ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường
Đề tài : Hình học Fractal Trang 1
LỜI NÓI ĐẦU
Trong những năm gần đây, toán học và khoa học tự nhiên đã bước lên
một bậc thềm mới, sự mở rộng và sáng tạo trong khoa học trở thành một cuộc
thử nghiệm liên ngành. Cho đến nay nó đã đưa khoa học tiến những bước rất
dài. Hình học phân hình đã được đông đảo mọi người chú ý và thích thú nghiên
cứu. Với một người quan sát tình cờ màu sắc của các cấu trúc phân hình cơ sở
và vẽ đẹp của chúng tạo nên một sự lôi cuốn hình thức hơn nhiều lần so với
các đối tượng toán học đã từng được biết đến. Hình học phân hình đã cung cấp
cho các nhà khoa học một môi trường phong phú cho sự thám hiểm và mô hình
hoá tính phức tạp của tự nhiên. Những nguyên nhân của sự lôi cuốn do hình
học phân hình tạo ra là nó đã chỉnh sửa được khái niệm lỗi thời về thế giới thực
thông qua tập hợp các bức tranh mạnh mẽ và duy nhất của nó.
Những thành công to lớn trong các lĩnh vực của khoa học tự nhiên và kỹ
thuật dẫn đến sự ảo tưởng về một thế giới hoạt động như một cơ chế đồng hồ
vĩ đại, trong đó các quy luật của nó chỉ còn phải chờ đợi để giải mã từng bước
một. Một khi các quy luật đã được biết, người ta tin rằng sự tiến hoá hoặc phát
triển của các sự vật sẽ được dự đoán trước chính xác hơn nhiều, ít ra là về mặt
nguyên tắc. Những bước phát triển ngoạn mục đầy lôi cuốn trong lĩnh vực kỹ
thuật máy tính và sự hứa hẹn cho việc điều khiển thông tin nhiều hơn nữa của
nó đã làm gia tăng hy vọng của nhiều người về máy móc hiện có và cả những
máy móc ở tương lai. Nhưng ngày nay người ta đã biết chính xác dựa trên cốt
lỗi của khoa học hiện đại là khả năng xem xét tính chính xác các phát triển ở
tương lai như thế sẽ không bao giờ đạt được. Một kết luận có thể thu được từ
các lý thuyết mới còn rất non trẻ đó là : giữa sự xác định có tính nghiêm túc
với sự phát triển có tính ngẫu nhiên không những không có sự loại trừ lẫn nhau
mà chúng còn cùng tồn tại như một quy luật trong tự nhiên. Hình học phân
hình và lý thuyết hỗn độn xác định kết luận này. Khi xét đến sự phát triển của
một tiến trình trong một khoảng thời gian, chúng ta sử dụng các thuật ngữ của
lý thuyết hỗn độn, còn khi quan tâm nhiều hơn đến các dạng có cấu trúc mà
một tiến trình hỗn độn để lại trên đường đi của nó, chúng ta dùng các thuật ngữ
của hình học phân hình là bộ môn hình học cho phép “sắp xếp thứ tự” sự hỗn
độn. Trong ngữ cảnh nào đó hình học phân hình là ngôn ngữ đầu tiên để mô tả,
mô hình hoá và phân tích các dạng phức tạp đã tìm thấy trong tự nhiên. Nhưng
trong khi các phần tử của ngôn ngữ truyền thống (Hình học Euclide) là các
dạng hiển thị cơ bản như đoạn thẳng, đường tròn và hình cầu thì trong hình học
phân hình đó là các thuật toán chỉ có thể biến đổi thành các dạng và cấu trúc
nhờ máy tính.
Việc nghiên cứu ngôn ngữ hình học tự nhiên này mở ra nhiều hướng
mới cho khoa học cơ bản và ứng dụng. Trong đề tài này chỉ mới thực hiện
nghiên cứu một phần rất nhỏ về hình học phân hình và ứng dụng của nó. Nội
dung của đề tài gồm có ba chương được trình bày như sau:
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường
Đề tài : Hình học Fractal Trang 2
Chương I: Trình bày các kiến thức tổng quan về lịch sử hình học phân
hình, về các kết quả của cơ sở lý thuyết.
Chương II: Trình bày các kỹ thuật hình học phân hình thông qua sự
khảo sát các cấu trúc Fractal cơ sở và thuật toán chi tiết để tạo nên các cấu trúc
này.
