Môn thi: Toán
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH CẤP THÀNH PHỐ KHÓA THI NGÀY 09/03/2016 Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC (đề thi gồm 01 trang) Bài 1. (3 điểm)
Giải phương trình: .
Bài 2. (4 điểm) Giải hệ phương trình:
Bài 3. (3 điểm)
Cho là các số thực thỏa mãn: . Tìm giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.
Bài 4. (3 điểm)
Tìm để phương trình: có đúng
hai nghiệm phân biệt trên đoạn .
Bài 5. (4 điểm)
Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD biết AB = 2, CD = ,
và góc giữa AD và BC bằng 300.
Bài 6. (3 điểm)
Trong một buổi tọa đàm về “Tình yêu tuổi học đường” tại lớp 12A, có tất cả 21 bạn tham gia và có 4 cặp có tình cảm với nhau (không có học sinh nào thuộc về nhiều cặp). Cô giáo chọn ra 5 bạn để tham gia một trò chơi tập thể. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà trong đó, có ít nhất một cặp có tình cảm với nhau?
HẾT
ĐÁP ÁN
Bài 1. (3 điểm) Giải phương trình: .
Lời giải.
Điều kiện . (0,5đ)
Vế trái của (*) dương nên , do đó, ta chỉ cần xét và ta có:
(0,5đ)
Đặt thì ta có
(1đ)
Phương trình thứ hai vô nghiệm vì không thể đồng thời bằng 0. Do đó
(1đ)
So sánh điều kiện, ta thấy nghiệm này thỏa mãn nên phương trình (*) có nghiệm duy nhất là Bài 2. (4 điểm) Giải hệ phương trình:
Lời giải. Điều kiện xác định:
Phương trình đầu
Xét (1đ) Tập xác định: R
Đặt
=>
=
hay
là hàm đồng biến trên R (1đ)
Từ Thay vào phương trình thứ hai, ta được:
x = 1 không là nghiệm x 1 (0,25đ)
Phương trình
VT là hàm đồng biến trên VP nghịch biến trên từng khoảng nên phương trình trên có không quá 2 nghiệm. (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ)
Nhẩm được và là nghiệm (0,5đ)
Suy ra phương trình có đúng 2 nghiệm là và .
Kết luận : Tập nghiệm của hệ là : (x ;y) (0,5đ)
Bài 3. (3 điểm)
Cho là các số thực thỏa mãn: . Tìm giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.
Lời giải.
Đặt
(1đ) Ta có P = 12 – 4ab với a2 + b2 =
(1đ) nên Do
(0,5đ) GTLN của P là 13 khi
(0,5đ) GTNN của P là 11 khi
Bài 4. (3 điểm)
Tìm để phương trình: (*) có
đúng hai nghiệm phân biệt trên đoạn .
, (0,5đ)
(**)
Lời giải. Đặt (*) t = 1 không thỏa phương trình (**)
(**) (0,5đ)
Suy ra f đồng biến trên
(0,5đ)
ptrình
có đúng 2 nghiệm
(0,75đ) Ứng với mỗi
Như vậy (*) có đúng hai nghiệm phân biệt trên đoạn khi
(0,75đ)
Bài 5. (4 điểm)
Cho tứ diện ABCD có AB = 2, CD = , và góc giữa
AD và BC bằng 300. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Lời giải.
Dựng hình chữ nhật ABCE. Ta có AB, CE vuông góc với mp(ADE) và (AD,AE) =300.
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, AE; K là tâm đường tròn ngoại tiếp ADE; O là tâm mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp D.ABCE. (ABCD), KJ AE Suy ra OK (ADE) và OI OIJK là hình chữ nhật. (1đ) (1đ) (0,5đ)
Ta có (0,5đ)
(0,5đ)
(0,5đ)
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng 3. Bài 6. (3 điểm)
Trong một buổi tọa đàm về “Tình yêu tuổi học đường” tại lớp 12A, có tất cả 21 bạn tham gia và có 4 cặp có tình cảm với nhau (không có học sinh nào thuộc về nhiều cặp). Cô giáo chọn ra 5 bạn để tham gia một trò chơi tập thể. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà trong đó, có ít nhất một cặp có tình cảm với nhau?
là nhóm các học sinh có tình cảm với nhau (gồm 8 học sinh) và là nhóm các (0,25đ)
(0,25đ)
cách chọn.
