zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Chuyên đề Hàm số mũ – lôgarít

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:19

Báo xấu

1
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chuyên đề Hàm số mũ – lôgarít cung cấp phần lý thuyết súc tích, hệ thống bài tập trắc nghiệm và bài tự luyện có đáp số, lời giải chi tiết. Tài liệu giúp học sinh ôn tập các tính chất hàm mũ, hàm logarit, đạo hàm và ứng dụng vào bài toán giải phương trình, bất phương trình. Mời các bạn học sinh cùng tham khảo tài liệu để rèn luyện kỹ năng giải toán hàm số đặc biệt.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề Hàm số mũ – lôgarít

Tailieumontoan.com  Sưu tầm CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ MŨ - LOGARIT Tài liệu sưu tầm, ngày 24 tháng 8 năm 2020
Website: tailieumontoan.com DẠNG TOÁN 5: HÀM SỐ MŨ – LÔGARÍT I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Hàm số mũ  Định nghĩa: Hàm số mũ y = a x , ( 0 < a ≠ 1) .  Tập xác định: D =  .  Tập giá trị: = T ( 0; +∞ ) .  Khi a > 1 hàm số đồng biến trên  , khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến trên  .  Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.  Đồ thị: y y =ax y y=ax 1 x 1 x a >1 01 0 < a
Website: tailieumontoan.com ln (1 + x ) x  1 ex −1 1 • lim(1 + x) = lim 1 + = e x • lim =1 • lim =1 x →0 x →±∞  x x →0 x x →0 x 4. Đạo hàm : Cho 0 < a ≠ 1 • ( a x )′ = a x ln a ; ( a u )′ = a u ln a.u′ ( e x )′ = e x ; )′ ( eu= eu .u′ u′ • ( log a x )′ = ( log a u )′ = 1 ; x ln a u ln a ( ln x )′ = 1 , ( x ≠ 0 ) ; ( ln u )′ = u′ x u 5. Áp dụng tính đơn điệu: Cho f ( x ) là hàm số đơn điệu trên khoảng ( a; b ) , với u , v ∈ ( a; b ) Khi đó : f ( u ) f ( v ) ⇒= v . = u II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Tìm tập xác định của hàm số  Tính đạo hàm các cấp  Toán Max-Min (1 biến) với hàm mũ, lôgarit  Toán Max-Min (nhiều biến) liên quan mũ và lôgarit  Sự biến thiên liên quan hàm số mũ  Toán cực trị liên quan hàm số mũ  Đọc đồ thị liên hàm số mũ, lôgarit BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Tập xác định của hàm số y = log 2 x là A. [ 0; +∞ ) . B. ( −∞; +∞ ) . C. ( 0; +∞ ) . D. [ 2; +∞ ) . Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm tập xác định của hàm số logarit. 2. HƯỚNG GIẢI: Tập xác định của hàm số logarit: Hàm số y log a x ( a > 0, a ≠ 1) có tập xác định D ( 0; +∞ ) . = = Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn C Tập xác định D = ( 0; +∞ ) . Bài tập tương tự và phát triển:  Mức độ 1 Câu 1. Tập xác định D của hàm số y log 2 ( x 2 − 2 x − 3) = A. D = ( −1;3) B. D = ( −∞; −1) ∪ ( 3; +∞ ) C. D = [ −1;3] D. D = ( −∞; −1] ∪ [3; +∞ ) Lời giải Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038 Trang 2
