intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Chuyên đề Cấp số cộng - Cấp số nhân

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:42

Thêm vào BST
Báo xấu
1
lượt xem 0
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chuyên đề Cấp số cộng cấp số nhân trình bày ngắn gọn lý thuyết trọng tâm, cung cấp bài tập trắc nghiệm và bài tập tự luyện có lời giải cụ thể. Tài liệu giúp học sinh nắm được công thức số hạng tổng, tính chất dãy số và ứng dụng trong bài toán thực tế. Mời các bạn học sinh cùng tham khảo tài liệu để ôn tập hiệu quả phần dãy số lớp 11.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề Cấp số cộng - Cấp số nhân

  1. Tailieumontoan.com  Sưu tầm CHUYÊN ĐỀ CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Tài liệu sưu tầm, ngày 24 tháng 8 năm 2020
  2. Website: tailieumontoan.com DẠNG TOÁN 2: CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN PHẦN I: I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Cấp số cộng  Định nghĩa: • Nếu ( un ) là cấp số cộng với công sai d , ta có: un += un + d với n ∈ * . 1  Số hạng tổng quát: • Nếu cấp số cộng ( un ) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức: un = u1 + ( n − 1) d với n ≥ 2.  Tính chất: • Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số đứng uk −1 + uk +1 kề với nó, nghĩa là uk = với k ≥ 2. 2  Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng: n ( u1 + un ) n  2u1 + ( n − 1) d  Cho cấp số cộng ( un ) . Đặt S n = u1 + u2 + ... + un . Khi đó: S n = =  . 2 2 2. Cấp số nhân  Định nghĩa: • Nếu ( un ) là cấp số nhân với công bội q , ta có: un +1 = un .q với n ∈ * .  Số hạng tổng quát: • Nếu cấp số nhân ( un ) có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức: un = u1.q n −1 với n ≥ 2.  Tính chất: • Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là uk 2 = uk −1.uk +1 với k ≥ 2.  Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân: Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang 1
  3. Website: tailieumontoan.com u1 (1 − q n ) • Cho cấp số nhân ( un ) với công bội q ≠ 1 . Đặt S n = u1 + u2 + ... + un . Khi đó: S n = . 1− q  Cấp số nhân lùi vô hạn: • Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội q sao cho q < 1 . • Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: Cho ( un ) là cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q . Khi đó tổng của cấp số nhân lùi vô hạn được tính theo u1 công thức S = u1 + u2 + ... + un + ... = . 1− q II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Nhận dạng, khai triển CSC.  Xác định U1 , d , n,U n , Sn của CSC (cụ thể).  Xác định U n , Sn của CSC (tổng quát).  Bài toán khác liên quan tổng của CSC.  Điều kiện để dãy số thành CSC.  Điều kiện để nghiệm của phương trình lập thành CSC.  Toán đố, toán thực tế, liên môn về CSC.  Nhận dạng, khai triển CSN.  Xác định U1 , q, n,U n , Sn của CSN (cụ thể).  Xác định U n , Sn của CSN (tổng quát).  Bài toán khác liên quan tổng của CSN.  Điều kiện để dãy số thành CSN.  Điều kiện để nghiệm pt lập thành CSN.  Toán đố, toán thực tế, liên môn về CSN.  Bài toán liên quan đến CSN lùi vô hạn.  Toán tập hợp cả CSC và CSN. ….. Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang 2
