Tailieumontoan.com
Sưu tầm
CHUYÊN ĐỀ
CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Tài liệu sưu tầm, ngày 24 tháng 8 năm 2020
Website: tailieumontoan.com
PHẦN I:
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Cấp số cộng
Định nghĩa:
• Nếu
( )
n
u
là cấp số cộng với công sai
d
, ta có:
1nn
u ud
+
= +
với
*
.n∈
Số hạng tổng quát:
• Nếu cấp số cộng
( )
n
u
có số hạng đầu
1
u
và công sai
d
thì số hạng tổng quát
n
u
được xác định bởi công
thức:
( )
1
1
n
uu n d=+−
với
2.n≥
Tính chất:
• Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số đứng
kề với nó, nghĩa là
11
2
kk
k
uu
u−+
+
=
với
2.k≥
Tổng
n
số hạng đầu tiên của một cấp số cộng:
Cho cấp số cộng
( )
n
u
. Đặt
12
... .
nn
S uu u= + ++
Khi đó:
( )
1
2
n
n
nu u
S+
=
( )
1
21
2
nu n d
+−
=
.
2. Cấp số nhân
Định nghĩa:
• Nếu
( )
n
u
là cấp số nhân với công bội
q
, ta có:
1.
nn
u uq
+=
với
*
.n∈
Số hạng tổng quát:
• Nếu cấp số nhân
( )
n
u
có số hạng đầu
1
u
và công bội
q
thì số hạng tổng quát
n
u
được xác định bởi
công thức:
1
1
.
n
n
u uq
−
=
với
2.n≥
Tính chất:
• Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số
hạng đứng kề với nó, nghĩa là
2
11
.
k kk
u uu
−+
=
với
2.k≥
Tổng
n
số hạng đầu tiên của một cấp số nhân:
DẠNG TOÁN 2: CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang 1
Website: tailieumontoan.com
• Cho cấp số nhân
( )
n
u
với công bội
1q≠
. Đặt
12
... .
nn
S uu u= + ++
Khi đó:
( )
1
1
1
n
n
uq
Sq
−
=−
.
Cấp số nhân lùi vô hạn:
• Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội
sao cho 1qq<
.
• Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
Cho
( )
n
u
là cấp số nhân lùi vô hạn có công bội
q
. Khi đó tổng của cấp số nhân lùi vô hạn được tính theo
công thức
1
12
... ... 1
n
u
Suu u q
= + ++ +=
−
.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Nhận dạng, khai triển CSC.
Xác định
1,,, ,
nn
U d nU S
của CSC (cụ thể).
Xác định
,
nn
US
của CSC (tổng quát).
Bài toán khác liên quan tổng của CSC.
Điều kiện để dãy số thành CSC.
Điều kiện để nghiệm của phương trình lập thành CSC.
Toán đố, toán thực tế, liên môn về CSC.
Nhận dạng, khai triển CSN.
Xác định
1,,, ,
nn
U qnU S
của CSN (cụ thể).
Xác định
,
nn
US
của CSN (tổng quát).
Bài toán khác liên quan tổng của CSN.
Điều kiện để dãy số thành CSN.
Điều kiện để nghiệm pt lập thành CSN.
Toán đố, toán thực tế, liên môn về CSN.
Bài toán liên quan đến CSN lùi vô hạn.
Toán tập hợp cả CSC và CSN.
…..
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang 2
Website: tailieumontoan.com
BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Cho cấp số cộng
( )
n
u
biết
12
3, 9uu= =
. Công sai của cấp
số cộng đó bằng
A. 6. B. 3. C. 12. D.
6−
.
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm công sai của cấp số cộng.
2. HƯỚNG GIẢI:
B1: Xác định công thức
1+n
u
theo
n
u
.
B2: Kết quả là hiệu
1+−
nn
uu
.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn A
Ta có:
12
3, 9uu= =
nên
21
9 3 6.du u= − =−=
Bài tập tương tự và phát triển:
Mức độ 1
Câu 1. Dãy số nào sau đây là cấp số cộng:
A.
1,3,7,11,13−
. B.
0, 2, 6,8,10
. C.
11,14,17,20,24
. D.
7,3,1,5,9−−−
.
Lời giải
Chọn D
Dãy số
7,3,1,5,9−−−
là cấp số cộng với
1
7; 4= = −ud
.
Câu 2. Cho một cấp số cộng
( )
n
u
có
18
5; 44uu=−=
. Công sai của cấp số cộng bằng
A. 3. B. 5. C. 7. D. 9.
Lời giải
Chọn C
Ta có
81
u 44 7 44= ⇔+ =ud
5 7 44 7⇔− + = ⇔ =dd
.
Câu 3. Cho cấp số cộng
( )
n
u
có
128u=
và công sai
5= −d
. Số hạng thứ 10 của cấp số cộng bằng :
A.
10 22u= −
. B.
10 7u= −
. C.
10 17u= −
. D.
10 12u= −
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
( )
11
n
uu n d=+−
( )
10 1
9 28 9. 5 17uud⇔ =+ = + −=−
.
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang 3
Website: tailieumontoan.com
Câu 4. Cho cấp số cộng
( )
n
u
có công sai
2d= −
và số hạng thứ 5 bằng 9. Số hạng thứ nhất của cấp số
cộng bằng:
A. 15. B. 17. C. 19. D. 21.
Lời giải
Chọn B
Ta có
( )
11=+−
n
uu n d
( )
51 1
4 4. 2 9⇔ =+ ⇔+ −=uu d u
1
17⇔=u
.
Câu 5. Cho cấp số cộng
( )
n
u
có
1
28u=
và công sai
6d= −
. Hỏi
32−
là số hạng thứ mấy của cấp số
cộng?
A. 9. B. 10. C. 11. D. 12.
Lời giải
Chọn C
Ta có
( ) ( ) ( )
11 32 28 1 . 6 11
n
uu n d n n=+− ⇔−=+− −⇔=
.
Câu 6. Cho cấp số cộng
( )
n
u
có
132u= −
và công sai
8d=
. Tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số
cộng này là:
A.
10
20=S
. B.
10
80=S
. C.
10
60=S
. D.
10
40S=
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
( )
1
10
10 2 9 40
2
ud
S+
= =
.
Câu 7. Cho cấp số cộng có
12u=
và
13
nn
uu
+= +
. Số hạng thứ
15
của cấp số cộng bằng:
A.
15
42u=
. B.
15
44u=
.
C.
15
24u=
. D.
15 31u=
.
Lời giải
Chọn B
Gọi
d
là công sai của cấp số cộng .
Ta có:
11
3 3 3.
n n nn
u u uu d
++
= +⇔ − =⇔ =
Suy ra:
15 1 14 2 14.3 44.uu d=+=+=
Câu 8. Cho cấp số cộng
( )
n
u
có công sai
d
và
n
S
là tổng
n
số hạng đầu của cấp số cộng . Công thức
nào sau đây là đúng:
A.
1
2
n
n
uu
S+
=
. B.
1n
u u nd= +
. C.
35
4
2
uu
u+
=
. D.
11
2
+
+
=n
n
uu
u
Lời giải
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang 4
