Tailieumontoan.com
Sưu tầm
CHUYÊN ĐỀ
NGUYÊN HÀM
Tài liệu sưu tầm, ngày 24 tháng 8 năm 2020
Website: tailieumontoan.com
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Định nghĩa nguyên hàm
Cho hàm số
( )
fx
xác định trên
K
. Hàm số
( )
Fx
được gọi là nguyên hàm của hàm số
( )
fx
trên
K
nếu
( ) ( )
'Fx fx=
xK∀∈
.
2. Tính chất của nguyên hàm
( ) ( )
' dxf x fx C= +
∫
.
( ) ( )
dx dx
kfx kfx=
∫∫
với
0
k
≠
.
( ) ( )
[ ( )]dx dx ( )dxf x gx f x gx±= ±
∫ ∫∫
.
3. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
Nguyên hàm cơ bản
Nguyên hàm mở rộng
•
0dx C=
∫
•
1.dx x C
= +
∫
•
1, ( 1)
1
x
x dx C
α
αα
α
+
= + ≠−
+
∫
•
1lndx x C
x= +
∫
;
•
xx
e dx e C= +
∫
•
(0 1)
ln
x
xa
a dx C a
a
= + <≠
∫
•
cos sinxdx x C= +
∫
•
sin cos
xdx x C
=−+
∫
•
2
1tan
cos dx x C
x= +
∫
•
2
1cot
sin dx x C
x=−+
∫
•
( ) ( )
1
1,1
1
ax b
ax b dx C
a
α
α
α
α
+
+
+ = + ≠−
+
∫
•
11
lndx ax b C
ax b a
= ++
+
∫
•
( )
2
1 11
.dx C
a ax b
ax b =−+
+
+
∫
•
1, ( 0)
ax b ax b
e dx e C a
a
++
= +≠
∫
•
1
cos( ) sin( ) ( 0)ax b dx ax b C a
a
+ = ++ ≠
∫
•
1
sin( ) cos( )ax b dx ax b C
a
+ =− ++
∫
•
( ) ( )
2
11
tan
cos dx ax b C
ax b a
= ++
+
∫
•
( ) ( )
2
11
cot
sin dx ax xb C
ax b a
=− ++
+
∫
4) Một số phương pháp tính nguyên hàm
a) Áp dụng bảng nguyên hàm
b) Phương pháp đổi biến
Định lí: Cho
()d ()fu u Fu C
và
()u ux
là hàm số có đạo hàm liên tục thì
DẠNG TOÁN 6: NGUYÊN HÀM
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038 Trang 1
Website: tailieumontoan.com
() ()d () .f ux u x x F ux C
Có sẵn Tách từ hàm Nhân thêm
Một số dạng đổi biến thường gặp
1
1
22
( ). d d d
d 1 d ( 1) d ,
1
( ). d d 2 d
PP
n
m
n
PP nn
n
PP
n
I f ax b x x t ax b t a x
x
I x t x t n xx
ax
I f ax b x x t ax b t ax x
với
, .
mn
(). ()d
n
I fx f x x
PP
Đặt
1
() () d ()d.
nn
n
t fx t fx nt t f x x
1
(ln ) d
1
( ln ) d
I fx x
x
I fa b x x
x
PP
Đặt
1
ln d d
ln d d
t xt x
x
b
t abx t x
x
(e ).e d
xx
If x
PP
Đặt
e d ed
e d ed
xx
xx
t tx
t ab t b x
(cos ).sin dI f x xx
PP
Đặt
cos d sin d
cos d sin d
t x t xx
t a b x t b xx
(sin ).cos dI f x xx
PP
Đặt
sin d cos d
sin d cos d
t x t xx
t a b x t b xx
2
d
(tan ) cos
x
I fx x
PP
Đặt
2
2
1
tan d d (1 tan )d .
cos
t x t x xx
x
2
d
(cot ) sin
x
I fx x
PP
Đặt
2
2
d
cot d (1 cot )d .
sin
x
t x t xx
x
22
(sin ; cos ).sin 2 dI f x x xx
PP
Đặt
2
2
sin d sin 2 d
cos d sin 2 d
t x t xx
t x t xx
(sin cos ).(sin cos )dIfxxxxx
PP
Đặt
sin cos .txx
Lưu ý: Sau khi đổi biến và tính nguyên hàm xong, ta cần trả lại biến cũ ban đầu là
.x
Nhóm 1.
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038 Trang 2
Website: tailieumontoan.com
( )
( )
( )
1
1
22
.