  4. Website: tailieumontoan.com BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Cho cấp số cộng ( un ) biết= 3, u2 9 . Công sai của cấp u1 = số cộng đó bằng A. 6. B. 3. C. 12. D. −6 . Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm công sai của cấp số cộng. 2. HƯỚNG GIẢI: B1: Xác định công thức un +1 theo un . B2: Kết quả là hiệu un +1 − un . Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn A Ta có:= 3, u2 9 nên d = u2 − u1 = 9 − 3 = 6. u1 = Bài tập tương tự và phát triển:  Mức độ 1 Câu 1. Dãy số nào sau đây là cấp số cộng: A. −1,3, 7,11,13 . B. 0, 2, 6,8,10 . C. 11,14,17, 20, 24 . D. 7,3, −1, −5, −9 . Lời giải Chọn D Dãy số 7,3, −1, −5, −9 là cấp số cộng với u1 = 7; d = −4 . Câu 2. Cho một cấp số cộng ( un ) có u1 =u8 = Công sai của cấp số cộng bằng −5; 44 . A. 3. B. 5. C. 7. D. 9. Lời giải Chọn C Ta có u 8 = 44 ⇔ u1 + 7 d = 44 ⇔ −5 + 7 d 44 ⇔ d 7 . = = Câu 3. Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = 28 và công sai d = −5 . Số hạng thứ 10 của cấp số cộng bằng : A. u10 = −22 . B. u10 = −7 . C. u10 = −17 . D. u10 = −12 . Lời giải Chọn C Ta có un = u1 + ( n − 1) d ⇔ u10 = + 9d = + 9. ( −5 ) =17 . u1 28 − Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang 3
  5. Website: tailieumontoan.com Câu 4. Cho cấp số cộng ( un ) có công sai d = −2 và số hạng thứ 5 bằng 9. Số hạng thứ nhất của cấp số cộng bằng: A. 15. B. 17. C. 19. D. 21. Lời giải Chọn B Ta có un = u1 + ( n − 1) d ⇔ u5 = u1 + 4d ⇔ u1 + 4. ( −2 ) = 9 ⇔ u1 =. 17 Câu 5. Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = 28 và công sai d = −6 . Hỏi −32 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng? A. 9. B. 10. C. 11. D. 12. Lời giải Chọn C Ta có un = u1 + ( n − 1) d ⇔ −32 = 28 + ( n − 1) . ( −6 ) ⇔ n = 11 . Câu 6. Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = −32 và công sai d = 8 . Tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này là: A. S10 = 20 . B. S10 = 80 . C. S10 = 60 . D. S10 = 40 . Lời giải Chọn D 10 ( 2u1 + 9d ) = Ta có S10 = 40 . 2 Câu 7. Cho cấp số cộng có u1 = 2 và un += un + 3 . Số hạng thứ 15 của cấp số cộng bằng: 1 A. u15 = 42 . B. u15 = 44 . C. u15 = 24 . D. u15 = 31 . Lời giải Chọn B Gọi d là công sai của cấp số cộng . Ta có: un +1 = un + 3 ⇔ un +1 − un = 3 ⇔ d = 3. Suy ra: u15 = + 14d =+ 14.3 = u1 2 44. Câu 8. Cho cấp số cộng ( un ) có công sai d và S n là tổng n số hạng đầu của cấp số cộng . Công thức nào sau đây là đúng: u1 + un u3 + u5 u1 + un +1 A. S n = . B. un u1 + nd . = C. u4 = . D. un = 2 2 2 Lời giải Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang 4
  6. Website: tailieumontoan.com Chọn C uk −1 + uk +1 u3 + u Ta có: uk = ⇒ u4 = 5 . 2 2 Câu 9. Dãy số nào sau đây là cấp số nhân: A. 2; 4;6;8;10 . B. 5;10;15; 20; 25 . C. 3;9; 27;81; 243 . D. 2; −4;8; −16; −32 . Lời giải Chọn C Dãy số 3;9; 27;81; 243 là cấp số nhân với = 3; q 3 . u1 = Câu 10. Cho cấp số nhân ( un ) biết un= 2n , ∀n ∈ N * . Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân trên. A. u1 = 2 ; q = −2 . B. u1 = −2 ; q = 2 . C. u1 = 1 ; q = 2 . D. u1 = 2 ; q = 2 . Lời giải Chọn D Ta có : un = 2n = 2.2n −1 = u1.q n −1 , ∀n ∈ N * . Nên u1 = 2 ; q = 2 . Câu 11. Cho cấp số nhân ( un ) , biết u1 =u2 = Lựa chọn đáp án đúng. −2; 10 . A. q = 10 . B. q = −5 . C. q = 5 . D. q = 12 . Lời giải Chọn B u 10 Ta có: u2 =1.q ⇒ q = 2 = ⇒ q =5 . u − u1 −2 Câu 12. Cho cấp số nhân ( un ) , biết u1 = 3; q = −2 . Tìm u3 . A. u3 = 11 . B. u3 = 12 . C. u3 = 16 . D. u3 = 14 . Lời giải Chọn B Áp dụng công thức: un = u1.q n −1 ⇒ u3 = 3. ( −2 ) = 12 . 2 Câu 13. Cho cấp số nhân ( un ) có số hạng đầu u1 = 5 và công bội q = −2 .Tính S6 . . 155 A. S6 = − . B. S6 = −105 . C. S6 = −315 . D. S6 = 315 . 3 Lời giải Chọn B Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang 5
