Giáo án Đại số lớp 11: Chuyên đề - Cấp số nhân

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:37

Thêm vào BST

Báo xấu

35
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo án "Đại số lớp 11: Chuyên đề - Cấp số nhân" được biên soạn dành cho các bạn học sinh lớp 11 tham khảo để nắm vững khái niệm cấp số nhân, trình bày được tính chất 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, Nắm được công thức tổng quát, công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân. Mời quý thầy cô và các em cùng tham khảo giáo án tại đây.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo án Đại số lớp 11: Chuyên đề - Cấp số nhân

CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG CẤP SỐ NHÂN Mục tiêu  Kiến thức + Nắm vững khái niệm cấp số nhân + Nắm được tính chất 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân + Nắm được công thức tổng quát, công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân  Kĩ năng + Nhận biết được một cấp số nhân dựa vào định nghĩa + Tìm được yếu tố còn lại khi biết 3 trong 5 yếu tố: số hạng đầu, số hạng thứ k, tổng n số hạng đầu tiên, công bội, số số hạng của cấp số nhân + Áp dụng tính chất cấp số nhân vào các bài toán giải phương trình, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức + ứng dụng vào các bài toán thực tế Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa Cấp số nhân là một dãy sô (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q Số q được gọi là công bội của cấp số nhân Nếu  un  là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi un 1  un .q với n  * Đặc biệt:  Khi q  0 , cấp số nhân có dạng u1 , 0, 0,..., 0,...  Khi q  1 , cấp số nhân có dạng u1 , u1 , u1 ,..., u1 ,...  Khi u1  0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0, 0, 0,..., 0,... Số hạng tổng quát Định lí 1. Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức un  u1.q n 1 với n  2 Tính chất Định lí 2. Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là uk2  uk 1.uk 1 với k  2 Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân Định lí 3. Cho cấp số nhân  un  với công bội q  1 u1 1  q n  Đặt S n  u1  u2  ...  un . Khi đó S n  1 q Chú ý: Nếu q  1 thì cấp số nhân là u1 , u1 , u1 ,..., u1 ,... khi đó S n  nu1 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA TOANMATH.com Trang 2
Số hạng tổng quát Số hạng thứ k uk2  uk 1.uk 1 un  u1.q n 1 CẤP SỐ NHÂN  n  2 un  un 1.q  k  2 Tổng n số hạng đầu tiên S n  nu1 khi q  1 u1 1  q n  Sn  khi q  1 1 q II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Chứng minh một dãy  un  là cấp số nhân Phương pháp giải Chứng minh un 1  un .q, n  1 trong đó q là một số không đổi un 1 Nếu un  0, n  * thì ta lập tỉ số k un * k là hằng số thì  un  là cấp số nhân có công bội q  k * k phụ thuộc vào n thì  un  không là cấp số nhân Để chứng minh dãy  un  không phải là cấp số nhân, ta chỉ cần chỉ ra ba số hạng liên tiếp không u3 u2 tạo thành cấp số nhân, chẳng hạn  u2 u1 Để chứng minh a, b, c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân, ta chứng minh ac  b 2 hoặc b  ac Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Xét trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? Tìm công bội của cấp số nhân đó a) un   4  b) un   7  .53n 1 2 n 1 n Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 3
 4   4 2  16 là số không đổi nên u là cấp số nhân với công bội q = 16 2 n 3 u a) Ta có n 1     n  4  2 n 1 un  7  .5 3 n 1 1 n 1 u b) Ta có n 1   7.53  875 không đổi nên  un  là cấp số nhân với công bội  7  .53n1 n un q  875 Ví dụ 2. Xét trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? Tìm công bội của cấp số nhân đó  u1  3   u 2 a)  9 b)  1 un 1  u un 1  un 2  n Hướng dẫn giải 9 un 1 u u Ta có  n  n 1  un 1  un 1 , n  2 un 9 un un 1  u  u3  u5  ...  u2 n 1... 1 Do đó có  1 u2  u4  u6  ...  u2 n  ...  2 9 Theo đề bài ta có u1  3  u2  3 (3) u1 Từ (1), (2), (3) suy ra u1  u2  u3  u4  u5  ...  u2 n  u2 n 1... Do đó  un  là cấp số nhân với công bội q = 1 b) Ta có u2  u12  4, u3  u22  16, u4  u32  256 u2 4 u 256 u u suy ra   2 và 4   16  2  4 u1 2 u3 16 u1 u3 Do đó  un  không là cấp số nhân Ví dụ 3. Cho  un  là cấp số nhân có công bội q  0; u1  0 . Chứng minh rằng dãy số  vn  với vn  un .u2 n cũng là một cấp số nhân Hướng dẫn giải vn un .u2 n u .q n 1.u .q 2 n 1 Ta có   1 n  2 1 2 n 3  q 3 nên  vn  là cấp số nhân với công bội là q 3 vn 1 un 1.u2 n 1 u1.q .u1.q  u1  2 Ví dụ 4. Cho dãy số  un  được xác định bởi  , n  1 . Chứng minh rằng dãy số  vn  xác un 1  4un  9 định bởi vn  un  3, n  1 là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó TOANMATH.com Trang 4
Hướng dẫn giải Ta có vn  un  3 (1)  vn 1  un 1  3 (2) Theo đề ra un 1  4un  9  un 1  3  4  un  3 (3) vn 1 Thay (1) và (2) vào (3) ta được vn 1  4vn , n  1   4 (không đổi) vn Suy ra  vn  là cấp số nhân với công bội q = 4 và số hạng đầu v1  u1  3  5 Bài tập tự luyện dạng 1 Câu 1: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?  1 u1  u  2 A.  2 . B. un 1  nun . C.  1 . D. un 1  un 1  3 . u  u 2 un 1  5un  n 1 n Câu 2: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? 1 1 1 1 A. un  1 . B. un  n2 . C. un  n  . D. un  n 2  . 3n 3 3 3 Câu 3: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? u1  3 u  1 A.  . B. un 1  un . C.  1 . D. un 1  2un  3 .  un 1  6un 3 u n 1 u n Câu 4: Dãy số nào sau đây là cấp số nhân? 1 A. un  n  2 . B. un  n 2  2 . C. un  32 n . D. un  n 2  1 . 3 Câu 5: Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số nhân? 1 1 1 1 A. un   4. B. un  n2 . C. un  2n  . D. un  n 2  . 3n 5 3 3 Câu 6: Dãy số nào trong các dãy số sau vừa là một cấp số cộng, vừa là một cấp số nhân? A. 1; 1; 1; 1; 1;... B. 1;0;0;0;0;... C. 3; 2;1;0; 1;... D. 1;1;1;1;1;... Câu 7: Cho cấp số nhân có u1  0 và công bội q  0 . Trong các nhận xét sau, nhận xét nào đúng? A. un  0 với mọi n. B. un  0 với mọi n lẻ và un  0 với mọi n chẵn. C. un  0 với mọi n. D. un  0 với mọi n chẵn và un  0 với mọi n lẻ. 1 1 1 1 Câu 8: Hỏi , , , là bốn số hạng đầu của dãy số nào sau đây? 2 4 8 32 1 1 1 1 A. un  . B. un  . C. un  . D. un  . 2n 2n  1 2n n2 Câu 9: Dãy số nào dưới đây không là cấp số nhân? 1 1 1 1 1 1 A. 1;  ;  ;  . B.  ;  ;  ;1 . 5 25 125 8 4 2 4 1 1 1 C. 2; 2 4 2; 4 4 2;8 4 2 . D. 1; ; ; . 3 9 27 TOANMATH.com Trang 5