Website: tailieumontoan.com Chọn B Hàm số xác định khi x 2 − 2 x − 3 > 0 ⇔ x ∈ ( −∞; −1) ∪ ( 3; +∞ ) . 1 Câu 2. = Tập xác định của hàm số y + ln( x − 1) là: 2− x A. D = (1; 2) B. D (1; +∞) = C. D (0; +∞) = D. D = [1; 2] Lời giải Chọn A 1 2 − x > 0 = Hàm số y + ln( x − 1) xác định khi  ⇒1< x < 2 . 2− x x −1 > 0 Câu 3. Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? y 2 1 O 2 x ( 2) ( 2) x −x A. y = B. y = x C. y = 2 x D. y = Lời giải Chọn A Nhận thấy đây là đồ thị hàm số dạng y = a x . Ta có A(0;1) và B(2; 2) thuộc đồ thị hàm số. a 0 = 1  ( 2) x Suy ra, a 2 = 2 ⇒ a = 2 . Hàm số là y = . a > 0  Câu 4. Cho hàm số f ( x) = xe x . Gọi f ′′ ( x ) là đạo hàm cấp hai của f ( x ) . Ta có f ′′ (1) bằng: A. 3e B. −3e 2 C. e3 D. −5e 2 Lời giải Chọn A Ta có: f ( x) =.e x ⇒ f ′( x) = x + x.e x ⇒ f ′′( x) = x + e x + x.e x ⇒ f ′′(1) = . x e e 3e Câu 5. Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038 Trang 3
Website: tailieumontoan.com y 1 O 2 x 1 A. y = log 2 x. B. y = log 1 x. C. y = log 2 x. D. y = log 2 ( 2 x ) . 2 Lời giải: Chọn A 1  Nhận thấy đây là đồ thị hàm số y = log a x . Điểm  ; −1 thuộc đồ thị hàm số nên 2  1 1 1 1 −1 = log a ⇒ a −1 = ⇒ = ⇒ a = 2 . Hàm số là y = log 2 x . 2 2 a 2 Câu 6. Đạo hàm của hàm số y = 42 x là: A. y ' = 2.42 x ln 4 . B. y ' = 42 x.ln 2 . C. y ' = 42 x ln 4 . D. y ' = 2.42 x ln 2 . Lời giải: Chọn A Ta có: y = 42 x ⇒ y ' = (2 x) '.42 x ln 4 = 2.42 x ln 4 Câu 7. Đạo hàm của hàm số y log 5 x, x > 0 là: = 1 1 A. y ' = . B. y ' = x ln 5 . C. y ' = 5 x ln 5 . D. y ' = x . x ln 5 5 ln 5 Lời giải: Chọn A 1 Ta có: = log 5 x ⇒ y ' y = x ln 5 Câu 8. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên tập  . ( 2) . x 1 x A. y =   . B. y = C. y = log 2 x . D. y = log 1 x . 2 2 Lời giải: Chọn B Hàm số liên tục trên  nên phải xác định trên  → loại C, D. Hàm số y = a x đồng biến trên  khi a > 1 → Chọn B. Câu 9. Tập xác định của hàm số y log ( 2 x − x 2 ) là: = A. D = [ 0; 2] B. D = ( −∞;0] ∪ [ 2; +∞ ) C. D = ( −∞;0 ) ∪ ( 2; +∞ ) D. D = ( 0; 2 ) Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038 Trang 4
Website: tailieumontoan.com Lời giải Chọn D Điều kiện: 2 x − x 2 > 0 ⇔ 0 < x < 2 . Vậy tập xác định của hàm số là D = ( 0; 2 ) . Câu 10. Tính đạo hàm của hàm số y = 2020 x . 2020 x A. y′ = 2020 x.ln 2020 . B. y′ = . ln 2020 C. y′ = 2020 x . D. y′ = x.2020 x −1 . Lời giải Chọn A Áp dụng công thức tính đạo hàm: ( a x )′ = a x ln a . Áp dụng công thức trên ta được: ( 2020 x )′ = 2020 x.ln 2020 .  