  7. Website: tailieumontoan.com ( −2 ) − 1 = −105 . 6 q6 −1 Ta có S6 = u1. = 5. q −1 −2 − 1 1 Câu 14. Cho cấp số nhân ( un ) với u1 =u7 = Tìm q ? − ; −32 . 2 1 A. q = ±1 . B. q = ± . C. q = ±2 . D. q = ±4 . 2 Lời giải Chọn C Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có: q = 2 un = u1q n −1 ⇒ u7 = u1.q 6 ⇒ q 6 = 64 ⇒  .  q = −2 Câu 15. Cho cấp số nhân ( un ) có số hạng đầu u1 , công bội q . Với mọi giá trị của n ≥ 2 , n ∈  . Khẳng định nào sau đây là đúng? u1 (1 − q n ) A. un = u1 + ( n − 1) q . B. un = u1.q n −1 . C. un − un −1 = q. D. S n = . q −1 Lời giải Chọn B Câu 16. Trong các dãy số cho dưới đây, dãy số nào không phải là cấp số nhân lùi vô hạn? n 2 4 8 2 1 1 1 1 A. , , ,....,   ,... . B. , , ,..., n ,... . 3 9 27 3 3 9 27 3 n n−1 3 9 27 3 1 1 1 1  1 C. , , ,....,   ,... . D. 1, − , , − , ,...,  −  ,... . 2 4 8 2 2 4 8 16  2 Lời giải Chọn C n 3 9 27 3 3 Chọn đáp án = , , ,....,   ,... vì cấp số nhân này có công bội q >1. 2 4 8 2 2 Câu 17. Cho cấp số nhân ( un ) , biết = 3; q 2 và un = 192 . Tìm n . u1 = A. n = 4 . B. n = 5 . C. n = 7 . D. n = 6 . Lời giải Chọn C Áp dụng công thức: = u1.q n −1 ⇒ 192 3.2n −1 ⇒ n 7 . un = = Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang 6
  8. Website: tailieumontoan.com  Mức độ 2 Câu 1. Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = −2 và công sai d = 3 . Số hạng tổng quát un là A. u= 3n − 5 . n B. u= 3n − 2 . n C. un =2n + 3 . − D. un =3n + 2 . − Lời giải Chọn A Ta có un = + ( n − 1) d = + ( n − 1) .3 = − 5 . u1 −2 3n Câu 2. Cho cấp số cộng ( un ) biết u27 = −76 và u83 = −244 . Khi đó số hạng đầu u1 của cấp số cộng đã cho bằng A. −3 . B. 5 . C. 4 . D. 2 . Lời giải Chọn D Gọi d là công sai của cấp số cộng đã cho. u = −76 u + 26d =−76 u = 2 Áp dụng công thức un = u1 + ( n − 1) d , ta có:  27 ⇔ 1 ⇔ 1 . u83 = −244 u1 + 82d = −244  d = −3 1 5 Câu 3. Cho cấp số cộng (un ) có 4 số hạng, biết u1 = − và u4 = . Tìm các số hạng còn lại? 2 2 1 3 A. u2 = ; u3 = . B. u2 = 1; u3 = 2 . 2 2 3 1 C. u2 = 1; u3 = . D. u2 = ; u3 = 2 . 2 2 Lời giải Chọn A 5 5 1 5 Ta có: u4 = ⇔ u1 + 3d =⇔ − + 3d = ⇔ d = 1. 2 2 2 2 1 1 1 3 Vậy u2 = 1 + d = + 1 = , u3 = u2 + d = + 1 = . u − 2 2 2 2 Câu 4. Cho cấp số cộng có u1 = −1 và S 23 = 483 . Công sai của cấp số cộng là: A. d = 3 . B. d = 4 . C. d = −2 . D. d = 2 . Lời giải Chọn D Gọi d là công sai của cấp số cộng . Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang 7
