UBND TỈNH QUẢNG TRỊ
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 12
Khóa ngày 06 tháng 10 năm 2020
ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1. (5,0 điểm)
1. Tìm tất các các điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số cos sin .yxx
2. Tìm m để phương trình 42
24120xx m
có đúng 5 nghiệm phân biệt.
Câu 2. (5,0 điểm)
1. Chứng minh rằng
1 2 1010 2019
2020 2020 2020
2 ... 1010 1010.2 .CC C
2. Tìm tất cả các cặp số thực
;
x
y thỏa mãn 4xy và
 
2
20 8 .xy xyxy
Câu 3. (6,0 điểm)
1. Cho hình chóp .S ABC có đáy
A
BC là tam giác đều cạnh ,a tam giác SAB
vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích
của khối chóp .SABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và
A
C theo .a
2. Cho tam giác
A
BC ngoại tiếp đường tròn ().I Gọi ,,
M
DE
lần lượt là trung
điểm của ,,;
B
CIBIC ,
F
G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác
A
BD
và .
CE Chứng minh rằng AM vuông góc .
F
G
Câu 4. (2,0 điểm)
Cho dãy số
n
x
được xác định bởi 12x và 12, 1.
nn
xxn

Chứng minh
dãy số

n
x
có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Câu 5. (2,0 điểm)
Xét các số thực dương ,,abc
có tổng bằng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
222 18
.
bc ca ab abc
Pabcabbcca



========== HẾT ==========
Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.1. Tìm tất các các điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số cos sin .yxx
'sincosyxx ;
2
4
'0 32
4
x
k
y
xk



'' sin cosyxx; 3
'' 2 2 0; '' 2 2 0
44
yk yk






Vậy các điểm cực đại của hàm số là: 32
4
x
k
 ; Các điểm cực tiểu của hàm số là:
2
4
x
k

Câu 1. 2. Tìm m để phương trình 42
24120xx m
có đúng 5 nghiệm phân biệt.
42 42
241202412
x
xm xxm 
.
Cách 1: Xét hàm số 42
() 2 4 1fx x x có BBT của hàm số ()
f
x và ()
f
x
Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm cửa đồ thị hàm số ()
f
x và đường
thẳng ym. Vậy phương trình đã cho có đúng 5 nghiệm phân biệt khi 21m hay
1.
2
m
Cách 2: (HS 10,11). 42
2412(1)xx m . Đặt
2,0txt
PTTT: 2
2412tt m (2).
Xét hàm số 2
() 2 4 1
f
ttt
trên [0; ) . |()|
f
tcó
đồ thị
Biện luận các trường hợp số nghiệm của (2) và (1).
Từ đó kết luận 1.
2
m
Cách 3: Nhận thấy nếu 0
x
là nghiệm của (1) thì 0
x
cũng là nghiệm của pt (1). Do đó
nếu các nghiệm 0
i
x thì số nghiệm của phương trình (1) là số chẵn. Vậy đk cần để
pt có 5 nghiệm là pt (1) có nghiệm 00x, thế vào tìm được 1.
2
m Giải phương
trình khi 1
2
mvà kết luận.
Câu 2.1. Chứng minh rằng
1 2 1010 2019
2020 2020 2020
2 ... 1010 1010.2 .CC C
Cách 1: Ta có:

1
1
!(1)!
..
!!(1)!()!
kk
nn
nn
kC k n nC
knk k nk


10
2020 2019
21
2020 2019
1010 1009
2020 2019
2020
2 2020 ...
1010 2020 .
CC
CC
CC
0 1 1009
2019 2019 2019
2020 ...VT C C C
Xét 0 1 1009 1010 2019 2019
2019 2019 2019 2019 2019
... ... 2CC CC C. Mà knk
nn
CC
nên
0 1 1009 2019
2019 2019 2019
2 ... 2CC C
.
Vậy
0 1 1009 2019
2019 2019 2019
2020 ... 1010.2VT C C C
.
Cách 2:
Xét 2020 0 1 2 2 2020 2020
2020 2020 2020 2020
(1 ) ...xCxCxC xC
Suy ra được:
2019 1 2 2019 2020
2020 2020 2020
2020(1 ) 2 ... 2020xC xC xC
1 2 1010 1011 2020 2019
2020 2020 2020 2020 2020
2 ... 1010 1011 ... 2020 2020.2CC C C C
Ta có:

