Ngu n: diemthi.24h.com.vnồ
Đ THI TH Đ I H C, CAO Đ NG NĂM 2012 -2013Ề Ử Ạ Ọ Ẳ
Môn thi : TOÁN (Đ 23)Ề
A. PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINHẦ Ấ Ả : ( 7 đi m)ể
Câu I (2 đi m) Cho hàm s ể ố
4 2
( ) 2y f x x x= = −
1. Kh o sát và v đ th (C) c a hàm s .ả ẽ ồ ị ủ ố
2. Trên (C) l y hai đi m phân bi t A và B có hoành đ l n l t là a và b. Tìmấ ể ệ ộ ầ ượ
đi u ki n đ i v i a và b đ hai ti p tuy n c a (C) t i A và B song song v i nhau.ề ệ ố ớ ể ế ế ủ ạ ớ
Câu II (2 đi m) ể
1. Gi i ph ng trình l ng giác: ả ươ ượ
( )
2 cos sin
1
tan cot 2 cot 1
x x
x x x
−
=
+ −
2. Gi i b t ph ng trình: ả ấ ươ
( )
2
3 1 1
3 3
1
log 5 6 log 2 log 3
2
x x x x
− + + − > +
Câu III (1 đi m) Tính tích phân: ể
( )
2
4 4
0
cos 2 sin cosI x x x dx
π
= +
Câu IV (1 đi m) Cho m t hình tr tròn xoay và hình vuông ABCD c nh a có hai đ nhể ộ ụ ạ ỉ
liên ti p A, B n m trên đ ng tròn đáy th nh t c a hình tr , hai đ nh còn l i n mế ằ ườ ứ ấ ủ ụ ỉ ạ ằ
trên đ ng tròn đáy th hai c a hình tr . M t ph ng (ABCD) t o v i đáy hình tr gócườ ứ ủ ụ ặ ẳ ạ ớ ụ
450. Tính di n tích xung quanh và th tích c a hình tr .ệ ể ủ ụ
Câu V (1 đi m) Cho ph ng trình ể ươ
( ) ( )
3
4
1 2 1 2 1x x m x x x x m
+ − + − − − =
Tìm m đ ph ng trình có m t nghi m duy nh t.ể ươ ộ ệ ấ
PH N RIÊNG (3 đi m): Ầ ể Thí sinh ch làm m t trong hai ph n (Ph n 1 ho c ph n 2)ỉ ộ ầ ầ ặ ầ
1. Theo ch ng trình chu n.ươ ẩ
Câu VI.a (2 đi m) ể
1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho đ ng tròn (C) và đ ng th ng ặ ẳ ớ ệ ọ ộ ườ ườ ẳ
∆
đ nh b i: ị ở
2 2
( ) : 4 2 0; : 2 12 0C x y x y x y+ − − = ∆ + − =
. Tìm đi m M trên ể
∆
sao cho từ
M v đ c v i (C) hai ti p tuy n l p v i nhau m t góc 60ẽ ượ ớ ế ế ậ ớ ộ 0.
2. Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho t di n ABCD v i A(2;1;0),ớ ệ ọ ộ ứ ệ ớ
B(1;1;3),
C(2;-1;3), D(1;-1;0). Tìm t a đ tâm và bán kính c a m t c u ngo i ti p t di n ABCD.ọ ộ ủ ặ ầ ạ ế ứ ệ
Câu VII.a (1 đi m) Có 10 viên bi đ có bán kính khác nhau, 5 viên bi xanh có bán kínhể ỏ
khác nhau và 3 viên bi vàng có bán kính khác nhau. H i có bao nhiêu cách ch n ra 9 viênỏ ọ
bi có đ ba màu?ủ
2. Theo ch ng trình nâng cao.ươ
Câu VI.b (2 đi m) ể
Đi m thi 24hể
Xem tra đi m thi t t nghi p THPTể ố ệ Đ thi đáp án t t nghi p THPTề ố ệ
Đ thi t t nghi p trung h c ph thông các nămề ố ệ ọ ổ Xem tra đáp án đ thi t t nghi pề ố ệ
THPT
Ngu n: diemthi.24h.com.vnồ
1. Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho hình ch nh t ABCD có di n tích b ng 12,ặ ẳ ọ ộ ữ ậ ệ ằ
tâm I thu c đ ng th ng ộ ườ ẳ
( )
: 3 0d x y− − =
và có hoành đ ộ
, trung đi m c a m tể ủ ộ
c nh là giao đi m c a (d) và tr c Ox. Tìm t a ạ ể ủ ụ ọ đ các đ nh c a hình ch nh t.ộ ỉ ủ ữ ậ
2. Trong h t a đ Oxyz, cho m t c u (S) và m t ph ng (P) có ph ng trình là:ệ ọ ộ ặ ầ ặ ẳ ươ
2 2 2
( ) : 4 2 6 5 0, ( ) : 2 2 16 0S x y z x y z P x y z+ + − + − + = + − + =
. Đi m M di đ ng trên (S) vàể ộ
đi m N di đ ng trên (P). Tính đ dài ng n nh t c a đo n th ng MN. Xác đ nh v tríể ộ ộ ắ ấ ủ ạ ẳ ị ị
c a M, N t ng ng.ủ ươ ứ
Câu VII.b: Cho
, ,abc
là nh ng s d ng th a mãn: ữ ố ươ ỏ
2 2 2
3abc+ + =
. Ch ng minh b tứ ấ
đ ng th cẳ ứ
2 2 2
1 1 1 4 4 4
7 7 7a b b c c a a b c