Câu 10: Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số nhân? u1  2  2n  3 n 1 A. un  2  1 . n B.  1 . C. un  . D. un  . un 1  3 un 5 n 1 Câu 11: Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số nhân?  1  1 u1  u1  u  1; u2  2 A.  2 . B.  2 . C. un  n 2  1 . D.  1 . u  u 2 u   2.u un 1  un 1.un  n 1 n  n 1 n Câu 12: Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số nhân? 1 1 1 A. un  . B. un   n2 . C. un   2n . D. un  n3  1 . 3 1n 3 3 Câu 13: Cho dãy số  un  là một cấp số nhân với un  0, n   . Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân? 1 1 1 A. u1 ; u3 ; u5 ;... B. 3u1 ;3u2 ;3u3 ;... C. ; ; ;... D. u1  1; u2  1; u3  1;... u1 u2 u3 Câu 14: Cho dãy số  un  được xác định bởi u1  2; un  2un 1  3n  1 . Công thức số hạng tổng quát của dãy số đã cho là biểu thức có dạng a.2n  bn  c , với a, b, c là các số nguyên với n  2; n   . Khi đó tổng a + b + c có giá trị bằng A. – 4 . B. 4. C. – 3 . D. 3. Câu 15: Cho dãy số  un  có các số hạng đầu là 5, 10, 15, 20, 25,… Số hạng tổng quát của dãy là A. un  5(n  1) . B. un  5n . C. un  5  n . D. un  5n  1 . ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 1 1-C 2-B 3-C 4-C 5-B 6-D 7-B 8-C 9-B 10-B 11-B 12-B 13-D 14-C 15-B Câu 1:  u1  2 u Ta có   n 1  5   un  là cấp số nhân có số hạng đầu u1  2 và công bội q  5 un 1  5un un Câu 2: 1 1 Xét un  n2  un 1  3 3n 1 un 1 1 1 1 Ta có  n 1 : n  2  ,  * un 3 3 3 1 Vậy  un  là cấp số nhân có công bội q  3 Câu 3: TOANMATH.com Trang 6
un 1 Xét  6 nên  un  là cấp số nhân có công bội q  6 un Câu 4: un 32 n Vì  2 n  2  32  9 nên un  32 n là cấp số nhân có công bội q  9 un 1 3 Câu 5: 1 un n2 1 1 1 Vì  5  nên un  n  2 là cấp số nhân có công bội q  un 1 1 5 5 5 5n  3 Câu 6: Dãy số 1; 1; 1; 1; 1;… vừa là cấp số cộng công sai là 0, số hạng đầu là 1 vừa là cấp số nhân số hạng đầu là 1, công bội là 1 Câu 7: Vì u1  0; q  0  u2  u1.q  0; u3  u1.q 2  0 Hay u2 n  u1.q 2 n 1  0; u2 n 1  u1.q 2 n  0 Câu 8: 1 1 Xét cấp số nhân  un  với u1  , q  2 2 n 1 n 1 1 1 1 Ta có un  u1.q  .   2 2 2n Câu 9: 2 1 1 1  1 1 Dãy  ;  ;  ;1 có      .1 nên không là cấp số nhân 8 4 2  2 4 Câu 10:  u1  2  un 1 1 1 Dãy số  1   là cấp số nhân với u1  2, q  un 1  3 un un 3 3 Câu 11:  1  u1  u Dãy số  2 có n 1   2 nên là một cấp số nhân với công bội là q   2 u   2.u un  n 1 n Câu 12: 1 un  1   1  1 Ta có un   n2    :  3 un 1  3n  2   3n 3  3 TOANMATH.com Trang 7
1 1 Suy ra un   n2 là một cấp số nhân với công bội là q  3 3 Câu 13: Dãy u1 ; u3 ; u5 ;... là cấp số nhân công bội q 2 Dãy 3u1 ;3u2 ;3u3 ;... là cấp số nhân công bội 3q 1 1 1 1 Dãy ; ; ;... là cấp số nhân công bội u1 u2 u3 q Dãy u1  1; u2  1; u3  1;... không phải là cấp số nhân Câu 14: Ta có un  2un 1  3n  1  un  3n  5  2 un 1  3  n  1  5 với n  2; n   Đặt vn  un  3n  5 , ta có vn  2vn 1 với n  2; n   Như vậy  vn  là cấp số nhân với công bội q = 2 và v1  10 Do đó vn  10.2n 1  5.2n Suy ra un  3n  5  5.2n hay un  5.2n  3n  5 với n  2; n   Vậy a  5, b  3, c  5 nên a  b  c  5   3   5   3 Câu 15: Ta có u1  5; u2  10  5.2; u3  15  5.3;...  