intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Chuyên đề Diện tích mặt cầu

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:22

Thêm vào BST
Báo xấu
1
lượt xem 0
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chuyên đề Diện tích mặt cầu trình bày lý thuyết trọng tâm, các bài tập trắc nghiệm điển hình và bài tập tự luyện có lời giải cụ thể. Tài liệu giúp học sinh ghi nhớ công thức diện tích mặt cầu, xác định bán kính từ các dữ kiện cho trước, vận dụng vào bài toán thực tế. Mời các bạn học sinh cùng tham khảo tài liệu để giải tốt các bài tập hình học không gian.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề Diện tích mặt cầu

  1. Tailieumontoan.com  Sưu tầm CHUYÊN ĐỀ DIỆN TÍCH MẶT CẦU Tài liệu sưu tầm, ngày 15 tháng 11 năm 2020
  2. Website: tailieumontoan.com DẠNG TOÁN 9: DIỆN TÍCH MẶT CẦU I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Cho mặt cầu ( S ) tâm I có bán kính R 1. Diện tích mặt cầu Công thức S = 4π R 2 . 2. Thể tích khối cầu 4 Công thức V = π R 3 . 3 3. Giao của mặt cầu với đường thẳng Đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu ( S ) tâm I có bán kính R khi và chỉ khi d ( I ; ∆ ) = . R Đường thẳng ∆ cắt mặt cầu ( S ) tâm I có bán kính R tại hai điểm AB . Khi đó ta có AB 2 = d 2 ( I; ∆) + R2 4 4. Giao của mặt cầu với mặt phẳng Mặt phẳng ( P) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) tâm I có bán kính R khi và chỉ khi d ( I ;( P) ) = R . Mặt phẳng ( P) cắt mặt cầu ( S ) tâm I theo giao tuyến là hình tròn tâm H bán kính R′ . Khi đó ta có = d 2 ( I ;( P) ) + R′2 . R2 II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Tính bán kính khối cầu  Tính diện tích mặt cầu  Tính thể tích khối cầu  Bài toán liên quan thiết diện, dây cung  Mặt cầu nội tiếp-ngoại tiếp đa diện  Toán Max-Min liên quan khối cầu … BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Cho mặt cầu có bán kính R = 2 . Diện tích mặt cầu đó bằng Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Trang 1
  3. Website: tailieumontoan.com 32π A. . B. 8π . C. 16π . D. 4π . 3 Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Tính diện tích mặt cầu 2. HƯỚNG GIẢI: Diện tích mặt cầu: S = 4π R 2 . Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn C Diện tích mặt cầu: S = 4π R 2 4= 16π . = π 22 Bài tập tương tự và phát triển:  Mức độ 1 Câu 1. Cho mặt cầu có bán kính R = 1 . Diện tích mặt cầu đó bằng 4π A. 2π . B. 4π . C. 4π 2 . D. . 3 Lời giải Chọn B Diện tích mặt cầu: S = 4π R 2 4= 4π . = π 12 Câu 2. Cho mặt cầu có diện tích bằng 20π . Bán kính mặt cầu đó bằng 5 5 A. . B. 5 . C. 5. D. . 3 3 Lời giải Chọn C Ta có S = 4π R 2 = 20π ⇔ R 2 =5 ⇔ R = 5 . Câu 3. Cho mặt cầu có bán kính R = 3 . Thể tích mặt cầu đó bằng 81 4π A. 9π . B. π . C. 36π . D. . 4 3 Lời giải Chọn C 4 4 Thể tích khối cầu: S = π R 3 = π 33 = 36π . 3 3 Câu 4. Cho mặt cầu có diện tích bằng 20π . Thể tích mặt cầu đó bằng 20 3 5 20 5 A. π. B. 20 5π . C. π. D. π. 3 100 3 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Trang 2
