I. PHẦN CHUNG (7 điểm)
Câu I (2 điểm): Cho hàm số
x
yx
21
1
-
=
-
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox , Oy lần lượt tại các điểm A và
B thỏa mãn OA = 4OB.
Câu II (2 điểm):
1) Giải phương trình: xx xx
xx
sincos
2tan2cos20
sincos
+
++=
-
2) Giải hệ phương trình: ï
î
ï
í
ì
=-++++
=-++++
011)1(
030)2()1(
22
3223
yyyxyx
xyyyxyyx
Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I = ò+
+
1
01
1dx
x
x
Câu IV (1 điểm): Cho lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C¢ có đáy ABC là tam giác vuông với AB = BC = a, cạnh bên AA¢ =
a2. M là điểm trên AA¢ sao cho
1
'
3
=
uuuruuur
. Tính thể tích của khối tứ diện MA¢BC¢.
Câu V (1 điểm): Cho các số thực dương a, b, c thay đổi luôn thỏa mãn
abc
1
++=
. Chứng minh rằng:
.2
222
³
+
+
+
+
+
+
+
+
b
a
ac
a
c
cb
c
b
ba
II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm)
1. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm E(–1; 0) và đường tròn (C): xyxy
22
–8–4–160
+=
. Viết
phương trình đường thẳng đi qua điểm E cắt (C) theo dây cung MN có độ dài ngắn nhất.
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 điểm A(0; 0; 4), B(2; 0; 0) và mặt phẳng (P):
xyz
250
+-+=
. Lập
phương trình mặt cầu (S) đi qua O, A, B và có khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng (P) bằng
5
6
.
Câu VII.a (1 điểm): Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt đúng hai lần, chữ số 3 có mặt
đúng ba lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần?
2. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, biết phương trình đường thẳng AB, BC lần lượt
là:
xy
2–50
+=
và
xy
3–70
+=
. Viết phương trình đường thẳng AC, biết rằng AC đi qua điểm
F
(1;3)
-
.
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) và đường thẳng D:
xyz
11
212
+-
==
-.
Tìm toạ độ điểm M trên D sao cho DMAB có diện tích nhỏ nhất.
Câu VII.b (1 điểm): Tìm tất cả các giá trị của tham số a để phương trình sau có nghiệm duy nhất: x
ax
55
log(25–log)
=
============================
TRƯỜNG THCS & THPT NGUYỄN KHUYẾN ĐỀ THỬ SỨC ĐẠI HỌC 2010
LỚP 12D1 Môn thi: Toán
 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Đ
Ề
S
Ố
018
http://www.VNMATH.com
http://www.VNMATH.com
18
http://www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng
Hướng dẫn:
I. PHẦN CHUNG
Câu I: 2) Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại
Mxy
00
(;)
cắt Ox tại A và Oy tại B sao cho OA = 4OB.
Do DOAB vuông tại O nên: OB
AOA
1
tan
4
==
Þ Hệ số góc của d bằng
1
4
hoặc
1
4
-
.
Hệ số góc của d tại M là: yx
x
02
0
1
()0
(1)
¢
=-<
- Þ yx
0
1
()
4
¢
=-
Û
x2
0
11
4
(1)
-=-
- Û
xy
xy
00
00
3
1
2
5
3
2
é
æö
=-=
ç÷
ê
èø
ê
æö
ê==
ç÷
ê
èø
ë
Vậy có hai tiếp tuyến thoả mãn là: yx
13
(1)
42
=-++
hoặc yx
15
(3)
42
=--+
Câu II: 1) Điều kiện:
x
cos20
¹
. PT Û xxxx
22
(sincos)2sin2cos20
-+++=
Û xx
2
sin2sin20
-=
Û x
xloaïi
sin20
sin21()
é=
ê=
ë Û
xk
2
p
=.
2) Hệ PT Û xyxyxyxy
xyxyxyxy
222
()()30
()11
ì
+++=
í++++=
î Û
xyxyxyxy
xyxyxyxy
()()30
()11
ì+++=
í
++++=
î
Đặt
xyu
xyv
ì
+=
í=
î. Hệ trở thành uvuv
uvuv
()30
11
ì+=
í
++=
î Û uvuv
uvuv
(11)30(1)
11(2)
ì-=
í
++=
î. Từ (1) Þ uv
uv
5
6
é
=
ê
=
ë
· Với uv = 5 Þ
uv
6
+=
. Giải ra ta được các nghiệm (x; y) là:
521521
;
22
æö
-+
ç÷
èø
và
521521
;
22
æö
+-
ç÷
èø
· Với uv = 6 Þ
uv
5
+=
. Giải ra ta được các nghiệm (x; y) là:
(1;2)
và
(2;1)
Kết luận: Hệ PT có 4 nghiệm:
(1;2)
,
(2;1)
,
521521
;
22
æö
-+
ç÷
èø
,
521521
;
22
æö
+-
ç÷
èø
.
Câu III: Đặt
tx
= Þ
dxtdt
2.
=
. I =
tt
dt
t
13
0
2
1
+
+
ò =
ttdt
t
12
0
2
22
1
æö
-+-
ç÷
+
èø
ò = 11
4ln2
3-.
Câu IV: Từ giả thiết suy ra DABC vuông cân tại B. Gọi H là trung điểm của AC thì BH ^ AC và BH ^ (ACC¢A¢).