un  5.n Dạng 2: Xác định số hạng đầu, số hạng thứ k, công bội, tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân Phương pháp giải Dựa vào giả thuyết, ta lập một hệ phương trình chứa công bội q và số hạng đầu u1 . Giải hệ phương trình này tìm được q và u1 Nếu cấp số nhân  un  có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức un  u1.q n 1  n  2  Tổng của n số hạng đầu tiên  S n  nu1  khi q  1  u1 1  q n  khi q  1  Sn  1  q  Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, biết  u  u  51 u 6 a)  1 5 b)  2 u2  u6  102  S3  43 Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 8
 u1  u5  51  u1  u1.q 4  51  u1 1  q 4   51 * Sử dụng công thức  a) Ta có    u1q 1  q   102 ** u2  u6  102 uk  u1.q k 1 u1q  u1q  102 5 4 Đưa hệ phương trình u1q 1  q 4  102 Chia từng vế của (**) cho (*) ta được  về hệ phương trình u1 1  q 4  51 hai ẩn q và u1 51 51  q  2  u1   3 1  q 17 4 Vậy u1  3 và q = 2  u1q  6 Sử dụng công thức  u2  6   u1q  6  * b)    1  q3   S3  43 u1  43 u1 1  q  q   43 ** 2 uk  u1.q k 1  1 q Và u1q 6 chia từng vế của (*) cho (**) ta được  u1 1  q  q  43 2 S n  u1. 1  qn ,q 1 1 q q  6 Đưa hệ phương trình  43q  6 1  q  q   6q  37q  6  0   2 2 q  1 về hệ phương trình  6 hai ẩn q và u1  Với q  6  u1  1 1  Với q   u1  36 6  1 q  6 q Vậy  hoặc  6 u1  1 u1  36 Ví dụ 2. Cho cấp số nhân  un  có công bội nguyên và các số hạng thỏa Sử dụng công thức uk  u1.q k 1  u2  u4  10 mãn  u1  u3  u5  21 Đưa hệ phương trình về hệ phương trình a) Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân b) Tổng của bao nhiêu số hạng đầu tiện bằng 1365? hai ẩn q và u1 c) Số 4096 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân? a) Ta có  u1.q  u1.q 3  10  u1  q  q 3   51 1  q 2  q 4 21            1    2 4 3 u  1 1u q u1 .q 21 u 1  q 2  q 4  21 q q 10  1   1  10q 4  21q 3  10q 2  21q  10  0  10  q 2  2   21 q    10  0  q   q 1 1 Đặt q   t  t 2  2  q 2  2 . Ta có phương trình q q TOANMATH.com Trang 9
 5 t  2 10  t  2   21t  10  0  10t  21t  10  0   2 2 t2  5  q  2 5 1 5  Với t    q     2q 2  5q  2  0   2 q 2 q   1  2 Mà q nguyên nên q  2 2 1 2  Với t   q    5q 2  2q  5  0 (vô nghiệm) 5 q 5 10 Ta có q  2  u1   1 q  q3 Vậy q  2; u1  1 1  qn b) Ta có S n  1365  u1.  1365 1 q 1   2  n  1 .  1365  2n  4096  n  12 1 2 Vậy tổng của 12 số hạng đầu tiên bằng 1365 c) Ta có uk  4096  u1.q k 1  4096   1 2  k 1  4096  2k 1  4096  2k 1  212  k  1  12  k  13 Vậy số 4096 là số hạng thứ 13 của cấp số nhân Ví dụ 3. Tính các tổng sau 1 1 1 1 a) Sn   2  3  ...  n 2 2 2 2 2 2 2  1  1  1 b) S n   3     9    ...   3n  n   3  9  3  Hướng dẫn giải 1 1 1 1 1 a) Ta có dãy số ; 2 ; 3 ;...; n là một cấp số nhân với n số hạng, số hạng đầu u1  và công bội 2 2 2 2 2 1 2 1 q 2  1 2 2 n 1 1   1 q n 1 2 1 Do đó S n  u1.  .    1 n 1 q 2 1 1 2 2 TOANMATH.com Trang 10
