Đề thi tuyển sinh lớp 10- trung học phổ thông chuyên-Đại học Quốc gia Hà Nội

Chia sẻ: Phạm Văn Minh | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:23

Thêm vào BST

Báo xấu

657
lượt xem 140
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cho đường tròn (O) với đường kính AB = 2R. Trên đường thẳng tiếp xúc với đương tròn (O) tại A ta lấy điểm C sao cho góc ACB = 300 . Gọi H là giao điểm thứ hai của đường thăng BC với đường tròn (O). 1) Tính độ dài đương thẳng AC, BC và khoảng cách từ A đến đương thẳng BC theo R. 2) Với mỗi điểm M trên đoạn thẳng AC, đường thẳng BM cắt đường tròn (O tại điểm N (khác B). Chứng minh rằng bốn điểm C, M, N, H nằm trên cùng một đường tròn và tâm đường tròn đó...

Chủ đề:

Bình luận(1) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi tuyển sinh lớp 10- trung học phổ thông chuyên-Đại học Quốc gia Hà Nội

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYÊN PTC_1011QĐ_01 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ Năm học 2010- 2011 NỘI Môn thi: TOÁN- Vòng I TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHTN Câu I 1) Giải hệ phương trình 3 x 2 + 8 y 2 + 12 xy = 23  2  x + y 2 = 2.  2) Giải phương trình 2 x + 1 + 3 4 x 2 − 2 x + 1 = 3 + 8 x 3 + 1. Câu II 1) Tìm tất cả các số nguyên không âm (x, y) thoả mãn đẳng thức (1 + x )(1 + y ) + 4 xy + 2( x + y ) (1 + xy ) = 25. 2 2 2) Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a và ký hiệu là [a]. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có. 3 n 2 + n + 1 7 + + ... =n  n( n + 1)  1.2 2.3 Câu III Cho đường tròn (O) với đường kính AB = 2R. Trên đường thẳng tiếp xúc với đương tròn (O) tại A ta lấy điểm C sao cho góc ACB = 30 0 . Gọi H là giao điểm thứ hai của đường thăng BC với đường tròn (O). 1) Tính độ dài đương thẳng AC, BC và khoảng cách từ A đến đương thẳng BC theo R. 2) Với mỗi điểm M trên đoạn thẳng AC, đường thẳng BM cắt đường tròn (O tại điểm N (khác B). Chứng minh rằng bốn điểm C, M, N, H nằm trên cùng một đường tròn và tâm đường tròn đó luôn chạy trên một đường thẳng cố định khi M thay đổi trên đoạn thẳng AC. Câu IV 9 Với a,b là các số thực thoả mãn đẳng thức (1 + a )(1 + b) = , hãy tìm giá trị nhỏ 4 nhất của biểu thức P = 1 + a 4 + 1 + b 4 . ----------------------------------------------- Hết ------------------------------------------- HD gi¶i ®Ò MÔN TOÁN (Vòng 1) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu I 3) Giải hệ phương trình
3 x 2 + 8 y 2 + 12 xy = 23  2  x + y 2 = 2.  4) Giải phương trình 2 x + 1 + 3 4 x 2 − 2 x + 1 = 3 + 8 x 3 + 1. Híng dÉn 1) Céng c¶ hai ph¬ng tr×nh ta ®îc (2x+3y)2=25 Ta cã hai hÖ 2 x + 3 y = 5  2 x + 3 y = −5 2 Vµ  x + y = 2 x + y = 2 2 2 2 7 7 ;− Giai ra ta ®îc PT cã 4 nghiÖm 1,-1; 13 13 −1 2) §KX§ x ≥ 2 §Æt 2 x + 1 = a(a ≥ 0); 4 x 2 − 2 x + 1 = b(b > 0) Ta cã (1-b)(a-3) =0 1 ;a=3 th× x3 = 4 b=1 th× x1 = 0; x 2 = 2 Câu II 3) Tìm tất cả các số nguyên không âm (x, y) thoả mãn đẳng thức (1 + x )(1 + y ) + 4 xy + 2( x + y ) (1 + xy ) = 25. 2 2 4) Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a và ký hiệu là [a]. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có. 3 n 2 + n + 1 7 + + ... =n  n( n + 1)  1.2 2.3 Híng dÉn 1)Ph¸ ngoÆc (1 + x 2 )(1 + y 2 ) + 4 xy + 2( x + y ) (1 + xy ) = 25. ⇔ ( xy + 1) 2 + 2( x + y ) (1 + xy ) + ( x + y) 2 = 25 ⇔ ( xy + 1 + x + y ) 2 = 25 ⇔ ( x + 1)( y + 1) 2 = 25 v× x,y kh«ng ©m nªn (x+1)(y+1)=5 ta cã (x;y)=(0;4);(4;0) k 2 + k +1 k +1 k2 k 1 1 1 = + = + = 1− + (k ∈ N ) 2) xÐt k (k + 1) k (k + 1) k (k + 1) (k + 1) k k +1 k Thay k lÇn lît tõ 1 ®Õn n ta cã 3 n 2 + n + 1  1  n 7 + + ...  = n + 1 − = n + = n (®pcm)  n + 1  n + 1 n( n + 1)   1.2 2.3   Câu III Cho đường tròn (O) với đường kính AB = 2R. Trên đường thẳng tiếp xúc với đương tròn (O) tại A ta lấy điểm C sao cho góc ACB = 30 0 . Gọi H là giao điểm thứ hai của đường thăng BC với đường tròn (O). 3) Tính độ dài đương thẳng AC, BC và khoảng cách từ A đến đương thẳng BC theo R. 4) Với mỗi điểm M trên đoạn thẳng AC, đường thẳng BM cắt đường tròn (O tại điểm N (khác B). Chứng minh rằng bốn điểm C, M, N, H nằm trên cùng một
đường tròn và tâm đường tròn đó luôn chạy trên một đường thẳng cố định khi M thay đổi trên đoạn thẳng AC. Híng dÉn C j M H N B A O 1)BC=4R;AC= 2 3R ;AH= R 3 2) Ta cã ∠HNA = ∠HAB = 30 0 nªn ∠C + ∠NHC = 180 0 nªn tø gi¸c CMNH néi tiÕp t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp thuéc trung trùc HC cè ®Þnh Câu IV 9 Với a,b là các số thực thoả mãn đẳng thức (1 + a )(1 + b) = , hãy tìm giá trị nhỏ 4 nhất của biểu thức P = 1 + a 4 + 1 + b 4 . Híng dÉn ¸p dông BB§T Bu nhi acãpky cho 2 d·y a 2 ;1 vµ 1; 4 ta cã a2 + 4 1 17(a + 1) ≥ (a + 4) ⇔ a + 1 ≥ (1); Dau :" =" ⇔ a = 4 2 2 4 2 17 b2 + 4 1 b ;1 vµ 1; 4 ta cã 17(b + 1) ≥ (b + 4) ⇔ b + 1 ≥ (1); Dau :" =" ⇔ b = 4 2 2 4 2 2 17 5 a2 + b2 + 8 (*) MÆt kh¸c Tõ GT ta cã a + b + ab = Tõ (1)&(2) ta cã P ≥ 4 17 L¹i ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«-Si cho 2 ta cã
2 1 a + 4 ≥ a  2 1 32 1 5 1 1 b + ≥ b ⇔ (a + b ) + ≥ (a + b + ab) = ⇔ a + b ≥ ; Dau :" =" ⇔ a = b = 2 2 2 4 2 2 4 2 2  a + b 2 2 ≥ ab  2 1 +8 17 V©y Min( P ) = 17 ⇔ a = b = 1 Thay Vµo (*) ta cã P ≥ 2 = 2 2 2 17 KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYÊN PTC_1011QĐ_02 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ Năm học 2010- 2011 NỘI Môn thi: TOÁN- Vòng II TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHTN Câu I 1) Giải phương trình x + 3 + 3x + 1 = 4 2) Giải hệ phương trình 5 x 2 + 2 y 2 + 2 xy = 26  3 x + ( 2 x + y ) ( x − y ) = 11. Câu II 1) Tìm tất cả các số nguyên dương n để n 2 + 391 là số chính phương. 2) Giả sử x, y, z là những số thực dương thoả mãn điều kiện x + y + z = 1 . Chứng minh rằng xy + z + 2 x 2 + 2 y 2 ≥ 1. 1 + xy Câu III Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và M là điểm nằm trong tam giác. Kí hiệu H là hình chiếu của M trên cạnh BC và P, Q, E, F lần lượt là hình chiếu của H trên các đường thẳng MB, MC, AB, AC. Giả sử bốn điểm P, Q, E, F thẳng hàng. 1) Chứng minh rằng M là trực tâm của tam giác ABC. 2) Chứng minh rằng BEFC là tứ giác nội tiếp. Câu IV