  9. Website: tailieumontoan.com n ( u1 + un ) n u1 + u1 + ( n − 1) d  n  2u1 + ( n − 1) d     . = Ta có: S n = = 2 2 2 23 ( 2u1 + 22d ) 23 ( −2 + 22d ) = Vậy: S 23 = ⇔ 483 = 2. ⇔d 2 2 Câu 5. Cho cấp số cộng ( un ) có u27 + u2 =. Khi đó tổng 28 số hạng đầu tiên của cấp số cộng ( un ) 83 là A. S 28 = 1162 . B. S 28 = 1612 . C. S 28 = 2611 . D. S 28 = 1261 . Lời giải Chọn A Gọi d và u1 lần lượt là công sai và số hạng đầu của cấp số cộng ( un ) . 28 ( u1 + u28 ) 28 ( u2 − d + u27 + d ) 28 ( u2 + u27 ) 28.83 = Ta có: S 28 = = = = 1162 . 2 2 2 2 u = −2020 Câu 6. Cho dãy cấp số cộng ( un ) thoả mãn  1 ( ∀n ∈ , n ≥ 1) . Tìm công thức số hạng un += un + 5 1 tổng quát của dãy số? Lời giải Chọn D Công sai: d = 5 . Số hạng đầu tiên u1 = −2020 Số hạng tổng quát un = + 5 ( n − 1) =2025 + 5n u1 − Câu 7. Cho cấp số cộng có u1 = 2 và u2 = 8 . Tổng của n số hạng đầu của cấp số nhân là: A. n ( 2n − 1) . B. n ( 3n + 1) . C. 2n ( 3n − 1) . D. n ( 3n − 1) . Lời giải Chọn D Cấp số cộng có u1 = 2 và u2 = 8 nên d = 6 . n  2u1 + ( n − 1) d  n  2.2 + ( n − 1) 6      = Ta có: S n = = n ( 3n − 1) . 2 2 Câu 8 . Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng n A. un = n 2 . B. un = ( −1)n n . C. un = . D. un = 2n . 3n Lời giải Chọn D Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang 8
  10. Website: tailieumontoan.com Ta có: un +1 − un = 2 ( n + 1) − 2n = 2; ∀n ∈  ⇒ un = 2n là cấp số cộng. 2u3 − u6 = −17 Câu 9. Cho cấp số cộng (un ) biết  . Tìm số hạng đầu u1 và công sai d ?  S10 = 105 A. u1 = −5; d = −12 . B. u1 = −12; d = 5 . C. u1 = 5; d = −12 . D. u1 = −12; d = −5 . Lời giải Chọn B Ta có: 2u3 − u6 = −17 2 ( u + 2d ) − ( u1 + 5d ) =  −17  u − d =17 −  ⇔ 1 ⇔ 1  S10 = 105   5 ( 2u1 + 9d ) = 105 2u1 + 9d = 21  u1= d − 17 u = −12 ⇔ ⇔ 1 . 2 ( d − 17 ) + 9d =  d = 5 21 u20 = 8u17 Câu 10. Cấp số nhân ( un ) có  . Tìm số hạng u1 biết u1 ≤ 100 . u1 + u5 = 272 A. u1 = 16 . B. u1 = 2 . C. u1 = −16 . D. u1 = −2 . Lời giải Chọn A Ta có u1q ( q − 8 ) =(1) u20 = 8u17 u1q19 = 8u1q16  16 3 0   ⇔ ⇔ u1 + u5 = u1 + u1q = u1 (1 + q 4 ) = ( 2 ) 4 272  272 272  q = 0 Từ (2) suy ra u1 ≠ 0 , do đó (1) ⇔  . q = 2 Nếu q = 0 thì ( 2 ) ⇔ u1 = không thỏa điều kiện u1 ≤ 100 . 272 Nếu q = 2 thì ( 2 ) ⇔ u1 = thỏa điều kiện u1 ≤ 100 . 16 u1 + u2 + u3 = 13 Câu 11. Cho cấp số nhân ( un ) thỏa  . Tổng 8 số hạng đầu của cấp số nhân ( un ) là: u4 − u1 = 26 A. S8 = 3280 . B. S8 = 9841 . C. S8 = 3820 . D. S8 = 1093 . Lời giải Chọn A Ta có Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang 9
  11. Website: tailieumontoan.com u1 + u2 + u3 = u1 (1 + q + q ) = 2 13  13 q3 − 1 26  ⇔ ⇒ = ⇒ q − 1 = 2 ⇒ q = 3 ⇒ u1 = 1 u4 − u1 = u1 ( q − 1) = 1+ q + q 2 26 3 26 13  1(1 − 38 ) = = 3280 . Vậy S8 1− 3 Câu 12. Cho cấp số nhân ( un ) với u1 = 4; q = −4 . Viết số hạng tổng quát un ? A. −4 ( −4 ) . B. ( −4 ) . n n C. 4. ( −4 ) n−1 . D. 4n . Lời giải Chọn C Ta có số hạng tổng quát un u1.q n= 4. ( −4 ) −1 n −1 = . Câu 13. Cho cấp số nhân hữu hạn ( un ) có u1 = 3 ; u2 = 6 . Tổng của n số hạng đầu của cấp số nhân là: A.= 3 ( 2n − 1) . Sn B.= 6 ( 2n − 1) . Sn C. S= 2n − 1 . n D.= 3 ( 2n − 3) . Sn Lời giải Chọn A u2 6 Ta có: u1 = 3 ; u2 = 6 ⇒ q = = = 2. u1 3 u1 (1 − q n ) 3 (1 − 2n ) Khi đó:= Sn = = 3 ( 2n − 1) . 1− q 1− 2 Câu 14. Cho cấp số nhân ( un ) biết u1 5; u4 135 và tổng S n = u1 + u2 + .... + un = 910. Tìm n ? = = A. 362. B. 363. C. 364. D. 365. Lời giải Chọn C Ta có: u4 = u1.q 3 ⇒ 5.q 3 = 135 ⇒ q =. 3 u1 (1 − q n ) 5 (1 − 3n ) Khi đó S n = ⇔ = 910 ⇒ n = . 364 1− q 1− 3 Câu 15. Cho cấp số cộng ( un ) có= 1; un 2019 − 2018n . Tìm công sai d? u1 = A. d = 2018 . B. d = 2019 . C. d = −2019 . D. d = −2018 . Lời giải Chọn D Ta có: Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang 10
