãn tính chất " Với bất kì hai số thực x,y luôn có: lz P(z)|<2|x| khi và chỉ khi | -P(y)|<2|z|”: Ta gọi Š là tập tất cả các đa thức thỏa mãn điều kiện ở trên.
2 a) Hãy chứng minh rằng họ đa thức ?&)=-[ ˆ+c với C>0 và đa thức
O(x)=x +1 cùng thuộc vào tập #. b) Giả sử rằng P(x) 6Š và P(0) >0. Chứng minh rằng P(+) là hàm số chấn.
Câu 3 (5,0 điểm). Cho tam giác 4BC có đường tròn nội tiếp tâm 7 tiếp xúc với BC, C4,.4B lần lượt tạ D,E,F. Giả sử Œ,L,K lần lượt là giao điểm của các đường thăng E#,FD,DE với BC, CA, 4B tương ứng. a) Chứng minh rằng Œ,„K thắng hàng. b) Lấy các điểm P,Q lần lượt đối xứng với D qua B,C tương ứng. Đường tròn bàng tiếp tâm J ứng với đỉnh 4 của tam giác 4BC tiếp xúc với BC tại M; gọi R là điểm đối xứng với N qua J. Chứng minh (P@R) tiếp xúc với (1). Câu 4 (5,0 điểm). Một trường có 2007 nam và 2007 nữ. Mỗi học sinh tham gia không quá 100 câu
lạc bộ; biết rằng bất kì hai bạn khác giới (1 nam và 1 nữ) tham gia ít nhất cùng một câu lạc bộ. Chứng minh rằng tồn tại một câu lạc bộ bao gồm ít nhất 11 nam và 11 nữ.
——=e--==e= HẾ ~=------~=- SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYẾN CỦA TỈNH THAM DỰ
LẠNG SƠN KỲ THỊ CHỌN HSG QUÓC GIA NĂM HỌC 2023-2024 (Vòng 2) =—— 7 Môn thi: TOÁN gác hoouglan song sào Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi thứ lai
(Đề thi gồm 01 trang, 03 câu)
Câu 5 (7,0 điểm). Gọi Š là tập hợp tất cả các hàm số / :(0;+œ) —> (0;+eo) thỏa mãn ƒ(x+/(ø))*»=/()ƒ()+1, với mọi số thực x, y e (0;+œ) a) Chứng minh rằng nếu ƒ 6Š thì ƒ là hàm số tăng ngặt.
b) Chứng minh rằng Š$ chỉ có duy nhất một phần tử là hàm số đa thức bậc nhất.
Câu 6 (6,0 điểm). a) Chứng minh rằng có vô số các số nguyên a thỏa mãn điều kiện (z -I):2.
b) Tìm tất cả các số nguyên tố p, z sao cho tổn tại số nguyên dương ø thỏa mãn
p(p+1)+4(4 +]) =n(n+]1)
Câu 7 (7,0 điểm). Cho tam giác 4BC vuông tại 4 và D là hình chiếu vuông góc của 4 lên BC. Gọi E,Ƒ,1 lần lượt là tâm nội tiếp các tam giác 4BD, 4ACD, ABC. Gọi M là trung điểm của BC.
a) Chứng minh rằng M7 là đường thắng Euier của tam giác AEF.
b) Vẽ đường tròn tâm 3⁄ đường kính ÖC, gọi K là trung điểm của cung 8C chứa điểm 4. Gọi %,7 lần lượt là giao điểm của 4E,4F' với BC; gọi G là giao của KI với AD; J là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác 4EF với đường tròn tâm M4 đường kính 8C. Chứng minh rằng JG đi qua trung điểm của 67.
n: thun