Trong dãy số gồm 2010 số thực khác 0 được sắp xếp theo thứ tự a1 , a 2 ,..., a 2010 , ta đánh dấu tất cả các số âm và tất cả các số mà tổng của nó với một số liên tiếp liền ngay sau nó là một số dương. (Ví dụ với dãy số -8,-4,-1,2,-1,2,-3,...,-2005 thì các số được đánh dấu là a 2 = −4, a 3 = 4, a 4 = −1, a5 = 2 ). Chứng minh rằng nếu trong dãy số đã cho có ít nhất một số dương thì tổng của tất cả các số được đánh dấu là một số dương. ----------------------------------------------- Hết ------------------------------------------- HD gi¶i ®Ò thi MÔN TOÁN (Vòng 2) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu I 5) Giải phương trình x + 3 + 3x + 1 = 4 6) Giải hệ phương trình 5 x 2 + 2 y 2 + 2 xy = 26  3 x + ( 2 x + y ) ( x − y ) = 11. Híng dÉn 1) x=1 xÐt x< 1 VT1 VT>4 2) 5 x 2 + 2 y 2 + 2 xy = 26 5 x 2 + 2 y 2 + 2 xy = 26(1) 5 x 2 + 2 y 2 + 2 xy = 26   ⇔ ⇔  3x + ( 2 x + y ) ( x − y ) = 11. 3x + 2 x − xy − y = 11 6 x + 4 x − 2 xy − 2 y = 22(2) 2 2 2 2   Céng (1) vµ (2) ta cã PT 3 x 2 + 2 x − 16 = 0 ⇔ (3 x + 8)( x − 2) = 0 −8 Víi x = thay vµo PT(1) v« nghiÖm 3 Víi x = 2 thay vµo PT(1) ta ®îc y=1 hoÆc y=-3 VËy hÖ cã 2 nghiÖm (x;y)=(2;1);(2-3) Câu II 5) Tìm tất cả các số nguyên dương n để n 2 + 391 là số chính phương. 6) Giả sử x, y, z là những số thực dương thoả mãn điều kiện x + y + z = 1 . Chứng minh rằng xy + z + 2 x 2 + 2 y 2 ≥ 1. 1 + xy Híng dÉn 1)ta cã n + 391 lµ sè chÝnh ph¬ng nªn n 2 + 391 = k 2 (k ∈ N ) 2 n 2 + 391 = k 2 ⇔ (n − k )(n + k ) = −391 mµ 391=-1.391=1.(-391)=-17.23=17.(-23) Ta cã n-k
xy + z + 2 x 2 + 2 y 2 ≥ 1. ⇔ xy + z + 2 x 2 + 2 y 2 ≥ 1 + xy 2) 1 + xy ¸p dngj B§T Bunhiacopsky cho 2 d·y x ; y vµ 1; 1 ta cã 2( x 2 + y 2 ) ≥ ( x + y ) 2 ⇒ 2( x 2 + y 2 ) ≥ x + y xy + z + 2 x 2 + 2 y 2 ≥ xy + z + x + y ta ph¶i chøng minh Nªn xy + z + x + y ≥ 1 + xy ⇔ xy + z + 1 − z ≥ 1 + xy ⇔ xy + z ≥ z + xy ⇔ xy + z ≥ z 2 + 2 z xy + xy ⇔ z − z 2 ≥ 2 z xy ⇔ 1 − z ≥ 2 xy ⇔ x + y ≥ 2 xy (dung ) 1− z Dêu “=” x¶y ra khi x = y = 2 Câu III Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và M là điểm nằm trong tam giác. Kí hiệu H là hình chiếu của M trên cạnh BC và P, Q, E, F lần lượt là hình chiếu của H trên các đường thẳng MB, MC, AB, AC. Giả sử bốn điểm P, Q, E, F thẳng hàng. 3) Chứng minh rằng M là trực tâm của tam giác ABC. 4) Chứng minh rằng BEFC là tứ giác nội tiếp. A M F Q P E B H C Híng dÉn 1)V× tứ gi¸c BEPH néi tiÕp nªn ∠EHB = ∠EPB (1) v× E;P;Q th¼ng hµng nªn ∠MPQ = ∠EPB (2). V× tứ gi¸c MQHP néi tiÕp nªn ∠MPQ = ∠MHQ (3) Ta cã ∆MHC vu«ng t¹i H cã HQ ⊥ MC suy ra ∠MCH = ∠MHQ (4) tõ (1); (2) ; (3) ;(4) ta cã ∠EHB = ∠MCH ë vÞ trÝ ®ång vÞ nªn HE//CM mµ HE ⊥ AB ⇔ CM ⊥ AB (*) T¬ng tù BM ⊥ AC (**) tõ (*) vµ (**) ta cã M lµ trùc T©m tam gi¸c ABC 2)V× M lµ trùc t©m tam gi¸c ABC nªn A,M,H th¼ng hµng ta cã ∠AEH = 90 0 ; ∠AFH = 90 0 nªn tø gi¸c AEHF néi tiÕp ®êng kÝnh AH nªn ∠AFE = ∠AHE ( néi tiÕp ch¾n cung AE) mµ ∠EBH = ∠AHE ( cïng phô ∠BHE )
VËy ∠AFE = ∠EBH mµ ∠AFE + ∠EFC = 180 0 ⇔ ∠EBH + ∠EFC = 180 0 Nªn tø gi¸c BEFC néi tiÕp Câu IV Trong dãy số gồm 2010 số thực khác 0 được sắp xếp theo thứ tự a1 , a 2 ,..., a 2010 , ta đánh dấu tất cả các số âm và tất cả các số mà tổng của nó với một sè số liên tiếp liền ngay sau nó là một số dương. (Ví dụ với dãy số -8,-4,4,-1,2,-1,2,-3,...,- 2005 thì các số được đánh dấu là a 2 = −4, a 3 = 4, a 4 = −1, a5 = 2 ). Chứng minh rằng nếu trong dãy số đã cho có ít nhất một số dương thì tổng của tất cả các số được đánh dấu là một số dương. Híng dÉn XÐt c¸c sè ®îc ®¸nh dÊu a1;a2;a3............ an (n∈ N ; n < 2010) -NÕu d·y cã tÊt c¶ c¸c sè d¬ng th× ta cã ®pcm -NÕu cã sè ©m ®îc ®¸nh dÊu thi c¸c liÒn sau sè ©m ph¶i lµ sè d¬ng ( Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi sè sè tæng c¸c d¬ng lín h¬n GTT§ sè ©m) v× sè ©m céng víi sè liÒn sau nã ra kÕt qu¶ lµ sè d¬ng suy ra sè liÒn sau sè ©m ®ã còng ®îc ®¸nh dÊu suy ra tæng lu«n lµ sã d¬ng KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYÊN PTC_1011QĐ_03 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2010- 2011 TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI Môn thi: TOÁN- Vòng I Câu 1: � � x 4 + 1 � x3 − x (4 x − 1) − 4 � � 2 + 29 x + 78 � �x � 3 A = � − �4 − 2 � 7 x � � ��2 � � � x + 1 � x + 6 x − x − 6 � � x + 12 x − 36 � 6 2 �3 � 1. Rút gọn biểu thức A 2. Tìm tất các giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên Câu 2: Cho hai đường thẳng (d1 ): y = (2m2 + 1 )x + 2m – 1 (d2): y = m2x + m – 2 Với m là tham số 1. Tìm toạ độ giao điểm I của d1 và d2 theo m
2. Khi m thay đổi, hãy chứng minh điểm I luôn thuộc đường thẳng cố định. Câu 3 : Giả sử cho bộ ba số thực (x;y;z) thoả mãn hệ  x + 1 = y + z (1)   xy + z − 7 z + 10 = 0(2) 2 1. Chứng minh x2 + y2 = -z2 + 12z – 19 2. Tìm tất cả bộ số x,y,z sao cho x2 + y2 = 17 Câu 4 : Cho hình vuông ABCD có độ dài bằng cạnh a. Trong hình vuông đo lấy điểm K sao cho tam giác ABK đều. Các đường thẳng BK và AD cắt nhau ở P. 1. Tính độ dài KC theo a a. 3 2. Trên AD lấy I sao cho DI = CI cắt BP ở H. 3 Chứng minh CHDP là nội tiếp. a 3. Gọi M và L lần lượt là trung điểm CP và KD. Chứng minh LM = 2 Câu 5: Giải phương trình : (x2 -5x + 1)(x2 - 4) = 6(x-1)2 ----------------------------------------------- Hết ------------------------------------------- Gi¶i ®Ò thi tuyÓn sinh Vµo khèi trung häc phæ th«ng chuyªn n¨m 2010 M«n thi: To¸n häc (Dïng cho mäi thÝ sinh thi vµo trêng chuyªn) C©u 1: � � 4 x 4 + 1 � x 3 − x (4 x − 1) − 4 � � 2 + 29 x + 78 � �x � 3 A = � −� − 2 � 7 x � � ��2 � � � x + 1 � x + 6 x − x − 6 � � x + 12 x − 36 � 6 2 �3 � 1. Rót gän biÓu thøc A 2. T×m tÊt c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc A cã gi¸ trÞ nguyªn Híng dÉn 1.  3  x 6 + x 4 − x 4 − 1   x 3 − 4 x 2 + x − 4   x 2 + 3 x + 26 x + 78  A =  − . 6   x ( x + 6) − ( x + 6)  :  3( x 2 − 2 x + 6 x − 12)  2   x2 +1        3  x 6 − 1   ( x − 4)( x 2 + 1)   ( x + 3)( x + 26)  A =  − 2 .  :   2  x + 1   ( x + 6)( x 6 − 1)   3( x − 2)( x + 6)        3 x − 4  3( x − 2)( x + 6) 3 x + 18 − 2 x + 8 3( x − 2)( x + 6) A= − = . .  2 x + 6  ( x + 3)( x + 26) 2( x + 6) ( x + 3)( x + 26)  3x + 18 − 2 x + 8 3( x − 2)( x + 6) x + 26 3( x − 2)( x + 6) 3( x − 2) A= = = . . 2( x + 6) ( x + 3)( x + 26) 2( x + 6) ( x + 3)( x + 26) 2( x + 3) 3( x − 2) 2. A = 2( x + 3)
3( x − 2) 3( x + 3) − 15 15 2A = = = 3− ∈ Z ⇔ x + 3 ∈ U (15) XÐt x+3 x+3 x+3 x+3 -15 -5 -3 -1 1 3 5 15 x -18 -8 -6 -4 -2 0 2 12 2A 4 6 8 18 -12 -2 0 2 A 2 3 4 9 -6 -1 0 1 VËy x ∈ { − 18;−8;−6;−4;−2;0;2;12 } th× A nguyªn C©u 2: Cho hai ®êng th¼ng (d1 ): y = (2m2 + 1 )x + 2m – 1 (d2): y = m2x + m - 2 Víi m lµ tham sè 1. T×m to¹ ®é giao ®iÓm I cña d1 vµ d2 theo m 2. Khi m thay ®æi, h·y chøng minh ®iÓm I lu«n thuéc ®êng th¼ng cè ®Þnh. Híng dÉn 1.Gi¶i hÖ  y = (2m 2 + 1) x + 2m − 1 (2m 2 + 1) x + 2m − 1 − m 2 x − m + 2 = 0   ⇔  y = m x + m − 2 y = m2 x + m − 2 2   − (m + 1) − (m + 1)   x = m 2 + 1 x = m 2 + 1 (m 2 + 1) x = −(m + 1)    ⇔ ⇔ ⇔  y = − m (m + 1) + m − 2  y = − m − m + m + m − 2m − 2  2 3 2 3 2 y = m x + m − 2 2   m2 +1 m2 + 1   − (m + 1)  x = m 2 + 1  ⇔  y = − 3m + m − 2 2  m2 +1   − (m + 1) − 3m 2 + m − 2  ta ®ùîc I  2   m +1 ;  m2 +1   − 3( m 2 + 1) + (m + 1) 2.ta cã y = = −3 − x m2 + 1 Vëy I thuéc ®êng th¼ng y=-x-3 cè ®Þnh C©u 3 : Gi¶ sö cho bé ba sè thùc (x;y;z) tho¶ m·n hÖ  x + 1 = y + z (1)   xy + z − 7 z + 10 = 0(2) 2 1. Chøng minh x2 + y2 = -z2 + 12z – 19 2. T×m tÊt c¶ bé sè x,y,z sao cho x2 + y2 = 17 Híng dÉn 1.Tõ (1) ta cã x-y=z-1 ⇔ x2-2xy+y2=1-2z+z2 ⇔ x2+y2=2xy+1-2z+z2 (*) Tõ (2) ta cã xy=-z2+7z-10 thay vµo (*) ta cã x2 + y2 =2(=-z2+7z-10 )+z2 -2z -+1 ⇔ x2 + y2 = -z2 + 12z -19 (®pcm) 2. ta cã -z2 + 12z – 19=17 ⇔ z2-12z+36=0 ⇔ ( z − 6) 2 = 0 ⇔ z=6 thay vµo ta cã hÖ
 x − y = −5 y = x + 5 y = x + 5 ⇔ 2 ⇔ 2 2  x + y = 17  x + ( x + 5) − 17 = 0 2 x + 10 x + 8 = 0 2 2  x = −1  y = 4 y = x + 5 ⇔ ⇔  x = −4 ( x + 4)( x + 1) = 0 HÖ cã 2   y = 1 nghiÖm  (x,y,z)=(- 1;4;6);(-4;1;6) C©u 4 : Cho h×nh vu«ng ABCD cã ®é dµi b»ng c¹nh a. Trong h×nh vu«ng ®o lÊy ®iÓm K sao cho tam gi¸c ABK ®Òu. C¸c ®êng th¼ng BK vµ AD c¾t nhau ë P. 1. TÝnh ®é dµi KC theo a a. 3 2. Trªn AD lÊy I sao cho DI = CI c¾t BP ë H. 3 Chøng minh CHDP lµ néi tiÕp. a 3.Gäi M vµ L lÇn lît lµ trung ®iÓm CP vµ KD. Chøng minh LM = 2 B E A I H Q K N L D C M P Híng dÉn
a nªn KQ = 1.KÎ KQ ⊥ BC trong tam gÝac vu«ng BQK cã BK=a; ∠KBQ=300 ¸p 2 dông Pi-Ta-Go cho tam gi¸c vu«ng BKQ ta cã a2 a 3 BQ = BK 2 − KQ 2 = a 2 − = nªn 4 2 a 3 a(2 − 3 ) CQ = BC − BQ = a − = 2 2 ¸p dông Pi-Ta-Go cho tam gi¸c vu«ng CKQ ta cã a 2 (7 − 4 3) 3a 2 a 10 − 4 3 KC = CQ + KQ = + = 2 2 4 4 2 a3 DI 3 2.XÐt tam gi¸cvu«ng DCI cã DC=a; DI = nªn Tg∠DCI = nªn ∠ = DC 3 3 DCI=300 theo GT ta cã ∠KBC=300 suy ra ∠DPH=300 (So le) Vëy ∠DPH= ∠DCH =300 nªn theo QT cung chøa gãc 2 ®iÓm P ; C thuéc cung chøa gãc 300 dùng trªn DH hay tø gi¸c CHDP néi tiÕp 3. KÎ KE ⊥ AB th× HA=HB vµ KE//AP xÐt tam gi¸c ABP cã HA=HB; KH//AP nªn a a KP=KB=a gäi N lµ trung ®iÓm KB th× LN//CD vµ LN = ; MN//KP; MN = 2 2 Vëy tam gi¸c MNL c©n t¹i N cã ∠MNL = ∠ABK = 60 0 (c¹nh t¬ng øng //) Nªn tam a gÝc MNL ®Òu suy ra LM = ( ®pcm) 2 C©u 5: Gi¶i ph¬ng tr×nh : (x2 -5x + 1)(x2 - 4) = 6(x-1)2 (*) Híng dÉn ( a − b) 2 §Æt x2 -5x + 1-=a; x2 - 4=b th× a-b=-5(x-1) suy ra ( x − 1) 2 = 25 6(a − b) 2 (*) ⇔ ab = ⇔ 25ab = 6a 2 − 12ab + 6b 2 ⇔ 6a 2 − 37ab + 6b 2 = 0 25 a = 6b ⇔ 6a 2 − 36ab − ab + 6b 2 = 0 ⇔ (6a − b)(a − 6b) = 0 ⇔  b = 6a NÕu th× a=6b ta cã PT  − 1 + 21 x = 2 x 2 − 5 x + 1 = 6 x 2 − 24 ⇔ 5 x 2 + 5 x − 25 = 0 ⇔ x 2 + x − 5 = 0 ⇔   − 1 − 21 x =  2 NÕu b=6a ta cã PT x = 3 + 7 6 x 2 − 30 x + 6 = x 2 − 4 ⇔ 5 x 2 − 30 x + 10 = 0 ⇔ x 2 − 6 x + 2 = 0 ⇔  x = 3 − 7  PT(*) cã 4 nghiÖm
