CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

SỞ GD VÀ ĐT VĨNH PHÚC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN NĂM HỌC 2015 - 2016

ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 10 ĐỀ CHÍNH THỨC

2

2

x

3

x

2

x

9

x

20

m

  (1)

1 0



(Thời gian làm bài 180 phút)

5m  .

2

Câu 1. (2.5 điểm) Cho phương trình :  a. Giải phương trình (1) với

x

x 6

  . 7 0

4

2

4

2

b. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn

x

x

  4

x

20

x

  4

7

x

2

2

Câu 2. (1.0 điểm) Giải phương trình :

3

x

2

x

 

8

7

3

x

2

x

15 2

 2 y x

 

6

x

Câu 3. (1.0 điểm) Giải bất phương trình :

3

3

3 x y

19

x

  y   1 

,M N P lần lượt trên

,

Câu 4. (1.5 điểm) Giải hệ phương trình :

Câu 5. (1.5 điểm) Cho tam giác ABC đều cạnh 3a . Lấy các điểm

 BM a CN

,

2 ,

a AP

BC CA AB sao cho

,

,

a 4 5

 A 

1;3

các cạnh . . Chứng minh AM PN

AD 3

AB

Câu 6. (1.5 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC cân tại điểm trên cạnh AB sao cho . Gọi D là và H là hình chiếu vuông góc của B trên CD .

M

;

1 2

3 2

  

  

Điểm là trung điểm đoạn HC . Xác định tọa độ đỉnh C , biết đỉnh B nằm trên

x

y   .

7 0

đường thẳng có phương trình

,a b c là các số dương thỏa mãn

,

a b c

   . Tìm giá trị lớn nhất

3

Câu 7. (1.0 điểm) Cho

P

3

2

3

3

2

a

c

b

a

c

b

b 2 c

c a

a b

của biểu thức :

Trang | 1

------------------- HẾT ------------------- Họ và tên thí sinh : …………………………………….…….. Số báo danh : ……………..

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

SỞ GD VÀ ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN --------------------------- CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017 ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC : 2015 - 2016 MÔN TOÁN LỚP 10

2

ĐIỂM

9

20

m

  (1)

1 0

x

x

2

3

CÂU NỘI DUNG 2   x x

2

x

4

x

5

  4 0





2

2

5

6

4

x

x

x

2

0.5

0.5

 Cho phương trình :  5m  . a. Giải phương trình (1) với 5m  ,  1 trở thành     x 1 x Với       x 0 8 6 x 6 Đặt

x

t

 , ta được phương trình

7

t

2

t

4 0

   2 t



 1

3

t   2       t 6 0 t

2

2

2

0.5

t t

x x

     3       3

9 0 4 0

x x

5

   3

 

3,

5

x

x

    x 6 3    x 6 5m  thì  1 có ba nghiệm là :

2

 

4

5

1

x

x

x

x

x

4

 

  2

m

1

  . 7 0   x 2 1  1

 

2

6

x

5

    2 

m

8

x

x

m     1

  5     7

2

x

t

x

   , ta được phương trình

2

 x    2 3 2     

6  1

1

t

t

t

2

m

m

x 6    x         x x  

2 6    t 1

  2

2

x 6

x

 

7 0

 2 có nghiệm thỏa mãn

0

2

t

t

t

f

2;0

0.5 Vậy với b. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn x   1

      1,

Đặt   1 có nghiệm thỏa mãn    t 2 Lập bảng biến thiên của hàm số

  t 2 0 5 1

t   t f

 m  

0.5

4

2

4

2

Dựa vào bảng biến thiên ta được 1 5m  1;5 Vậy giá trị m cần tìm là

x

x

  4

x

20

x

  4

7

x

Trang | 2

Giải phương trình :

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

2

2

pt

  x

  1

x

20

 7

Nhận xét : Từ phương trình suy ra 0.5

0x  4 2 x

4 2 x

2

Ta có : 

t

x

  , ta được phương trình

1 3

t

t

 21 7

4 2 x

t

2

t

 21 5

  

0

t

4

0

Đặt

1 

t

2

1  21 5

t

  

  

  t

4

1

2

4

2

x

   

1 4

x

5

x

   4 0

do x

0

4 2 x

2

0.5 Ta được :

x

x 1,

 x   x  2

2

2

3

x

2

x

15

3

x

2

x

  7

8

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là

2

2

bpt

3

2

x

x

 15 4

3

x

2

x

 