Chương III: Kết quả cài đặt chương trình vẽ một số đường mặt fractal
và các hiệu ứng.
Nhân đây, em xin chân thành cảm ơn thầy T.S Huỳnh Quyết Thắng đã
tận tình hướng dẫn, chỉ dạy giúp đỡ em trong suốt thời gian thực hiện đề tài
nghiên cứu này.
Em cũng xin chân thành cảm ơn quý thầy cô khoa công nghệ thông tin
đã tận tình giảng dạy, trang bị cho chúng em những kiến thức cần thiết trong
suốt quá trình học tập, và em cũng xin gởi lòng biết ơn đến gia đình, cha, mẹ,
và bạn bè đã ủng hộ, giúp đỡ và động viên em trong những lúc khó khăn.
Đề tài được thực hiện trong một thời gian tương đối ngắn, nên dù đã hết
sức cố gắng hoàn thành đề tài nhưng chắc chắn sẽ không thể tránh khỏi những
thiếu sót nhất định. Rất mong nhận được sự thông cảm và đóng góp những ý
kiến vô cùng quý báu của các Thầy Cô, bạn bè, nhằm tạo tiền đề thuận lợi cho
việc phát triển đề tài trong tương lai.
Sinh viên thực hiện
Nguyễn Ngọc Hùng Cường.
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường
Đề tài : Hình học Fractal Trang 3
MỤC LỤC
Trang
LỜI NÓI ĐẦU. ..................................................................................................... 1
Chương I:SỰ RA ĐỜI VÀ CÁC KẾT QUẢ CỦA HÌNH HỌC PHÂN HÌNH. ..... 5
I.1 Sự ra đời của lý thuyết hình học phân hình .................................................. 5
Tính hỗn độn của các quá trình phát triển có quy luật trong tự nhiên ............. 5
Sự mở rộng khái niệm số chiều và độ đo trong lý thuyết hình học Eulide
cổ điển .................................................................................................................. 8
I.2 Sự phát triển c ủa l ý thuyết hình học phân hình ......................................... 9
I.3 Các ứng dụng tổng quát của hình học phân hình ....................................... 10
Ứng dụng trong vấn đề tạo ảnh trên máy tính .............................................. 11
Ứng dụng trong công nghệ nén ảnh ............................................................. 11
Ứng dụng trong khoa học cơ bản ................................................................. 13
I.4 Các kiến thức cơ sở của hình học phân hình .............................................. 13
I.4.1 Độ đo Fractal ....................................................................................... 13
I.4.2 Các hệ hàm lặp IFS ............................................................................. 17
Chương II : MỘT SỐ KỸ THUẬT CÀI ĐẶT HÌNH HỌC PHÂN HÌNH. .......... 21
II.1 Họ đường Von Kock ................................................................................ 21
Đường hoa tuyết Von Kock-Nowflake ........................................................ 21
Đường Von Kock-Gosper ........................................................................... 26
Đường Von Kock bậc hai 3-đoạn ................................................................ 28
Đường Von Kock bậc hai 8-đoạn ................................................................ 30
Đường Von Kock bậc hai 18-đoạn............................................................... 32
Đường Von Kock bậc hai 32-đoạn............................................................... 33
Đường Von Kock bậc hai 50-đoạn............................................................... 35
Generator phức tạp ...................................................................................... 38
II.2 Họ đường Peano ...................................................................................... 44
Đường Peano nguyên thuỷ ........................................................................... 44
Đường Peano cải tiến................................................................................... 45
Tam giác Cesaro .......................................................................................... 49
Tam giác Cesaro cải tiến.............................................................................. 51
Một dạng khác của đường Cesaro ................................................................ 54
Tam giác Polya ............................................................................................ 56
Đường Peano-Gosper ................................................................................. 58
Đường hoa tuyết Peano 7-đoạn ................................................................... 62
Đường hoa tuyết Peano 13-đoạn ................................................................. 66
II.3 Đường Sierpinski ..................................................................................... 70
II.4 Cây Fractal............................................................................................... 73
Các cây thực tế ........................................................................................... 73
Biểu diễn toán học của cây ......................................................................... 73
II.5 Phong cảnh Fractal ................................................................................... 77
II.6 Hệ thống hàm lặp (IFS) ............................................................................ 84
Các phép biến đổi Affine trong không gian R2 ............................................ 84
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường
Đề tài : Hình học Fractal Trang 4
IFS của các pháp biến đổi Affine trong không gian R2 ................................ 85
Giải thuật lặp ngẫu nhiên ............................................................................ 86
II.7 Tập Mandelbrot ........................................................................................ 88
Đặt vấn đề .................................................................................................. 98
Công thức toán học ...................................................................................... 88
Thuật toán thể hiện tập Mandelbrot ............................................................. 89
II.8 Tập Julia ................................................................................................... 94
Đặt vấn đề .................................................................................................. 94
Công thức toán học ..................................................................................... 94
Thuật toán thể hiện tập Julia ........................................................................ 95
II.9 Họ các đường cong Phoenix...................................................................... 97
Chương III : GIỚI THIỆU VỀ NGÔN NGỮ CÀI ĐẶT VÀ KẾT QUẢ
CHƯƠNG TRÌNH. ........................................................................................... 100
III.1 Giới thiệu về ngôn ngữ cài đặt ............................................................... 100
III.2 Kết quả chương trình ............................................................................. 111
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................. 116
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường
Đề tài : Hình học Fractal Trang 5
CHƯƠNG I: SỰ RA ĐỜI VÀ CÁC KẾT QUẢ CỦA HÌNH HỌC
PHÂN HÌNH.