  12. Website: tailieumontoan.com = 2019 − 2018n ⇔ u1 + ( n − 1) d 2019 − 2018n ⇔ 1 − d + nd 2019 − 2018n un = = 1 − d =2019 ⇒ ⇒ d =2018 . − nd = −2018n Câu 16. Cho ba số thực a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Khẳng định nào dưới đây là đúng ? A. a 2 + c 2 = 2ab + 2bc . B. a 2 + c 2 = 2ab − 2bc . C. a 2 − c 2 = 2ab − 2bc . D. a 2 − c 2 = ab − bc . Lời giải Chọn C Vì a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên ta có: a + c =b ⇔ b − a = c − b 2 ⇔ ( b − a ) = ( c − b ) ⇔ b 2 − 2ab + a 2 = c 2 − 2bc + b 2 ⇔ a 2 − c 2 = 2ab − 2bc. 2 2 Câu 17. Xác định a để 3 số: 1 + 3a; a 2 + 5;1 − a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng? A. Không có giá trị nào của a . B. a = 0 . C. a = ±1 . D. a = ± 2 . Lời giải Chọn A Ba số: 1 + 3a; a 2 + 5;1 − a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi a 2 + 5 − (1 + 3a ) =1 − a − ( a 2 + 5 ) ⇔ a 2 − 3a + 4 = a 2 − a − 4 ⇔ a 2 − a + 4 =. PT vô nghiệm. − 0 Suy ra chọn đáp án A. Câu 18. Xác định x để 3 số x − 2; x + 1; 3 − x theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân: A. Không có giá trị nào của x. B. x = ±1. C. x = 2. D. x = −3. Lời giải Chọn A Ba số x − 2; x + 1; 3 − x theo thứ tự lập thành một cấp số nhân ⇔ ( x − 2 )( 3 − x ) = ( x + 1) 2 ⇔ 2 x 2 − 3 x + 7 = ( Phương trình vô nghiệm) 0 Câu 19. Cho bốn số 2; x;8; y theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tính x + y . A. 20 . B. 36 . C. 16 . D. 40 . Lời giải: Chọn A Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang 11
  13. Website: tailieumontoan.com  x = 4  x = 4   x 2 = 16    y = 16 Theo giả thiết ta có  ⇔   x = −4 ⇔   ⇒ x + y =. 20  xy = 8 2   x = −4   xy = 64     y = −16   Mức độ 3 Câu 1. Cho tứ giác ABCD biết 4 góc của tứ giác lập thành một cấp số cộng và góc A bằng 30o. Góc có số đo lớn nhất của tứ giác là A. 165° . B. 156° . C. 150° . D. 135° . Lời giải Chọn C Theo đề ta có: u1 + u2 + u3 + u4 = 360 ⇔ 30 + 30 + d + 30 + 2d + 30 + 3d = 360 ⇔ d = 40 Khi đó u4 =u1 + 3d =150 . Vậy góc có số đo lớn nhất của tứ giác là 150° . Câu 2. Một cấp số cộng gồm bốn số hạng, biết tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình phương của chúng bằng 120. Tìm các số hạng của cấp số cộng đó. A. −8, − 6, − 4, − 2. B. 1,3,5, 7. C. 2, 4, 6,8. D. −7, − 5, − 3, − 1. Lời giải Chọn C Không mất tính tổng quát, giả sử bốn số hạng của cấp số cộng đó là a − 3 x; a − x; a + x; a + 3 x với công sai là d 2 x ( x ≥ 0 ) . = Khi đó, ta có:  ( a − 3 x ) + ( a − x ) + ( a + x ) + ( a + 3 x ) = = 20  20  4a = 5 a  ⇔ 2 ⇔ ( do x ≥ 0 ) ( a − 3 x ) + ( a − x ) + ( a + x ) + ( a + 3 x ) = 4a + 20 x 120 = 1 = 2 2 2 2 2  120 x Vậy bốn số hạng của cấp số cộng cần tìm là 2, 4, 6,8 . Câu 3. Xen giữa số 3 và số 768 thêm bảy số hạng để được một cấp số nhân có u1 = 3 . Khi đó u5 là A. 72 . B. −48 . C. ±48 . D. 48 . Lời giải Chọn D Từ đề bài ta suy ra u1 = 3 và u9 = 768 nên 768 = q8 ⇒ q8 = ⇒ q =2 , ta loại trường hợp 3. 256 ± q = −2 vì nếu nhận trường hợp này thì sẽ có những số hạng không nằm giữa 3 và 768 . Do đó,= u= 3.24 48 . u5 1q 4 = Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang 12
