Đ THI TH Đ I H C, CAO Đ NG NĂM 2012Ề Ử Ạ Ọ Ẳ
Môn thi : TOÁN (Đ 185)Ề
PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7 đi m):Ầ Ấ Ả ể
Câu I: (2 đi mể) Cho hàm s ố
2 2
1
x
yx
−
=+
(C)
1. Kh o sát hàm s .ả ố
2. Tìm m đ đ ng th ng d: y = 2x + m c t đ th (C) t i 2 đi m phân bi t A, B sao cho AB = ể ườ ẳ ắ ồ ị ạ ể ệ
5
.
Câu II: (2 đi mể)
1. Gi i ph ng trình: ả ươ
2cos5 .cos3 sin cos8 x x x x+ =
, (x ∈ R)
2. Gi i h ph ng trình: ả ệ ươ
2
5 3
x y x y y
x y
+ + − =
+ =
(x, y∈ R)
Câu III: (1 đi mể) Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ ng ệ ẳ ớ ạ ở ườ
1
x
y e= +
,tr c hoành, x = ln3ụ
và x = ln8.
Câu IV: (1 đi mể) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; hai đ ng chéo AC = ườ
2 3a
,
BD = 2a và c t nhau t i O; hai m t ph ng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc v i m t ph ng (ABCD).ắ ạ ặ ẳ ớ ặ ẳ
Bi t kho ng cách t đi m O đ n m t ph ng (SAB) b ng ế ả ừ ể ế ặ ẳ ằ
3
4
a
, tính th tích kh i chóp S.ABCD theoể ố
a.
Câu V: (1 đi mể) Cho x,y ∈ R và x, y > 1. Tìm giá tr nh nh t c a ị ỏ ấ ủ
( ) ( )
3 3 2 2
( 1)( 1)
x y x y
Px y
+ − +
=− −
PH N ẦRIÊNG (3 đi m)ể : Thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n ( ph n A ho c B)ỉ ượ ộ ầ ầ ặ
A. Theo ch ng trình Chu nươ ẩ
Câu VI.a (2 đi mể)
1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho đ ngặ ẳ ớ ệ ọ ộ ườ tròn (C): x2 + y2 - 2x - 2my + m2 - 24 = 0 có tâm I
và đ ng th ng ườ ẳ ∆: mx + 4y = 0. Tìm m bi t đ ng th ng ế ườ ẳ ∆ c t đ ng tròn (C) t i hai đi mắ ườ ạ ể
phân bi t A,B th a mãn di n tích tam giác IAB b ng 12.ệ ỏ ệ ằ
2. Trong không gian v i h t a đ Oxyz, choớ ệ ọ ộ hai đ ng th ng dườ ẳ 1:
;
d2:
1 2 1
1 1 2
x y z− − +
= =
và m t ph ng (P): x - y - 2z + 3 = 0. Vi t ph ng trình chính t c c aặ ẳ ế ươ ắ ủ
đ ng th ng ườ ẳ ∆, bi t ế∆ n m trên m t ph ng (P) và ằ ặ ẳ ∆ c t hai đ ng th ng dắ ườ ẳ 1 , d2 .
Câu VII.a (1 đi mể) Gi i b t ph ng trình ả ấ ươ
22
log 2log
2 20 0
xx
x+ −
2
B. Theo ch ng trình Nâng caoươ
Câu VI.b (2 đi mể)
1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho tam giác ABC có ph ng trình c nh AB: x - y - 2 = 0,ặ ẳ ớ ệ ọ ộ ươ ạ
ph ng trình c nh AC: x + 2y - 5 = 0. ươ ạ Bi t tr ng tâm c a tam giác G(3; 2). Vi t ph ng trìnhế ọ ủ ế ươ
c nh BC.ạ
3. Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz, cho ớ ệ ụ ọ ộ đ ng th ng ườ ẳ ∆ :
1 3
1 1 4
x y z− −
= =
và đi mể
M(0 ; - 2 ; 0). Vi t ph ng trình m t ph ng (P) đi qua đi m M song song v i đ ng th ng ế ươ ặ ẳ ể ớ ườ ẳ ∆
đ ng th i kho ng cách gi a đ ng th ng ồ ờ ả ữ ườ ẳ ∆ và m t ph ng (P) b ng 4.ặ ẳ ằ
Câu VII.b (1 đi mể) Gi i ph ng trình nghi m ph c : ả ươ ệ ứ
25 8 6z i
z
+ = −
….. H t ế….
ĐÁP ÁN Đ THI TH Đ I H C, CAO Đ NG NĂM 2012Ề Ử Ạ Ọ Ẳ
Môn thi : TOÁN (Đ 185)Ề
I-2
(1 đi m)ể Ph ng trình hoành đ giao đi m: 2xươ ộ ể 2 + mx + m + 2 = 0 , (x≠ - 1) (1) d c t (C) t i 2 đi m phânắ ạ ể
bi t ệ⇔ PT(1) có 2 nghi m phân bi t khác -1 ệ ệ ⇔ m2 - 8m - 16 > 0 (2) G i A(xọ1; 2x1 + m) , B(x2; 2x2 + m. Ta
có x1, x2 là 2 nghi m c a PT(1).ệ ủ
Theo ĐL Viét ta có
1 2
1 2
2
2
2
m
x x
m
x x
+ = −
+
=
. AB2 = 5 ⇔
2 2
1 2 1 2
( ) 4( ) 5x x x x− + − =
⇔
2
1 2 1 2
( ) 4 1xx x x+ − =
⇔ m2 -
8m - 20 = 0⇔ m = 10 , m = - 2 ( Th a mãn (2))ỏKL: m = 10, m = - 2.