+ + + +
+ + + + + +
----------------------H t----------------------ế
Đáp án.(Đ 23) Ề
Câ
u
Ý N i dungộĐiể
m
I 2 1,00
Ta có
3
'( ) 4 4f x x x= −
. G i a, b l n l t là hoành đ c a A và B.ọ ầ ượ ộ ủ
H s góc ti p tuy n c a (C) t i A và B làệ ố ế ế ủ ạ
3 3
'( ) 4 4 , '( ) 4 4
A B
k f a a a k f b b b= = − = = −
Ti p tuy n t i A, B l n l t có ph ng trình là:ế ế ạ ầ ượ ươ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
' ' ( ) af' ay f a x a f a f a x f a= − + = + −
;
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
' ' ( ) f' by f b x b f b f b x f b b= − + = + −
Hai ti p tuy n c a (C) t i A và B song song ho c trùng nhau khi và chế ế ủ ạ ặ ỉ
khi:
( )
( )
3 3 2 2
4a 4a = 4b 4 1 0 (1)
A B
k k b a b a ab b= − − − + + − =� �
Vì A và B phân bi t nên ệ
a b
, do đó (1) t ng đ ng v i ph ngươ ươ ớ ươ
trình:
2 2
1 0 (2)a ab b+ + − =
M t khác hai ti p tuy n c a (C) t i A và B trùng nhauặ ế ế ủ ạ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
4 2 4 2
1 0 1 0
' ' 3 2 3 2
a ab b a ab b
a b
f a af a f b bf b a a b b
+ + − = + + − =
� �
۹�
� �
− = − − + = − +
,
Gi i h này ta đ c nghi m là (a;b) = (-1;1), ho c (a;b) = (1;-1), haiả ệ ượ ệ ặ
nghi m này t ng ng v i cùng m t c p đi m trên đ th là ệ ươ ứ ớ ộ ặ ể ồ ị
( )
1; 1− −
và
( )
1; 1−
.
V y đi u ki n c n và đ đ hai ti p tuy n c a (C) t i A và B songậ ề ệ ầ ủ ể ế ế ủ ạ
song v i nhau là ớ
Đi m thi 24hể
Xem tra đi m thi t t nghi p THPTể ố ệ Đ thi đáp án t t nghi p THPTề ố ệ
Đ thi t t nghi p trung h c ph thông các nămề ố ệ ọ ổ Xem tra đáp án đ thi t t nghi pề ố ệ
THPT
Ngu n: diemthi.24h.com.vnồ
2 2
1 0
1
a ab b
a
a b
+ + − =
II 2,00
1 1,00
Đi u ki n: ề ệ
( )
cos .sin 2 .sin . tan cot 2 0
cot 1
x x x x x
x
+
0,25
T (1) ta có: ừ
( )
2 cos sin
1 cos .sin 2 2 sin
sin cos 2 cos cos
1
cos sin 2 sin
x x x x x
x x x x
x x x
−
= =�
+ −
0,25
2sin .cos 2 sinx x x=�
( )
2
24
cos 22
4
x k
x k
x k
ππ
ππ
= +
=� � �
= − +
ﾢ
0,25
Giao v i đi u ki n, ta đ c h nghi m c a ph ng trình đã cho làớ ề ệ ượ ọ ệ ủ ươ
( )
2
4
x k k
ππ
= − + ﾢ
0,25
2 1,00
Đi u ki n: ề ệ
3x
>
0,25
Ph ng trình đã cho t ng đ ng:ươ ươ ươ
( )
( ) ( )
1 1
2
33 3
1 1 1
log 5 6 log 2 log 3
2 2 2
x x x x
− −
− + + − > +
( )
( ) ( )
2
3 3 3
1 1 1
log 5 6 log 2 log 3
2 2 2
x x x x− + − − > − +�
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
log 2 3 log 2 log 3x x x x− − > − − +� � �
� �
0,25
( ) ( )
3 3
2
log 2 3 log 3
x
x x x
−
� �
− − >� � � � �
� � +
� �
( ) ( )
2
2 3 3
x
x x x
−
− − >�+
2
10
9 1
10
x
x
x
< −
− >� � >
0,25
Giao v i đi u ki n, ta đ c nghi m c a ph ng trình đã cho làớ ề ệ ượ ệ ủ ươ
10x>
0,25
III 1,00
Đi m thi 24hể
Xem tra đi m thi t t nghi p THPTể ố ệ Đ thi đáp án t t nghi p THPTề ố ệ
Đ thi t t nghi p trung h c ph thông các nămề ố ệ ọ ổ Xem tra đáp án đ thi t t nghi pề ố ệ
THPT
Ngu n: diemthi.24h.com.vnồ
1 1,00
( )
2
2
0
2
2
0
1
cos 2 1 sin 2
2
1 1
1 sin 2 sin 2
2 2
I x x dx
x d x
π
π
� �
= −
� �
� �
� �
= −
� �
� �
0,50
( ) ( )
2 2
2
0 0
3
2 2
0 0
1 1
sin 2 sin 2 sin 2
2 4
1 1
sin 2 sin 2 0
2 12
| |
d x xd x
x x
π π
π π
= −
= − =
� �
0,50
IV 1,00
G i M, N theo th t là trung đi m c aọ ứ ự ể ủ
AB và CD. Khi đó
OM AB
⊥
và
' DO N C
⊥
.