8 3

0

0.5 Giải bất phương trình : 

1

1

2

3

x

2

x

0

 1

 

2

2

3

x

2

x

 15 4

3

x

2

x

 

8 3

  

  

 

x

2

  3 x

2

x

   1 0

 1 3

1

    x

0.5

S

;

 1;

1        3 

  

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là

2

6

2 y x

 

x

Chú ý : Có thể giải phương trình, xét dấu sau đó suy ra nghiệm của bất phương trình. Hoặc có thể giải trực tiếp bất phương trình bằng ẩn phụ

3

3

3 x y

x

Giải hệ phương trình :

  y   1  19  0x  thi hệ vô nghiệm

2

y

  6

  6

  

y x

0.5 Nhận xét : Với

3

y

19

y

y

19

y 2 x 1 3 x

     

y 3 x

1 x

  

  

  

  y 1   x x    1     x  

Hệ phương trình

 

6

a

  6

0.5

ab 3

1

b

ab 3

19

  b 

  

y

y   a x  1    b  x

Trang | 3

Đặt , ta được hệ

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

  6

y

 

6

x

x

 

x

0.5

1 2

2

6

x

  

1 0

x

  

3

1 ,3 2

y

 

  y

1

    

     y 

y x 1 x

     

x y ;

x y ;

;3

Suy ra

1 3

1 2

  

 ; 2 ,   

    

  

0

x  , hệ tương đương

3

x

xy

19

 

2 x y

144

2

3

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là 

 

6 0

19

19

xy

xy

xy

6

3

3

3 x y

 6 6

144

x

,

…

 BM a CN

a AP

2 ,

,

BC CA AB sao cho

,

,

. . Chứng minh AM PN Chú ý : Có thể giải cách sau : Với 2  19    ,M N P lần lượt trên các cạnh Cho tam giác ABC đều cạnh 3a . Lấy các điểm a 4 5

A

P

N

C

0.5 Ta có :

B   MB MC 

2

 0  

2

M   AB AC 

 AB

 AC

  AM AM 3 

 AC

 

 AB

 AC

   PN PA AN

 AP

 

 

 AC

 AB

2 3 4 15

1 3 1 3

AP AB

0.5

  . AM PN

 AB

 AC

 AB

 AC

1 3

  

2

2

1 3 4   15    AB AC .

1 3 1   3    AB AC .

 

AB

AC

2 9

2

2

 

AB

  . AB AC

 

  AB AC .

AB

4 45 6 45

1 9 2 15

1 15

2

2

0

 

a

.cos60

0

a 3

2 3 8 45 3 45 9 15

2 15 (đpcm)

 A 

1;3

0.5

AD 3

M

;

CD . Điểm

. Gọi D là điểm và H là hình chiếu vuông góc của B trên

1 2

  

x

y   .

7 0

là trung điểm đoạn HC . Xác định tọa độ đỉnh C , biết Suy ra AM PN Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC cân tại trên cạnh AB sao cho AB 3   2 

Trang | 4

đỉnh B nằm trên đường thẳng có phương trình

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

A

E

x

D

H

M

C

B

I

 , I là trung điểm của BC

0.5

 BC IB

AE

 

  

1 2 là hình chữ nhật

Kẻ Ax song song BC , gọi E CD Ax Ta có tam giác DAE đồng dạng tam giác DBC

AE DA BC DB AEBI

nội tiếp đường tròn đường kính EI

1 2 AEBI     IM CD

AEIM nội tiếp đường tròn đường kính EI

nội tiếp đường tròn

 AM

;

pt BM x

:

3

y

 

5 0

 1; 3

  

AEBM AM BM  3 9 2 2

 Ta có IM song song BH  đường kính EI (cid:0) 090    AMB 3   2 

  

x

  

7 0

y

x

  4

0.5 Ta có

B

    4; 3

y

 

5 0

y

 

3

 AD

 AB D

   x 3   DM

;

   

 2;1

   1; 1

   5 2

Tọa độ B là nghiệm của hệ

pt CD x

  

1 0 ;

y

pt BH x

1 3 :

5 5     2 2   : 1 0    y    x 1 0

y

x

1

 

0.5

1;0

   H

x

  

1 0

y

y

0

  

C

      2; 3 bằng cách khác :

Tọa độ H thỏa mãn hệ

.