II-1
(1 đi mể PT ⇔ cos2x + cos8x + sinx = cos8x⇔ 1- 2sin2x + sinx = 0⇔ sinx = 1 v
1
sin 2
x= −
⇔
7
2 ; 2 ; 2 ,( )
2 6 6
x k x k x k k Z
π π π
π π π
= + = − + = +
II-2(1 đi m) ĐK:ể x + y ≥ 0 , x - y ≥ 0, y ≥ 0 PT(1) ⇔
2 2 2 2
2 2 4 2x x y y x y y x+ − = − = −�
2
2 0 (3)
5 4 (4)
y x
y xy
−
=
T PT(4) ừ⇔ y = 0 v 5y = 4x
V i y = 0 th vào PT(2) ta có x = 9 (Không th a mãn đk (3)) V i 5y = 4x th vào PT(2) ta cóớ ế ỏ ớ ế
2 3 1x x x+ = =�
KL: HPT có 1 nghi m ệ
4
( ; ) 1; 5
x y � �
=� �
� �
III(1 đi m)ể Di n tích ệ
ln8
ln 3
1
x
S e dx= +
; Đ t ặ
2 2
1 1 1
x x x
t e t e e t= + = + = −� �
Khi x = ln3 thì t = 2 ;
Khi x = ln8 thì t = 3; Ta có 2tdt = exdx ⇔
2
2
1
t
dx dt
t
=−
Do đó
3 3
2
2 2
2 2
2 2
2
1 1
t
S dt dt
t t
� �
= = + =
� �
− −
� �
� �
=
3
1 3
2 ln 2 ln
2
1 2
t
tt
−
� � � �
+ = + � �
� �
+� �
� �
(đvdt)
IV(1 đi m)ể
T gi thi t AC = ừ ả ế
2 3a
; BD = 2a và AC ,BD vuông góc v i nhau t i trung đi m O c a m i đ ngớ ạ ể ủ ỗ ườ
chéo.Ta có tam giác ABO vuông t i O và AO = ạ
3a
; BO = a , do đó
ﾷ
0
60A DB=
Hay tam giác ABD đ u.ề
T gi thi t hai m t ph ng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc v i m t ph ng (ABCD) nên giao tuy n c aừ ả ế ặ ẳ ớ ặ ẳ ế ủ
chúng là SO ⊥ (ABCD). Do tam giác ABD đ u nên v i H là trung đi m c a AB, K là trung đi m c a HB taề ớ ể ủ ể ủ
có
DH AB⊥
và DH =
3a
; OK // DH và
1 3
2 2
a
OK DH= =
⇒ OK ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SOK)
G i I là hình chi u c a O lên SK ta có OI ọ ế ủ ⊥ SK; AB ⊥ OI ⇒ OI ⊥ (SAB) , hay OI là kho ng cách t O đ nả ừ ế
m t ph ng (SAB). Tam giác SOK vuông t i O, OI là đ ng cao ặ ẳ ạ ườ ⇒
2 2 2
1 1 1
2
a
SO
OI OK SO
= + =�
S
A
BK
H
C
O
I
D
3a
a
Di n tích đáy ệ
2
4 2. . 2 3
D
S
ABC ABO
S OAOB a
∆
= = =
; đ ng cao c a hình chóp ườ ủ
2
a
SO =
. Th tích kh i chópể ố
S.ABCD:
3
.
1 3
.
3 3
D DS ABC ABC
a
V S SO= =
.
V(1 đi m)ể Đ t t = x + y ; t > 2. Áp d ng BĐT 4xy ặ ụ ≤ (x + y)2 ta có
2
4
t
xy
3 2
(3 2)
1
t t xy t
Pxy t
− − −
=− +
. Do 3t - 2 > 0 và
2
4
t
xy− −
nên ta có
2
3 2 2
2
(3 2)
4
2
1
4
t t
t t t
Ptt
t
−
− −
= −
− +
Xét hàm s ố
2 2
2
4
( ) ; '( ) ;
2 ( 2)
t t t
f t f t
t t
−
= =
− −
f’(t) = 0 ⇔ t = 0 v t = 4.