  4. Website: tailieumontoan.com Lời giải Chọn D Ta có 4π R 2 =20π ⇔ R 2 =5 ⇔ R = 5 . 4 3 4 3 20 5 πR Thể tích khối cầu: S == = π 5 π. 3 3 3 4π Câu 5. Cho mặt cầu có thể tích bằng . Bán kính mặt cầu đó bằng 3 3 A. π . B. 1 . C. 2 . D. . 3 Lời giải Chọn B 4 3 4 Thể tích khối cầu: π R = ⇔ R3 = ⇔ R = 1 1 3 3 4π Câu 6. Cho mặt cầu có thể tích bằng . Diện tích mặt cầu đó bằng 3 4π A. 2π . B. 4π . C. 4π 2 . D. . 3 Lời giải Chọn B 4 3 4 Thể tích khối cầu: π R = ⇔ R3 = ⇔ R = 1 1 3 3 Diện tích mặt cầu: S = 4π R 2 4= 4π . = π 12 Câu 7. Cho mặt cầu có đường kính bằng 2a . Tính diện tích mặt cầu đó theo a . 32π a 2 A. 4π a . 2 B. 4π . C. 4π a .2 D. . 3 Lời giải Chọn A d = Ta có R = a suy ra S = 4π R 2 = 4π a 2 . 2 Câu 8. Cho mặt cầu có đường kính bằng 2a . Tính thể tích mặt cầu đó theo a . 4π a 3 4π a 3 A. a . B. 4π a . 3 C. . D. . 3 3 Lời giải Chọn C Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Trang 3
  5. Website: tailieumontoan.com d 4π R 3 4π a 3 = Ta có R = a suy ra V = = . 2 3 3 16π Câu 9. Cho mặt cầu có thể tích . Tính đường kính mặt cầu đã cho. 3 A. 1 . B. 2 . C. 4 . D. 4π . Lời giải Chọn C 4π R 3 32π Ta có = ⇔ R = 2 . Đường kính mặt cầu là = 2= 4 . d R 3 3 Câu 10. Cho mặt cầu có bán kính R = 3 . Diện tích hình tròn qua tâm bằng A. 3π . B. 6π . C. 4π . D. 9π . Lời giải Chọn D Hình tròn qua tâm có bán kính bằng R = 3 nên có diện tích S = π = π= 9π . R2 32  Mức độ 2 Câu 1. Cho mặt cầu tâm I có bán kính R = 5 . Đường thẳng d cắt mặt cầu tại hai điểm A, B sao cho AB = 6. Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng d A. 2 . B. 4 . C. 3 . D. 5 . Lời giải Chọn B AB 2 62 Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng d là d ( I ; AB ) = R − 2 = 5 − 2 = 4. 4 4 Câu 2. Cho mặt cầu ( S ) có tâm I một đường thẳng d cắt mặt cầu tại hai điểm A, B sao cho AB = 6 và khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng d bằng 4. Tính diện tích mặt cầu ( S ) . A. 8π . B. 28π . C. 100π . D. 100 . Lời giải Chọn C AB 2 62 Bán kính mặt cầu R = d 2 ( I ; AB ) + = 42 + = 5. 4 4 Diện tích mặt cầu là 4π R 2 4= 100π . = π 52 Câu 3. Cho mặt cầu ( S ) một đường thẳng d cắt mặt cầu tại hai điểm A, B sao cho AB = 6 và khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng d bằng 4. Tính thể tích khối cầu. 28π 100 100π A. . B. 100π . C. . D. . 3 3 3 Lời giải Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Trang 4
