së gd-®t qu¶ng b×nh ®Ò thi chän ®éi tuyÓn chÝnh thøc
dù thi hsg quèc gia líp 12 THPT
N¨m häc : 2009 - 2010
§Ò chÝnh thøc M«n : to¸n (vßng 1)
Thêi gian lµm bµi: 180 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
Bµi 1 (2,0 ®iÓm) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
2 1
2 1
2 2 2009 1
2 2 2009 1
y
x
x x x
y y y
Bµi 2 (2,0 ®iÓm) Cho d·y sè (
n
u
) x¸c ®Þnh nh sau:
1
2
1
3
1
2 ( 1)
2
n n n
u
u u u n
TÝnh giíi h¹n
1
1
lim
n
ni
u

Bµi 3 (2,0 ®iÓm) Cho
p
lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3. Chøng minh r»ng
*
n N
th×
n
p
kh«ng thÓ lµ tæng lËp ph¬ng cña hai sè nguyªn d¬ng liªn tiÕp. KÕt luËn cßn
®óng kh«ng trong trêng hîp
p
bÐ h¬n hoÆc b»ng 3.
Bµi 4 (2,5 ®iÓm) Cho tø diÖn ABCD, gäi trung ®iÓm cña AB, CD lÇn lît lµ K, L.
Chøng minh r»ng bÊt k× mÆt ph¼ng nµo qua KL ®Òu chia khèi tø diÖn nµy thµnh hai
phÇn cã thÓ tÝch b»ng nhau.
Bµi 5 (1,5 ®iÓm) Cho
, ,
abc
kh«ng ©m tháa m·n
3
abc
. Chøng minh r»ng:
3 3 3
1 1 1 5
a b b c c a
hÕt
Hä vµ tªn: ……………………………………………………………….
Sè b¸o danh: …………………………………………………………….
së gd-®t qu¶ng b×nh ®Ò thi chän ®éi tuyÓn chÝnh thøc
dù thi hsg quèc gia líp 12 THPT
N¨m häc : 2009 - 2010
§Ò chÝnh thøc M«n : to¸n (vßng 2)
Thêi gian lµm bµi: 180 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
Bµi 1 (2,0 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh:
4 4 2 2
2010 2010
2010.
2009
x x x x
Bµi 2 (2,0 ®iÓm) T×m tÊt c¶ c¸c hµm sè :
f R R
sao cho
2 2
( ) ( )( ( ) ( )),
f x y x y f x f y x R
.
Bµi 3 (1,5 ®iÓm) Cho
( )
P x
lµ ®a thøc bËc 7 cã hÖ sè nguyªn vµ nhËn gi¸ trÞ b»ng
1991 víi 4 gi¸ trÞ nguyªn kh¸c nhau cña biÕn
x
. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh
( ) 2010
P x
kh«ng cã nghiÖm nguyªn.
Bµi 4 (2,5 ®iÓm) Cho tø gi¸c låi ABCD. LÊy ®iÓm M bÊt kú trªn ®êng chÐo AC.
§êng th¼ng qua M song song víi AB c¾t BC t¹i P. §êng th¼ng qua M song song
víi CD c¾t AD t¹i Q. Chøng minh r»ng:
2 2 2 2
1 1 1
.
MP MQ AB CD
§¼ng thøc x¶y ra khi nµo?
Bµi 5 (2,0 ®iÓm) Víi mçi sè nguyªn d¬ng n, tam gi¸c ®Òu ABC cã ®é dµi c¹nh
b»ng n ®îc chia thµnh n2 tam gi¸c ®Òu («) cã ®é dµi c¹nh b»ng 1 bëi c¸c ®êng
th¼ng song song víi c¸c c¹nh cña tam gi¸c ABC. Gäi ®êng ®i lµ mét ®êng gÊp
khóc xuÊt ph¸t tõ t©m cña « chøa ®Ønh A vµ lu«n ®i qua t©m cña « cã c¹nh chung víi
« ®ang ®øng, ®ång thêi kh«ng ®i qua « nµo hai lÇn. T×m sè n bÐ nhÊt ®Ó trong tam
gi¸c ®Òu ABC cã ®êng ®i qua 1981 «.
hÕt
Hä vµ tªn: ……………………………………………………………….
Sè b¸o danh: …………………………………………………………….