Mức độ 2 Câu 1. Tập xác định của hàm số y = ln ( ln x ) là : A. D (1; +∞) = B. D (0; +∞) = C. D (e; +∞) = D. D [1; +∞) = Lời giải Chọn A x > 0 x > 0 Hàm số y = ln ( ln x ) xác định khi  ⇔ ⇒ x >1 . ln x > 0 x > 1 Câu 2. = Tìm tập xác định D của hàm số y log 3 ( x − 2) − 3 . A. = [29; +∞) D B.= (29; +∞) D C. D = (2; 29) D. D (2; +∞) = Lời giải: Chọn A x − 2 > 0  x − 2 > 0 Hàm số xác định khi  ⇔ ⇔ x ≥ 29 log 3 ( x − 2 ) − 3 ≥ 0 x − 2 ≥ 3 3  Tập xác định = D [ 29; +∞ ) x +1 Câu 3. Tính đạo hàm của hàm số y = . 4x 1 − 2 ( x + 1) ln 2 1 + 2 ( x + 1) ln 2 A. y ' = . B. y ' = . 22 x 22 x 1 − 2 ( x + 1) ln 2 1 + 2 ( x + 1) ln 2 C. y ' = 2 . D. y ' = 2 . 2x 2x Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038 Trang 5
Website: tailieumontoan.com Lời giải Chọn A ( x + 1) '.4 x − ( x + 1) . ( 4 x ) ' 4 x − ( x + 1) .4 x.ln 4 =Ta có: y ' = ( 4x ) (4 ) 2 x 2 4 x. (1 − x.ln 4 − ln 4 ) 1 − x.2 ln 2 − 2 ln 2 1 − 2 ( x + 1) ln 2 = = = ( 4x ) 2 4x 22 x Câu 4. Tính đạo hàm của hàm số y = ln x + x 2 + 1 . ( ) 1 1 A. y′ = B. y′ = ( ) . . 2 x2 + 1 x + x2 + 1 x2 + 1 1 1 C. y′ = D. y′ = ( ) . . x + x +1 2 x2 + 1 x + x2 + 1 Lời giải Chọn B ( Ta có: y = ln x + x 2 + 1 ⇒ y′ = ) 1 ( ′ . x + x2 + 1 = ) 1  . 1 + x   (x + x2 + 1 ) ( x + x2 + 1  ) x +1  2 1  x2 + 1 + x  1 y′ = .  ( ) . x + x2 + 1  x2 + 1   x2 + 1 Câu 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = ln ( x 2 − 2mx + 4 ) có tập xác định D =  . m > 2 A. −2 < m < 2 . B.  . C. m > −2 . D. −2 ≤ m ≤ 2 .  m < −2 Lời giải Chọn A Hàm số có tập xác định là  ⇔ x 2 − 2mx + 4 > 0, ∀x ∈  ⇔ ∆ ' m 2 − 4 < 0 ⇔ −2 < m < 2 . = Câu 6. Cho hàm số f ( x ) = x ln x . Một trong bốn đồ thị cho trong bốn phương án A, B, C, D dưới đây là đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) Tìm đồ thị đó. A. B. C. D. Lời giải Chọn C Điều kiện: x > 0 . Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038 Trang 6
Website: tailieumontoan.com Ta có: f ( x ) = ⇒ f ′ ( x ) = x . Nhận thấy đồ thị f ′ ( x ) đi qua điểm (1;1) → loại B, D x ln x 1 + ln và lim (1 + ln x ) = −∞ nên chọn C. + x →0 Câu 7. ( Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y log x 2 − 2 x − m + 1 có tập xác định là = ) . A. m ≥ 0 . B. m < 0 . C. m ≤ 2 . D. m > 2 . Lời giải Chọn B Hàm số đã cho có tập xác định  khi và chỉ khi x 2 − 2 x − m + 1 > 0, ∀x ∈  ⇔ m < 0 . 1  Câu 8. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số = x 2 − 2 ln x trên  ;e  . y e  Tính giá trị của biểu thức T M + 2m . = A. T e 2 + e −2 . = B. T = e −2 . C. M e 2 − e −2 . = D. T = e 2 . Lời giải Chọn D ĐKXĐ: x > 0 2 2x2 − 2 = x 2 − 2 ln x ⇒ y′ = 2 x − y = x x 2x2 − 2 1  y′ = 0 ⇔ = 2 − 2 = ⇔ x =1 ⇒ x = ∈  ;e  0 ⇔ 2x 0 ± 1 x e  Ta có: y (1) = 1 , y ( e= e 2 − 2 , y ( e-1 ) e −2 + 2 ) = ⇒ M =e 2 − 2 , m = 1 . Do đó: T =M + 2m =e 2 . Giá trị lớn nhất của hàm số = ( x − 2) e x trên [1;3] là 2 Câu 9. y A. e . B. 0 . C. e3 . D. e 4 . Lời giải Chọn C y′ = 2 ( x − 2 ) e x + ( x − 2 ) e x = e x ( x 2 − 2 x ) . 