  6. Website: tailieumontoan.com Chọn D AB 2 62 Bán kính mặt cầu R = d 2 ( I ; AB ) + = 42 + = 5. 4 4 4 2 4 2 100π πR Thể tích khối cầu là = = π5 . 3 3 3 Câu 4. Cho mặt cầu ( S ) một đường thẳng d cắt mặt cầu tại hai điểm A, B sao cho AB = 6 và khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng d bằng 4. Tính chu vi đường tròn lớn của mặt cầu ( S ) . A. 10π . B. 20π . C. 7π . D. 2π . Lời giải Chọn A AB 2 62 Bán kính mặt cầu R = d 2 ( I ; AB ) + = 42 + = 5. 4 4 Đường tròn lớn là đường tròn đi qua tâm nên có bán kính bằng R . Chu vi đường tròn lớn cầu là 2π R 2= 10π . = π5 Câu 5. Cho mặt cầu ( S ) có bán kính bằng 5. Một mặt phẳng ( P) cắt mặt cầu theo một hình tròn, biết khoảng cách từ tâm mặt cầu đến ( P) bằng 4. Tính diện tích hình tròn trên. A. 3π 2 . B. π . C. 9π . D. 9 . Lời giải Chọn C Gọi R′ là bán kính hình tròn thiết diện, ta có R′ = R 2 − d 2 ( I ;( P) ) = 52 − 4 2 = 3 . Diện tích hình tròn thiết diện là π = π= 9π . R2 32 Câu 6. Cho mặt cầu ( S ) có bán kính bằng 5. Một mặt phẳng ( P) cắt mặt cầu theo một hình tròn, biết khoảng cách từ tâm mặt cầu đến ( P) bằng 3. Tính chu vi hình tròn trên. A. 8π . B. 8 . C. 4π . D. 2 34π . Lời giải Chọn A Gọi R′ là bán kính hình tròn thiết diện, ta có R′ = R 2 − d 2 ( I ;( P) ) = 52 − 32 = 4 . Chu vi hình tròn thiết diện là 2π R 2= 8π . = π4 Câu 7. Cho mặt cầu ( S ) và một mặt phẳng ( P) cắt mặt cầu theo một hình tròn, biết khoảng cách từ tâm mặt cầu đến ( P) bằng 4 và bán kính hình tròn thiết diện bằng 3. Tính diện tích mặt cầu ( S ) . A. 120π . B. 50π . C. 100π . D. 28π . Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Trang 5 Lời giải
  7. Website: tailieumontoan.com Chọn C Gọi R′ là bán kính hình tròn thiết diện khi đó R′ = 3 . Ta có R = d 2 ( I ;( P) ) + R′2 = 42 + 32 = 5 . Diện tích mặt cầu là 4π R 2 4= 100π . = π 52 Câu 8. Cho mặt cầu ( S ) và một mặt phẳng ( P) cắt mặt cầu theo một hình tròn, biết khoảng cách từ tâm mặt cầu đến ( P) bằng 4 và bán kính hình tròn thiết diện bằng 3. Tính thể tích khối cầu ( S ) . 100π 100 28π A. . B. 100π . C. . D. . 3 3 3 Lời giải Chọn A Gọi R′ là bán kính hình tròn thiết diện khi đó R′ = 3 . Ta có R = d 2 ( I ;( P) ) + R′2 = 42 + 32 = 5 . 4 2 4 2 100π πR Thể tích khối cầu là = = π5 . 3 3 3 Câu 9. Cho mặt cầu ( S ) có bán kính bằng 5. Một đường thẳng d cắt mặt cầu tại hai điểm A, B sao cho sao cho khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng d bằng 3. Độ dài dây cung AB bằng A. 8 . B. 6 . C. 4 . D. 5 . Lời giải Chọn A Gọi M là trung điểm của AB , khi đó ta có IM = 3 . MA = MB = R 2 − IM 2 = 52 − 32 = 4 . Độ dài dây cung = 2= 8 . AB MA Câu 10. Cho mặt cầu ( S ) có bán kính bằng 5. Một mặt phẳng ( P) cắt mặt cầu theo một hình tròn, biết khoảng cách từ tâm mặt cầu đến ( P) bằng 3. Tính đường kính của hình tròn thiết diện A. 5 . B. 6 . C. 4 . D. 8 . Lời giải Chọn D Gọi R′ là bán kính hình tròn thiết diện, ta có R′ = R 2 − d 2 ( I ;( P) ) = 52 − 32 = 4 . R′ Đường kính của hình tròn thiết diện là= 2= 8 . d  Mức độ 3 Câu 1. Hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , SA vuông góc với mặt phẳng ABC , = a= b= c . Tính bán kính của mặt cầu đi qua các điểm và A, B, C và S . Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Trang 6 SA , AB , AC
