Đề thi đại học môn Toán khối A 2009 - Bám sát cấu trúc Bộ giáo dục

Chia sẻ: Tai Viet | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

149
lượt xem 42
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'đề thi đại học môn toán khối a 2009 - bám sát cấu trúc bộ giáo dục', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi đại học môn Toán khối A 2009 - Bám sát cấu trúc Bộ giáo dục

Bám sát c u trúc B Giáo D c và ào t o THI TUY N SINH I H C, CAO NG NĂM 2009 THAM KH O Môn thi : TOÁN, kh i A Thi th th năm hàng tu n (26.02.2009) 02 I. PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH ( 7,0 i m ) Câu I : ( 2 i m ) 1. Kh o sát s bi n thiên và v th c a hàm s y = x 3 + 4x 2 + 4x + 1 . 2. Tìm trên th c a hàm s y = 2x 4 − 3x 2 + 2x + 1 nh ng i m A có kho ng cách n ư ng th ng (d ) : 2x − y − 1 = 0 nh nh t. Câu II: ( 2 i m ) 1. Gi i phương trình : 2 log2 x = log 3 x .log 3 ( 2x + 1 − 1) 9 2. Cho tam giác ABC có A, B nh n và th a mãn sin2 A + sin2 B = 2009 sin C .Ch ng minh r ng tam giác ABC vuông t i C . π 2 1 Câu III: ( 1 i m ) Tính tích phân I = ∫ π ( sin x − cos x ) sin x dx 3 Câu IV: ( 1 i m ) Cho hình chóp t di n u S .ABCD . Các m t bên t o v i áy góc β . G i K là trung i m c nh SB . Tính góc gi a hai m t ph ng ( AKC ) và (SAB ) theo β . m − 3x 2 − 2x 3 Câu V: ( 1 i m ) Cho b t phương trình : 2 ≥ 4 − x 2 ( x 2 + 2 ) . Tìm m b t phương trình có 4−x nghi m x thu c t p xác nh . II. PH N RIÊNG ( 3,0 i m ) Thí sinh ch ư c làm m t trong hai ph n ( ph n 1 ho c 2 ). 1. Theo chương trình Chu n : Câu VI.a ( 2 i m ) ( ) 1. Trong m t ph ng v i h t a Oxy , cho ư ng tròn C có phương trình: x 2 + y 2 − 6x + 5 = 0 .Tìm i m M thu c tr c tung sao cho qua M k ( ) ư c hai ti p tuy n v i C mà góc gi a hai ti p tuy n ó b ng 600 . 1   1   1 2. Trong không gian Oxyz cho 3 i m H  ; 0; 0  , K  0; ; 0  , I  1;1;  . Tính cosin c a góc t o b i m t ph ng 2   2   3 (HIK ) và m t ph ng to Oxy . Câu VII.a ( 1 i m ) Cho 3 s th c dương a, b, c tho mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Ch ng minh r ng : a b c 3 3 2 2 + 2 2 + 2 2 ≥ . b +c c +a a +b 2 2. Theo chương trình Nâng cao : Câu VI.b ( 2 i m ) x y z 1. Trong không gian v i h tr c t a vuông góc Oxyz cho ư ng th ng d : () = = và các i m A 2; 0;1 , 1 2 3 ( ) ( ) ( ) B 2; −1; 0 ,C 1; 0;1 . Tìm trên ư ng th ng d () i m S sao cho : SA + SB + SC t giá tr nh nh t. ( ) 2. Vi t phương trình ư ng phân giác trong c a 2 ư ng th ng : d1 : 2x + y + 3 = 0, d2 : x + 2y + 6 = 0 . ( ) Câu VII.b ( 1 i m ) Cho 3 s th c dương a, b, c tho mãn a +b +c = 1 . Ch ng minh r ng : a +b + b +c + c +a ≤ 6. GV ra : Nguy n Phú Khánh à L t . áp án ăng t i t i http://www.maths.vn sau 15h cùng ngày.
I. PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH ( 7,0 i m ) Câu I : ( 2 i m ) 1. Kh o sát s bi n thiên và v th c a hàm s y = x 3 + 4x 2 + 4x + 1 . 2. Tìm trên th c a hàm s y = 2x 4 − 3x 2 + 2x + 1 nh ng i m A có kho ng cách n ư ng th ng (d ) : 2x − y − 1 = 0 nh nh t. 1. Kh o sát s bi n thiên và v th c a hàm s y = x 3 + 4x 2 + 4x + 1 . H c sinh t gi i . 2. Tìm trên th c a hàm s y = 2x 4 − 3x 2 + 2x + 1 nh ng i m A có kho ng cách n ư ng th ng (d ) : 2x − y − 1 = 0 nh nh t. ( ) Gi s A x 0; y0 ∈ y = 2x − 3x + 2x + 1 ⇒ y0 = 2x 0 − 3x 0 + 2x 0 + 1 4 2 4 2 2x 0 − y 0 − 1 2x 0 − 1 − ( 2x 0 − 3x 0 + 2x 0 + 1) 4 2 4 2 2x 0 − 3x 0 + 2 d(A,(d )) = = = 22 + ( −1)2 5 5 2  2 3 2 x0 −  + 7  4 8 7 5 d(A,(d )) = ≥ 5 40 7 5 3 3 V y min d (A,(d )) = khi x 0 − = 0 ⇔ x 0 = ± 2 40 4 2 3 1  3 1  • x0 = − , y0 = − − 3 ⇒ A  − ;− − 3  2 8  2 8  3 1  3 1  • x0 = , y0 = − + 3 ⇒ A  ;− + 3  2 8  2 8  Câu II: ( 2 i m ) 1. Gi i phương trình : 2 log2 x = log 3 x .log 3 ( 2x + 1 − 1) 9 x > 0   i u ki n: 2x + 1 ≥ 0 ⇔x >0   2x + 1 − 1 > 0  2 Phương trình : 2 log2 x = log 3 x .log 3 ( 2x + 1 − 1) ⇔ 2  .log 3 x  − log 3 x .log 3 ( 2x + 1 − 1) = 0  1 9  2  log 3 x = 0  1 log x − log =0⇔ ⇔ log 3 x . 2 3 3 ( 2x + 1 − 1)    1 log x − log ( 2x + 1 − 1)  = 0   2  3 3   x =1 x =1 x = 1 x = 1 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ th a x > 0 . log 3 x = log 3 ( 2x + 1 − 1)   x = 2x + 1 − 1  x ( x − 4 ) = 0  x = 4  2. Cho tam giác ABC có A, B nh n và th a mãn sin2 A + sin2 B = 2009 sin C .Ch ng minh r ng tam giác ABC vuông t i C . Ta ch ng minh ư c sin2 A + sin2 B + sin2 C = 2 + 2 cos A.cos B.cosC ( bài t p giáo khoa i s 10). Như v y ta luôn có sin2 A + sin2 B = 2009 sin C ⇔ sin2 C + 2009 sin C = 2 + 2 cos A.cos B. cosC . Vì sin2 C + 2009 sin C ≤ 2 nên 2 + 2 cos A.cos B. cosC ≤ 2 ⇒ cos A.cos B. cosC ≤ 0 ( * ) . Do tam giác ABC có A, B nh n , ng th c ( * ) ⇒ cos C ≤ 0 (1) .
M t khác : 0 < sin C ≤ 1 ⇒ sin2 C ≤ 2009 sin C hay sin2 C ≤ sin2 A + sin2 B ⇔ c 2 ≤ a 2 + b 2 ( nh lý hàm sin) ⇔ a 2 + b 2 − 2a.b.cosC ≤ a 2 + b 2 ⇔ cos C ≥ 0 ( 2 ) ( nh lý hàm cosin). π T (1) và ( 2 ) suy ra cosC = 0 ⇔ C = . 2 V y tam giác ABC vuông t i C . π 2 1 Câu III: ( 1 i m ) Tính tích phân I = ∫ π ( sin x − cos x ) sin x dx 3 Cách 1 : π π 2 2 1 1 1 I =∫ dx = ∫ dx π ( sin x − cos x ) sin x 3 2 π 3 ( sin x − π 4 ) sin x π cot  x −  − cot x =  ( π4 ) − cos x = sin x.cos (x − π4 ) − cos x.sin (x − π4 ) cos x − sin ( x − ) sin x sin ( x − ) .sin x  4 π π 4 4 sin x − ( x − )  π   4  = 1 = sin ( x − ) . sin x 2 sin ( x − ) sin x π π 4 4 π 2   π  I = ∫ cot  x − 4  − cot x dx = ? π     3 Cách 2 : π π π π 2 2 2 2 1 1 −1 1 I =∫ dx = ∫ (1 − cot x ) sin2 x dx = ∫ ( cot x − 1) sin2 x dx = ∫ d ( cot x − 1) = ? π ( sin x − cos x ) sin x π π π cot x − 1 3 3 3 3 Câu IV: ( 1 i m ) Cho hình chóp t di n u S .ABCD . Các m t bên t o v i áy góc β . G i K là trung i m c nh SB . Tính góc gi a hai m t ph ng ( AKC ) và (SAB ) theo β . G i O là tâm hình vuông ABCD c nh a . Khi ó SO ⊥ ( ABCD ) và SO = h . Ch n h tr c t a Oxyz sao cho OA ≡ Ox ,OB ≡ Oy,OS ≡ Oz và O ( 0; 0; 0 ) , A (a; 0; 0 ) , B ( 0; a; 0 ) , C ( −a; 0; 0 ) , D ( 0; −a; 0 ) , S ( 0; 0; h ) , K  0; ;  . a h   2 2 x y z a 1 ( ) ( ) M t ph ng ABC : z = 0, SAB : + + = 1 ⇒ cos β = a a h = 2h 2 + a 2 h  2 2  + 1 a  2 h  1 − cos2 β ⇒  = 2 cos2 β 1 () a  G i µ là góc gi a hai m t ph ng ( AKC ) và (SAB ) .