2 2 2  1  1  1 b) S n   3     9    ...   3n  n   3  9  3  1 1 1  32  2  2  34  2  4  ...  32 n  2  2 n 3 3 3 1 1 1    32  34  ...  32 n    2  4  ...  2 n   2  2  2  ... 2 3 3 3  n soá 2 34 2 4 Dãy số 3 ;3 ;...;3 2n là cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu u1  3 và công bội q  2  9 2 3 1  qn 1  9n 9 n Do đó S1  u1.  9.   9  1 1 q 1 9 8 1 1 1 1 1 Dãy số 2  4  ...  2 n là cấp số nhân với n số hạng, số hạng đầu u1  2 và công bội q  3 3 3 3 9 1 1 n 1  qn 1 9 1 1  9n  1 Do đó S 2  u1.  .  1    1  q 9 1  1 8  9n  8.9n 9 9 n Vậy S n   9  1  9n  1  2n   9n  1 9n 1  1  2n 8 8.9n 8.9n Ví dụ 4. Tính tổng sau a) S n  1  11  111  ...  111...1  b) S n  6  66  666  ...  666...6  n soá 1 n soá 6 Hướng dẫn giải 1  a) Ta có S n  1  11  111  ...  111...1   9  9  99  999  ...  999...9   n soá 1  n soá 9  1  10  1  102  1  103  1   ...  10n  1 9  1    10  102  103  ...  10n    1  1  ...  1  9   n soá 1   1 10 1  10   10n 1  9n  10 n    n  9  1  10  81  10n 1  9  n  1  1 Vậy S n  81 6  b) S n  6  66  666  ...  666...6   9  9  99  999  ...  999...9   n soá 6  n soá 9  2  10  1  100  1  1000  1   ...  10n  1 3 TOANMATH.com Trang 11
2 2  10n  1  20 2n  10  102  103  ...  10n  n   10.  n   10n  1  3 3  10  1  27 3 20 2n Vậy S n  27 10n  1  3 Bài tập tự luyện dạng 2 1 Câu 1: Cho các cấp số nhân với u1  ; u7  32 .Công bội của cấp số nhân là 2 1 A.  . B. 4 . C. 2 . D. 1 . 2 3 Câu 2: Cấp số nhân  un  có un  .2n . Số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân là 5 6 6 6 6 A. u1  , q  3 . B. u1  , q  2 . C. u1  , q  2 . D. u1  , q  5 . 5 5 5 5 1 1 Câu 3: Cho cấp số nhân có u1  1; q  . Số 103 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân? 10 10 A. Số hạng thứ 103. B. Số hạng thứ 104. C. Số hạng thứ 105. D. Số hạng thứ 106. Câu 4. Cho các khẳng định sau 1. Tồn tại một cấp số nhân  un  có u5  0 và u75  0 2. Nếu các số thực a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng có công sai khác 0 thì các số a 2 , b 2 , c 2 theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng 3. Nếu các số thực a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân thì các số a 2 , b 2 , c 2 theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số nhân Số khẳng địn đúng là A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 Câu 5: Cho cấp số nhân có u1  1, u6  0, 00001 . Khi đó công bội q và số hạng tổng quát un là  1 n 1 1 1 1 1 1 A. q  , un  n 1 B. q  , un  10n 1 C. q  , un  n 1 D. q  , un  n 1 10 10 10 10 10 10 10 Câu 6: Cho cấp số nhân 2; 4; 8;... Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân là 2 1   2   2 1   2   2 1   2   2 1   2   n n 2n 2n A.   B.   C.   D.   1   2  1 2 1   2  1 2 Câu 7: Cho cấp số nhân biết u1  1; q  2 . Số hạng thứ 11 là A. 20 B. 1024 C. 22 D. 2008 Câu 8: Nếu cấp số nhân  un  có u1  3 và công bội q  3 thì giá trị u7 là A. 36 B. 37 C. 21 D. 38 3 Câu 9: Cấp số nhân  un  có un  .2n . Số hạng đầu tiên và công bội q là 5 TOANMATH.com Trang 12
6 6 6 6 A. u1  , q  3 B. u1  , q  2 C. u1  , q  2 D. u1  , q  5 5 5 5 5 1 Câu 10: Cho cấp số nhân có u2  , u5  16 . Công bội và số hạng đầu tiên của cấp số nhân là 4 1 1 1 1 1 1 A. q  ; u1  , B. q   ; u1   , C. q  4; u1  , D. q  4; u1   , 2 2 2 2 16 16 Câu 11: Cho cấp số nhân với u1  3, q  2 . Số 192 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân? A. u7 B. u6 C. u8 D. Không thuộc cấp số trên Câu 12: Tổng 10 số hạng đầu của một cấp số nhân có u1  4, u10  2048 là A. S10  8184 B. S10  4092 C. S10  12276 D. S10  6138 Câu 13: Cho cấp số nhân với u1  4, q  4 . Ba số tiếp theo của cấp số nhân là A. 16;64; 256 B. 16; 64; 256 C. 16;64; 256 D. 16;64; 256 1 n 1  Câu 14: Cho dãy số xác định bởi u1  1, un 1   2un  2  ; n   . Khi đó u2018 bằng * 3 n  3n  2  22016 1 22018 1 22017 1 22017 1 A. u2018  2017  B. u 2018  2017  C. u2018  2018  D. u2018  2018  3 2019 3 2019 3 2019 3 2019 Câu 15: Cho S  3  3.2  3.22  ...  