Đề thi học sinh giỏi môn Toán khối THCS năm 2022-2023 có đáp án

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ CẤP THCS, NĂM HỌC 2022 - 2023 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 28/03/2023

−

2 2 a b

−

Bài 1. (2,0 điểm)

> ). 0

− 2 b

−

   

   

−

+ 6 ...

a) Rút gọn biểu thức (với

1 6

5 27

−

+ 6 ...

(trong đó biểu thức chứa căn có b) Chứng minh rằng

2023 dấu căn ở tử số và 2022 dấu căn ở mẫu số). Bài 2. (2,0 điểm)

−

m 4

+ x m 4

1 0

− = (với m là tham số ).

a) Cho phương trình

)

(

,x x thoả mãn điều kiện 1

x < và 0 1

Tìm m để phương trình có hai nghiệm

−

1 + 1 +

     

     

 2     2  

x 14

x 4

6 z≥

b) Giải hệ phương trình

x 9 ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ,

− là số chính phương. x Chứng minh rằng

z 2

≥

y + xz yz

5 2

xz +

,A nội tiếp đường tròn (

∈

∆

Bài 3. (2,0 điểm) a) Tìm x nguyên dương để b) Cho

).O Kẻ đường cao AH của ,P Q lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H đến các đường thẳng

Gọi

Bài 4. (3,0 điểm) ∆ Cho ABC nhọn không cân tại đỉnh ). ( ABC H BC AB AC , .

a) Chứng minh tứ giác BCQP nội tiếp.

)O tại

,M đường thẳng AM cắt đường tròn ( MH MK MA .

b) Hai đường thẳng PQ và BC cắt nhau tại

BCQP Chứng minh ba điểm

I H K thẳng ,

điểm thứ hai là K (K khác A). Chứng minh rằng

c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác

hàng. Bài 5. (1,0 điểm)

Tìm độ dài nhỏ nhất của cạnh một hình vuông sao cho có thể đặt vào trong nó 5 hình tròn có bán kính bằng 1, biết rằng các hình tròn này đôi một không có quá một điểm chung. ---------Hết--------- (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

Họ và tên thí sinh: ............................................... Số báo danh: ...............................................

Cán bộ coi thi 1: ................................................. Cán bộ coi thi 2: ..........................................

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ CẤP THCS NĂM HỌC 2022 - 2023 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Ngày thi: 28/03/2023 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG ĐỀ CHÍNH THỨC (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)

Bài Đáp án Điểm

b -



b -

a -

1a. (1,0 điểm)

b> > ta có 0

2 2 a b - 2

b -

 a -       a

  :    

−

Với

)

(

−

2 2 a b

−

0,25

)

)(

(

−

− 4 a a 2 b

−

a a

= −

0,25

a a

1 khi

0,25

1 khi

−  =  

0,25

1b. (1,0 điểm)

−

+ 6 ...

−

+ 6 ...

Bài 1 (2 điểm) Đặt

0,25 + + 6 + 6 ... 6 a = (Với 2023 dấu căn). và

+ + a − = 6 6 + 6 ... 6 suy ra (Với 2022 dấu căn)

( ) 1

− 2

1 +

a −

−

3 ( a

)

Và 0,25

⇒ < ⇒ < 3

+ + a < 6 + 6 ... 6 3 Ta có + (Với 2023 dấu căn)

( ) 2

1 +

1 6

2, 4

< ⇒ a

0,25

( ) 3

1 +

1 + 3 2, 4

5 27

Ta có

1 6

5 27

0,25

,x x là các nghiệm của phương trình đã cho. 1

Từ ( )2 và ( )3 suy ra 2 a. (1,0 điểm) Giả sử Bài 2 (2 điểm) 0,25

-Trang 1-

⇔

Bài Điểm

0 >

0 <

x <

2 x

1 x

 x    

⇔

4 m m 4

− < 1 + > 1

    

> −

 x  1  − x    m     m 

1 4 1 4

1 − < 2

1 2

> −

Ta có Đáp án  x x  1 2  + x  

  ⇔   m 

1 4

−

⇔ −

0,25 0,25

1 4

1 2

( ) I

−

≥

0,25 Vậy

1 4 b. ( 1,0 điểm) Giải hệ phương trình       0,

 1  +   1  + x y  + ≠ 0.