2 x = 0 y′= 0 ⇔  . Ta có:= 3; y ( 3) e3 = 0 . y (1) = ; y ( 2) x = 2 Vậy GTLN của hàm số = ( x − 2) e x trên [1;3] là e3 . 2 y Câu 10. Hàm số y = x 2 e x nghịch biến trên khoảng nào? A. ( −2;0 ) . B. (1; +∞ ) . C. ( −∞;1) . D. ( −∞; −2 ) . Lời giải Chọn C y = x 2 e x . Tập xác định: D =  . Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038 Trang 7
Website: tailieumontoan.com x = 0 y′ =xe x + x 2 e x =x ( 2 x + x 2 ) = ⇔  2 e 0 .  x = −2 Bảng biến thiên: . Vậy, hàm số nghịch biến trên khoảng ( −2;0 ) .  Mức độ 3 1 Câu 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số = y + log 3 x − m xác định 2m + 1 − x trên ( 2;3) . A. 1 ≤ m ≤ 2 B. 1 < m ≤ 2 C. −1 < m < 2 D. −1 ≤ m ≤ 2 Lời giải: Chọn A  2m + 1 − x > 0  x < 2m + 1 Hàm số xác định ⇔  ⇔ x − m > 0 x > m Suy ra, tập xác định của hàm số= là D ( m; 2m + 1) , với m ≥ −1 . m ≤ 2 m ≤ 2 Hàm số xác định trên ( 2;3) suy ra ( 2;3) ⊂ D ⇔ m ≤ 2 < 3 ≤ 2m + 1 ⇔  ⇔  2m + 1 ≥ 3  m ≥ 1  f ( x ) 2m + 1 − x > 0  = Cách khác: Hàm số xác định ⇔  g ( x) =x − m > 0  Vì f ( x ) là hàm số bậc nhất nghịch biến và g ( x ) là hàm số bậc nhất đồng biến nên để hàm số đã cho xác định trên khoảng ( 2;3)  f ( 3 ) 2m + 1 − 3 ≥ 0  m ≥ 1  = ⇔ ⇔  g ( 2 ) =2 − m ≥ 0  m ≤ 2 Câu 2. Số giá trị nguyên của m < 10 để hàm số y ln ( x 2 + mx + 1) đồng biến trên ( 0; +∞ ) là = A. 10 . B. 11 . C. 8 . D. 9 . Lời giải Chọn A 2x + m Ta có y′ = ≥ 0 với mọi x ∈ ( 0; +∞ ) . x + mx + 1 2 Xét g ( x ) = x 2 + mx + 1 có ∆ m 2 − 4. = Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038 Trang 8
Website: tailieumontoan.com TH1: ∆ < 0 ⇔ −2 < m < 2 khi đó g ( x ) > 0, ∀x ∈  nên ta có 2 x + m ≥ 0 , ∀x ∈ ( 0; +∞ ) Suy ra 0 ≤ m < 2 .  m ≤ −2 TH2: ∆ ≥ 0 ⇔  . m ≥ 2 2x + m Nếu m ≤ −2 thì lim y′= m ≤ −2 nên không thỏa y′ = ≥ 0 với mọi x ∈ ( 0; +∞ ) . x →0 x + mx + 1 2 Nếu m ≥ 2 thì 2 x + m > 0 với mọi x ∈ ( 0; +∞ ) và g ( x ) có 2 nghiệm âm . Do đó g ( x ) > 0 , ∀x ∈ ( 0; +∞ ) . Suy ra 2 ≤ m < 10 . Vậy ta có: 0 ≤ m < 10 nên có 10 giá trị nguyên của m . Câu 3. Cho hai hàm số y = a x , y = b x với a , b là 2 số thực dương khác 1 , lần lượt có đồ thị là ( C1 ) và ( C2 ) như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 0 < a < b < 1 . B. 0 < b < 1 < a . C. 0 < a < 1 < b . D. 0 < b < a < 1 Lời giải Chọn B Vì hàm số y = b x nghịch biến nên 0 < b < 1 . Vì hàm số y = a x đồng biến nên a > 1 . Câu 4. Hình bên là đồ thị của ba hàm số y = a x , y = b x , y = c x ( 0 < a, b, c ≠ 1) được vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? y y = bx y = cx y = ax O x A. b > a > c B. a > b > c C. a > c > b D. c > b > a Lời giải Chọn A Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038 Trang 9