3.2n . Khẳng định nào sau đây đúng với mọi n nguyên dương? A. S  3  2n  1 B. S  3  2n 1  1 C. S  3  2n 1  1 D. S  3  2n 1  1 Câu 16: Cho một cấp số nhân biết u1  3, q  2 . Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân là A. 3. 1  29  B. 3. 1  210  C. 3.  29  1 D. 3.  210  1 Câu 17: Cho cấp số nhân  un  , biết u2017  1, u2020  1000 . Tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân bằng 1010  1 910  1 1  1010 1010  1 A. B. C. D. 9.102016 8.92016 9.102016 9.102019 Câu 18: Tổng 1  2  22  23  ...  2100 bằng A. 1  2100 B. 2100  1 C. 1  2101 D. 2101  1 Câu 19: Cấp số nhân 5; 10; …; 1280 có bao nhiêu số hạng? A. 9 B. 7 C. 8 D. 10 Câu 20: Số hạng thứ 5 của cấp số nhân 2; 6; … là A. 48 B. 486 C. 81 D. 162 Câu 21: Cho cấp số nhân có u1  1, q  3 . Số hạng thứ 9 của cấp số nhân là A. 6561 B. 19683 C. 2187 D. 729 2n  1  Câu 22: Dãy số có số hạng tổng quát un    là một cấp số nhân có công bội q bằng  3 1 1 1 A. B. 3 C. D. 3 9 3 TOANMATH.com Trang 13
n 1 1 1 Câu 23: Tổng   ...     ... bằng 4 16 4 1 2 1 2 A. B. C. D. 2 9 3 3 n 1  1 Câu 24: Cho cấp số nhân lùi vô hạn  un  với un     . Tổng của cấp số nhân đó là  3 1 1 1 1 A. B.  C.  D. 6 4 12 12 1 1 1 Câu 25: Tổng S  1     ... có giá trị 2 4 8 A. 1 B. 2 C. 4 D.  u  u  u  31 Câu 26: Cho cấp số nhân  un  biết  1 2 3 . Giá trị u1 và q là  u1  u3  26 1 1 A. u1  2; q  5 hoặc u1  25; q  B. u1  5; q  1 hoặc u1  25; q  5 5 1 1 C. u1  25; q  5 hoặc u1  1; q  D. u1  1; q  5 hoặc u1  25; q  5 5 6 Câu 27: Cấp số nhân  un  có un  .2n . Số hạng đầu tiên và công bội q là 5 6 6 12 12 A. u1  , q  2 B. u1  , q  2 C. u1  ,q  2 D. u1  ,q  5 5 5 5 5 Câu 28: Cho cấp số nhân  un  có u2  2 và u5  54 . Khi đó tổng 1000 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó bằng 1  31000 31000  1 31000  1 31000  1 A. B. C. D. 4 2 6 3 u  u  36 Câu 29: Số hạng đầu và công bội của cấp số nhân thỏa mãn  5 2 là u6  u4  48 A. u1  4, q  4 B. u1  2, q  4 C. u1  2, q  2 D. u1  4, q  2 Câu 30: Tổng S  1  2  22  23  24 là một số chia hết cho A. 21 B. 41 C. 51 D. 31 Câu 31: Cho cấp số nhân  un  có u3  24 và u4  48 . Tổng năm số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó bằng A. 168 B. 186 C. – 186 D. 196 1 Câu 32: Cho cấp số nhân với u1  3, q   . Số 222 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân? 2 A. Số hạng thứ 11 B. Số hạng thứ 9 C. Số hạng thứ 12 D. Không thuộc cấp số nhân  u  u  54 Câu 33: Cho cấp số nhân có  4 2 . Số hạng đầu tiên u1 và công bội q của cấp số nhân là u5  u3  108 TOANMATH.com Trang 14
