SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT NĂM 2022 Môn thi:TOÁN-BảngB

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Ngày thi:02/12/2022 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1.(4,5 điểm)Cho hàm số có đồ thị và điểm .

a) Tìm các giá trị của tham số để hàm sốnghịch biến trên khoảng . b) Tìm các giá trị của tham số sao cho có hai điểm cực trị, đồng thời hai điểm cực trị của cùng

với điểm tạo thành một tam giác vuông tại . Câu 2.(4,0 điểm)

a) Cho tam giác đều . Trên mỗi cạnh lần lượt lấy 4 điểm phân biệt và không điểm nào trùng với các đỉnh . Hỏi lập được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập hợp15 điểm đã cho (tính cả các điểm)?

b)Một người chọn ngẫu nhiên mộtsố điện thoại, trong đómỗi số có mười chữ số và ba chữ số đầu cố định là 099. Số điện thoại này được gọi là may mắn nếu bốn chữ số tiếp theo là các chữ số chẵn đôi một khác nhau, ba chữ số cuối là các số lẻ và tổng ba chữ số này bằng 9.Tính xác suất để người đó nhận được số điện thoại may mắn.

Câu 3.(5,5 điểm) Cho hình chópcó đáylà hình chữ nhật,, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng . Điểm thuộc đoạn sao cho . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng .

a) Tính thể tích khối chóp. b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và . c) Gọi và lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên và . Chứng minh hình chóp nội tiếp một

mặt cầu. Tính bán kính mặt cầu đó. Câu 4.(1,5 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều có góc . Mặt phẳng qua và vuông góc với đường thẳng cắt hình chóp theo một thiết diện. Tính tỉ số diện tích của thiết diện và diện tích đáy theo . Câu 5.(3,0 điểm)Giải hệ phương trình . Câu 6. (1,5 điểm) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn . Chứng minh .

------------------------- HẾT --------------------------

- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay; - Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chữ ký của giám thị 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chữ ký của giám thị 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NINH HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

I. HƯỚNG DẪN CHUNG 1. Giám khảo chấm đúng theo hướng dẫn của Sở Giáo dục và Đào tạo. 2. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh phải lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được cho điểm tối đa. 3. Với các cách giải đúng nhưng khác đáp án, tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết, phù hợp với khung điểm của câu/ý đó và chỉ được cho điểm theo sự thống nhất của cả tổ sau khi đã được Chủ tịch HĐCT phê duyệt. 4. Giám khảo không quy tròn điểm thành phần của từng câu, điểm của bài thi.

II. ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM

Câu Sơ lược lời giải/Một số gợi ý chính

1a)

Cho hàm số có đồ thị và điểm . Tìm các giá trị của tham số để hàm số nghịch biến trên khoảng . Tập xác định: . .

Tìm được nghiệm của là và

∞

+∞

x y'

m 1 0

m+1 0

+

+∞

y

∞

Bảng biến thiên

Hàm số nghịch biến trên khoảng .

1b)

Tìm các giá trị của tham số sao cho có hai điểm cực trị, đồng thời hai điểm cực trị của cùng với điểm tạo thành một tam giác vuông tại . Từ phần a) suy ra đồ thị luôn có hai điểm cực trị với mọi .

Tính được ; .

, là các điểm cực trị của đồ thị hàm số. Dễ thấy .

vuông tại

.

2a)

Cho tam giác đều . Trên mỗi cạnh , , lần lượt lấy 4 điểm phân biệt và không điểm nào trùng với các đỉnh , , . Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập hợp 15 điểm đã cho (tính cả các điểm , , )? Để lập được một tam giác ta cần chọn ra 3 điểm không thẳng hàng. Do đó số tam giác lập được chính là số cách chọn ra 3 điểm không thẳng hàng. Chọn 3 điểm bất kì trong 15 điểm đã cho (tính cả các đỉnh , , ) có cách. Chọn 3 điểm thẳng hàng trong 6 điểm trên một cạnh có cách.

Do có ba cạnh nên ta sẽ có số cách chọn ra 3 điểm thẳng hàng là cách. Do đó, số cách chọn ra 3 điểm không thẳng hàng là cách.

2b)

Một người chọn ngẫu nhiên mộtsố điện thoại, trong đómỗi số có mười chữ số và ba chữ số đầu cố định là 099. Số điện thoại này được gọi là may mắn nếu bốn chữ số tiếp theo là các chữ số chẵn

đôi một khác nhau, ba chữ số cuối là các số lẻ và có tổng bằng 9.Tính xác suất để người đó nhận được số điện thoại Số phần tử của không gian mẫu là .

Gọi số điện thoại may mắn có dạng . Số cách chọn các số là: . Các số thuộc tập hợp sau:

Suy ra số các số điện thoại may mắn là: .

Gọi là biến cố: “Người đó nhận được số điện thoại may mắn Có . Xác suất là:.

3 Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, , đường thẳng vuông góc với mặt phẳng . Điểm thuộc đoạn sao cho . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng .

S

3a) a) Tính thể tích khối chóp .

J

Vẽ hình chứng

D

Chỉ ra góc giữa và là góc giữa và nên . A

I

N

B

Do đó .

C

M

Tính được .

Suy ra thể tích khối chóp là .

3b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và .

Kẻ (thuộc ) thì .

Gọi là hình chiếu của trên và là hình chiếu của trên, chỉ ra suy ra Tính được .

Áp dụng hệ thức ,

suy ra

S

K

A '

H

A

O

D

3c) c) Gọi và lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên và . Chứng minh hình chóp nội tiếp một mặt cầu. Tính bán kính mặt cầu đó.

B

C

M

Tương tự chỉ ra thuộc mặt cầu đường kính. Suy ra các điểm cùng thuộc mặt cầu đường kính.

Tính được .

Bán kính mặt cầu bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác nên . * Lưu ý:Nếu học sinh chứng minh được tứ giác nội tiếp đường tròn, từ đó suy ra hình chóp nội tiếp một mặt cầu cho 0.5đ.

4

S

N

P

M

I

A

D

O

B

C

Cho hình chóp tứ giác đều có góc . Mặt phẳng qua và vuông góc với đường thẳng cắt hình chóp theo một thiết diện. Tính tỉ số diện tích thiết diện và diện tích đáy theo .

S

N

I

A

C

O

Gọi là tâm hình vuông . Trong gọi là hình chiếu của trên nên , gọi là giao điểm của và. Trong , kẻ đường thẳng qua song song với cắt lần lượt tại và . Chỉ ra suy ra được vuông góc. Do đó. Thiết diện là tứ giác có hai đường chéo vuông góc nên . Do đó . Mặt khác .

Vậy .

Giải hệ phương trình. 5

Điều kiện .

(1)

Xét hàm số trên . Ta có suy ra hàm số đồng biến trên

(3),thế vào (2) ta được

(do )

(thỏa mãn điều kiện).

+ Với (thỏa mãn các điều kiện)

+ Với (thỏa mãn các điều kiện).

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn . Chứng minh 6 . Chỉ ra do và ;tương tự, và .

Do đó .

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số không âm, ta được suy ra đpcm. Dấu đẳng thức xảy ra khi .

------------------------- HẾT --------------------------