Lời giải. Gọi học sinh còn lại (gồm 13 học sinh) * Trường hợp 1: Có đúng 1 cặp có tình cảm với nhau. Đầu tiên chọn 1 cặp có tình cảm với nhau: Có 4 cách chọn. Tiếp theo ta chọn 3 học sinh trong đó không có 2 em nào có tình cảm với nhau, có 4 trường hợp: + 3 HS thuộc nhóm A: Có + 2 HS thuộc nhóm A và 1 HS thuộc nhóm B: Có cách chọn. (0,25đ) (0,25đ)
+ 1 HS thuộc nhóm A và 2 HS thuộc nhóm B: Có cách chọn. (0,25đ)
+ 3 HS thuộc nhóm B: Có cách chọn. (0,25đ)
Như vậy số cách chọn trong trường hợp 1 là
=3672 (0,25đ)
* Trường hợp 2: Có đúng 2 cặp có tình cảm với nhau. Đầu tiên chọn 2 cặp có tình cảm với nhau: Có cách chọn. (0,25đ)
Tiếp theo ta chọn 1 học sinh còn lại: có cách chọn. (0,25đ)
. (0,25đ)
(0,5đ)
Như vậy số cách chọn trong trường hợp 2 là Vậy tổng cộng có 3774 cách chọn ra 5 bạn mà trong đó, có ít nhất một cặp có tình cảm với nhau.
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
GIÁO VIÊN VÀ HUẤN LUYỆN VIÊN HÀNG ĐẦU
- Học Online trực tiếp với các Thầy, Cô là chuyên gia bồi dưỡng HSG Quốc gia chuyên môn
cao, giàu kinh nghiệm và đạt nhiều thành tích.
- Học kèm Online trực tiếp với Huấn luyện viên giỏi là các anh chị đã tham gia và đạt giải
cao trong kì thi HSG Quốc gia các năm trước.
- Chương trình được sắp xếp hệ thống, khoa học, toàn diện giúp học sinh nắm bắt nhanh
kiến thức và tối ưu kết quả học tập.
-
CÁCH HỌC VÀ PHƯƠNG PHÁP HỌC THÚ VỊ - HIỆU QUẢ
- Lớp học Online ít học sinh: Mỗi lớp từ 5 - 10 em để Giáo viên và Huấn luyện viên bám sát,
hỗ trợ kịp thời cho các em nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất.
- Thời gian học linh động, sắp xếp hợp lý giúp các em dễ dàng lựa chọn cho mình khung
thời gian tốt nhất để học.
- Mỗi bài học được chia thành nhiều buổi học (mỗi bài có tối thiểu 2 buổi học):
+ Buổi đầu tiên huấn luyện viên hướng dẫn các em học Online trực tiếp: Phần lý thuyết, phương pháp giải toán - các ví dụ minh họa điển hình & bài tập tự luyện do giáo viên cung cấp. Trong quá trình học các em được trao đổi, thảo luận Online trực tiếp với các bạn cùng học và huấn luyện viên để nắm rõ và hiểu sâu thêm các vấn đề trong bài học.
+ Buổi học tiếp theo: Sau khi về nhà các em đã làm bài tập tự luyện thì ở buổi học này Huấn luyện viên sẽ đánh giá bài làm của các em và sửa bài. Trong quá trình sửa bài các em thảo luận Online trực tiếp với HLV, các bạn cùng lớp để hoàn thiện bài làm và mở rộng thêm các dạng toán mới.
HỌC CHỦ ĐỘNG – HỌC THOẢI MÁI VÀ TIẾT KIỆM
![Đề thi Tiếng Anh có đáp án [kèm lời giải chi tiết]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250810/duykpmg/135x160/64731754886819.jpg)