  8. Website: tailieumontoan.com A. R= a 2 + b2 + c2 . B. R 2 a 2 + b 2 + c 2 . = 1 2 2 2 C. = R a + b2 + c2 . D. = R a + b2 + c2 . 2 3 Lời giải Chọn C S N I A C H B Gọi H là trung điểm của BC ⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Gọi ∆ là trục của đường tròn đáy, đường trung trực của SA nằm trong mặt phẳng ( SAH ) cắt ∆ tại I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. a b +c 2 22 1 2 Bán kính của hình chóp là R = IB = IH 2 + HB 2 =   + = a + b2 + c2 . 2 4 2 Câu 2. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau và OA a= 2a= 3a . = , OB , OC Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC . A. S = 8π a 2 . B. S = 14π a 2 . C. S = 12π a 2 . D. S = 10π a 2 . Lời giải Chọn B A d M I 3a O C 2a N B Gọi N là trung điểm BC ⇒ N là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆OBC . Qua N dựng đường thẳng d vuông góc với ( OBC ) ⇒ d là trục của đáy. Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Trang 7
  9. Website: tailieumontoan.com Xét mặt phẳng chứa d và OA dựng đường trung trưc của OA ( M là trung điểm OA ) cắt d tại I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện OABC . a = = Ta có: OM NI 2 Xét ∆OBC có BC 2 = OB 2 + OC 2 = ( 2a ) + ( 3a ) = 13a 2 ⇒ BC = a 13 . 2 2 1 1 = ON =BC a 13 . 2 2 1 2 13 2 14 2 14 2 Xét ∆SOI : IO 2 = ON 2 + NI 2 = a + a = a ⇒ OI 2 = a = R2 . 4 4 4 4 14 2 Diện tích xung quanh mặt cầu ngoại tiếp là : S xq 4= 4π = 14π a 2 . = π R2 a 4 Câu 3. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 3a, BC = 4a, SA = 12a và SA vuông góc với đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD. 5a 17 a 13a A. R = . B. R = . C. R = . D. R = 6a . 2 2 2 Lời giải Chọn C ( 3a ) + ( 4a ) 2 2 AC 5a Vì ABCD là hình chữ nhật nên ta có bán kính đáy là: = = Rd = . 2 2 2 Đường cao SA = 12a . 2 2 2  SA   12a   5a  13a = Ta có bán kính mặt cầu là : R  =  + Rd 2   +  = .  2   2   2  2 Câu 4. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy và SA = a 2. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD. 32π a 3 4π a 3 4π 2a 3 A. V = . B. V = . C. V = 4π a 3 . D. V = . 3 3 3 Lời giải Chọn B AC a 2 Vì ABCD là hình vuông nên ta có bán kính đáy là: = Rd = . 2 2 Đường cao SA = a 2 . 2 2  SA  2 a 2 a 2 = Ta có bán kính mặt cầu là : R  =  + Rd 2  2  + 2      = a.  2      4π a 3 Thể tích khối cầu là V = . 3 Câu 5. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh 3a , cạnh bên SC = 2a và SC vuông góc Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Trang 8 với mặt phẳng đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC .
  10. Website: tailieumontoan.com 2a 3 a 13 A. R = . B. R = 3a . C. R = . D. R = 2a . 3 2 Lời giải Chọn D Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC ⇒ O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , dựng đường thẳng d đi qua O và vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . Gọi M là trung điểm của cạnh SA , qua M dựng mặt phẳng trung trực của cạnh SA cắt đường thẳng d tại điểm I . Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Ta có AO = MI = a 3 ⇒ R = AI = AM 2 + MI 2 = 2a . Câu 6. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam vuông tại A = 3, AC 4 , SA vuông góc với đáy, , AB = SA = 2 14 . Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC . 169π 729π 2197π 13π A. R = . B. R = . C. R = . D. R = . 6 6 8 8 Lời giải Chọn B Gọi O là trung điểm cạnh BC ⇒ O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , dựng đường thẳng d đi qua O và vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . Gọi M là trung điểm của cạnh SA , qua M dựng mặt phẳng trung trực của cạnh SA cắt đường thẳng d tại điểm I . Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Trang 9
  11. Website: tailieumontoan.com 1 1 2 5 9 Ta có AO = BC = 3 + 42 = ⇒ R = AI = AM 2 + MI 2 = . 2 2 2 2 4 243π 729π = = = Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là: V π R3 . 3 2 6 Câu 7. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy, SC tạo với mặt phẳng ( ABCD ) một góc 45o . Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. A. S = 4π a 2 . B. S = 6π a 2 . C. S = 8π a 2 . D. S = 12π a 2 . Lời giải Chọn A Gọi O là giao điểm của AC và BD ⇒ O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD , dựng đường thẳng d đi qua O và vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Gọi M là trung điểm của cạnh SA , qua M dựng mặt phẳng trung trực của cạnh SA cắt đường thẳng d tại điểm I . Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Ta có SC tạo với mặt phẳng ( ABCD ) một góc 45o suy ra tam giác SAC vuông cân tại A suy ra = AC a 2 SA = 1 a 2 AO = AC = ⇒ R = AI = AM 2 + MI 2 = a . 2 2 Vậy diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: S 4= 4π a 2 . = π R2 Câu 8. Hình chóp S . ABC có SA ⊥ ( ABC ) , tam giác ABC vuông cân tại B , AB = a và góc giữa SC với ( ABC ) bằng 45° . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC . a 3 a 2 A. R = . B. R = a 2 . C. R = . D. R = a . 2 2 Lời giải Chọn D Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Trang 10
  12. Website: tailieumontoan.com S I N 45° A M C B Gọi ; N , M , I lần lượt là trung điểm các cạnh SA, AC , SC . Ta có: IM // SA ⇒ IM ⊥ ( ABC ) , mà M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên IM là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ⇒ IA = IB = IC (1) . NI // AC ⇒ NI ⊥ SA ⇒ NI là đường trung trực của SA nên IA = IS ( 2 ) . Từ (1) và ( 2 ) suy ra: IA IB IC IS ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC . = = =  Góc giữa đường thẳng SC và đáy là: SCA 45° ⇒ tam giác SAC vuông cân tại A . = 2 2 Ta có: tứ giác ANIM là hình vuông ⇒= 2 AM IA = = AC AB = a . 2 2 2 = = Bán kính mặt cầu: R IA a . Câu 9. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 1 , SA ⊥ ( ABC ) , góc giữa mặt bên ( SBC ) và đáy bằng 60° . Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC . 43π 43π 43π 43π A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . 48 36 4 12 Lời giải Chọn D S Δ N d I A C P G M B Gọi G là trọng tâm tam giác ABC .Vì tam giác ABC đều nên G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Gọi ∆ là đường thẳng đi qua G và vuông góc với ( ABC ) , d là đường thẳng đi qua trung điểm N của SA và vuông góc với SA . Gọi I = d ∩ ∆ . Ta có: IG là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ⇒ IA = IB = IC (1) . NI là đường trung trực của SA nên IA = IS ( 2 ) . Từ (1) và ( 2 ) suy ra: IA IB IC IS ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC . Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Trang 11 = = =