Website: tailieumontoan.com b a c 1 Ta thấy đường thẳng x = 1 cắt ba đồ thị y = a x , y = b x , y = c x lần lượt tạị các điểm có tung độ lần lượt là a, b, c (hình vẽ) Dễ thấy b > a > c. Câu 5. Hình bên là đồ thị của ba hàm số y = log a x , y = log b x , y = log c x ( 0 < a, b, c ≠ 1) được vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? y y = logax y = logbx O 1 x y = logcx A. a > c > b B. a > b > c C. b > c > a D. b > a > c Lời giải: Chọn D c a b Vẽ đường thẳng y = 1 cắt các đồ thị y = log a x , y = log b x , y = log c x lần lượt tại các điểm có hoành độ là a, b, c . Dễ thấy: b > a > c Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038 Trang 10
Website: tailieumontoan.com 3 + 3 x 2 + ( 9 −3 m ) x +1 Câu 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y = 7 x đồng biến trên đoạn [ 0;1] ? A. 5 . B. 6 . C. Vô số. D. 3 . Lời giải: Chọn D Ta có y′ ( 3x + 6 x + ( 9 − 3m ) ) 7 x + 3 x 2 + ( 9 −3 m ) x +1 3 = 2 .ln 7 . + 3 x 2 + ( 9 −3 m ) x +1 đồng biến trên [ 0;1] ⇔ y′ ≥ 0, ∀x ∈ [ 0;1] 3 Hàm số y = 7 x ⇔ 3 x 2 + 6 x + ( 9 − 3m ) ≥ 0, ∀x ∈ [ 0;1] ⇔ m ≤ x 2 + 2 x + 3, ∀x ∈ [ 0;1] ⇔ m ≤ min ( x 2 + 2 x + 3) , ∀x ∈ [ 0;1] ⇔ m ≤ 3 . [0;1] Do m nguyên dương nên m ∈ {1; 2;3} . Câu 7. Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn = 3ab + 4a 2 và a ∈  4; 232  . Gọi M , m lần lượt là b2   3 b giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P log b 4a + log 2 . Tính tổng T M + m . = = 8 4 4 1897 3701 2957 7 A. T = . B. T = . C. T = . D. T = . 62 124 124 2 Lời giải: Chọn B  a = −b Ta có = 3ab + 4a 2 ⇔ b 2 − a 2= 3a ( b + a ) ⇔ ( a + b )( b − 4a ) =  b2 0⇔ b = 4 a Vì a, b dương nên b = 4a , ta thay vào P ta được 3 log 2 4a 3 log 2 a + 2 3log 2 a = log a 4a + = P log 2 a +=log 2 a + 2 4 log 2 a 4 log 2 a − 1 4 2 Đặt log 2 a = x vì a ∈  4; 232  nên x ∈ [ 2;32]   x+2 3 Xét hàm số P ( x ) = + x x −1 4 −3 3  x = −1 (l ) P′ ( x ) = + ⇒ P′ ( x ) = 0⇔ ( x − 1) x = 3 2 4 Ta có bảng biến thiên Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038 Trang 11