ĐKXĐ:

⇒ > x

x = ,

> 0

 2       ≥ 0, y y = không thoả mãn hệ phương trình ( )I

⇒

x 1

x 3

y 1

−

0,25 Với

−

1 + 1 +

 3   ⇔  1  

 1     1  

0,25

    2   + x 

− ⇒ +

−

= ⇔ −

⇒

xy 8

y 9

)( y x

)

(

9 x 4

1 y 4

y = − y 9

Do đó:   2           

= −

y 9

4 + x y  = x ⇔  x  x

> nên

⇔ = 2

⇔ = ⇒ = 1

0,25 (không thoả mãn). Vì

y= ta có

Với x

0,25

(

) x y = ;

(

) 1;1 .

2 ) Ta thấy ( thoả mãn hệ phương trình ( )I . 1;1 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( 3a. (1,0 điểm) 2 3 + + 14 4 x x Vì 2 3 + + x 9 x x 14 4

−

− = 6

x 14

x 4

x 6

x 9

...

với 0,25 Bài 3 (2 điểm)

− là số chính phương, nên ta có 9 6 x * k N∈ − = k 6 (

)( x 2 4

)

Ta có

-Trang 2-

−

x 6

−

)( x 2 4 2, 4 x

6 x

d ∈

3 ) 3

Bài Điểm Đáp án

) = với ) −

⇒

−

x 4

x 6



x 2, 4 ( ⇒ + x

− x 6 )( x 2 4

= d )

−

⇒

−

x 4

x 6

⇒ =



−

( x

x 2, 4

( x 6

) x 6

0,25 Đặt ( x Gọi ( x Ta có ( ⇒ + x

⇒ )

+ )

) − − + 6 x 3 )( = mà ( x 2 4 1 − là số chính phương 3 − = x 3 4

x 6

x+ 6 2 và

nên ta có

,a b N∈ .

x 4

x 2

với 0,25

)

(

2 ) 3 .

+ ⇔ +

+ ⇔ =

x 4

x 6

− = 3

x 4

x 2

Ta lại có + 4 x x 6 Vậy ( 24 x + và x 2 + = a x 2 Đặt Vì x nguyên dương nên ta có ( 2

− = 6

100

2 10

9 x

12 x ( 4 x

+ ⇔ 9 )2 14 x

Vì b lẻ nên 0,25

x = ta có 2

> ta có

là số chính phương.

2 z

y + xz yz

xz +

y yz

x y

y z

xz yz 2

2 z x z x

x y

xz yz

y z

y yz

2 z x z x 2

+ 1 2 c

;

c ;

Với 3b. (1,0 điểm) > > Với

b 2

y z

x y

z x

a 2 +

trong đó và

≤ do 1

z≥ .

−

b 2

0,25

−

1 ( 2 a a

)

)( b

+ 1 )( ab

( ab a 2 )

ab 2 + ab ) + ( a

−

+ ab b

( ab a

)( + ab )( + ab 1 )

) + ( − a b

)

≥

Ta có 2 a 2 +

) ( a

( 2 + b b )( + b 1 ) ( ( − a b a )( + + b

+ )( ab

) 2 c

≥

0,25

b 2

( ) 1

2 +

ab 2 + ab

a 2 +

Do đó

1 c

b= .

