1
PHÒNG GD&ĐT PHÚ VANG
TRƯỜNG THCS PHÚ HẢI
ĐỀ THI HSG TOÁN 8 CẤP TRƯỜNG
Năm học: 2019 - 2020
Thời gian: 120 phút( không kể thời gian giao đề)
-----------------------------------------------
Bài 1(3 điểm). Cho a – b = 5 và a.b = 2. Tính :
a) A = a3 – b3
b) B = 3(a4 + b4) + 2(a5 – b5)
Bài 2(4 điểm).
a) Tìm GTLN của các biểu thức: A = – (x + 2)4 + 3(x – 1)2 + x(x + 22) – 5.
b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = (x2 – 3x + 1)(x2 + 2x + 1) – 6x2
Bài 3(4 điểm).
a) Giải phương trình :
24
7
20292
11
9232
6
3212
4
xxxxxx
b) Tính tổng: S = 31 – 21 + 32 – 22 + 33 – 23 + … + 32019 – 22019.
Bài 4 (5 điểm).
Cho tam giác ABC nhọn. Trên các đường cao BE, CF, lần lượt lấy các điểm I, K sao cho
AIC = 900 và AKB = 900.
a) Chứng minh AF. AB = AE. AC
b) Chứng minh AI = AK
c) Cho A = 600, SABC = 120cm2. Tính diện tích tam giác AEF.
Bài 5 (2 điểm).
Tìm x để biểu thức A =
123 xx
+ 1 có giá trị không âm.
Bài 6 (2 điểm).
Cho tam giác đều ABC. M, N là các điểm lần lượt chuyển động trên hai cạnh BC và
AC sao cho BM = CN. Xác định vị trí của M, N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất .
-------------------------------------Hết-----------------------------------
2
ĐÁP ÁN
Bài
Nội dung
Điểm
1
(3đ)
a) A = (a – b)(a2 + ab + b2) = 5[(a – b)2 + 3ab] = 5(25 + 3.2) = 155
b)
a4 + b4 = (a2 + b2)2 – 2a2b2 = [(a – b)2 + 2ab]2 – 2a2b2
= (25 + 2.2)2 – 2.22
= 833
a5 – b5 = (a2 + b2)(a3 – b3) + a2b3 – a3b2
= [(a – b)2 + 2ab] . (a – b)(a2 + ab + b2) + a2b2(b – a)
= [(a – b)2 + 2ab] . (a – b) [(a – b)2 + 3ab] + a2b2(b – a)
= (25 + 4) . 5. (25 + 6) – 4.5
=4475
Vậy B = 3. 833 + 2 . 4475 = 11449
1đ
2
(4đ)
a) B = – (x + 2)4 + 4x2 + 16x – 2
= – (x + 2)4 + 4(x + 2)2 – 18
= – 14 –
1422 2
2x
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (x + 2) 2 – 2 = 0
22
22
x
x
Vậy GTLN của B bằng – 14 khi x = – 2 +
2
hoặc x = – 2 –
2
b) A = (x2 – 3x + 1)(x2 + 2x + 1) – 6x2
62
1
3
1
6
12
.
13
2
22
2
x
x
x
xx
x
xx
x
xx
x
Đặt t =
x
x1
, khi đó:
62
1
3
1
x
x
x
x
= (t – 3)(t + 2) – 6 = t2 – t – 12
= (t + 3)(t – 4)
=
4
1
3
1
x
x
x
x
Vậy: A = x2
4
1
3
1
x
x
x
x
=
4
1
3
1
x
xx
x
xx
= (x2 + 3x + 1)(x2 – 4x + 1)
3
3
(4đ)
a)
24
7
20292
11
9232
6
3212
4
xxxxxx
(1)
ĐK:
10,
2
9
,
2
3
,
2
1 xxxx
(1)
24
7
202
1
92
1
92
1
32
1
32
1
12
1
xxxxxx
24
7
202
1
12
1
xx
202127122420224 xxxx
thoax
thoax
xx
xx
2
23
2
02322
046192 2
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S =
2
23
;2
b) S = 31 – 21 + 32 – 22 + 33 – 23 + … + 32019 – 22019.
= (31 + 32 + 33 + … + 32019) – (21 + 22 + 23 + …+ 22019)
Đặt A = 31 + 32 + 33 + … + 32019, B = 21 + 22 + 23 + …+ 22019
A = 31 + 32 + 33 + … + 32018 + 32019
3A = 32 + 33 + 34 + … + 32019 + 32020
3A – A = 32020 - 31
A =
2
332020
B = 21 + 22 + 23 + …+ 22018 + 22019
2B = 22 + 23 + 24 + … + 22019 + 22020
2B – B = 22020 - 21
B = 22020 – 2
Vậy S =
2
123
22
2
33 20212020
2020
2020
4
4
(5đ)
a)
AEB
AFC
AC
AB
AF
AE
ACAEABAF ..
(1)
0,25đ
b)
AIE
ACI
AI
AE
AC
AI
ACAEAI .
2
(2)
Tương tự :
AKF
ABK
ABAFAK .
2
(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: AI = AK.
c) A = 600
ABE = ACF = 300 nên:
AE =
2
1
AB, AF =
2
1
AC
2
1
AC
AF
AB
AE
Suy ra :
AAEF
ABC
4
1
2
AB
AE
S
S
ABC
AEF
SAEF =
4
1
.SABC =
4
1
. 120 = 30 (cm2)
5
(2đ)
Ta cần tìm x để :
123 xx
+ 1
0 (*)
x + 3
0
x
- 3
x + 3 < 0
x < - 3
x – 1
0
x
1
x – 1 < 0
x < 1
0,25đ
K
I
F
E
C
B
A
5
Ta có bảng xét dấu:
Xét các trường hợp sau:
1. khi x < - 3:
(*)
01223 xx
4 x
(loại)
2. Khi
13 x
:
(*)
01223 xx
3
2
x
Kết hợp với điều kiện đang xét ta được
1
3
2 x
3. Khi x > 1:
(*)
01223 xx
6 x
Kết hợp với điều kiện đang xét ta được
61 x
Tóm lại x cần tìm là :
6
3
2 x
6
(2đ)
Gọi D và E là chân đường vuông góc kẻ từ M và N xuống AB
Ta có tam giác ANE vuông ở E có A = 600
ANE = 300
AE =
2
1
AN
Tương tự đối với tam giác MDB ta có DB =
2
1
BM
+
-
+
-
+
-
0
0
1
- 3
x - 1
x + 3
x
H
E
D
N
M
C
B
A