A. u1  9 và q  2 B. u1  9 và q  2 C. u1  9 và q  2 D. u1  9 và q  2  u  u  54 Câu 34: Cho cấp số nhân có  4 2 . Giá trị u1 và q của cấp số nhân là u5  u3  108 A. u1  9 và q  2 B. u1  9 và q  2 C. u1  9 và q  2 D. u1  9 và q  2 Câu 35: Cho cấp số nhân có u1  3; q  2 . Số 192 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân? A. Số hạng thứ 5 B. Số hạng thứ 6 C. Số hạng thứ 7 D. Số hạng thứ 8 u u  3 Câu 36: Cho cấp số nhân  un  có công bội q  1 và  21 32 . Tổng 10 số hạng đầu tien của cấp số u1  u3  5 nhân là  31 2  2  A. S10  16  B. S10  31 1  2  C. S10  31  2 1 D. S10  31  2 1  3n  1 Câu 37: Cho cấp số nhân  un  có tổng n số hạng đầu tiên là S n  . Số hạng thứ 5 của cấp số nhân là 3n 1 2 1 5 A. u5  B. u5  C. u5  35 D. u5  34 35 35 Câu 38: Cho cấp số nhân có u1  1; u6  0.00001 . Khi đó công bội q và số hạng tổng quát là  1 n 1 1 1 1 1 1 A. q  , un  n 1 B. q   , un  10n 1 C. q   , un  n 1 D. q   , un  n 1 10 10 10 10 10 10 10 1 n 1 u u u Câu 39: Cho dãy số  un  xác định bởi u1  và un 1  .un . Giá trị tổng S  u1  2  3  ...  10 là 3 3n 2 3 10 3280 29524 25942 1 A. B. C. D. 6561 59049 59049 243 u4 Câu 40: Cho cấp số nhân  un  có un  24; 16384 . Số hạn thứ 17 của cấp số nhân là u11 3 3 3 3 A. B. C. D. 67108864 268435456 536870912 214783648 ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 2 1-C 2-C 3-B 4-A 5-D 6-A 7-B 8-B 9-C 10-C 11-A 12-B 13-A 14-A 15-C 16-D 17-A 18-D 19-A 20-D 21-A 22-D 23-C 24-D 25-B 26-D 27-C 28-D 29-C 30-D 31-B 32-D 33-A 34-A 35-C 36-C 37-A 38-D 39-B 40-C Câu 1: 1 Ta có u7  u1q 6  32   q 6  q  2 2 TOANMATH.com Trang 15
Câu 2: 3 n .2 6 un Ta có n  1  u1  và  5 2 5 un 1 3 .2n 1 5 Câu 3: 1 Giả sử  un 10103 n 1 103 n 1 1  1  1  1 ta có un  u1.q n 1  103  1.           n  1  103  n  104 10  10   10   10  Câu 4: 1. Sai Ta có u5  u1.q 4 , u75  u1q 74 . Do đó u5 và u75 cùng dấu 2. Sai Vì a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng có công sai d khác 0 nên b = a + d, c = a + 2d Suy ra b 2  a 2  2ad  d 2 , c 2  a 2  4ad  4d 2  a 2  c 2  2b 2 Vậy a 2 , b 2 , c 2 theo thứ tự không lập thành cấp số cộng 3. Đúng Vì a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân có công bội d khác 0 nên b  a.d , c  a.d 2 Suy ra b 2  a 2 d 2 , c 2  a 2 d 4  a 2 c 2   b 2  2 Vậy a 2 , b 2 , c 2 theo thứ tự lập thành cấp số nhân Câu 5: 0, 00001 1 1 Ta có u1  1, u6  0, 00001  q 5   5 q 1 10 10  1 n 1 n  1  Vậy số hạng tổng quát un  1.     10  10n 1 Câu 6: Ta có u1  2 và q  2  2  1   2     2 1   2  n n Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân là Sn  1   2  3  Câu 7: Ta có u11  u1.q10  1.210  1024 Câu 8: Ta có u7  u1.q 6  3.36  37 TOANMATH.com Trang 16
Câu 9: 3 6 3 6 3 6 u u Ta có u1  .21  , u2  .22  .2, u3  .23  .22  2  2, 3  2 5 5 5 5 5 5 u1 u2 6 Vậy cấp số nhân cần tìm có u1  , q  2 5 Câu 10: 1 u5 u2 4 1 Ta có q   64  q  4  u1    3 u2 q 4 16 Câu 11: Số hạng tổng quát của cấp số nhân là un  3.  2  n 1 Ta cần tìm n sao cho un  192  3.  2  n 1  192  n  7 Câu 12: q10  1 Ta có u10  u1.q 9  q  2 . Do đó S10  u1.  4092 q 1 Câu 13: Ta có u2  u1.q  16; u3  u2 .q  64; u4  u3 .q  256 . Câu 14: 1 n 1  1  3 2  1 2 1  Ta có un 1   2un  2    2un     un 1    un   (1) 3 n  3n  2  3  n  2 n 1  n2 3 n 1 1 2 Đặt vn  un  , từ (1) ta suy ra vn 1  vn n 1 3 1 1 1 Do đó  vn  là cấp số nhân với v1  u1   , công bội q  2 2 2 n 1 n 1 n 1 1 2 1 1 2 1 2 1 Suy ra vn  v1q n 1  .    un   .   un  .    2 3 n 1 2  3  2 3 n 1 2017 1 2 1 22016 1 Vậy u2018  .    2017  2 3 2019 3 2019 Câu 15: u  1 1  2n 1 Ta có 1, 2, 22 ,..., 2n là cấp số nhân với  1 nên 1  2  22  ...  2n   2n 1  1 q  2 1 2 S  3 1  2  22  ...  2n   3  2n 1  1 Câu 16: 1  q10 1  210 Ta có S10  u1.  3.  3.  210  1 1 q 1 2 TOANMATH.com Trang 17