M t ph ng AKC ( ) i qua K và ch a tr c Ox nên có phương trình : −hy + az = 0 2 h  1−  a2 − h2 a  ⇒ cos µ = 2 2 2 2 = 2 2 (2) . a + 2h . a + h h  h  1 + 2  . 1 +   a  a  3 cos3 β − 1 T () () 1 và 2 suy ra cos µ = ( 2 1 + cos2 β ) m − 3x 2 − 2x 3 Câu V: ( 1 i m ) Cho b t phương trình : 2 ≥ 4 − x 2 ( x 2 + 2 ) . Tìm m b t phương trình có 4−x nghi m x thu c t p xác nh . i u ki n : −2 < x < 2 m − 3x 2 − 2x 3 Khi ó b t phương trình : 2 ≥ 4 − x 2 ( x 2 + 2 ) ⇔ x 4 − 2x 3 − 5x 2 ≥ 8 − m 4−x Xét hàm s : f ( x ) = x − 2x − 5x 2 , xác 4 3 nh và liên t c trên kho ng ( −2;2 ) . Trên kho ng ( −2;2 ) ta có : f ' ( x ) = 4x 3 − 6x 2 − 10x  x = 0, f ( 0 ) = 0 4x 3 − 6x 2 − 10x = 0   x ( 4x − 6x − 10 ) = 0 2  f ' (x ) = 0 ⇔  ⇔ ⇔ x = −1, f ( −1) = −2 x ∈ ( −2;2 )  x ∈ ( −2;2 )   x = 5 ∉ ( −2;2 )   2 lim+ f ( x ) = 12, lim f ( x ) = −20 − x →−2 x →2 L p b ng bi n thiên , t ó suy ra : b t phương trình có nghi m khi và ch khi 12 > 8 − m ⇔ m > −4 Chú ý : B t phương trình nghi m úng v i m i giá tr c a x thu c t p xác nh khi và ch khi −20 > 8 − m ⇔ m > 28 II. PH N RIÊNG ( 3,0 i m ) Thí sinh ch ư c làm m t trong hai ph n ( ph n 1 ho c 2 ). 1. Theo chương trình Chu n : Câu VI.a ( 2 i m ) ( ) 1. Trong m t ph ng v i h t a Oxy , cho ư ng tròn C có phương trình: x 2 + y 2 − 6x + 5 = 0 .Tìm i m M thu c tr c tung sao cho qua M k ư c hai ti p tuy n v i C ( ) mà góc gi a hai ti p tuy n ó b ng 600 . 2 ( ) Phương trình c a C có d ng: x − 3 ( ) ( ) + y 2 = 4 , có tâm là I 3; 0 , bán kính R = 2 . V ư ng tròn trên h tr c to Oxy , d th y tr c tung không có i m chung v i ư ng tròn C .Do ó, qua m t i m ( ) M b t kì trên t c tung luôn k ư c hai ti p tuy n c a C . ( ) Gi s ( ) i m M 0; m tùy ý thu c tr c tung.Qua M , k các ti p tuy n MA và MB c a C , trong ó A, B là các ti p ( ) i m. AMB = 600 (1) T gi thi t góc gi a 2 ư ng th ng MA và MB b ng 600 nên ta luôn có  AMB = 1200 (2)  Vì MI là phân giác c a AMB nên :
IA (1) ⇔ AMI = 300 ⇔ MI = ⇔ MI = 2R ⇔ m 2 + 9 = 4 ⇔ m = ± 7 sin 300 IA 2R 3 4 3 (2) ⇔ AMI = 600 ⇔ MI = 0 ⇔ MI = ⇔ m2 + 9 = (*) sin 60 3 3 D th y, không có m th a mãn (*) ( V y có t t c hai i m c n tìm là: M 0; − 7 và M 0; 7 . ) ( ) 1   1   1 2. Trong không gian Oxyz cho 3 i m H  ; 0; 0  , K  0; ; 0  , I  1;1;  . Tính cosin c a góc t o b i m t ph ng 2   2   3 (HIK ) và m t ph ng to Oxy .  