Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên Môn: Toán học

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2012- 2013 Môn thi: TOÁN (chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút Đề thi gồm : 01 trang Ngày thi 20 tháng 6 năm 2012

2

2

2

Câu I (2,0 điểm)

a (b-2c)+b (c-a)+2c (a-b)+abc .

2

2

3

x

y- y +1+ y+ y +1 3

1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử

4

3

2

2

. Tính giá trị của biểu thức

2) Cho x, y thỏa mãn  A x +x y+3x +xy- 2y +1 .

2

2

4 (x - 4x+11)(x - 8x +21) 35

Câu II ( 2,0 điểm)

2

2

2012

1) Giải phương trình .

 x+ x +2012 y+ y +2012

2

2

2) Giải hệ phương trình .

     x + z - 4(y+z)+8 0

Câu III (2,0 điểm)

1) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì (n2 + n + 1) không chia hết cho 9. 2) Xét phương trình x2 – m2x + 2m + 2 = 0 (1) (ẩn x). Tìm các giá trị nguyên dương của m để phương trình (1) có nghiệm nguyên.

Câu IV (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC ngoại tiếp đường tròn tâm O. Gọi D, E, F lần lượt là tiếp điểm của (O) với các cạnh AB, AC, BC; BO cắt EF tại I. M là điểm di chuyển trên đoạn CE.

b c 1

    . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

1

1) Tính BIF . 2) Gọi H là giao điểm của BM và EF. Chứng minh rằng nếu AM = AB thì tứ giác ABHI nội tiếp. 3) Gọi N là giao điểm của BM với cung nhỏ EF của (O), P và Q lần lượt là hình chiếu của N trên các đường thẳng DE, DF. Xác định vị trí của điểm M để PQ lớn nhất.

B (a+b+c+3)

+

+

  

  

. Câu V (1,0 điểm) Cho 3 số a, b, c thỏa mãn 0 a 1 1 a+1 b+1 c+1

­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­Hết­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­

Trang | 1

Website: www.hoc247.vn ­ Bộ phận tư vấn: 098 1821 807

Họ và tên thí sinh………………………………. Số báo danh………………...……………… Chữ kí của giám thị 1: ……………………… Chữ kí của giám thị 2: ……………………

Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên Môn: Toán học

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

HƯỚNG DẪN GIẢI

2

2

2

2

2

2

Nội dung

b

)

ac a b (

)

2

2 a b  )[2  c )[2 ( a b c c a     a b a c b )( )(

  ac ab bc ] b a c ) (   )]  c 2 )

2

2

3

3

Câu Câu I (2,0đ) 1) 1,0 điểm a (b - 2c) +b (c - a) + 2c (a - b) + abc=2c (a - b)+ab(a-b)-c(a

x = y- y + 1

y+ y + 1

Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

(  (  (  2) 1,0 điểm Có

3

2

2

2

3

3

3

3

2 x = 2y +3 y - y + 1 . y+ y + 1

y- y +1

y+ y +1

  

  

3x + 3x -2y = 0 3

2

4

4

2

3

2

 A = x + x y + 3x - 2xy + 3xy - 2y + 1 = (x +3x -2xy) +(x y+3xy - 2y ) 1

3

3   x(x +3x-2y) +y(x +3x - 2y) 1 1

2

2

2

2

(

x

2)

x

4)

5

35

 

  7 (  

 

2

Câu II (1,0đ) 1)1,0 điểm phương trình đã cho tương đương với

x

7 7

(

x

2)

2

2

2

x

2)

7

(

x

4)

5

  35 x

2

   ( 

   

 

(

x

4)

2

0,25 0,25 0,25 (1) 0,25 0,25 Do

      2     5 5 x   7 7 2)

(1)

2

4)

 

5 5

2

2

0,25

(x+ x +2012)(y+ y +2012) 2012 (1)

2

2

x + z - 4(y+z)+8=0 (2)

  ( x    2 ( x  <=>x=2    

2

2

2

2

(1)

  x

x

2012

y

y

2012

y

2012

y

2012

y

2012

y

0,25 0,25 2)1,0 điểm





y

2 2012 

y

y

2

2

2

2

  x

2012 2012 2012

x

y

2012

  

y

x

x

2012

y

2012

y

   ) 0  

2

2

   x

y

y

2012

x

2012

2

2

2

2

y

2012

x

2012

y

2012

x

2012

(Do 



   x

y

2

2

y

2012

x

2012

2

2

2

2

y

2012

  y

2012

x

x

y

x

   x

y

  x (

y

)

0

2

2

2

2

y

2012

x

2012

y

2012

2012

x

2

y

 2012 |

y

2

2

y

2012

  y

x

2012

    

0

x

y

x

2

x

 2012 |

x

2

2

2

0,25 Do

    | y y      |  x x 2   x z

4

x

4

z

   

8 0

x

(

2)

(

z

2)

 0

Trang | 2

Website: www.hoc247.vn ­ Bộ phận tư vấn: 098 1821 807

0,25 Thay y=­x vào(2)

Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên Môn: Toán học

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

2

2)

0

   

y

x

2

2

x z

  2  2

z

2)