− 1 + 21 − 1 − 21 x1 = ; x 21 = ; x3 = 3 + 7 ; x 4 = 3 − 7 2 2 KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYÊN PTC_1011QĐ_04 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2010- 2011 TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI Môn thi: TOÁN- Vòng II Câu 1: 1.Giả sử a và b là hai số dương khác nhau và thoả mãn a − b = 1 − b 2 − 1 − a 2 a2 + b2 = 1 Chứng minh rằng 2.Chứng minh rằng số 2009 2 + 2009 2.2010 2 + 2010 2 là số nguyên dương Câu 2: Giả sử 4 số thực a , b, c, c, d đôi 1 khác nhau và thoả mãn hai điều kiện sau Phương trình x 2 − 2cx − 5d = 0 có 2 nghiêm a và b i) Phương trình x 2 − 2ax − 5b = 0 có 2 nghiêm c và d ii) Chứng minh rằng: 1. a – c = c – b = d - a 2. a + b + c + d = 30 Câu 3 Giả sử m và n là những số nguyên dương với n>1 .Đặt S = m 2 n 2 − 4m + 4n Chứng minh rằng: ( ) 2 1. Nếu m>n thì mn 2 − 2 < n 2 S < m 2 n 4 2. Nếu S là số chính phương thì m=n Câu 4 Cho tam gíac ABC với AB>AC ,AB >BC.Trên cạnh AB của tam giác lấy các điểm M và N sao cho BC=BM và AC=AN 1.Chứng minh điểm N thuộc đoạn thẳng BM 2.Qua M và N ta kẻ đường thẳng MP song song với BC và NQ song song với CA ( P ∈ CA; Q ∈ CB ) .Chứng minh CP=CQ. 3.Cho góc ACB = 900 , góc CAB = 300 và AB = a . Tính diện tích tam giác MCN theo a. Câu 5 1 2 ;2; Trên bảng đen viết ba số .Ta bắt đầu thực hiện trò chơi như sau : 2
Mỗi lần chơi ta xoá hai số nào đó trong ba số trên bảng ,giả sử là a và b rồi viết vào 2 a+b a−b vị trí vừa xoá hai số mới đồng thời giữ nguyên số còn lại .Như vậy sau và 2 2 mỗi lần chơi trên bảng luôn có ba số .Chứng minh rằng dù ta có chơi bao nhiêu lần đi 1 ; 2 ;1 + 2 . chăng nữa thì trên bảng không đồng thời có ba số 22 ----------------------------------------------- Hết ------------------------------------------- Gi¶i ®Ò thi tuyÓn sinh Vµo khèi trung häc phæ th«ng chuyªn n¨m 2010 M«n thi: To¸n häc (Dïng cho mäi thÝ sinh thi vµo chuyªn To¸n vµ chuyªn Tin) C©u 1: 1.Gi¶ sö a vµ b lµ hai sè d¬ng kh¸c nhau vµ tho¶ m·n a − b = 1− b2 − 1 − a2 a2 + b2 = 1 Chøng minh r»ng 2.Chøng minh r»ng sè 2009 2 + 2009 2.2010 2 + 2010 2 lµ sè nguyªn d¬ng Híng dÉn a2 − b2 (a − b)(a + b) 1. tõ GT a − b = 1 − b − 1 − a = = ; ( a ≠ b) 2 2 1− b + 1− a 1− b2 + 1− a2 2 2 suy ra a + b = 1 − b 2 + 1 − a 2 a + b = 1 − b 2 + 1 − a 2 a = 1 − b 2   ⇔ ⇒ a2 + b2 = 1 ta cã hÖ  a − b = 1 − b − 1 − a b = 1 − a 2 2 2   2 §Æt a= 2009 ta cã 2009 2 + 2009 2.2010 2 + 2010 2 = a 2 + a 2 .(a + 1) 2 + (a + 1) 2 = a 2 .( a + 1) 2 + 2a(a + 1) + 1 = (a 2 + a + 1) 2 = a 2 + a + 1 ∈ Z C©u 2: Gi¶i sö 4 sè thùc a , b, c, c, d ®«i 1 kh¸c nhau vµ tho¶ m·n hai ®iÒu kiÖn sau Ph¬ng tr×nh x 2 − 2cx − 5d = 0 cã 2 nghiªm a vµ b iii) Ph¬ng tr×nh x 2 − 2ax − 5b = 0 cã 2 nghiªm c vµ d iv) Chøng minh r»ng 1. a-c=c-b=d-a 2. a+b+c+d=30 Híng dÉn a + b = 2c(1) 1. V× a,b lµ nghiÖm PT (1) theo Vi-Ðt ta cã  ab = −5d (2) c + d = 2a (3) V× a,b lµ nghiÖm PT (1) theo Vi-Ðt ta cã  cd = −5b(4) Tõ (1) ta cã a-c=c-b tõ (3) ta cã c-a=a-d nªn a-c=c-b=d-a 2.nh©n (2) vµ (4) ta cã abcd=25bd suy ra ac=25
MÆt kh¸c a lµ nghiÖm PT(1) nªn a 2 − 2ca − 5d = 0 ⇒ a 2 − 5d = 50(5) c lµ nghiÖm PT(1) nªn c 2 − 2ca − 5b = 0 ⇒ c 2 − 5b = 50(6) tõ (5) vµ (6) ta cã a 2 + c 2 − 5(b + d ) = 100 ⇔ ( a + c ) 2 − 2ac − 5( a + c) = 100 ⇔ ( a + c ) 2 − 5(a + c) − 150 = 0 ⇔ a + c = 15; ma : a + c = a + d ⇒ a + b + c + d = 30(dpcm) C©u 3 Gi¶ sö m vµ n lµ nh÷ng sè nguyªn d¬ng víi n>1 .