I.1 SỰ RA ĐỜI CỦA LÝ THUYẾT HÌNH HỌC PHÂN HÌNH:
Sự ra đời của lý thuyết hình học phân hình là kết quả của nhiều thập kỷ
nổ lực giải quyết các vấn đề nan giải trong nhiều ngành khoa học chính xác,
đặc biệt là vật lý và toán học. Một cách cụ thể, lý thuyết hình học phân hình
được xây dựng dựa trên 2 vấn đề lớn được quan tâm ở những thập niên đầu thế
kỷ 20. Các vấn đề đó bao gồm:
Tính hỗn độn của các quá trình phát triển có quy lực trong tự
nhiên.
Sự mở rộng khái niệm số chiều và độ đo trong lý thuyết hình
học Euclide cổ điển.
□ TÍNH HỖN ĐỘN CỦA CÁC QUÁ TRÌNH PHÁT TRIỂN CÓ QUY
LUẬT TRONG TỰ NHIÊN:
Các công thức lặp có dạng:
Xn+1=f(Xn)
thường được sử dụng trong các ngành khoa học chính xác để mô tả các quá
trình lặp đi lặp lại có tính xác định. Các quá trình được xác định bởi công thức
trên, trong đó f thể hiện mối liên hệ phi tuyến giữa hai trạng thái nối tiếp nhau
Xn và Xn+1, được quan tâm đặc biệt. Các khảo sát trong những thập niên gần
đây đã phát hiện ra các cư xử kỳ dị của các tiến trình lặp như vậy.
Khảo sát chi tiết đầu tiên được nhà khí tượng học Edward N. Lorenz
tiến hành vào năm 1961 khi nghiên cứu hệ toán học mô phỏng dự báo thời tiết.
Về mặt lý thuyết, hệ này cho ra các kết quả dự đoán chính xác về thời tiết trong
một khoảng thời gian dài. Tuy nhiên, theo Lorenz quan sát, khi bắt đầu tính
toán lại dựa vào dữ liệu cho bởi hệ tại một thời điểm tiếp sau đó không giống
với các kết quả dự đoán ban đầu. Hơn nữa sai số tính toán sẽ tăng lên nhanh
chóng theo thời gian. Điều này dẫn đến kết luận là nếu tiến trình dự đoán lại từ
một thời điểm nào đó trong tiến trình dự báo, khoảng thời gian để các kết quả
dự báo tiếp theo vẫn còn chính xác sẽ bị thu hẹp lại tức là không thể dự báo
chính xác về thời tiết trong một khoảng thời gian khá lớn. Vấn đề được Lorenz
tìm thấy ở đây ngày nay được gọi là sự hiện diện của tính chất hỗn độn trong
các tiến trình lặp xác định.
Tiếp theo sau phát hiện của Lorenz, vào năm 1976 Robert May trong
bài viết với tựa đề “Các mô hình toán học đơn giản với các hệ động lực phức
tạp” đã đề cập đến một vấn đề tương tự. Đó là sự hỗn độn của quá trình phát
triển dân số trong tự nhiên, vốn được xem là đã được xác định rất rõ ràng và
chi tiết nhờ mô hình dân số Verhulst xây dựng dưới đây.
Nếu ký hiệu: