Tailieumontoan.com
Điện thoại (Zalo) 039.373.2038
CHUYÊN ĐỀ
ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH
Tài liệu sưu tầm, ngày 21 tháng 9 năm 2021
Website: tailieumontoan.com
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
1
BÀI 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH
I – LÝ THUYẾT
A– KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH
1. Phương trình một ẩn
Phương trình ẩn
x
là mệnh đề chứa biến có dạng
f x gx
1
trong đó
fx
và
gx
là những biểu thức của
.x
Ta gọi
fx
là vế trái,
gx
là vế phải của
phương trình
1.
Nếu có số thực
0
x
sao cho
00
f x gx
là mệnh đề đúng thì
0
x
được gọi là một nghiệm
của phương trình
1.
Giải phương trình
1
là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm).
Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm (hoặc nói tập
nghiệm của nó là rỗng).
2. Điều kiện của một phương trình
Khi giải phương trình
1
, ta cần lưu ý với điều kiện đối với ẩn số
x
để
fx
và
gx
có
nghĩa (tức là mọi phép toán đều thực hiện được). Ta cũng nói đó là điều kiện xác định của
phương trình (hay gọi tắt là điều kiện của phương trình).
3. Phương trình nhiều ẩn
Ngoài các phương trình một ẩn, ta còn gặp những phương trình có nhiều ẩn số, chẳng hạn
2
2 22
3 2 2 8, 2
4 23 2 . 3
x y x xy
x xy z z xz y
Phương trình
2
là phương trình hai ẩn (
x
và
y
), còn
3
là phương trình ba ẩn (
,xy
và
z
).
Khi
2, 1xy
thì hai vế của phương trình
2
có giá trị bằng nhau, ta nói cặp
; 2;1xy
là một nghiệm của phương trình
2.
Tương tự, bộ ba số
; ; 1;1; 2xyz
là một nghiệm của phương trình
3.
4. Phương trình chứa tham số
Trong một phương trình (một hoặc nhiều ẩn), ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có
các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số.
B – PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ
1. Phương trình tương đương
Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.
2. Phép biến đổi tương đương
Định lí
Nếu thực hiện các phép biển đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều
kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương
a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức;
b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác
0
hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá
trị khác
0.
Chú ý: Chuyển vế và đổi dấu một biểu thức thực chất là thực hiện phép cộng hay trừ hai vế
với biểu thức đó.
3. Phương trình hệ quả
Nếu mọi nghiệm của phương trình
f x gx
đều là nghiệm của phương trình
11
fx gx
Website: tailieumontoan.com
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
2
thì phương trình
11
fx gx
được gọi là phương trình hệ quả của phương trình
.f x gx
Ta viết
11
.fxgx fxgx
Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu.
Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai.
Khi giải phương trình, không phải lúc nào ta cũng áp dụng được phép biến đổi tương đương.
trong nhiều trường hợp ta phải thực hiện các phép biến đổi đưa tới phương trình hệ quả, chẳng
hạn bình phương hai vế, nhân hai vế của phương trình với một đa thức. Lúc đó để loại nghiệm
ngoại lai, ta phải thử lại các nghiệm tìm được.
II – DẠNG TOÁN
1. Dạng 1: ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH
Phương pháp giải
-Điều kiện xác định của phương trình bao gồm các điều kiện để giá trị của
,fx gx
cùng
được xác định và các điều kiện khác (nếu có yêu cầu trong đề bài)
- Điều kiện để biểu thức
fx
xác định là
0fx
1
fx
xác định là
0
fx
1
fx
xác định là
0
fx
A. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Điều kiện xác định của phương trình
2
51
4
xx
là:
A.
2
2
x
x
≠
≠−
. B.
2.
x
. C.
.x
. D.
2.x≠
Lời giải
Chọn A.
Cách 1: Điều kiện xác định của phương trình là
22
2
40 4 2
x
xx
x
Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm
Cách 3: (Giải theo Casio nếu có).
Ví dụ 2: Điều kiện xác định của phương trình
13 2xx
là:
A.
23x
. B.
23x
. C.
3x
. D.
2x
Lời giải
Chọn B.
Cách 1: Điều kiện xác định của phương trình là
30 3
23
20 2
xx x
xx
−≥ ≤
⇔ ⇔≤≤
−≥ ≥
Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm
Cách 3: (Giải theo Casio nếu có).
Website: tailieumontoan.com
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
3
Ví dụ 3: Điều kiện xác định của phương trình
123 32xx
+ −= − là:
A.
23x
. B.
2
3
x
. C.
3x
. D.
3
2
x
Lời giải
Chọn D.