§Æt S = m 2 n 2 − 4m + 4n Chøng minh r»ng: ( ) 2 1.NÕu m>n th× mn 2 − 2 < n 2 S < m 2 n 4 2.NÕu S lµ sè chÝnh ph¬ng th× m=n Híng dÉn 1.ta chøng minh ( mn 2 − 2 ) < n 2 (m 2 n 2 − 4m + 4n) < m 2 n 4 2 B»ng c¸ch xÐt hiÖu ( ) 2 H = mn 2 − 2 − n 2 (m 2 n 2 − 4m + 4n) H = m 2 n 4 − 4mn 2 + 4 − m 2 n 4 + 4mn 2 − 4n 3 = −4n 3 < 0; vi : n > 1 MÆt kh¸c n (m n − 4m + 4n) − m n = 4n (m − n) > 0 v× n>1; m>n 2 22 24 2 ( ) ( ) 2 2 2.Ta chøng minh mn − 2 < S < mn + 2 xÐt S=(mn-1)2 th× m 2 n 2 − 4m + 4n = m 2 n 2 − 2mn + 1 ⇔ 4n − 4m − 2mn = 1 kh«ng tån t¹i m,n v× vÕ ph¶i ch½n XÐt S=(mn+1)2 th× m 2 n 2 − 4m + 4n = m 2 n 2 + 2mn + 1 ⇔ 4n − 4m + 2mn = 1 kh«ng tån t¹i m,n v× vÕ ph¶i ch½n Tõ ®ã ta cã S=m2n2 th× m 2 n 2 − 4m + 4n = m 2 n 2 ⇔ 4n − 4m = 0 suy ra m=n C©u 4 Cho tam gÝac ABC víi AB>AC ,AB >BC.Trªn c¹nh AB cña tam gi¸c lÊy c¸c ®iÓm M vµ N sao cho BC=BM vµ AC=AN 1.Chøng minh ®iÓm N thuéc ®o¹n th¼ng BM 2.Qua M vµ N ta kÎ ®êng th¼ng MP song song víi BC vµ NQ song song víi CA ( P ∈ CA; Q ∈ CB ) .Chøng minh CP=CQ. 3.Cho gãc ACB=900 , gãc CAB=300 vµ AB= a . TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c MCN theo a. Híng dÉn
A M P H N C Q B 1. Ta cã BN=AB-AN=AB-AC
a+b a−b Nh vËy sau khi xo¸ 2 sè a; b thay bëi hai sè míi vµ th× tæng b×nh ph- 2 2 ¬ng hai sè míi kh«ng ®æi nªn tæng b×nh ph¬ng cña ba sè trªn b¶ng kh«ng ®æi 1 13 b»ng 2 + 4 + = 22 1 1 13 ; 2 ;1 + 2 lµ ( + 2 + 3 + 2 2 ) ≠ ( ®pcm) mµ tæng b×nh ph¬ng ba sè 8 2 22 KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYÊN PTC_1011QĐ_05 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ Năm học 2010- 2011 NỘI Môn thi: TOÁN TRƯỜNG ĐH NGOẠI NGỮ Câu 1 ( 2,0 điểm ) �x 2x �� x − 1 2� Cho biểu thức P = � � + x + 9 − x �� − 3 x − x � : . �� 3 x � �� 1) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P. 4 2) Tìm giá trị của x để P = − 3 Câu 2 ( 2,0 điểm ) 1) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x2 + 4x + 1 = y4. x 2 + xy + y 2 = 3 2) Giải hệ phương trình: . x 3 + 3(y − x) = 1 Câu 3 ( 2,0 điểm ) Cho phương trình ẩn x: (m-10)x2 + 2(m-10)x + 2 =0 1) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x1; x2. 2) Chứng minh rằng khi đó ta có: x1 + x 2 + x1 x 2 + x1 x 2 < −4 3 3 2 2 Câu 4 ( 3,0 điểm ) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB
Câu 5 ( 1,0 điểm ) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a+b+c+ab+bc+ca=6. Chứng minh a 3 b3 c3 ++ a 2 + b2 + c2 rằng: 3 bca ----------------------------------------------- Hết ------------------------------------------- Híng dÉn gi¶i ®Ò thi tuyÓn sinh líp 10 THPT chuyªn ngo¹i ng÷ n¨m 2010 C©u 1: (2®iÓm) Cho biÓu thøc  2x   x −1 2 x P= :  + − 3+ x 9− x   x −3 x x    1) T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó P cã nghÜa vµ rót gän P. 4 2) T×m gi¸ trÞ x ®Ó P = − 3 Híng dÉn 1) §KX§ x > 0; x ≠ 9 ; x ≠ 25  x (3 − x ) + 2 x   ( x − 1) − 2( x − 3)  P=    (3 + x )(3 − x )  :   x ( x − 3)    x (3 + x ) x ( x − 3) x P= = . (3 + x )(3 − x ) 5 − x x −5 2) −4 −4 x P= ⇔ = ⇔ 3x + 4 x − 20 = 0 ⇔ 3 x − 6 x + 10 x − 20 = 0 x −5 3 3 ⇔ ( x − 2)(3 x + 10) = 0 ⇔ x = 4 ∈ DK C©u 2 : ( 2 ®iÓm) 1) T×m c¸c sè nguyªn x, y tho¶ m·n ®¼ng thøc : x2 + 4x +1 =y4  x 2 + xy + y 2 = 3  2) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :  2  x + 3( y − x) = 1  Híng dÉn x2 + 4x +1 =y4 ⇔ (x+2)2-y4=3 ⇔ (x-y2+2)(x+y2+2)=3 1)  x − y 2  + 2 =1  x = 0    x + y +2=3  y = 1hoacy = −1 2  ⇔ ⇔  x = −4  x − y + 2 = −3 2    x + y 2  y = 1hoacy = −1  + 2 = −1   Ph¬ng tr×nh cã 4 nghiÖm (x;y) = ( 0;1) ;(0;-1) ; ( -4; 1) ; (-4;-1)