t2 4 +∞
f’(t) - 0 +
f(t)
+ ∞+∞
8
Do đó min P =
(2; )
min ( )f t
+
= f(4) = 8 đ t đ c khi ạ ượ
4 2
4 2
x y x
xy y
+ = =
� �
� �
= =
� �
VI.a -1(1 đi m)ể Đ ng tròn (C) có tâm I(1; m), bán kính R = 5. G i H là trung đi m c a dây cung AB. ườ ọ ể ủ
Ta có IH là đ ng cao c a tam giác IAB.ườ ủ
IH =
2 2
| 4 | | 5 |
( , ) 16 16
m m m
d I m m
+
∆ = =
+ +
2
2 2
22
(5 ) 20
25 16 16
m
AH IA IH mm
= − = − =
++
Di n tích tam giác IAB là ệ
12 2 12S
IAB IAH
S
∆ ∆
= =�
⇔
2
3
( , ). 12 25 | | 3( 16) 16
3
m
d I AH m m m
=
∆ = = +� � =
VI.a -2(1 đi m)ể G i A = dọ1∩(P) suy ra A(1; 0 ; 2) ; B = d2 ∩ (P) suy ra B(2; 3; 1) Đ ng th ng ườ ẳ ∆ th a mãnỏ
bài toán đi qua A và B. M t vect ch ph ng c a đ ng th ng ộ ơ ỉ ươ ủ ườ ẳ ∆ là
(1;3; 1)u= −
r
Ph ng trình chính t cươ ắ
c a đ ng th ng ủ ườ ẳ ∆ là:
1 2
1 3 1
x y z− −
= = −
VII.a(1 đi m)ể Đi u ki n: x> 0 ; BPT ề ệ ⇔
2
2 2
4log 2log
2 20 0
x x
x+ −
Đ t ặ
2
logt x=
. Khi đó
2
t
x=
.BPT tr thành ở
2 2
2 2
4 2 20 0
t t
+ −
. Đ t y = ặ
2
2
2
t
; y ≥ 1 BPT tr thành yở2
+ y - 20 ≤ 0 ⇔ - 5 ≤ y ≤ 4. Đ i chi u đi u ki n ta cóố ế ề ệ :
2
2 2 2
2 4 2 2 1
t
t t�
⇔ - 1 ≤ t ≤ 1.
Do đó - 1 ≤
2
log x
≤ 1 ⇔
12
2x
I
AB
∆
H
5
VI.b- 1(1 đi m)ể T a đ đi m A là nghi m c a HPT: ọ ộ ể ệ ủ
- - 2 0
2 - 5 0
x y
x y
=
+ =
⇔ A(3; 1) G i B(b; b- 2) ọ∈ AB, C(5-
2c; c) ∈ AC Do G là tr ng tâm c a tam giác ABC nên ọ ủ
3 5 2 9
1 2 6
b c
b c
+ + − =
+ − + =
⇔
5
2
b
c
=
=
. Hay B(5; 3), C(1; 2)
M t vect ch ph ng c a c nh BC là ộ ơ ỉ ươ ủ ạ
( 4; 1)u BC= = − −
r uuur
.
Ph ng trình c nh BC là: x - 4y + 7 = 0ươ ạ
VI.b-2(1 đi m)ể Gi s ả ử
( ; ; )n a b c
r
là m t vect pháp tuy n c a m t ph ng (P).ộ ơ ế ủ ặ ẳ
Ph ng trình m t ph ng (P): ax + by + cz + 2b = 0.ươ ặ ẳ
Đ ng th ng ườ ẳ ∆ đi qua đi m A(1; 3; 0) và có m t vect ch ph ng ể ộ ơ ỉ ươ
(1;1; 4)u=
r
T gi thi t ta cóừ ả ế
2 2 2
. 4 0
/ /( ) (1)
| 5 | 4
( ;( )) 4 (2)
n u a b c
Pa b
d A P a b c
= + + =
∆
+
� � =
=
+ +
r r
Th b = - a - 4c vào (2) ta cóế
2 2 2 2 2
( 5 ) (2 17 8 ) - 2 8 0a c a c ac a ac c+ = + + − =�
⇔
4 2
a a
v
c c
= = −
V i ớ
4
a
c=
ch n a = 4, c = 1 ọ⇒ b = - 8. Ph ng trình m t ph ng (P): 4x - 8y + z - 16 = 0.ươ ặ ẳ
V i ớ
2
a
c= −
ch n a = 2, c = - 1 ọ⇒ b = 2. Ph ng trình m t ph ng (P): 2x + 2y - z + 4 = 0.ươ ặ ẳ
VII.b(1 đi m)ể Gi s z = a +bi v i ; a,b ả ử ớ ∈ R và a,b không đ ng th i b ng 0. Khi đóồ ờ ằ
2 2
1 1
; a bi
z a bi z a bi a b
−
= − = =
+ +
Khi đó ph ng trình ươ
2 2
25 25( )
8 6 8 6
a bi
z i a bi i
z a b
−
+ = − − + = −�+
⇔
2 2 2 2
2 2 2 2
( 25) 8( ) (1)
(2)
( 25) 6( )
a a b a b
b a b a b
+ + = +
+ + = +
. L y (1) chia (2) theo v ta có ấ ế
3
4
b a=
th vào (1)ế
Ta có a = 0 v a = 4V i a = 0 ớ⇒ b = 0 ( Lo i) V i a = 4 ạ ớ ⇒ b = 3 . Ta có s ph c z = 4 + 3i.ố ứ