0

  

  x (   (  

0,25 Vậy hệ có nghiệm (x;y;z)=(­2;2;2).

n = 3k; n = 3k + 1; n = 3k + 2 (k   ) Câu III (2,0đ) 1)1,0 điểm

0,25 0,25 0,25 0,25

2

2)1,0 điểm 0,25

*  ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x1, x2  x m 2 

m

2

2

*

2

*

(

m

1)(

 

  

  1)

x

2

2 (m 1)(m 3) 0

x x , 1    

 x 2m 2m 2 0

2   

3m

Theo vi­et:  (x1 ­ 1) (x2 ­ 1) = ­ m2 + 2m + 3 Đặt A = n2 + n + 1 do n   * n = 3k => A không chia hết cho 9 (vì A không chia hết cho 3) * n = 3k + 1 => A = 9k2 + 9k + 3 không chia hết cho 9. * n = 3k +2 => A = 9k2 +9k+7 không chia hết cho 9 Vậy với mọi số nguyên n thì A = n2 + n + 1 không chia hết cho 9. Gi¶ sö tån t¹i m   x 1  x x  1 2 0,25

m {1;2;3}

0  

0,25 0,25

B

F

K

H

D

O

Với m *  . Ta cã x1x2 1 vµ x1 + x2 4 mà x1hoÆc x2 nguyªn vµ x x 1 1   Víi m = 1; m = 2 thay vµo ta thÊy ph­¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm. Víi m = 3 thay vµo ph­¬ng tr×nh ta ®­îc nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ®· cho lµ x =1; x = 8 tho¶ m·n. VËy m= 3 Câu IV (2,0đ) 1) 1,0 điểm Vẽ hình đúng theo yêu cầu chung của đề 0,25

I

C

A

E

M

 0  BIF 45

0,25 0,25 Gọi K là giao điểm của BO với DF => ΔIKF vuông tại K 1 Có   0 DFE= DOE=45 2 0,25

DBH=45 .Có  0 DFH=45

BM

BM

0,25 2) 1,0 điểm Khi AM = AB thì ΔABM vuông cân tại A =>  0

=> OH => A, O, H thẳng hàng

Trang | 3

Website: www.hoc247.vn ­ Bộ phận tư vấn: 098 1821 807

0,25 0,25 0,25 => Tứ giác BDHF nội tiếp => 5 điểm B, D, O, H, F cùng thuộc một đường tròn. =>   0 BFO=BHO 90   0 BAH=BIH 45 , mà OA => Tứ giác ABHI nội tiếp.

Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên Môn: Toán học

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

B

F

P

D

O

N

A

E

M

C

Q

QPN=QDN=EFN .

3) 1,0 điểm 0,25

NQP=NDP=FEN => ΔNEF và ΔNQP đồng dạng

Có tứ giác PNQD nội tiếp = >    Tương tự có   

  1

 PQ EF

PQ NQ = EF NE

0,25 =>

0,25

0,25

b a     = >1 z y x 2 Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi P  F; Q  E => DN là đường kính của (O) => PQ lớn nhất bằng EF. Cách xác định điểm M : Kẻ đường kính DN của (O), BN cắt AC tại M thì PQ lớn nhất. Câu V (1,0đ) Đặt x=1+c, y=1+b, z=1+a do 0 0,25

1 x

1   )=3+ 3 z

1 y

z       y

x y

y x

z x

y z

Khi đó A= (x+y+z)( c 1 x z

1

1

    

0

1

  

0

1

x y

y z

x y

y z

. x y y z .

x y

y z

x   z

  

  

1

1

    

0

1

  

0

1

z y

y x

z y

y x

. z y y x .

z y

y x

z   x

  

  

           

        

2

2

2

y     z

x y

z y

y x

x z

z x

x y

x z

y x

z y

x z

z x

y z

z x

  

  

0,25

t  2

2

2

t (2

2)

t

t 2

1

2

    t

x z

5  2

x z z x

1 t

 t t (2

  5 t 2 t 2)

0,25 Đặt = t =>1

t   2

0 

t 1)( t 2

5   2 x z

z x

1)( t 2 t 5  2

 

3 2.

 

2 10

Do 1

5 2

A

Trang | 4

Website: www.hoc247.vn ­ Bộ phận tư vấn: 098 1821 807

Ta thấy khi a=b=0 và c=1 thì A=10 nên giá trị lớn nhất của A là 10 0,25

Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên Môn: Toán học

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TRÊN HỌC247

­ Chương trình luyện thi được xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, các em yêu thích toán và muốn thi

vào lớp 10 các trường chuyên.

­ Nội dung được xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 các trường chuyên của cả nước trong

những năm qua.

­ Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm các thầy nổi tiếng có nhiều năm kinh nghiệm trong việc ôn luyện học

sinh giỏi.

­ Hệ thống bài giảng được biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luyện thi khoa học, hợp lý mang lại kết

quả tốt nhất.

­ Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.

­ Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.

­ Mỗi lớp từ 5 đến 10 em để được hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất.

­ Đặc biệt, các em còn hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên của HỌC247.

 https://www.facebook.com/OnThiLop10ChuyenToan/

Trang | 5

Website: www.hoc247.vn ­ Bộ phận tư vấn: 098 1821 807