1 1  1 1 ( ) M t ph ng HIK có vectơ ch phương là HK =  − ; ; 0  , HI =  ;1;  nên có vectơ pháp tuy n là  2 2  2 3 1 1 3 1 n = HK ; HI  =  ; ; −  = ( ) ( ) 2;2; −9 , HIK ch n vectơ pháp tuy n là m = 2;2; −9 ( )    6 6 4  12 1  ( M t ph ng HIK ) ( ) i qua H  ; 0; 0  và có vectơ pháp tuy n là m = 2;2; −9 , nên có phương trình : 2   1 ( ) ( ) 2  x −  + 2 y − 0 − 9 z − 0 = 0 ⇔ 2x + 2y − 9z − 1 = 0 . 2  ( ) M t ph ng Oxy : z = 0 0.2 + 0.2 − 9 9 Góc t o b i hai m t ph ng  HIK , Oxy  : cos β =  ( )( ) = .   4 + 4 + 81. 0 + 0 + 1 89 Câu VII.a ( 1 i m ) Cho 3 s th c dương a, b, c tho mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Ch ng minh r ng : a b c 3 3 2 2 + 2 2 + 2 2 ≥ . b +c c +a a +b 2 Phân tích bài toán : • Trư ng h p t ng quát , gi s 0 < a ≤ b ≤ c tho mãn i u ki n a 2 + b 2 + c 2 = 1 , v y ta có th suy ra 0 < a ≤ b ≤ c < 1 hay không?. Như v y i u ki n a, b, c không chính xác vì d u ng th c ch x y ra khi 0 < a = b = c  1  1   2 2 2 ⇒a =b =c = ⇒ a, b, c ∈  0; . a + b + c = 1  3  3 • Ta th y m i liên h gì c a bài toán ?. D th y a 2 + b 2 + c 2 = 1 và b 2 + c 2 , c 2 + a 2 , a 2 + b 2 . G i ý ta ưa bài toán a b c 3 3 v d ng c n ch ng minh : 2 + 2 + 2 ≥ . 1−a 1−b 1−c 2 • Vì vai trò a,b, c như nhau và 2 ý phân tích trên g i ý ta ưa n cách phân tích  a 3 2  2 ≥ a 1 − a 2 a b c 3 3 2  b 3 2 1−a 2 + 1 −b 2 + 1−c 2 ≥ 2 a + b2 + c2 ( ) và c n ch ng minh  2 ≥ 2 b . 1 − b  c 3 2  2 ≥ c  1−c 2
• Ta th i tìm l i gi i : a 3 2 1 3 3 2 4 8 2 ≥ a ⇔ 2 ≥ a ⇔ ≥ a(1 − a 2 ) ⇔ ≥ a 2 (1 − a 2 )2 ⇔ ≥ 2a 2 (1 − a 2 )2 1−a 2 1−a 2 3 3 27 27  2 2 2 2 2 2 2a (1 − a ) = 2a (1 − a )(1 − a ) D th y  2 2 2 2a + (1 − a ) + (1 − a ) = 2  Áp d ng b t ng th c trung bình c ng trung bình nhân 2 = 2a 2 + (1 − a 2 ) + (1 − a 2 ) ≥ 3 3 2a 2 (1 − a 2 )(1 − a 2 ) 2 3 2 8 ⇒ ≥ 2a (1 − a 2 )(1 − a 2 ) ⇔ ≥ 2a 2 (1 − a 2 )2 3 27 Tương t cho các trư ng h p còn l i. Bài gi i dành cho c gi : c gi mu n tìm hi u thêm v i m rơi b t ng th c trong côsi ( AM_GM) vui lòng tìm c bài vi t trên di n àn toán h c Vi t Nam http://www.maths.vn ho c di n àn toán h c th gi i http://www.mathlinks.ro , hi v ng qua các bài toán i m rơi trong AM_GM s giúp các em THPT m t cách nhìn m i v b t ng th c c i n thu c chương trình THPT hi n nay , B T r t ơn gi n và d hi u. Chúc các b n c gi thành công . Câu VI.b ( 2 i m ) x y z 1. Trong không gian v i h tr c t a () vuông góc Oxyz cho ư ng th ng d : = = và các i m A 2; 0;1 , 1 2 3 ( ) ( ) ( ) B 2; −1; 0 ,C 1; 0;1 . Tìm trên ư ng th ng d () i m S sao cho : SA + SB + SC t giá tr nh nh t. Bài toán này nhi u cách gi i , tôi ưa ra m t cách gi i ng n g n ch không ph i là cách gi i p!. 5 1 2 G i G là tr ng tâm tam giác ABC ⇒ G  ; − ;  . 