  14. Website: tailieumontoan.com Câu 4. Các số x + 6 y , 5 x + 2 y , 8x + y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng, đồng thời các số x − 1 , y + 2 , x − 3 y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Tính x 2 + y 2 A. x 2 + y 2 = . 100 B. x 2 + y 2 =. 25 C. x 2 + y 2 =. 10 D. x 2 + y 2 =. 40 Lời giải Chọn D  x + 6 y + 8x + = 2 (5x + 2 y )  y x − 3y =  0 x = 3y  x = −6 Theo đề ta có  ⇔ ⇔ ⇔ . ( x − 1)( x − 3 y ) = y + 2 ) ( ( y + 2 ) =  y = y =−2  −2 2 2   0 Suy ra x 2 + y 2 = 40 . Câu 5. Cho dãy số tăng a, b, c ( c ∈  ) theo thứ tự lập thành cấp số nhân; đồng thời a, b + 8, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng và a, b + 8, c + 64 theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tính giá trị biểu thức P = a − b + 2c. 184 92 A. P = . B. P = 64. C. P = . D. P = 32. 9 9 Lời giải Chọn B ac = b 2 ac = b 2 (1)     Theo đề ta có: a + c = 2 ( b + 8 ) ⇔ a − 2b = 16 − c ( 2) .   a ( c + 64 ) = b + 8 ) ( ac + 64a = b + 8 ) ( ( 3) 2 2   Thay (1) vào (3) ta được: b 2 + 64a = b 2 + 16b + 64 ⇔ 4a − b = 4 ( 4 ) .  c −8 a − 2b =16 − c a = 7  Kết hợp (2) với (4) ta được:  ⇔ ( 5) = 4  4a − b b = 4c − 60   7 Thay (5) vào (1) ta được: c = 36 7 ( c − 8 ) c= ( 4c − 60 ) ⇔ 9c − 424c + 3600= 0 ⇔  100 ⇔ c= 36 ( c ∈  ) . 2 2 c =  9 Với c = 36 ⇒ a = 4, b =12 ⇒ P = 4 − 12 + 72 = 64. 1 n +1 u u u Câu 6. Cho dãy số (un ) xác định bởi u1 = và un +1 = un . Tổng S = u1 + 2 + 3 + ... + 10 bằng 3 3n 2 3 10 29524 1 3280 25942 A. . B. . C. . D. . 59049 243 6561 59049 Lời giải Chọn A Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang 13
  15. Website: tailieumontoan.com n +1 u 1 u un +1= un ⇔ n +1 = . n (1). 3n n +1 3 n un 1 Đặt vn = . Từ (1) suy ra vn +1 = vn . n 3 1 1 Khi đó dãy số (vn ) là một cấp số nhân với số hạng đầu v= u= 1 1 , công bội q = , có: 3 3 u2 u3 u S = u1 + + + ... + 10 = v1 + v2 + v3 + ... + v10 2 3 10 10 1 1−   1− q10 1 3 29524 Khi đó: S v= . = = 1. . 1− q 3 1− 1 59049 3 u1 = 2  Câu 7. Cho dãy số ( un ) với  . Tính u6 . un +1 = un + 1  2 ( n ≥ 1) A. 191 . B. 95 . C. 33 . D. 47 . Lời giải Chọn B Ta có: un +1 2un + 1 ⇔ un +1 + 1 2un + 2 ⇔ un +1 + 1 2 ( un + 1) . = = = Đặt v= un + 1 thì ( vn ) là cấp số nhân với công bội q = 2 ; số hạng đầu là v1 = 3 . n Suy ra vn = 3.2n −1 . Từ đó un 3.2n −1 − 1 , n ∈ * . = Do đó, = 3.26−1 = 95 . u6 −1 Câu 8. Biết rằng tồn tại hai giá trị của tham số m để phương trình đúng x − 7 x + 2 ( m + 6m ) x − 8 = có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân. Tính tổng 3 2 2 0 lập phương của hai giá trị đó. A. −342 B. −216 C. 344 D. 216 lời giải Chọn A Gọi x1 ; x2 ; x3 là nghiệm của phương trình và x1 < x2 < x3 Ta có x1 ; x2 ; x3 lập thành cấp số nhân nên x2 = x1.x3 (1) 2 −b Theo Viet ta có x1 + x2 + x3 = a c a ( = 7 ( 2 ) và x1.x2 + x2 .x3 + x1.x3 == m 2 + 6m ( 3) 2 ) ( m + 6m ) 2 2 Từ (1) , ( 2 ) , ( 3) ⇒ x2 7 = Vì x2 là nghiệm của phương trình nên ta có  m1 = 1 3 2 2  7 ( 8 ) m + 6m  = ⇔ m 2 + 6m − 7 = ⇔  0 ⇒ m13 + m2 = 342 . 3 −    m2 = −7 Câu 9. Chu vi của một đa giác n cạnh là 158, số đo các cạnh đa giác lập thành một cấp số cộng với công sai d = 3. Biết cạnh lớn nhất có độ dài là 44. Tính số cạnh của đa giác. A. 6 B. 4 C. 9 D. 5 Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang 14