  13. Website: tailieumontoan.com  Góc giữa ( SBC ) và đáy là: SMA 60° . = 3 3 Xét tam giác SAM vuông tại A : SA AM .tan 60° = = = . 3 . 2 2 2 2 3 3 = Xét tam giác ABC : AG = = AM . . 3 3 2 3 9 1 43 Ta có: tứ giác ANIG là hình chữ nhật ⇒ IA= AN 2 + AG 2= + = . 16 3 4 3 43 43π = = Bán kính mặt cầu: R IA = π R2 . Diện tích mặt cầu: S 4= . 4 3 12 Câu 10. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật, AC = 7 a , SA = a 7 và SA ⊥ ( ABCD) . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD . 7a A. R = a 56 . B. R = a 14 . C. R = a 7 . D. R = . 2 Lời giải Chọn B S I A B O D C Gọi I là trung điểm cạnh SC . Dễ thấy: SA ⊥ ( ABCD) ⇒ SA ⊥ AC BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SB CD ⊥ ( SAD) ⇒ CD ⊥ SD Như vậy các điểm A, B, D đều nhìn cạnh SC dưới một góc vuông. Khi đó mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD có tâm I là trung điểm SC và bán kính : SC SA2 + AC 2 (7 a ) 2 + ( 7 a) 2 = = R = = 14a . 2 2 2 Câu 11. Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với ( BCD ) và AB = a 2 . Biết tam giác BCD có BC , BD  = a= a 3 và CBD 30° . Tính thể tích V của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . = 6π a 3 3 6π a 3 6π a 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = 6π a 3 . 3 4 2 Lời giải Chọn D Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Trang 12
  14. Website: tailieumontoan.com A J O D B I C • Tìm O là tâm của mặt cầu. Gọi I là tâm đáy BCD . + Dựng trục của đáy: d qua I , vuông góc ( BCD ) . Vì AB ⊥ ( BCD ) ⇒ AB / / d . + Gọi J là trung điểm AB . Qua J vẽ đường thẳng ∆ / / BI ⇒ ∆ là trung trực AB . + d ∩ ∆ {O} ⇒ O là tâm của mặt cầu. = • Chứng minh: + Vì O ∈ d là trục của đáy ⇒ OD = OB = OC (1) + O ∈ trung trực của AB ⇒ OA =( 2 ) . OB Từ (1) và (2) ⇒ OA = OB = OC = OD ⇒ O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp A.BCD . Ta có: + AB 2 = 2a 2 ; BI = R đáy + CD 2 BC 2 + BD 2 − 2 BD.BC.cos CBD = = a 2 + 3a 2 − 2.a.a 3.cos 30° a 2 = ⇒ CD = a. + Áp dụng định lý sin vào tam giác BCD ta có: CD CD a = 2R đáy = = ⇒ R đáy = a. sin CBD 2sin CBD 2.sin 30° Trong tam giác vuông BOJ có: 2  AB  AB 2 2a 2 6a 2 a 6 R cầu = OB = JB + JO ⇒ OB =  2 2 2 2  + BI = 2 + BI 2 = + a2 = =  2  4 4 4 2 thể tích V của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD : 4 4 6a 2 a 6 =V = π R3 π. .= π a 3 6 . 3 3 4 2 Câu 12. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông tại A và B, AB BC a và AD = 2a , = = SA ⊥ ( ABCD ) và SA = a 2. Gọi E là trung điểm của AD . Kẻ EK ⊥ SD tại K . Tính bán kính của mặt cầu đi qua sáu điểm S , A, B, C , E , K . Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Trang 13