1 1 ,khi m,n
1
.2
nPP
m
nPP nn
n
nPP
I f ax b xdx t ax b dt adx
x
I dx t ax dt a n x dx Z
ax
I f ax b xdx t ax b dt axdx
+
+
= + → = + ⇒ =
= → = + ⇒ = + ∈
+
= + → = + ⇒ =
∫
∫
∫
.
Nhóm 2.
Hai công thức thường được sử dụng là:
2dx ax b C
a
ax b = ++
+
∫
và
( )
3
2
3
ax bdx ax b C
a
+ = ++
∫
.
Nhóm 3.
+Nếu :
( )
1
ln .I f x dx
x
=∫
Đặt :
1
lnt x dt dx
x
= →=
+ Nếu :
( )
1
ln .I f a b x dx
x
= +
∫
Đặt :
ln b
t a b x dt dx
x
=+ →=
Nhóm 4.
Tìm
(e ).e d
xx
If x=∫
PP
→
Đặt
e d ed
e d ed
xx
xx
t tx
tab tb x
=⇒= ⋅
=+ ⇒=
Nhóm 5.
Nhóm đổi biến hàm số lượng giác
c) Phương pháp từng phần
Định lý: Nếu hai hàm số
( )
u ux=
và
( )
v vx=
có đạo hàm và liên tục trên
K
thì
() () ( ) ( ) ( ) ( )
ddI uxv x x uxvx vxu x x
′′
= = −
∫∫
hay
ddI u v uv v u= = −
∫∫
.
Vận dụng giải toán:
Nhận dạng: Tích hai hàm nhân khác nhau, ví dụ:
sin d , ln d ,...
x
e xx x xx
∫∫
+ Đặt
......... d ......d
d ......d .........
u ux
v xv
= =
⇒
= =
. Suy ra
dd
I u v uv v u= = −
∫∫
.
+ Thứ tự ưu tiên chọn u: log – đa – lượng – mũ và
dv =
phần còn lại.
+ Lưu ý: Bậc của đa thức và bậc của ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm.
+ Dạng mũ nhân lượng giác là dạng nguyên hàm từng phần luân hồi.
5) Nguyên hàm của hàm ẩn
Nhóm 1. Sử dụng định nghĩa
() ().F x fx
Nhóm 2. Sử dụng định nghĩa giải bài toán nguyên hàm của hàm ẩn
Vận dụng tính chất
()d () , ()d () ,...fx x fx C f x x fx C
vào các dạng sau:
( )d ( . )d .u v v u x u v x uv C
1
. .d ( ) .
n nn
n u u x u dx u C
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038 Trang 3
Website: tailieumontoan.com
2
.
uv vu u u
dx dx C
vv
v
d ln d ln .
ux u x uC
u
d ( )d .
2
ux ux uC
u
2
11
d d.
ux xC
uu
u
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
* DẠNG 1: Tính nguyên hàm bằng địng nghĩa và bảng nguyên hàm.
* DẠNG 2: Nguyên hàm của hàm hữu tỉ.
* DẠNG 3: Nguyên hàm từng phần.
* DẠNG 4: Nguyên hàm đổi biến.
* DẠNG 5: Nguyên hàm hàm ẩn.
BÀI TẬP MẪU
Câu 6. (ĐỀ MINH HỌA BDG LẦN 2 NĂM 2019-2020) Hàm số
()Fx
là một nguyên hàm của hàm số
()fx
trên khoảng
K
nếu
A.
'() (), .Fx fx x K=− ∀∈
B.
'() (), .fxFxxK
= ∀∈
C.
'() (), .Fx fx x K= ∀∈
D.
'() (), .f x Fx x K=− ∀∈
Lời giải
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán sử dụng định nghĩa nguyên hàm.
2. HƯỚNG GIẢI:
Sử dụng định nghĩa : Hàm số
( )
Fx
được gọi là nguyên hàm của hàm số
( )
fx
trên
K
nếu
( ) ( )
'Fx fx=
,
xK∀∈
.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn C
Theo định nghĩa thì hàm số
()Fx
là một nguyên hàm của hàm số
()fx
trên khoảng
K
nếu
'() (), .Fx fx x K= ∀∈
Bài tập tương tự và phát triển:
Mức độ 1
Câu 1. Hàm số
( )
3
3
x
x
Fx e= +
là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau đây?
A.
( )
4
.
3
x
x
fx e= +
B.
( )
2
3
x
fx x e= +
. C.
( )
4
12
x
x
fx e= +
. D.
( )
2x
fx x e= +
.
Lời giải
Chọn D
Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038 Trang 4