1
!! !
.. (1) (1)
!!(1)!()! (1)!(1)!
knk
n n
nn n
kC k n k n k C
knk k nk nk k



Do đó:
1 2020
2020 2020
22019
2020 2020
1010 1011
2020 2020
2020
2 2019
...
1010 1011
CC
CC
CC
Vậy: 1 2 1010 2019
2020 2020 2020
2 ... 1010 1010.2CC C
Câu 2.2. Tìm tất cả các cặp số thực
;
x
y thỏa mãn 4xy và
2
20 8 .xy xyxy
Đặt
2
;(4)SxyPxyS P . Từ giả thiết ta có: 24(8)200SPSP
2(8)4200SSP P. Xét pt theo S. 22
(8)4(420) 16PPP . Điều
kiện phương trình có nghiệm 4P. Kết hợp điều kiện của giả thiết ta có
4, 4PP
.
42PS
(loại); 46PS  , ,
x
y là 2 nghiệm của pt
2640XX
Vậy các cặp
;
x
y:
313;313,313;313    .
Câu 3.1. Cho hình chóp .S ABC có đáy
A
BC là tam giác đều cạnh ,a tam giác SAB
vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích
của khối chóp .SABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và
A
C theo .a
*Thể tích:
33.
24
a
V
*Khoảng cách giữa SB và :
A
C
Cách 1: Dựng Dđối xứng với C qua I
( , ) ( ,( )) 2 ( ,( )) 2d SB AC d AC SBD d I SBD HK
A
CBD là hình thoi, nên , , IB ID IS đôi một vuông
góc.
22 2 22
11 1 128 21
.
37
a
d
dSISBSD a

Cách 2: *Kẻ đt BD song song với .
A
C
( , ) ( ,( )) 2 ( ,( )) 2d SB AC d AC SBD d I SBD HK
3
4
a
HI ; 2
a
SI
22 2
2
222 22
111 . 3 21
28 7
IH SI a a
IK d
IK IH SI IH SI

Câu 3.2. Cho tam giác
A
BC ngoại tiếp đường tròn ().I Gọi ,,
M
DE
lần lượt là
trung điểm của ,,;
B
CIBIC ,
F
G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác
ABD và .
CE Chứng minh rằng AM vuông góc .
F
G
Gọi Hlà giao điểm thứ 2 của
M
Dvà đường tròn qua ,,.
A
BD
Gọi
K
là giao điểm thứ 2 của
M
Evà đường tròn qua ,,.
A
CE
Ta có:
1
2
A
HM B và
1
2
A
KM C EDM nên ,,
A
HKthẳng hàng.
Tam giác
M
DE và
M
KH đồng dạng (Vì
M
ED MHK). Suy ra ..
M
EMK MDMH, hay
M nằm trên trục đẳng phương của hai đường tròn tâm , .
F
G
Suy ra .
A
MFG (Trục đẳng phương vuông góc với đường nối tâm)
Câu 4. (2,0 điểm)
Cho dãy số
n
x
được xác định bởi 12x và 12, 1.
nn
xxn

Chứng minh
dãy số

n
x
có giới hạn và tìm giới hạn đó.
HD: 02,1.
n
xn
Ta có: 121
.
nnn n
x
xx x


12x,222,x 3222,x như vậy 31
x
x nên từ (*) ta suy ra

21n
x là dãy giảm. Cùng với tính bị chặn nên tồn tại 21
lim .
n
n
x
a

Từ 31 4 2
x
xxx. Tương tự tồn tại 2
lim .
n
n
x
b

Từ hệ thức truy hồi ở giả thiết, chuyển qua giới hạn ta được:
21
1
2
aba
b
ba



Do
21 2
lim lim 1
nn
nn
xx
 
 nên lim 1.
n
nx

Cách 2: 1
1
12 121
n
nn
n
x
xx
x
  
1
1
11 21
nn
n
xx
x
 
.
Do 11
02,1 (0;1)
21
221
n
n
xn q
x

 
2
111
11. 1....1.
n
nn n
x
xqx q xq


11
lim 1 0 lim 1 lim 1
nnn
xxx


Cách 3: 02,1.
n
xn
Đặt 2cos
nn
x
,
0;
n
. Ta có 11
;2cos
44
x

11
22cos2(1cos)2sin2cos
222
nn
nnn n
xx







11
1
22 3 2 3
n
nnn







1
11
11
.
2326
nn
n

 

 
 