  15. Website: tailieumontoan.com a a 6 a 3 A. R = . B. R = a. C. R = . D. R = . 2 2 2 Lời giải Chọn B Gọi O là tâm hình vuông ABCE. Từ O kẻ OI // SA. Suy ra I là trung điểm SC. (a 2 ) + (a 2 ) 2 2 Ta có : ∆SAC , SC = = 2a.  =− CD = SC 2 + SD 2 2 2a 6 6 SD =a 6, SK == ; ∆SCD, cos CSD , CD a 2, SI = a . 3 2.SC.SD 3   ∆SCD, IK = SI 2 + SK 2 − 2.SI .SK .cos CSD = SI 2 + SK 2 − 2.SI .SK .cos CSD = a . SC = = = = = Mặt khác I . ABCE là hình chóp đều nên IA IB IC IE IK = a. 2 Vậy hình chóp K . ABCE ngoại tiếp mặt cầu tâm I bán kính R = a. 1, AC 2 và  Câu 13. Cho hình chóp S . ABCD có SA ⊥ ( ABC ) , AB ==BAC 60°. Gọi M , N lần lượt là = hình chiếu A trên B, SB, SC. Tính bán kính R của mặt cầu đi qua các điểm A, B, C , M , N . 2 3 4 A. R = 2. B. R = . C. R = . D. R = 1. 3 3 Lời giải Chọn D Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Trang 14
  16. Website: tailieumontoan.com = =  Vì ABC có AB 1, AC 2, BAC 60° nên ABC là tam giác vuông tại B. = AC = = = Gọi I là trung điểm AC. Ta có IA IB IC = 1. 2 BC ⊥ AB    ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AM  Mặt khác: BC ⊥ SA   ⇒ AM ⊥ ( SBC ) ⇒ AM ⊥ MC. AM ⊥ SB   AC = = = Vì AMC là tam giác vuông tại M nên IA IC IM = 1. 2 AC = = = Tương tự ANC là tam giác vuông tại N nên IA IC IN = 1. 2 Vậy hình chóp M . ABCN ngoại tiếp mặt cầu tâm I bán kính R = 1. Câu 14. Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có AB = a , góc giữa đường thẳng A ' C và mặt phẳng ( AA ' B ' B ) bằng 30° . Gọi H là trung điểm của AB . Tính theo a bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A '. ABC . a 3 a 2 a 6 a 30 A. R = . B. R = . C. R = . D. R = . 6 2 6 6 Lời giải Chọn D  Vì CH ⊥ ( AA ' B ' B ) nên góc giữa đường thẳng A ' C và mặt phẳng ( AA ' B ' B ) là HA ' C 30° . = Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Trang 15
  17. Website: tailieumontoan.com HC a 3 3a A' H = = ⋅ 3= ; AA ' = A ' H 2 − AH 2 = a 2 . tan 30° 2 2 Gọi G là trọng tâm của tam giác đều ABC . Dựng ∆ qua G và ∆ ⊥ ( ABC ) . Gọi N là trung điểm của AA ' . Dựng trung trực ∆ ' của AA ' . Gọi O = ∆ ∩ ∆ ' . Suy ra O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A '. ABC . AA ' a 2 a 3 = OG = = ; GC . 2 2 3 2 2 a 3 a 2 a 30 Bán kính của mặt cầu là R = = OG 2 + GC 2 =  OC  3  + 2  = 6 .        Câu 15. Cho tứ diện S . ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB a= a 3 và = , BC = a= a 2, SC = a 5 . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S . ABC SA 2, SB a 259 a 259 a 259 a 37 A. R = . B. R = . C. R = . D. R = . 7 14 2 14 Lời giải Chọn B Do SC 2 BC 2 + SB 2 nên tam giác SBC vuông tại B. = Có tam giác ABC vuông tại B . Suy ra BC ⊥ ( SAB ) . Gọi H là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB . Dựng ∆ qua H và ∆ ⊥ ( SAB ) . Gọi M là trung điểm của BC . Dựng trung trực ∆ ' của BC . Gọi O = ∆ ∩ ∆ ' . Suy ra O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S . ABC . Bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S . ABC là R = BO . Diện tích của tam giác SAB là  SA + SB + AB  SA + SB + AB  SA + SB + AB  SA + SB + AB  a 7 2 S SAB   − AB  − SA  = − SB   2  2  2  2  4 SA.SB. AB 2a Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB là= BH R = = . 4.S SAB 7 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Trang 16
