Gv : Nguyễn Thúy Hà
Së GD & §T Phó Thä §Ò thi thö ®¹i häc, cao ®¼ng n¨m 2011
Tr−êng THPT YÓn Khª M«n: TOÁN; Khối : A, B
Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian phát ñề
Câu I (2.0 ñiểm)
Cho hàm số
4 2
1 1
y x x 1
4 2
= − + .
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số.
2. Tìm ñiểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ ñiểm M ñến hai trục tọa ñộ là nhỏ nhất.
Câu II ( 2.0 ñiểm)
1. Giải phương trình: cos8x + 3cos4x + 3cos2x = 8cosx.cos
3
3x –
2
1
2. Giải hệ phương trình :
=−−−
=+−+
38923
143
22
22
yxyx
yxyx
Câu III (1.0 ñiểm)
Tính tích phân
( )( )
1
x 2
1
dx
1 e 1 x
−
+ +
∫
Câu IV (1.0 ñiểm)
Cho hình chóp tứ giác ñều có ñộ dài cạnh ñáy bằng a, cạnh bên bằng
2
5a. Tính góc tạo bởi
mặt bên với mặt ñáy và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp ñó
.
Câu V ( 1.0 ñiểm)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
x
x
xx
y
24
24
cos2sin3
sin4cos3
+
+
=
Câu VI (2.0 ñiểm)
1. Trong mặt phẳng tọa ñộ (Oxy) cho hình bình hành ABCD với A(1, 1); B(4, 5). Tâm I của
hình bình hành thuộc ñường thẳng d: x + y + 3 = 0. Tìm tọa ñộ ñỉnh C, D biết rằng diện tích hình
bình hành ABCD bằng 9.
2. Trong hệ trục tọa ñộ (Oxyz) cho A(1, 1, 1), B(2, 0, 6), C (3, 2, 0) và D(7, 4, 2). Lập
phương trình mặt phẳng (P) ñi qua A, B và cách ñều C, D.
Câu VII (1.0 ñiểm)
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn:
1333 =++
−−− zyx
. Chứng minh rằng:
4
333
33
9
33
9
33
9
zyx
xyz
z
zxy
y
zyx
x
++
≥
+
+
+
+
+
+++
-----------------Hết-----------------
Thí sinh không ñược sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh.................................................... ; Số báo danh ........................
§Ò chÝnh thøc
CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
nguoilaid02011@gmail.com.vn sent to www.laisac.page.tl
Gv: Nguyễn Thúy Hà-THPT Yển Khê
SỞ GD & ðT PHÚ THỌ ðÁP ÁN-THANG ðIỂM
TRƯỜNG THPT YỂN KHÊ
§Ò thi thö ®¹i häc, cao ®¼ng n¨m 2011
ðỀ CHÍNH THỨC
CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Môn : TOÁN; Khối : A, B
CÂU ðÁP ÁN ðIỂM
1.(1 ñiểm) Khảo sát…
+) Tập xác ñịnh: D= R
+) Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: xxy −=
′3;
10
±
=
⇔
=
′
xy hoặc
.0
=
x
0,25
Hàm số ñồng biến trên các khoảng (-1;0) và (1;
+
); nghịch biến trên
khoảng ( 1;
−
∞
−
) và (0;1).