3 3 3 D th y SA + SB + SC = 3SG ⇒ SA + SB + SC = 3 SG SA + SB + SC t giá tr nh nh t khi 3 SG t giá tr nh nh t , khi ó S là hình chi u c a G lên d .() Gi s ( β ) là m t ph ng qua G () ( ) và vuông góc v i d , thì phương trình m t ph ng β : x + 2y + 3z − 3 = 0 . Khi ó to () i m S c n tìm là giao i m c a ư ng th ng d và m t ph ng β , to ( ) i m S tho mãn h :  3 x =  β : x + 2y + 3z − 3 = 0 14 ( )   3  3 3 9   x y z ⇔ y = ⇒S ; ;   () d : = = 1 2 3  7 9  14 7 14  z =   14 ( ) ( ) 2. Vi t phương trình ư ng phân giác trong c a 2 ư ng th ng : d1 : 2x + y + 3 = 0, d2 : x + 2y + 6 = 0 . ây là ph n gi m t i thu c chương trình THPT. Do ó c gi nghiên c u thêm . Câu VII.b ( 1 i m ) Cho 3 s th c dương a, b, c tho mãn a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng : a +b + b +c + c +a ≤ 6. Phân tích bài toán : • Trư ng h p t ng quát , gi s 0 < a ≤ b ≤ c tho mãn i u ki n a + b + c = 1 , d u ng th c ch x y ra khi 0 < a = b = c  1 1  ⇒ a = b = c = . H ng s c n thêm là . a + b + c = 1  3 3
• T gi thi t g i ý ta ưa ( n cách phân tích a + b + b + c + c + a ≤ 6 a + b + c hay )  1 1 1 1 1 1 a + +b + b + +c + c + +a +  3  3 3 + 3 3 + 3 3. S = a +b + b +c + c +a ≤ . 2  2 2 2      • Ta th i tìm l i gi i : Áp d ng b t ng th c trung bình c ng trung bình nhân 1 1  2 3 a+ +b + 3 ( )  a +b +  3 2 2 3 2 3 = 2  2 3≥  2 ( . a +b . = a +b 3 )     Tương t cho các trư ng h p còn l i . Cách khác : 1 1 a + b + m  Gi s v i m i m > 0 , ta luôn có : a + b = (a + b ) m ≤  2 .V n bây gi ta d oán m m  m > 0 bao nhiêu là phù h p?. a + b = m  2 D th y ng th c x y ra khi  1 ⇔m = . a = b = 3  3 Gi i : Áp d ng b t ng th c trung bình c ng trung bình nhân   3 2 AM _GM 3 (a + b ) + 2  a +b =  2 ( . a +b .)3 ≤ 2 . 2 3   3 2 AM _GM 3 (b + c ) + 2  b +c = 2 ( ) . b +c . 3 ≤ 2 . 2 3    3 2 AM _GM 3 (c + a ) + 2  c +a = 2 ( . c +a .)3 ≤ 2 . 2 3   2 3 ( ) 2 a + b + c + 3. 3 = 3 ⇒ a +b + b +c + c +a ≤ . .2 = 6 ( pcm). 2 2 2 1 ng th c x y ra khi a = b = c = . 3 Chúc các em thành công .