  18. Website: tailieumontoan.com 2  2a   a 3  2 a 259 R = = BH + HO =  BO 2 2  +  2  = 14 .  7     Câu 16. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD. a 21 a 5 a 30 a 30 A. R = . B. R = . C. R = . D. R = . 6 2 6 3 Lời giải Chọn A Gọi H là trung điểm của cạnh AB. Vì tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy suy ra SH ⊥ ( ABCD ) . * Tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD - Gọi O là tâm hình vuông ABCD . Từ O dựng đường thẳng ∆ ⊥ ( ABCD ) . - Gọi G là trọng tâm tam giác SAB suy ra G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB. Từ G dựng đường thẳng d ⊥ ( SAB ) . - Gọi I = d ∩ ∆. Suy ra IA IB IC ID IS . Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp = = = = S . ABCD. * Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD 1 a 2 a 3 1 a 3 = = Ta có AC a 2, OC = AC = , SH , = GH OI = = SH . 2 2 2 3 6 Ta có bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD là 2 2 a 3 a 2 a 21 R= IO + OC = 2 2  6  + 2  = 6 .         Câu 17. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều mà ( SAB ) vuông góc với ( ABCD ) . Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD. 7 24 3 5 30 3 2 3 7 21 3 A. V = πa . B. V = πa . C. V = πa . D. V = πa . 24 27 3 54 Lời giải Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Trang 17
  19. Website: tailieumontoan.com Chọn D Gọi H là trung điểm của cạnh AB. Vì tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy suy ra SH ⊥ ( ABCD ) . * Tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD - Gọi O là tâm hình vuông ABCD . Từ O dựng đường thẳng ∆ ⊥ ( ABCD ) . - Gọi G là trọng tâm tam giác SAB suy ra G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB. Từ G dựng đường thẳng d ⊥ ( SAB ) . - Gọi I = d ∩ ∆. Suy ra IA IB IC ID IS . Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp = = = = S . ABCD. * Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD a 3 1 a 3 = Ta có SH , = GH OI = = SH . 2 3 6 Ta có bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD là 2 2 a 3 a 2 a 21 R= IO + OC = 2 2  6  + 2  = 6 .         Vậy thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD là 3 4 4  a 21  7 21 3 = = V π R3 π =  πa . 3 3  6    54 Câu 18. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a= 2a . Mặt bên SAB = , AD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD . 2a 2 3a 2 3a 3 2a 3 A. R = . B. R = . C. R = . D. R = . 3 2 2 3 Lời giải Chọn D Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Trang 18
  20. Website: tailieumontoan.com a 3 Gọi M là trung điểm của AB. Vì tam giác SAB đều cạnh bằng a ⇒ SM ⊥ AB, SM = . 2 Ta có ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) , ( SAB ) ∩ ( ABCD ) = AB ⇒ SM ⊥ ( ABCD ) . Gọi = AC ∩ BD , vì ABCD là hình chữ nhật nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ O AC 1 1 a 5 nhật ABCD , OA = = AD 2 + CD 2 = ( 2a ) + a 2 = 2 . 2 2 2 2 Dựng ∆ đi qua O và ∆ / / SM ⇒ ∆ ⊥ ( ABCD ) ⇒ ∆ là trục của hình chữ nhật ABCD . OM ⊥ AB Ta có  ⇒ OM ⊥ ( SAB ) . OM ⊥ SM Gọi G là trọng tâm tam giác SAB, vì ∆SAB đều nên G là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆SAB . Trong mặt phẳng ( SM , ∆ ) , dựng GI / / OM ( I ∈ ∆ ) ⇒ GI ⊥ ( SAB ) ⇒ GI là trục của ∆SAB . ⇒ IA = IB = IS (1) . Mà I ∈ ∆ ⇒ IA IB IC ID ( 2 ) . = = = Từ (1) và ( 2 ) ⇒ IA = IB = IC = ID = IS ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD , bán kính R = IA. 1 a 3 Ta có IOMG là hình chữ nhật ⇒ OI = MG = SM = . 3 6 2 2 a 3 a 5 2a 3 Trong tam giác IOA vuông tại O, có IA = OI + OA = 2 2  6  + 2  =     .     3 2a 3 Vậy R = . 3 Câu 19. Cho hình chóp đều S . ABC có cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và đáy bằng 60°. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC. a 2a a 3 4a A. R= ⋅ B. = R ⋅ = C. R ⋅ D. = R ⋅ 3 3 3 3 Lời giải Chọn B Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Trang 19
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright ©2025 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2