- Cực trị: Hàm số ñạt cực tiểu tại
4
3
,1 =±=
CT
yx ; ñạt cực ñại tại
1,0
=
=
Cð
yx
- Giới hạn:
+∞
=
=
+∞→−∞→ xx
limlim
0,25
- Bảng biến thiên:
x
∞
−
-1 0 1
+
y
′
- 0 + 0 - 0 +
y
+
0
+
4
3
4
3
0,25
+) ðồ thị:
f(x)=(1/4)x^4-(1/2)x^2+1
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
0,25
2. (1,0 ñiểm):
Tìm ñiểm M…
ðồ thị ( C) cắt Oy tại A(0;1), nên tổng các khoảng cách từ A ñến hai trục tọa ñộ
bằng 1. ðồ thị hàm số có hai ñiểm cực tiểu (
4
3
;1
−
), (
4
3
;1 ) và nhận trục Oy làm
trục ñối xứng, nên ta chỉ cần xét M
(
)
(
)
Cyx
∈
00
; và 10
0
≤
≤
x
0,5
Tổng các khoảng cách từ M ñến hai trục tọa ñộ là:
( )
112
2
1
4
1
1
2
1
4
1
00
4
0
2
0
4
000000
≥+−+=+−+=+=+ xxxxxxyxyx
0,5
I(2ñiểm)
Với mọi x
0
: 10
0
≤
≤
x
, ñẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x
0
= 0
⇒
y
0
= 1.
Vậy ñiểm M (0;1)
II(2ñiểm) 1. (1 ñiểm):
Giải phương trình…
Gv: Nguyễn Thúy Hà-THPT Yển Khê
Phương trình ñã cho tương ñương với phương trình:
( )
2
1
3cos39coscos22cos34cos38cos
−+=++
xxxxxx
2
1
3cos.cos69cos.cos22cos34cos38cos −+=++⇔ xxxxxxx
0,5
Zk
k
xkxx
xxxxxxx
∈+±=⇔+±=⇔=⇔
−++=+⇔
,
530
2
3
10
2
1
10cos
2
1
cos.3cos68cos10coscos.3cos68cos
ππ
π
π
0,5
2.( 1 ñiểm): Giải hệ pt…
=+−+
=+
⇔
=−−−
=+−+
⇔
=−−−
=+−+
143
0205
38923
312933
38923
143
22
2
22
22
22
22
yxyx
yy
yxyx
yxyx
yxyx
yxyx
0,5
−=
±
=
=
±
=
⇔
=+−+
−=
=
⇔
4
2
133
0
2
133
143
4
0
22
y
x
y
x
yxyx
y
y
Vậy nghiệm của hệ là:
−
±
±4;
2
133
;0;
2
133
0,5
( 1 ñiểm): tính tích phân
Ta có
( )( ) ( )( ) ( )( )
∫∫∫
++
+
++
=
++
=
−−
1
02
0
12
1
12
111111
xxx
ex
dx
ex
dx
ex
dx
I
Xét
( )( )
∫
−
++
=
0
12
11
x
ex
dx
J, ðặt dxdtxt
=
⇒
−
=
Khi 11,00
=
⇒
−
=
=
⇒
=
txtx . Khi ñó
( )( )
∫
++
=
1
02
11
t
t
et
dte
J
0,5
III(1ñiểm)
∫
+
=⇒
1
02
1
x
dx
I, ðặt ;
cos
1
tan
2
du
u
dxux =⇒=
Với
4
1;00
π
=⇒==⇒= uxux
. Khi ñó
4
0
4
4
0
π
π
π
===
∫
uduI
0,5
(1 ñiểm)…
IV(1ñiểm)
Gọi H là tâm của ñáy ABCD, ta có SH
⊥
(ABCD); M là trung ñiểm của BC thì
BC
⊥
(SMH), do các mặt bên tạo với ñáy cùng một góc, nên góc SMH bằng góc
tạo bởi mặt bên với ñáy.
Ta có: SH =
2
3
22
a
AHSA
=−
, HM =
2
a
0
SH
tanSMH 3 SMH 60
SM
⇒ = = ⇒ =
0,5
Hình chóp S.ABCD ñều, nên tâm I của khối cầu ngoại tiếp hình chóp là giao
của ñường thẳng SH với mặt phẳng trung trực của một cạnh bên nào ñó của hình
chóp.