 Do M là trung điểm của CH, suy ra Chú ý : Có thể chứng minh AM BM Kẻ d vuông góc BC, gọi I, J lần lượt là giao của d với CD và CA, E là trung điểm của BH. Chứng minh E là trực tâm tam giác IBM, D là trọng tâm tam giác JBC, IE song song AM, suy ra AM BM Cho

,a b c là các số dương thỏa mãn

,

   . Tìm giá trị lớn nhất của biểu

3

P

3

2

3

3

2

a b

a

c

b

a

a b c c a

c

b

b 2 c

thức :

2

2

3

2

9

  a b c

a a

.

b .1

c

.

c

a

b

c

  1

c

1 a

1 a

  

  

  

a

  1

c

1

1 a

     

  

2

3

9

a b

a

c

  a ac 9

Trang | 5

Ta có 0.5

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

cb

1

1

,

3

3

2

b 2 c

b

a

  b ba 9

c a

b

c

Tương tự : CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017   c 9

0.5

  a b c

 ab bc

ca

P

 ab bc

ca

 9

6   9

1 9

  a b c

 .9 1

2

1 1 . 9 3

1 1 . 9 3

a

2   3 Dấu “=” xảy ra khi Vậy

b c max P  đạt được khi

1

a

2   3 1       1 b c

Trang | 6

Suy ra : 3

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

GIÁO VIÊN VÀ HUẤN LUYỆN VIÊN HÀNG ĐẦU

- Học Online trực tiếp với các Thầy, Cô là chuyên gia bồi dưỡng HSG Quốc gia chuyên môn cao, giàu kinh nghiệm và đạt nhiều thành tích.

- Học kèm Online trực tiếp với Huấn luyện viên giỏi là các anh chị đã tham gia và đạt giải cao trong kì thi HSG Quốc gia các năm trước.

- Chương trình được sắp xếp hệ thống, khoa học, toàn diện giúp học sinh nắm bắt nhanh

kiến thức và tối ưu kết quả học tập. -

CÁCH HỌC VÀ PHƯƠNG PHÁP HỌC THÚ VỊ - HIỆU QUẢ

- Lớp học Online ít học sinh: Mỗi lớp từ 5 - 10 em để Giáo viên và Huấn luyện viên bám sát, hỗ trợ kịp thời cho các em nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất. - Thời gian học linh động, sắp xếp hợp lý giúp các em dễ dàng lựa chọn cho mình khung thời gian tốt nhất để học. - Mỗi bài học được chia thành nhiều buổi học (mỗi bài có tối thiểu 2 buổi học):

+ Buổi đầu tiên huấn luyện viên hướng dẫn các em học Online trực tiếp: Phần lý thuyết, phương pháp giải toán - các ví dụ minh họa điển hình & bài tập tự luyện do giáo viên cung cấp. Trong quá trình học các em được trao đổi, thảo luận Online trực tiếp với các bạn cùng học và huấn luyện viên để nắm rõ và hiểu sâu thêm các vấn đề trong bài học.

+ Buổi học tiếp theo: Sau khi về nhà các em đã làm bài tập tự luyện thì ở buổi học này Huấn luyện viên sẽ đánh giá bài làm của các em và sửa bài. Trong quá trình sửa bài các em thảo luận Online trực tiếp với HLV, các bạn cùng lớp để hoàn thiện bài làm và mở rộng thêm các dạng toán mới.

HỌC CHỦ ĐỘNG – HỌC THOẢI MÁI VÀ TIẾT KIỆM

-

Các em không cần đến lớp, không cần đi lại mất thời gian, công sức, tiền của. Hãy chọn cho mình góc học tập yên tĩnh, tập trung và 01 máy tính có kết nối internet là chúng bắt đầu học Online trực tiếp như ở lớp.

- Mỗi tuần học 2 buổi, có nhiều lớp học, ca học trong ngày giúp các em hoàn toàn chủ

động thời gian học tập của mình.

- Các chuyên đề luôn được mở giúp các em có thể học nhanh chương trình, trong thời gian ngắn nhất.

- Kết nối với các thầy cô, huấn luyện viên Online trực tiếp giúp việc giải đáp các vấn đề

nhanh hơn - hiệu quả hơn.

- Được kết giao với các bạn học khác là những học sinh yêu thích, đam mê và giỏi toán trên toàn quốc.

Trang | 7

- Học phí phù hợp. Đội ngũ tư vấn, cskh nhiệt tình, tận tâm hỗ trợ các em trong suốt quá trình học.

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807