  16. Website: tailieumontoan.com Lời giải Chọn B. Ta sắp xếp các cạnh giá trị u1 ;…un tăng dần theo cấp số cộng là 3. Khi đó ta có:   n  S n = 158 ( u1 + 44 ) . =  158 u1 47 − 3n =  ⇔ 2 ⇔  un = 44  u1 + 3 ( n − 1) = 44 ( 47 − 3n + 44 ) .n = 316     n=4 ⇔ 3n − 91n + 316 = ⇔  2 0  n = 79  3 Vậy đa giác có 4 cạnh. Câu 10. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số a để phương trình x 4 + 2 ( 2a + 1) x 2 − 3a =có bốn 0 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. A. 0 B. 3 C. 2 D. 1 Lời giải Chọn D x 4 + 2 ( 2a + 1) x 2 − 3a = 0 (1) Đặt t x 2 ( t ≥ 0 ) , phương trình (1) trở thành t 2 + 2 ( 2a + 1) t − 3a = = 0 (2) Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng ⇔ Phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt t1 , t2 thỏa mãn t2 = 9t1   ∆′ 4a 2 + 7 a + 1 > 0 =    a < − 1  ∆′ 4a + 7 a + 1 > 0 = 2  2    1 ⇔ t1 + t2 =4a − 2 − ⇔ a < − ⇔ a =3 − t = 9t  2 2 1  1 t2t1 = a−3   a = − 12      a = −3  Câu 11. Người ta trồng 3240 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, kể từ hàng thứ hai trở đi số cây trồng mỗi hàng nhiều hơn 1 cây so với hàng liền trước nó. Hỏi có tất cả bao nhiêu hàng cây? A. 81 . B. 82 . C. 80 . D. 79 . Lời giải Chọn C Giả sử trồng được n hàng cây ( n ≥ 1, n ∈  ) . Số cây ở mỗi hàng lập thành cấp số cộng có u1 = 1 và công sai d = 1 . Theo giả thiết: n  n = 80 S n = 3240 ⇔  2u1 + ( n − 1) d  = ⇔ n ( n + 1) = ⇔ n 2 + n − 6480 = ⇔    3240 6480 0 2  n = −81 Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang 15
  17. Website: tailieumontoan.com So với điều kiện, suy ra: n = 80 . Vậy có tất cả 80 hàng cây. Câu 12. Một loại vi khuẩn sau mỗi phút số lượng tăng gấp ba biết rằng sau 4 phút người ta đếm được có 121500 con. Hỏi sau bao nhiêu phút thì có được 3280500 con. A. 10. B. 9. C. 8. D. 7. Lời giải Chọn D Số lượng vi khuẩn tăng lên là cấp số nhân ( un ) có công bội q = 3 . Theo đề u5 = 121500 . Suy ra u1= 121500 ⇒ 3= 121500 ⇒ u1 1500 . .q 4 4 u1 = Sau n phút thì số lượng vi khuẩn là un +1 . Theo đề un +1 = 3280500 hay = 3280500 ⇒ 1500.3n 3280500 ⇒ n 7 . u1.3n = =  Mức độ 4 Câu 1. Cho dãy số ( an ) thỏa mãn a1 = 1 và an 10an −1 − 1 , ∀n ≥ 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của n để = log an > 100 . A. 100 . B. 101 . C. 102 . D. 103 . Lời giải Chọn D 1  1 Ta có: an 10an −1 − 1 ⇔ an − = = 10  an −1 −  (1) . 9  9 1 1 8 Đặt bn = an − ⇒ b1 = a1 − = . Từ (1) ⇒ bn 10bn −1 , ∀n ≥ 2 = 9 9 9 8 n −1 Dãy ( bn ) là cấp số nhân với công bội là q = 10 . Nên bn b= = 1.q n −1 .10 . 9 1 8 n −1 1 Do đó an = bn + = 10 + , ∀n = 1, 2,... . 9 9 9 8 1 Ta có log an > 100 ⇔ an > 10100 ⇔ 10n −1 + > 10100 . 9 9 Vậy giá trị nhỏ nhất của n để log an > 100 là n = 102 . Câu 2. Cho hình vuông C1 có cạnh bằng 4 . Người ta chia các cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông C2 . Từ hình vuông C2 lại làm tiếp như trên để được hình vuông C3 ,... Tiếp tục quá trình trên ta nhận được dãy các hình Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang 16
  18. Website: tailieumontoan.com vuông C1 , C2 , C3 ,..., Cn ,... Gọi an là độ dài cạnh của hình vuông Cn . Dãy số ( an ) có là một cấp số nhân không? Nếu có hãy tìm công bội q . 10 10 A. Có và công bội q = . B. Có và công bội q = . 2 4 C. Có và công bội q = 10 . D. Dãy số không phải là CSN. Lời giải Chọn B Cạnh của hình vuông C1 là a 1 = 4 . 2 2  a1   3a1  10 Cạnh của hình vuông C2 là a2 =   +  = a1. 4  4  4 2 2  a2   3a2  10 Cạnh của hình vuông C3 là a3 =   +  = a2 .  4  4  4 2 2  an −1   3an −1  10 Tương tự, ta có an =   +  = an −1 .  