0,5
Gv: Nguyễn Thúy Hà-THPT Yển Khê
Gọi N là trung ñiểm của SC, thì IN là trung trực của SC. Suy ra SNI
∆
ñồng
dạng với SHC
∆
34
5a
SIR ==⇒
Vậy V=
432
3125
3
4
3
3
π
π
a
R
=
N
M
H
C
AB
D
S
I
(1 ñiểm):tính GTLN…
(
)
( )
3cos4cos3
4cos4cos3
cos2cos13
cos14cos3
24
24
2
2
2
24
+−
+−
=
+−
−+
=xx
xx
xx
xx
y
0,25
ðặt
3
5
3
5
3
2
cos33cos4cos3
2
224
≥+
−=+−= xxxt
, mà 1cos0
2
≤≤
x nên
ñiều kiện của t là 3
3
5
≤≤
t. Khi ñó
t
t
y1
+
=
(1), với 3
3
5
≤≤
t.
Bài toán trở thành tìm GTLN, GTNN của hàm số (1) trên ñoạn [
3;
3
5
]
0,25
V(1 ñiểm)
Trên ñoạn [ 3;
3
5], ta có 0
1
2
<
−
=
′
t
y
Vậy
=
3;
3
5
Maxy
5
8
3
5
=
y
;
( )
3
4
3
3;
3
5
==
yMin
0,5
1 (1 ñiểm): …
VI(1ñiểm)
Ta có
(
)
4;3=AB
, ðường thẳng có dạng : 0134
=
−
−
yx
Vì
dI
∈
, nên tọa ñộ
(
)
3;
00
−
−
xxI
⇒
tọa ñộ của C
(
)
72;12
00
−
−
−
xx
Diện tích của hình bình hành ABCD là : S=2
(
)
ABCdABS
ACB
,.
=
∆
AB = 5,
( )
5
1614
,
0
+
=x
ABCd
5
1614
.5
0
+
=⇒ x
S
=9
−=
−
=
⇔=+⇔
14
25
2
1
91614
0
0
0
x
x
x
0,5
Gv: Nguyễn Thúy Hà-THPT Yển Khê
Với
( )
6;2
2
1
0
−−⇒−= Cx
, và
( )
10;5
2
5
;
2
1
−−⇒
−− DI
Với ,
7
24
;
7
32
14
25
0
−−⇒−= Cx
và
−−⇒
−−
7
52
;
7
53
14
17
;
14
25
DI
0,5
2(1 ñiểm)…
Gọi mặt phẳng (P) có phương trình : 0
=
+
+
+
dczbyax
. Vì mặt phẳng (P) ñi
qua A (1;1;1) và B(2;0;6) nên ta có :
=++
=+++
062
0
dca
dcba
(I)
Mặt khác (P) cách ñều C và D nên ta có d(C,(P)) = d(D,(P))
Tức là:
=+++
=++
⇔+++=++
035
02
24723
dcba
cba
dcbadba
(II)
0,5
Chọn c = 1 và từ (I) và (II) ta có:
−=
=
−=
−=
=
−=
⇔
−=++
−=+
−=++
−=+
−=+
−=++
3
8
3
10
3
5
2
3
2
135
62
1
12
62
1
d
b
a
d
b
a
dba
da
dba
ba
da
dba
Vậy mặt phẳng (P) cần tìm là: 0232
=
−
+
+
−
zyx và 083105
=
−
+
+
−
zyx
0,5
(1 ñiểm)…
VII(1ñiểm)
ðặt
zyx
cba 3;3;3 ===
Theo giả thiết ta có a, b, c > 0 và abccabcab
=
+
+
(1)
Bất ñẳng thức cần chứng minh:
4
4
2
3
2
3
2
3
222
cba
abc
c
c
abc
b
b
abc
a
a
cba
abc
c
cab
b
bca
a
++
≥
+
+
+
+
+
⇔
++
≥
+
+
+
+
+
Thay abc vào bất ñăng thức ta có:
( )( ) ( )( ) ( )( )
4
333
cba
bcac
c
abcb
b
caba
a++
≥
++
+
++
+
++
0,5
Áp dụng BðT cô si cho 3 số dương ta có: 0,5