Gi s I là giao đi m c a MN và OO’.ả ử ể ủ
Đ t R = OA và h = OO’. Khi đó:ặ
OMI∆
vuông cân t i O nên:ạ
2 2 2 .
2 2 2 2 2
h a
OM OI IM h a= = = =� �
0,25
Ta có:
2
22 2 2
2 2 2 2
2 3a
2 4 4 8 8
a a a a
R OA AM MO � �
� �
= = + = + = + =
� �
� � � �
� � � �
0,25
2 3
2
3a 2 3 2
R . . ,
8 2 16
a a
V h
π
π π
= = =�
0,25
và
2
a 3 2 3
2 Rh=2 . . .
2 2
2 2
xq
a a
S
π
π π
= =
0,25
V 1,00
Ph ng trình ươ
( ) ( )
3
4
1 2 1 2 1x x m x x x x m+ − + − − − =
(1) 0,25
Đi m thi 24hể
Xem tra đi m thi t t nghi p THPTể ố ệ Đ thi đáp án t t nghi p THPTề ố ệ
Đ thi t t nghi p trung h c ph thông các nămề ố ệ ọ ổ Xem tra đáp án đ thi t t nghi pề ố ệ
THPT
Ngu n: diemthi.24h.com.vnồ
Đi u ki n : ề ệ
0 1x
N u ế
[ ]
0;1x
th a mãn (1) thì 1 – x cũng th a mãn (1) nên đ (1) cóỏ ỏ ể
nghi m duy nh t thì c n có đi u ki n ệ ấ ầ ề ệ
1
12
x x x= − =�
. Thay
1
2
x=
vào
(1) ta đ c:ượ
3
0
1 1
2. 2. 1
2 2
m
m m m
=
+ − = =
* V i m = 0; (1) tr thành:ớ ở
( )
2
4 4
1
1 0 2
x x x− − = =�
Ph ng trình có nghi m duy nh t.ươ ệ ấ
0,25
* V i m = -1; (1) tr thànhớ ở
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
4
4
2 2
4 4
1 2 1 2 1 1
1 2 1 1 2 1 0
1 1 0
x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
+ − − − − − = −
+ − − − + + − − − =�
− − + − − =�
+ V i ớ
4 4
1
1 0 2
x x x− − = =�
+ V i ớ
1
1 0 2
x x x− − = =�
Tr ng h p này, (1) cũng có nghi m duy nh t.ườ ợ ệ ấ
0,25
* V i m = 1 thì (1) tr thành: ớ ở
( ) ( )
( ) ( )
2 2
4 4
4
1 2 1 1 2 1 1 1x x x x x x x x x x+ − − − = − − − − = − −�
Ta th y ph ng trình (1) có 2 nghi m ấ ươ ệ
1
0, 2
x x= =
nên trong tr ngườ
h p này (1) không có nghi m duy nh t.ợ ệ ấ
V y ph ng trình có nghi m duy nh t khi m = 0 và m = -1.ậ ươ ệ ấ
0,25
VI
a
2,00
1 1,00
Đ ng tròn (C) có tâm I(2;1) và bán kính ườ
5R=
.
G i A, B là hai ti p đi m c a (C) v i hai ti p c a (C) k t M. N u haiọ ế ể ủ ớ ế ủ ẻ ừ ế
ti p tuy n này l p v i nhau m t góc 60ế ế ậ ớ ộ 0 thì IAM là n a tam giác đ uử ề
suy ra
2R=2 5IM =
.
Nh th đi m M n m trên đ ng tròn (T) có ph ng trình:ư ế ể ằ ườ ươ
( ) ( )
2 2
2 1 20x y− + − =
.
0,25
Đi m thi 24hể
Xem tra đi m thi t t nghi p THPTể ố ệ Đ thi đáp án t t nghi p THPTề ố ệ
Đ thi t t nghi p trung h c ph thông các nămề ố ệ ọ ổ Xem tra đáp án đ thi t t nghi pề ố ệ
THPT