4   4  4 10 Vậy, dãy số ( an ) là một cấp số nhân với a1 = 4 và công sai q = . 4 Câu 3. Trong năm đầu tiên đi làm, anh A được nhận lương là 10 triệu đồng mỗi tháng. Cứ hết một năm, anh A lại được tăng lương, mỗi tháng năm sau tăng 12% so với mỗi tháng năm trước. Mỗi khi lĩnh lương anh A đều cất đi phần lương tăng so với năm ngay trước để tiết kiệm mua ô tô. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì anh A mua được ô tô giá 500 triệu biết rằng anh A được gia đình hỗ trợ 32% giá trị chiếc xe? A. 11. B. 12. C. 13. D. 10. Lời giải Chọn C Số tiền anh A cần tiết kiệm là 500 − 500.0,12 = 340 (triệu). Gọi số tiền mà anh A nhận được ở mỗi tháng trong năm đầu tiên là u1 = 10 (triệu). Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang 17
  19. Website: tailieumontoan.com Thì số tiền mà anh A nhận được ở mỗi tháng trong năm thứ hai là u2 =u1. (1 + 0,12 ) =u1.1,12 (triệu). Số tiền mà anh A nhận được ở mỗi tháng trong năm thứ ba là u3 =1. (1 + 0,12 ) =1. (1,12 ) (triệu). 2 2 u u … Số tiền mà anh A nhận được ở mỗi tháng trong năm thứ n là = u1. (1 + 0,12 ) = u1. (1,12 ) n −1 n −1 un (triệu). Vậy số tiền mà anh A tiết kiệm được sau n năm là 12. ( u2 − u1 + u3 − u2 + ⋅⋅⋅ + un −1 − un − 2 + un −= 12. ( un − u1 ) 12. u1. (1,12 ) un −1 ) = − u1  . n −1   23 Cho 12. u1. (1,12 ) − u1  = ⇔ (1,12 ) n −1 = n−1 340 .   6 Thử trực tiếp ta nhận n = 13 . Vậy sau ít nhất 13 năm thì anh A sẽ tiết kiệm đủ tiền để mua ô tô. Câu 4. Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác trung bình của tam giác ABC . Ta xây dựng dãy các tam giác A1 B1C1 , A2 B2C2 , A3 B3C3 ,... sao cho A1 B1C1 là một tam giác đều cạnh bằng 3 và với mỗi số nguyên dương n ≥ 2 , tam giác An BnCn là tam giác trung bình của tam giác An −1 Bn −1Cn −1 . Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu S n tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác An BnCn . Tính tổng S = S1 + S 2 + ... + S n + ... 15π 9π A. S = . B. S = 4π . C. S = . D. S = 5π . 4 2 Lời giải Chọn B Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang 18
  20. Website: tailieumontoan.com Vì dãy các tam giác A1 B1C1 , A2 B2C2 , A3 B3C3 ,... là các tam giác đều nên bán kính đường tròn 3 ngoại tiếp các tam giác bằng cạnh × . 3 Với n = 1 thì tam giác đều A1 B1C1 có cạnh bằng 3 nên đường tròn ngoại tiếp tam giác A1 B1C1 2 3  3 có bán kính R1 = 3. π ⇒ S1 = 3.  .  3  3   3 Với n = 2 thì tam giác đều A2 B2C2 có cạnh bằng nên đường tròn ngoại tiếp tam giác 2 2 1 3  1 3 A2 B2C2 có bán kính R2 = 3. . π ⇒ S 2 = 3. .  2 3  .  2 3   3 Với n = 3 thì tam giác đều A3 B3C3 có cạnh bằng nên đường tròn ngoại tiếp tam giác A2 B2C2 4 2 1 3  1 3 có bán kính R3 = 3. . π ⇒ S3 = 3. .  4 3  .  4 3   ................... n−1 1 Như vậy tam giác đều An BnCn có cạnh bằng 3.   nên đường tròn ngoại tiếp tam giác 2 2 1 n −1 3   1 n −1 3  An BnCn có bán kính Rn = 3.   . π ⇒ S n = 3.   .  . 2 3  2 3    Khi đó ta được dãy S1 , S 2 , ...S n ... là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1 S1 3π = = 1 và công bội q = . 4 u1 Do đó tổng S = S1 + S 2 + ... + S n = + ... = 4π . 1− q Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang 19
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright ©2025 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
5=>2