0,25

Đẳng thức xảy ra khi Khi đó

-Trang 3-

+ c 1 2

Bài

)

)(

( 5 1

)

( 2.2 1

−

2 +

5 2

)( + c

) c

− )

+ c 1 2 )(

−

≥

< ≤ c

( ) 2

Đáp án ( + + c 2. 1 ( 2 1

)

( 0 0

( +

)

− c )(

( 2 1

)

+ c 3 )(

− c 1 3 ( 2 1

= z

Điểm 0,25

) + 1 Từ ( )1 và ( )2 suy ra điều phải chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi x

A

J

K

O

Q

P

C

B

M

H

I

D

⊥

180

HP AB HQ AC ,

(

)

0,25 4a. (1,0 điểm)   = + APH AQH

0,25

0,25 mà  PHA PBC (cùng phụ BAH )

⇒

∆

= MP MQ MB MC

MPB

MCQ

0,25 ⇒ Tứ giác BPQC nội tiếp. Bài 4 (3 điểm) ⇒ Tứ giác APHQ nội tiếp. ⇒  PQA PHA = Do đó  PQA PBC = 4b. (1,0 điểm)

( ) 1

MP MB = MC MQ

⇒

∆

= MK MA MB MC

MBK

MAC

(g.g) 0,25

( ) 2

MK MB = MC MA

0,25 (g.g)

(cùng phụ AHP ) (hai góc nội tiếp cùng chắn HP )

∆

⇒

MQH

MH MP MQ

0,25 Ta có  BHP BAH =  BAH PQH = ⇒  BHP PQH =

( ) 3

MH MP = MQ MH

MH MK MA .

(g.g) ⇒ ⇒ MHP ∆

1 , 2 và ( )3 suy ra

0,25

⇒ AD PQ⊥ .

∆

MKH

MHA

= MKH MHA

0,25 Từ ( ) ( ) 4c. (1,0 điểm) )O ⇒  090 . Vẽ đường kính AD của đường tròn ( ABD = =  090 =  DBC ABC Ta có  DAC AQP ABD = + (c.g.c) ⇒   090 .

-Trang 4-

HK AM⊥

Bài Đáp án Điểm

( )4

.AH Ta có J là tâm của đường tròn đi qua 5

⇒ ⊥ IJ

,P Q

⇒ K thuộc đường tròn đường kính AH và

(tính chất đường nối tâm )

//AJ OI ⇒ Tứ giác AJOI là hình bình hành mà

//AH OI ⇒ Tứ giác JOIH là hình bình hành

0,25

//AO IJ và = = JH OI // IH OJ

IH AM⊥

Gọi J là trung điểm của , A K P H Q . , , điểm Có ( )I và ( )J cắt nhau tại ⇒ // mà AD PQ⊥ AD IJ . Ta có ⇒ AJ ⇒

( )5

4 , 5 ⇒

I H K thẳng hàng. ,

( tính chất đường nối tâm ) ⇒ 0,25

mà OJ AK⊥ Từ ( ) ( ) Bài 5. (1,0 điểm)

x − (như hình vẽ)

Gọi độ dài nhỏ nhất của cạnh một hình vuông ABCD thoả mãn yêu cầu đề bài là Từ đây suy ra các tâm của 5 hình tròn này nằm trong hoặc trên 0,25 cạnh của hình vuông MNPQ có cạnh bằng

. cạnh là Chia hình vuông MNPQ thành 4 hình vuông nhỏ có độ dài mỗi x − 2

Theo nguyên lí Dirichlet có ít nhất hai tâm hình tròn nằm trong hoặc trên cạnh của một hình vuông nhỏ. Giả sử hai tâm đó là I và J . 0,25

x

A

B

M

x-2

N

I

J

Bài 5 (1 điểm)

1 P

Q

1 D

C

−

(

≤

0,25

x − 2

−

(

⇒

⇒ ≥ +

≥ ⇒ − ≥ x

2 2

2 2 2

)2 2

. Suy ra cạnh Vì hai hình tròn này có không quá 1 điểm chung trong nên IJ không nhỏ hơn hai lần bán kính và không lớn hơn độ dài đường chéo của hình vuông )2 2

0,25 Vậy độ dài nhỏ nhất của cạnh hình vuông cần tìm là 2 2 2 .

Chú ý:

- Thí sinh làm theo cách khác nếu đúng thì cho điểm tối đa. - Tổng điểm bài thi: 10 điểm . --------------- Hết ------------------

-Trang 5-