Do đó BH là đường cao của hình chóp B.MA¢C¢ Þ BH =
a
2
2
. Từ giả thiết Þ MA¢ =
a
22
3, A¢C¢ = a
2
.
Do đó: BMACMAC
a
VBHSBHMAAC
3
.''''
112
...
369
¢¢¢
===.
Câu V: Ta có: ababcbab
a
bcbcbc
2(1)+--++
==-
+++
.
Tương tự, BĐT trơt thành: abbcca
abc
bccaab
2
+++
-+-+-³
+++
Û
abbcca
bccaab
3
+++
++³
+++
Theo BĐT Cô–si ta có: abbccaabbcca
bccaabbccaab
3
3..3
++++++
++³=
++++++ . Dấu "=" xảy ra Û abc
1
3
===
.
II. PHẦN TỰ CHỌN
1. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a: 1) (C) có tâm I(4; 2) và bán kính R = 6. Ta có IE =
29
< 6 = R Þ E nằm trong hình tròn (C).
Giả sử đường thẳng D đi qua E cắt (C) tại M và N. Kẻ IH ^ D. Ta có IH = d(I, D) ≤ IE.
Như vậy để MN ngắn nhất thì IH dài nhất Û H º E Û D đi qua E và vuông góc với IE
Khi đó phương trình đường thẳng D là:
xy
5(1)20
++=
Û
xy
5250
++=
.
2) Giả sử (S): xyzaxbyczd
222
2220
++---+=
.
· Từ O, A, B Î (S) suy ra:
a
c
d
1
2
0
ì
=
ï
=
í
ï
=
î
Þ
Ib
(1;;2)
. · dIP
5
(,())
6
= Û b
55
66
+= Û b
b
0
10
é=
ê
=-
ë
Vậy (S): xyzxz
222
240
++--=
hoặc (S): xyzxyz
222
22040
++-+-=
Câu VII.a: Gọi số cần tìm là:
1234567
=
xaaaaaaa
(a1 ¹ 0).
Đ
Ề
S
Ố
018
http://tranthanhhai.tk
http://www.VNMATH.com
http://www.VNMATH.com
73
http://www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng
· Giả sử
1
a
có thể bằng 0:
+ Số cách xếp vị trí cho hai chữ số 2 là:
2
7
C
+ Số cách xếp vị trí cho ba chữ số 3 là:
3
5
C
+ Số cách xếp cho 2 vị trí còn lại là: 2!
2
8
C
· Bây giờ ta xét
1
a
= 0:
+ Số cách xếp vị trí cho hai chữ số 2 là:
2
6
C
+ Số cách xếp vị trí cho ba chữ số 3 là:
3
4
C
+ Số cách xếp cho 1 vị trí còn lại là: 7
Vậy số các số cần tìm là: 23223
75864
..2!..711340
-=CCCCC (số).
2. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b: 1) Gọi VTPT của AB là n1
(1;2)
=
r
, của BC là n2
(3;1)
=-
r
, của AC là
nab
3
(;)
=
r
với ab
22
0
+¹
.
Do DABC cân tại A nên các góc B và C đều nhọn và bằng nhau.
Suy ra:
BC
coscos
=
Þ
nnnn
nnnn
1232
1232
..
..
=
rrrr
rrrr
Û
ab
ab
22
13
5
-
=
+
Û
abab
22
222150
+-=
Û
ab
ab
2
112
é=
ê
=
ë
· Với
ab
2
=
, ta có thể chọn
ab
1,2
==
Þ n3
(1;2)
=
r
Þ AC // AB Þ không thoả mãn.
· Với
ab
112
=
, ta có thể chọn
ab
2,11
==
Þ n3
(2;11)
=
r
Khi đó phương trình AC là:
xy
2(1)11(3)0
-++=
Û
xy
211310
++=
.
2) PTTS của D:
xt
yt
zt
12
1
2
ì
=-+
ï=-
í
ï=
î
. Gọi
Mttt
(12;1;2)
-+-
Î D.
Diện tích DMAB là SAMABtt
2
1
,1836216
2
éù
==-+
ëû
uuuruuur
= t2
18(1)198
-+ ≥
198
Vậy Min S =
198
khi
t
1
=
hay M(1; 0; 2).
Câu VII.b: PT Û
xx
a
5
25log5
-=
Û xx a
2
5
55log0
--=
Û
x
tt
tta
2
5
5,0
log0(*)
ì=>ï
í
--=
ï
î
PT đã cho có nghiệm duy nhất Û (*) có đúng 1 nghiệm dương Û
tta
2
5
log
-= có đúng 1 nghiệm dương.
Xét hàm số
fttt
2
()
=-
với t Î [0; +∞). Ta có:
ftt
()21
¢
=-
Þ ftt
1
()0
2
¢
=Û=
. f
11
24
æö
=-
ç÷
èø ,
f
(0)0
=
.
Dựa vào BBT ta suy ra phương trình
fta
5
()log
= có đúng 1 nghiệm dương Û
a
a
5
5
log0
1
log
4
é³
ê
ê
=-
ë
Û
a
a
4
1
1
5
é³
ê=
ê
ê
ë
.
=====================
Đ
Ề
S
Ố
018
http://tranthanhhai.tk
http://www.VNMATH.com
http://www.VNMATH.com
74
http://www.VNMATH.com