Cách 1: Điều kiện xác định của phương trình là
3
2 30 3
2
2
3 20 2
3
x
xx
xx
≥
−≥
⇔ ⇔≥
−≥
≥
Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm
Cách 3: (Giải theo Casio nếu có).
Ví dụ 4: Điều kiện xác định của phương trình
3
1
42 32
x
xxx
+
−=−+
là:
A.
2
1
x
x
. B.
2
1
x
x
. C.
2x
. D.
2x
Lời giải
Chọn B.
Cách 1: Điều kiện xác định của phương trình là
( )
( )
2
3
2
42 0
1 20
3x 2 0
x
x
x xx
x
≤
−≥
⇔
− +− ≠
− +≠
( ) ( )
2
2
22
11
1 20 2
x
xx
xx
xx x
≤
≤
<
⇔ ⇔⇔
≠
≠
− −≠
≠
Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm
Cách 3: (Giải theo Casio nếu có).
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN(có chia mức độ)
NHẬN BIẾT.
Câu 1. Tập xác định của phương trình
1 121
22 1
+− +
+=
+− +
xx x
xx x
là:
A.
{ }
\ 2;2;1−
. B.
[
)
2;+∞
. C.
( )
2;+∞
. D.
{ }
\ 2; 1±−
.
Câu 2. Điều kiện xác định của phương trình
22
23
5
11
x
xx
−=
++
là:
A.
1.x≠−
. B.
1
1
x
x
≠
≠−
. C.
1.x≠
. D.
.x∈
.
Câu 3. Tập xác định của phương trình
55
3 12
44
xxx
+=+
−−
là:
A.
{}
\4
. B.
[
)
4;+∞
. C.
( )
4;+∞
. D.
.
Câu 4. Tập xác định của phương trình
21 2
2 ( 2)
−−=
+−
x
x x xx
là:
A.
[
)
2;+∞
. B.
( )
2;+∞
. C.
{ }
\ 2;0;2−
. D.
{ }
\ 2;0
.
Website: tailieumontoan.com
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
4
Câu 5. Tập xác định của phương trình
22 2
4 35 9 1
5 6 6 8 7 12
−+
−=
−+ −+ −+
x xx
xx xx xx
là:
A.
. B.
( )
4;+∞
. C.
{ }
\ 2;3;4
. D.
{ }
\4
.
Câu 6. Điều kiện xác định của phương trình
2
13 4
22 4xxx
−=
+− −
là:
A.
x∈
. B.
2
2
x
x
≠
≠−
. C.
2x≥
. D.
2x>
.
THÔNG HIỂU.
Câu 7. Điều kiện của phương trình
2
1
3.
2
xx
−= −
A.
2.x<
B.
2.x>
C.
2.x≤
D.
2.x≥
Câu 8. Tập xác định của phương trình
212 35 1
45
+
+ −= −
−
xxx
x
là:
A.
4;
5
D
= +∞
. B.
4
;5
D
= −∞
. C.
4
\5
D
=
. D.
4
;5
D
= −∞
.
Câu 9. Điều kiện xác định của phương trình
123xx x−+ − = −
là:
A.
( )
3;+∞
. B.
[
)
3;+∞
. C.
[
)
2;+∞
. D.
[
)
1; +∞
.
Câu 10. Điều kiện xác định của phương trình
3 2 43 1−+ − =xx
là:
A.
24
;
33
. B.
4;
3
+∞
. C.
24
\;
33
. D.
24
;
33
.
Câu 11. Điều kiện xác định của phương trình
2 14 1−= +xx
là:
A.
[
)
3;+∞
. B.
1;
2
+∞
. C.
[
)
2;+∞
. D.
( )
3;+∞
.
VẬN DỤNG.
Câu 12. Điều kiện xác định của phương trình
2
8
22
x
xx
=
−−
là
A.
2.x<
. B.
2.x>
. C.
2.x≠
. D.
2.
x≥
.
Câu 13. Điều kiện xác định của phương trình
2
1
42
xx
−=−
là
A.
2x>
hoặc
2.
x<−
. B.
2x>
hoặc
2.x≤−
. C.
2x
hoặc
2.x<−
. D.
2x≥
hoặc
2.x≤−
.
Câu 14. Điều kiện xác định của phương trình
2
21
0
3
x
xx
+=
+
là
A.
1.
2
x≥−
. B.
1
2
x≥−
và
3.x≠−
. C.
1
2
x≥−
và
0.x≠
. D.
3x≠−
và
0.x≠
.
Câu 15. Điều kiện xác định của phương trình
1 32
24
x
xx
x
−
+=
+
là
