TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO Điện thoại: 0946798489
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ MINH HỌA
1. Cấp số cộng
Cấp số cộng là một dãy số (vô hạn hoặc hữu hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng
đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số
d
không đổi, nghĩa là:
*
1
; .
n n
u u d n
Số
d
được gọi là công sai của cấp số cộng.
Ví dụ 1. Tìm cấp số cộng trong các dãy số sau:
a)
5;10;15;20;25;30
.
b)
1;2;4;8
.
c)
7;7;7;7;7
.
Giải
a) Dãy số:
5;10;15;20;25;30
là cấp số cộng với công sai
5d
.
b) Dãy số:
1;2;4;8
có
2 1 3 2
u u u u
nên không phải là cấp số cộng.
c) Dãy số: 7; 7; 7; 7;7 là cấp số cộng với công sai
0d
.
Ví dụ 2. Cho cấp số cộng:
3;6;9;12;.
.. Tìm số hạng đầu, công sai và
5
u
.
Giải
Cấp số cộng đã cho có số hạng đầu
1
3u
; công sai
3d
.
Ta có
4
12u
nên
5 4
12 3 15u u d
.
Ví dụ 3. Chứng minh mỗi dãy số sau là cấp số cộng. Xác định số hạng đầu và công sai của mỗi
cấp số cộng đó.
a) Dãy số
n
u
với
2 1
n
u n
.
b) Dãy số
n
v
với
3 5
n
v n
.
Giải
a) Ta có:
1
2 1 1 3u
,
*
1
2( 1) 1 (2 1) 2 2, .
n n
u n n u n
Vậy dãy số
n
u
là cấp số cộng với số hạng đầu
1
3u
và công sai
2d
.
b) Ta có:
1
3,1 5 2v
,
*
1
3( 1) 5 ( 3 5) 3 ( 3), .
n n
v n n v n
Vậy dãy số
n
v
là cấp số cộng với số hạng đầu
1
2v
và công sai
3d
.
Ví dụ 4. Cho
, ,abc
là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng. Tính
b
theo
a
và
c
.
Giải
Gọi
d
là công sai của cấp số cộng, ta có
d b a c b
. Do đó
2
a c
b
.
Nhận xét: Nếu
n
u
là cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với
cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là:
1 1
( 2).
2
k k
k
u u
u k
2. Số hạng tổng quát của cấp số cộng
Đinh lí 1
Nếu một cấp số cộng
n
u
có số hạng đầu
1
u
và công sai
d
thì số hạng tổng quát
n
u
của nó được
xác định bởi công thức:
1
( 1) , 2.
n
u u n d n
Ví dụ 5. Tìm số hạng tồng quát
n
u
của cấp số cộng có số hạng đầu
1
3u
và công sai
9d
.
Giải
BÀI 2. CẤP SỐ CỘNG
•CHƯƠNG 2. DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN
•|FanPage: Nguyễn Bảo Vương
Blog: Nguyễn Bảo Vương:
https://www.nbv.edu.vn/
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Ta có
1
( 1) 3 ( 1).9 9 6
n
u u n d n n
.
Vậy số hạng tổng quát của cấp số cộng là
9 6
n
u n
.
3. Tổng của
n
số hạng đầu tiên của cấp số cộng
Định lí 2
Giả sử
n
u
là một cấp số cộng có công sai
d
. Đặt
1 2
n n
S u u u 
, khi đó
1
1
n
n n
n u u
S S
Ví dụ 6.
a) Tính tổng 100 số nguyên dương đầu tiên.
b) Cho cấp số cộng
n
u
có
4 6
20
u u
. Tính tổng 9 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.
c) Cho cấp số cộng
n
v
có
3
3
S
và
5
15
S
. Tính
50
S
.
Giải
a) Ta có thể sắp xếp 100 số nguyên dương đầu tiên thành cấp số cộng có
1
1
u
,
100
100
u
.
Suy ra
100
100(1 100)
50.101 5050
2
S
.
b) Ta có
4 6 1 1 1
3 5 2 8 20
u u u d u d u d
. Suy ra
1
9
9 2 8 9.20
90
2 2
u d
S
.
c) Ta có:
1
3
3 2 2
3
2
v d
S
, suy ra
1
1
v d
;
(1)
1
5 1
5 2 4
15, suy ra 2 3
2
v d
S v d
(2)
Từ (1) và (2) ta được hệ phương trình
1
1
1
2 3.
v d
v d
Giải hệ phương trình trên ta được
1
r
v
và
2
d
.
Do đó
1
50
50 2 49 50 [2 1 49 ( 2)]
2400
2 2
v d
S
.
PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN (PHÂN DẠNG)
DẠNG 1: CHỨNG MINH MỘT DÃY SỐ (un) LÀ CẤP SỐ CỘNG.