 x 2 + xy + y 2 = 3  x 2 + xy + y 2 = 3  x 2 + xy + y 2 = 3    ⇔ 3 ⇔ 3 3  x + 3( y − x) = 1  x + ( x 2 + xy + y 2 )( y − x) = 1  x + y 3 − x 3 = 1     x = 1 2)  y =1 y =1 y3 = 1 y =1  ⇔ ⇔ 2 ⇔ 2 ⇔  x = −2 ( x − 1)( x + 2) = 0 x + x − 2 = 0  x + xy + y 2 = 3    y = 1  HÖ cã 3 nghiÖm (x;y) = (1;1) (-1; -1) ;( -2;1) C©u 3: ( 2 ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh Èn x : (m-10)x2+2(m-10)x + 2 =0 1)T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1 , x2 . 2) Chøng minh r»ng khi ®ã x1 + x 2 + x12 x 2 + x1 x 2 < −4 3 3 2 Híng dÉn m ≠ 10 1) §Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt th×  / ∆ > 0 ∆/ = (m − 10) 2 − 2( m − 10 ) = (m − 10 − 1) 2 − 1 = (m − 11) 2 − 1 ∆/ > 0 ⇔ (m − 11) 2 − 1 > 0 ⇔ (m − 11) > 1; Hoac : (m − 11) < −1 m > 12 ⇔ m < 10 2) víi §K trªn theo ViÐt ta cã  x1 + x 2 = −2   2  x1. x 2 = m − 10  §Æt Q= x1 + x2 + x12 x2 + x1 x2 3 3 2 Q = x13 + x2 + x12 x2 + x1 x2 = ( x1 + x2 ) 3 − 3x1 x2 ( x1 + x2 ) + x1 x2 ( x1 + x2 ) 3 2 88 − 8m 8 Q = ( x1 + x2 ) 3 − 2 x1 x2 ( x1 + x2 ) = −8 + = m − 10 m − 10 88 − 8m 48 − 4m Q < −4 ⇔ +4 12 m − 10 m − 10 m ≠ 10 Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn  / ∆ > 0 C©u 4:(3 ®iÓm) Cho tam gi¸c nhän ABC ( AB
A N P Q I M B D O K C 1) ta cã ∠ AMO= ∠ ADO= ∠ ANO=900 nªn 5 ®iÓm A, M.D, O, N thuéc ®êng trßn T©m O/ ®êng kÝnh AO 2) Ta cã ∠ ADB= ∠ ADC=900 (1) mµ ∠ ADM= ∠ ADN (2) ( gãc néi tiÕp ch¾n 2 cung b»ng nhau) tõ (1);(2) ta cã §PCM 3)Qua I ta kÎ ®êng th¼ng //BC c¾t AB,AC t¹i P;Q ta cã tø gi¸c OMPI; OQNI néi tiÕp nªn ∠ POI= ∠ PMI; ∠ QOI= ∠ INA mµ ∠ PMI= ∠ INA (do tam gi¸c AMN c©n t¹i A) Nªn ∠ POI= ∠ QOI xÐt tam gi¸c POQ cã OI võa lµ ®êng cao võa lµ p©n gi¸c nªn IP=IQ. ¸p dông hÖ qu¶ Ta-lÐt cho 2 tam gi¸c ABK vµ ACK cã PQ//BC BK OA CK = = ⇒ BK = CK (dpcm) Ta cã IP OI IQ C©u 5: ( 1 ®iÓm) Cho a , b , c lµ c¸c sè d¬ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : a + b+c +ab +bc+ ca=6 a3 b3 c3 + + ≥ a2 + b2 + c2 ≥ 3 Chøng minh r»ng: b c a Híng dÉn ¸p dông BB§T x 2 + y 2 ≥ 2 xy dÊu “= “ x¶y ra khi x=y Ta cã a 2 + b 2 ≥ 2ab; c 2 + b 2 ≥ 2cb; c 2 + a 2 ≥ 2ca; c 2 + 1 ≥ 2c; a 2 + 1 ≥ 2a; b 2 + 1 ≥ 2b Nªn 3(a 2 + b 2 + c 2 ) + 3 ≥ 2(a + b + c + ab + bc + ca ) = 12 ⇔ a 2 + b 2 + c 2 ≥ 3 (*) DÊu “ =” x¶y ra khi a=b=c=1 MÆt kh¸c a3 3 3 2b 2c + ab ≥ 2a ; + bc ≥ 2b ; + ac ≥ 2c 2 ; b c a
 a 3 b3 c3  T cã   b + c + a  + (ab + bc + ca ) ≥ 2(a + b + c ) 2 2 2    KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYÊN PTC_1011QĐ_06 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2010- 2011 THÀNH PHỐ HÀ NỘI Môn thi: TOÁN Bài 1 (2,0 điểm) 1) Cho n là số nguyên, chứng minh A = n 3 + 11n chia hết cho 6 2) Tìm tất cả các số tự nhiên n để B = n 4 − 3n 2 + 1 là số nguyên tố Bài 2 (2,0 điểm) Cho phương trình : ( m 2 + 2m + 2) x 2 − ( m 2 − 2m + 2) x − 1 = 0 .Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho. 1) Tìm các giá trị của m để x12 + x2 = 2 x1 x2 ( 2 x1 x2 − 1) . 2 2) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức S = x1 + x2 Bài 3 (2.0 điểm) a 2010 + 2010 >2 1) Cho a là số bất kì,chứng minh rằng: a 2010 + 2009 2) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình y 2 − x ( x − 2)( x 2 − 2 x + 2) = 0 Bài 4 (3,0 điểm)