Câu 17: u2017 1 Ta có u2020  u2017 .q 3  q 3  1000  q  10  u1   2016 u2016 10 q10  1 1 1010  1 1010  1  S10  u1.  2016 .  q  1 10 9 9.102016 Câu 18: Xét cấp số nhân  un  với u1  2, q  2 2. 1  2100  Ta có 1  2  2  2  ...  2 2 3 100  1  S100  1   2101  1 1 2 Câu 19: Xét cấp số nhân  un  với u1  5, q  2 Ta có un  u1.q n 1  1280  5.2n 1  2n 1  28  n  9 Vậy cấp số nhân đã cho có 9 số hạng Câu 20: Xét cấp số nhân  un  với u1  2, q  3 . Suy ra u5  u1.q 4  2.34  162 Câu 21: Ta có u9  u1.q8  1.38  6561 Câu 22: 1 1 1 Ta có u1  , u2   q  3 9 3 Câu 23: 1 1 1 u1 1 Xét cấp số nhân với u1  , q  có q  1 nên S   4  4 4 1 q 1 1 3 4 Câu 24: 1 1 1 u 9 1 Ta có u1  , q    S  1   9 3 1 q  1  12 1     3  Câu 25: 1 u 1 Ta có u1  1, q  S 1  2 2 1 q 1 1 2 Câu 26: TOANMATH.com Trang 18
 26 31  u1  u2  u3  31 u1 1  q  q   31 1  q 2  2 1  q  q2 Ta có     26 1  q  q 2   311  q 2   u1 1  q   26 u  1 3  u  26 2 26  u1   1  q 2  q  5  u 1  5q 2  26q  5  0   1  1 q  u1  25  5 Câu 27: 12 24 Ta có u1  , u2  q2 5 5 Câu 28:  q  3 u2  2  u1q  2  Ta có   4  2  u5  54 u1q  54  u1  3  2 1  31000 31000  1 Vậy S1000  .  3 2 3 Câu 29: u  u  36  u1  q 4  q   36  5 2  Ta có    48  q 4  q   36  q 5  q 3  u1  q  q   48 u   6 4u  48 5 3  4q 4  4q  3q 5  3q 3  3q 5  4q 4  3q 3  4q  0  q  q  1 q  2   3q 2  q  2   0  q0  q  1  36  q  2 (do q  0; q  1)  u1  4 2  q2 q q  2 3q  q  2  0 Câu 30: Ta có 1; 21 ; 22 ; 23 ; 24 là một cấp số nhân với u1  1; q  2 có 5 số hạng qn 1 25  1  S  u1  1.  25  1  31 31 q 1 2 1 Câu 31: Từ giả thiết u3  24 và u4  48 suy ra q  2 u3 24 Lại có u1   6 q2 4 1  q5 31 Vậy S5  u1  6.  186 1 q 1 Câu 32: TOANMATH.com Trang 19
Giả sử số 222 là số hạng thứ n n 1 n 1 n 1  1  1 Ta có un  u1q  222  3.        74 (không tồn tại n   thỏa mãn)  2  2 Vậy 222 không là số hạng của cấp số nhân Câu 33:  u1q  q  1  54  2 q2  u4  u2  54  u1q 3  u1q  54  q  2   4      u5  u3  108 u1q  u1q  108 u1q  q  1  108 u1q  q  1  54 u1  9 2 2 2 2 Câu 34:  u4  u2  54  u1q 3  u1q  54 1    4 u5  u3  108 u1q  u1q  108  2  2 Ta thấy u1q 3  u1q  0 nên chia phương trình (2) cho phương trình (1) ta được q = 2 Thay q = 2 vào phương trình (1) ta tìm được u1  9 Câu 35: un 192   2   n 1 Có un  u1.q n 1  q n 1   64  n  7 u1 3 Câu 36:  u1  2 u1  u3  3   u1  u3  3  u1  u3  3   u3  1 Ta có  2    u1  u3  5  u1  u3   2u1.u3  5  u1.u3  2 2 2  u  1  1  u3  2 u 1 u  Trường hợp 1.  1  q 2  3  2  q  2 (do q  1 ) u3  2 u1 u1 1  q10  1. 1  25  Với q  2 thì S10  1 q  1 2  31   2 1  1  q u  2 u 1 2  Trường hợp 2.  1  q2  3    (loại do q  1 )  u3  1 u1 2  1  q   2 Câu 37:   1 n    1 n  3n  1     2. 1      3    3n  1 S n  n 1      3  3 1 1 3n. 1 3 3 1 2 Vậy u1  2; q   u5  u1.q 4  4 3 3 TOANMATH.com Trang 20