TRƯỜNG THPT LƯƠNG THẾ VINH KỲ THI TỐT NGHIỆP
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP Môn thi: TOÁN − Giáo dục trung học phổ thông
Đề số 03 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
------------------------------ ---------------------------------------------------
I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: 4 2
4 3
y x x
= - + -
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số đã cho.
2) Dựa vào
( )
C
, hãy biện luận số nghiệm của phương trình: 4 2
4 3 2 0
x x m
- + + =
3) Viết phương trình tiếp tuyến với
( )
C
tại điểm trên
( )
C
có hoành độ bằng
3
.
Câu II (3,0 điểm):
1) Giải phương trình: 1
x x-
+ - =
2) Tính tích phân:
2
(1 ln )
e
e
I x xdx
= +
ò
3) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
2
2 2
1
x x
y
x
+ +
=+ trên đoạn 1
2
[ ;2]
-
Câu III (1,0 điểm):
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy,
SA = 2a. Xác định tâm và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần dưới đây
1. Theo chương trình chuẩn
Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ
( , , , )
O i j k
r
r r
, cho
2 3 2
OI i j k
=+-
uur
r
r r
và
mặt phẳng
( )
P
có phương trình:
2 2 9 0
xyz
- - - =
1) Viết phương trình mặt cầu
( )
S
có tâm là điểm I và tiếp xúc với mặt phẳng
( )
P
.
2) Viết phương trình mp
( )
Q
song song với mp
( )
P
đồng thời tiếp xúc với mặt cầu
( )
S
Câu Va (1,0 điểm): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây:
3 2
4 3 1
y x x x
= - + -
và
2 1
y x
= - +
2. Theo chương trình nâng cao
Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A(–1;2;7) và đường
thẳng d có phương trình: 2 1
1 2 1
x y z
- -
= =
1) Hãy tìm toạ độ của hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d.
2) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với đường thẳng d.
Câu Vb (1,0 điểm): Giải hệ pt
4 4 4
log log 1 log 9
20 0
x y
x y
ì
ï+ = +
ï
í
ï+ - =
ï
î
---------- Hết ----------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ........................................ Số báo danh:
...............................................
Chữ ký của giám thị 1: .................................. Chữ ký của giám thị 2:
.................................
BÀI GIẢI CHI TIẾT.
Câu I :
4 2
4 3
y x x
= - + -
Tập xác định:
D
=
¡
Đạo hàm: 3
4 8
y x x
¢= - +
Cho
3 2
2 2
0
4 0 0
0 4 8 0 4 ( 2) 0 2 0 2
2
x
x x
y x x x x
x x x
é
é é =
= = ê
ê ê
¢= Û - + = Û - + = Û Û Û ê
ê ê
- + = = = ±
ê
ê ê
ë ë
ë
Giới hạn: lim lim
x x
y y
® - ¥ ® + ¥
= - ¥ = - ¥
;
Bảng biến thiên
x –
2
- 0
2
+
y
¢
+ 0 – 0 + 0 –
y
1
1
– –3 –
Hàm số ĐB trên các khoảng
( ; 2),(0; 2)
- ¥ - , NB trên các khoảng
( 2;0),( 2; )
- + ¥
Hàm số đạt cực đại yCĐ = 1 tại
2
x= ±
CÑ , đạt cực tiểu yCT = –3 tại
0
x
=
CT .
Giao điểm với trục hoành: cho
2
4 2
2
1
1
0 4 3 0
3
3
x
x
y x x
x
x
éé= ±
=
êê
= Û - + - = Û Û
êê= ±
=
êê
ë
ë
Giao điểm với trục tung: cho
0 3
x y
= Þ = -
Bảng giá trị: x
3
-
2
- 0
2
3
y 0 1 –3 1 0
Đồ thị hàm số:
x
y
y = 2m
2
- 2
- 3 3
1
2m
-3
-1
O
1
4 2 4 2
4 3 2 0 4 3 2
x x m x x m
- + + = Û - + - = (*)
Số nghiệm pt(*) bằng với số giao điểm của 4 2
( ) : 4 3
C y x x
= - + -
và d: y = 2m.
Ta có bảng kết quả:
M 2m Số giao điểm
của (C) và d
Số nghiệm
của pt(*)
m > 0,5 2m > 1 0 0
m = 0,5 2m = 1 2 2
–1,5< m < 0,5 –3< 2m < 1 4 4
m = –1,5 2m = –3 3 3
m < –1,5 2m < –3 2 2
0 0
3 0
x y
= Þ =
3
0
( ) ( 3) 4 8 4 3
f x f y x x
¢ ¢ ¢
= = = - + = -g
Vậy, pttt cần tìm là:
0 4 3( 3) 4 3 12
y x y x
- = - - Û = - +
Câu II 1
7
7 2.7 9 0 7 2. 9 0
7
x x x
x
-
+ - = Û + - =
(*)
Đặt
7
x
t= (ĐK: t > 0), phương trình (*) trở thành
nhan
nhan
2 2
2( )
14 9 0 14 9 0 9 14 0
7( )
t
t t t t t t
t
é
=
ê
+ - = Û + - = Û - + = Û ê=
ê
ë
Với
2
t
=
:
7
7 2 log 2
x
x= Û =
Với
7
t
=
:
7 7 1
x
x
= Û =
Vậy, phương trình đã cho có các nghiệm :
1
x
=
và
7
log 2
x=
2
(1 ln )
e
e
I x xdx
= +
ò
Đặt 2
1
1 ln
2
du dx
u x
x
dv xdx x
v
ì
ï
ï=
ìï
ï= + ï
ïï
Þ
í í
ï ï
=
ï ï
î=
ï
ï
ï
î
. Thay vào công thức tích phân từng phần ta được:
2 2
2
2 4 2 2
4 4 2 4 2
2
(1 ln ) (1 2) (1 1)
2 2 2 2 4
3 5 3
2 4 4 4 4
e e
e
e
e e
x x x e e x
I dx
e e e e e
e
+ + +
= - = - -
= - - + = -
ò
Vậy,
4 2
5 3
4 4
e e
I= -
Hàm số
2
2 2
1
x x
y
x
+ +
=+ liên tục trên đoạn 1
2
[ ;2]
-
2 2 2 2
2 2 2
( 2 2) ( 1) ( 2 2)( 1) (2 2)( 1) ( 2 2)1 2
( 1) ( 1) ( 1)
x x x x x x x x x x x x
y
x x x
¢ ¢
+ + + - + + + + + - + + +
¢= = =
+ + +
Cho
(nhan)
(loai)
1
22
1
2
0 [ ;2]
0 2 0 2 [ ;2]
x
y x x
x
é= Î -
ê
¢= Û + = Û ê= - Ï -
ê
ë
a
2a I
C
B
AD
S
Ta có,
(0) 2
f
=
1 5
2 2
fæ ö
÷
ç÷
- =
ç÷
ç
è ø
10
(2)
3
f=
Trong các kết quả trên, số nhỏ nhất là 2 và số lớn nhất là
10
3
Vậy, khi khi
1 1
2 2
[ ;2] [ ;2]
10
min 2 0; max 2
3
y x y x
- -
= = = =
Câu III Theo giả thiết, , , ,
SA A C SA A D B C A B BC SA
^ ^ ^ ^
Suy ra,
( )
BC SA B
^ và như vậy
BC SB
^
Hoàn toàn tương tự, ta cũng sẽ chứng minh được
CD SD
^
.
A,B,D cùng nhìn SC dưới 1 góc vuông nên A,B,D,S,C cùng thuộc
đường tròn đường kính SC, có tâm là trung điểm I của SC.
Ta có, 2 2 2 2
(2 ) ( 2) 6
SC SA A C a a a
= + = + =
Bán kính mặt cầu:
6
2 2
SC a
R= =
Vậy, diện tích mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD là:
2
2 2
6
4 4 6
2
a
S R a
p p p
æ ö
÷
ç÷
ç
= = =
÷
ç÷
ç
è ø
THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu IVa:
2 3 2 (2;3; 2)
OI i j k I
= + - Þ -
uur
r
r r
Tâm của mặt cầu:
(2;3; 2)
I
-
Bán kính của mặt cầu: 2 2 2
2 2.3 2.( 2) 9 9
( ,( )) 3
3
1 ( 2) ( 2)
R d I P - - - -
= = = =
+ - + -
Vậy, pt mặt cầu
( )
S
là:
2 2 2 2
( ) ( ) ( )
x a y b z c R
- + - + - =
222
( 2) ( 3) ( 2) 9
x y z
Û - + - + + =
( ) || ( ) : 2 2 9 0
Q P x y z
- - - =
nên (Q) có vtpt ( )
(1; 2; 2)
P
n n
= = - -
r r
Do đó PTTQ của mp(Q) có dạng
( ) : 2 2 0 ( 9)
Q x y z D D
- - + = ¹ -
Do (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên
(nhan)
loai
222
9
2 2.3 2.( 2)
( ,( )) 3 3 9
9( )
3
1 ( 2) ( 2)
D
DD
d I Q R D D
é=
- - - + ê
= Û = Û = Û = Û ê= -
ê
+ - + - ë
Vậy, PTTQ của mp(Q) là:
( ) : 2 2 9 0
Q x y z
- - + =
Câu Va: Cho 3 2 3 2
1
4 3 1 2 1 4 5 2
2
x
x x x x x x x x
é
=
ê
- + - = - + Û - + - Û ê
=
ê
ë
Diện tích cần tìm là: 23 2
1
4 5 2
S x x x dx
= - + -
ò