Để chứng minh dãy số
n
u
là một cấp số cộng, ta xét
1
n n
A u u
•
Nếu
A
là hằng số thì
n
u
là một cấp số cộng với công sai
d A
.
•
Nếu
A
phụ thuộc vào
n
thì
n
u
không là cấp số cộng.
Câu 1. (SGK-CTST 11-Tập 1) Chứng minh mỗi dãy số sau là cấp số cộng. Xác định công sai của mỗi
cấp số cộng đó.
a)
3;7;11;15;19;23
.
b) Dãy số
n
u
với
9 9
n
u n
.
c) Dãy số
n
v
với
n
v an b
, trong đó
a
và
b
là các hằng số.
Câu 2. (SGK-CTST 11-Tập 1) Số đo ba góc của một tam giác vuông lập thành cấp số cộng. Tìm số đo
ba góc đó.
Câu 3. (SGK-CTST 11-Tập 1) Mặt cắt của một tổ ong có hình lưới tạo bởi các ô hình lục giác đều. Từ
một ô đầu tiên, bước thứ nhất, các ong thợ tạo ra vòng 1 gồm 6 ô lục giác; bước thứ hai, các ong thợ sẽ tạo
ra vòng 2 có 12 ô bao quanh vòng 1 ; bước thứ ba, các ong thợ sẽ tạo ra 18 ô bao quanh vòng 2 ; cứ thế tiếp
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
tục (Hình 2). Số ô trên các vòng theo thứ tự có tạo thành cấp số cộng không? Nếu có, tìm công sai của cấp
số cộng này.
Câu 4. (SGK-CTST 11-Tập 1) Chứng minh dãy số hữu hạn sau là cấp số cộng:
1; 3; 7; 11; 15
.
Câu 5. (SGK-CTST 11-Tập 1) Cho
n
u
là cấp số cộng với số hạng đầu
1
4u
và công sai
10d
.
Viết công thức số hạng tổng quát
n
u
.
Câu 6. Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số cộng. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó:
a). Dãy số
n
u
với 19 5
n
u n b). Dãy số
n
u
với 3 1
n
u n
c). Dãy số
n
u
với
2
1
n
u n n
d). Dãy số
n
u
với
1 10
n
n
u n
Câu 7. Định x để 3 số
2
10 3 ,2 3,7 4x x x theo thứ tự đó lập thành 1 cấp số cộng.
Câu 8. Một tam giác vuông có chu vi bằng 3a, và 3 cạnh lập thành một CSC. Tính độ dài ba cạnh của
tam giác theo a.
Câu 9. Ba góc của một tam giác vuông lập thành một CSC. Tìm số đo các góc đó.
DẠNG 2: TÌM SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN, CÔNG SAI CỦA CẤP SỐ CỘNG, TÌM SỐ HẠNG THỨ K CỦA CẤP
SỐ CỘNG, TÍNH TỔNG K SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN.
Ta thiết lập một hệ phương trình gồm hai ẩn
1
u và d. Sau đó giải hệ phương trình này tìm được
1
u
và
d
.
Muốn tìm số hạng thứ
k
, trước tiên ta phải tìm
1
u và
d
. Sau đó áp dụng công thức:
1
1
k
u u k d
.
Muốn tính tổng của k số hạng đầu tiên, ta phải tìm
1
u và
d
. Sau đó áp dụng công thức:
1 1
2 ( 1)
2 2
k
k
k u u k u k d
S
Câu 10. (SGK-CTST 11-Tập 1) Tìm số hạng tổng quát của các cấp số cộng sau:
a) Cấp số cộng
n
a
có
1
5a
và
5d
;
b) Cấp số cộng
n
b
có
1
2b
và
10
20b
.
Câu 11. (SGK-CTST 11-Tập 1) Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng
n
c
có
4
80c
và
6
40c
.
Câu 12. (SGK-CTST 11-Tập 1) a) Tính tồng 50 số tự nhiên chẵn đầu tiên.
b) Cho cấp số cộng
n
u
có
3 28
100u u
. Tính tổng 30 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.
c) Cho cấp số cộng
n
v
có
6
18S
và
10
110S
. Tính
20
S
.
Câu 13. (SGK-CTST 11-Tập 1) Một rạp hát có 20 hàng ghế xếp theo hình quạt. Hàng thứ nhất có 17 ghế,
hàng thứ hai có 20 ghế, hàng thứ ba có 23 ghế,... cứ thế tiếp tục cho đến hàng cuối cùng (Hình 4).
Blog: Nguyễn Bảo Vương:
https://www.nbv.edu.vn/
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
a) Tính số ghế có ở hàng cuối cùng.
b) Tính tổng số ghế có trong rạp.
Câu 14. (SGK-CTST 11-Tập 1) Cho cấp số cộng
n
u
có số hạng đầu
1
3u
và công sai
2d
.
a) Tìm
12
u
.
b) Số 195 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng đó?
Câu 15. (SGK-CTST 11-Tập 1) Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tìm số hạng đầu và
công sai của nó.
a)
3 4
n
u n
b)
4
2
n
n
u
c)
5
n
n
u
;
d)
9 5
3
n
n
u
.
Câu 16. (SGK-CTST 11-Tập 1) Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng
n
u
, biết:
a)
3 1
2 5
20
54
u u
u u
b)
2 3
2 5
0
80
u u
u u
c)
5 2
8 3
3
, 24.
u u
u u
Câu 17. (SGK-CTST 11-Tập 1) Một người muốn mua một thanh gỗ đủ để cắt ra làm các thanh ngang của
một cái thang. Biết rằng chiều dài các thanh ngang của cái thang đó (từ bậc dưới cùng) lần lượt là
45 ,43 cm cm
,
41 , ,31 cm cm
.
a) Cái thang đó có bao nhiêu bậc?
b) Tính chiều dài thanh gỗ mà người đó cần mua, giả sử chiều dài các mối nối (phần gỗ bị cắt
thành mùn cưa) là không đáng kể.
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
Câu 18. (SGK-CTST 11-Tập 1) Khi một vận động viên nhảy dù nhảy ra khỏi máy bay, giả sử quãng
đường người ấy rơi tự do (tính theo feet) trong mỗi giây liên tiếp theo thứ tự trước khi bung dù lần lượt là:
16;48;80;112;144;
(các quãng đường này tạo thành cấp số cộng).
a) Tính công sai của cấp số cộng trên.
b) Tính tổng chiều dài quãng đường rơi tự do của người đó trong 10 giây đầu tiên.
Câu 19. (SGK-CTST 11-Tập 1) Ở một loài thực vật lưỡng bội, tình trạng chiều cao cây do hai gene
không alen là
A
và
B
cùng quy định theo kiểu tương tác cộng gộp. Trong kiểu gene nếu cứ thêm một alen
trội A hay B thì chiều cao cây tăng thêm
5 cm
. Khi trưởng thành, cây thấp nhất của loài này với kiểu gene
aabb có chiều cao
100 cm
. Hỏi cây cao nhất với kiểu gene AABB có chiều cao bao nhiêu?
Câu 1. Tìm số hạng đầu tiên, công sai, số hạng thứ
20
và tổng của
20
số hạng đầu tiên của các cấp số cộng
sau, biết rằng:
a)
5
9
19
35
u
u
b)
235
4 6
10
26
u u u
u u
c)
3 5
12
14
129
u u
s
d)
6
2 2
2 4
8
16
u
u u
Câu 2. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết:
a).
7
15
27
59
u
u
b).
9 2
13 6
5
2 5
u u
u u
c).
2 4 6
8 7 4
7
2
u u u
u u u
d).
3 7
2 7
8
. 75
u u
u u
e).
2 2 2
1 2 3
3
155
21
u u u
s
Câu 3. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết:
1)
3
5
12
35
S
S
2)
1 2 3
2 2 2
1 2 3
9
35
u u u
u u u
3)
1 2 3 4
2 2 2 2
1 2 3 4
16
84
u u u u
u u u u
4)
5
1 2 3 4 5
5
. . . . 45
S
u u u u u
5)
4
1 2 3 4
20
1 1 1 1 25
24
S
u u u u
6)
1 2 3 4 5
2 2 2 2 2
1 2 3 4 5
20
170
u u u u u
u u u u u
7)
1 2 3
1 2 3
12
. . 8
u u u
u u u
8)
1 5
3 4
5
3
65
.
72
u u
u u
Câu 4. Xác định số hạng đầu, công sai và số hạng thứ n của các cấp số cộng sau, biết rằng:
a).
12
18
34
45
S
S
b).
5
10
10
5
u
S
c).
20 10 5
5 3 2
S S S
d).
20 10
15 5
2
3
S S
S S
Câu 5. Cho cấp số cộng:
1 2 3
; ; ;....
u u u có công sai d.
1). Biết
2 22
40.
u u
Tính
23
S
2). Biết
1 4 7 10 13 16
147.
u u u u u u
Tính
6 11 1 6 11 16
u
u u u u u
4). Biết
4 8 12 16
224.
u u u u
Tính:
19
S
5). Biết
23 57
29
u u
. Tính:
10 70 157 1
3u u u u
Câu 6. Tìm 3 số hạng liên tiếp của 1 cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 27 và tổng các bình phương của
chúng là
293.
Câu 7. Tìm 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng có tổng bằng 20 và tích của chúng là 384.
Câu 8. Tìm 3 số hạng liên tiếp của một CSC biết tổng của chúng bằng 15 và tổng bình phương của chúng
bằng 83.
Câu 9. Tìm 5 số hạng liên tiếp của một CSC biết tổng của chúng bằng 40 và tổng bình phương của chúng
bằng 480.