Website: tailieumontoan.com 778 19 3701 Vậy M = ;m = ⇒T = M +m = . 32 4 124 Câu 8. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y ln (16 x 2 + 1) − ( m + 1) x + m + 2 nghịch biến = trên khoảng ( −∞; ∞ ) . A. m ∈ ( −∞; −3] . B. m ∈ [3; +∞ ) . C. m ∈ ( −∞; −3) . D. m ∈ [ −3;3] . Lời giải: Chọn B Ta có: y ln (16 x 2 + 1) − ( m + 1) x + m + 2 = 32 x y′ = − ( m + 1) 16 x 2 + 1 Hàm số nghịch biến trên  khi và chỉ khi y′ ≤ 0, ∀x ∈  − ( m + 1) ≤ 0, ∀x ∈  ⇔ 32 x − ( m + 1) (16 x 2 + 1) ≤ 0, ∀x ∈  32 x ⇔ 16 x 2 + 1 ⇔ −16 ( m + 1) x 2 + 32 x − ( m + 1) ≤ 0, ∀x ∈  m > −1 −16 ( m + 1) < 0  m > −1  ⇔ ⇔ ⇔   m ≤ −5 ⇔ m ≥ 3. ∆′ 16 − 16 ( m + 1) ≤ 0  = −16m − 32m + 240 ≤ 0 2 2  2 m ≥ 3 Do đó: m ≥ 3. 2020 x Câu 9. Cho hàm số f ( x ) = ln . Tính tổng = f ′ (1) + f ′ ( 2 ) + ... + f ′ ( 2020 ) . S x +1 2020 A. S = . B. S = 1 . C. S = ln 2020 . D. S = 2021 . 2021 Lời giải: Chọn B  2020 x ′ x + 1 2020 x + 1 1 Ta có : f ′ ( x ) =  . = . = .  x + 1  2020 x ( x + 1) 2020 x x ( x + 1) 2 1 1 1 Khi đó : f ′ (1) = ; f ′ ( 2) = ; ….; f ′ ( 2020 ) = . 1.2 2.3 2020.2021 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2020 S= + + ... + =1 − + − + .... + − = 1− = . 1.2 2.3 2020.2021 2 2 3 2020 2021 2021 2021 Câu 10. Cho hai số thực a, b thỏa mãn 1 > a ≥ b > 0 . Tính giá trị nhỏ nhất Tmin của biểu thức sau = log 2 b + log a.b a 36 . T a A. Tmin = 19 . B. Tmin = 16 . C. Tmin không tồn tại. D. Tmin = 13 . Lời giải: Chọn B Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038 Trang 12
Website: tailieumontoan.com 36 36 T = a b + log a.b a 36 = a b + log 2 log 2 = ab+ log 2 log a ab 1 + log a b Đặt t = log a b , vì 1 > a ≥ b > 0 ⇒ log a b ≥ log b b ⇒ t ≥ 1 36 36 Xét f (t ) = + t2 ⇒ f '(t ) = − 2t . Cho f (t ) = 0 ⇒ t = 2 1+ t (1 + t ) 2  f (1) = 19  Hàm số f (t ) liên tục trên [1; +∞) có  f (2) = 16 ⇒ min f (t ) =⇒ min T =. 16 16 [1; +∞ ) [1; +∞ )  lim f (t ) = +∞ t →+∞  Mức độ 4 m ln x − 2 Câu 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = nghịch biến trên ( e 2 ; +∞ ) . ln x − m − 1 A. m ≤ −2 hoặc m = 1 . B. m < −2 hoặc m = 1 . C. m < −2. D. m < −2 hoặc m > 1 . Lời giải Chọn C Tập xác định: D = ( 0; +∞ ) \ {em+1} . −m2 − m + 2 Cách 1: y′ = x ( ln x − m − 1) 2 m > 1 −m 2 − m + 2 < 0   Vậy yêu cầu bài toán tương đương  m +1 ⇔   m < −2 ⇔ m < −2  e ∉ ( e ; +∞ ) 2  m + 1 ≤ 2  Cách 2: Đặt t = ln x , ta biết rằng hàm số f ( x ) = ln x đồng biến trên ( e 2 ; +∞ ) . mt − 2 −m2 − m + 2 Xét hàm số g ( t ) = với t ∈ ( 2; +∞ ) , ta có g ′ ( t ) = . t − m −1 ( t − m − 1) 2 Vậy hàm số ban đầu nghịch biến trên ( e 2 ; +∞ ) ⇔ hàm số g nghịch biến trên m > 1 m > 1  g′ (t ) < 0  −m 2 − m + 2 < 0   ( 2; +∞ ) ⇔  ⇔ ⇔   m < −2 ⇔   m < −2 ⇔ m < −2 m + 1 ∉ ( 2; +∞ )  m + 1 ≤ 2 m + 1 ≤ 2 m ≤ 1   ex − m − 2 Câu 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = đồng biến trên khoảng e x − m2  1   ln ;0  .  4  A. 3 . B. 1 . C. 2 . D. 4 . Lời giải Chọn C Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038 Trang 13
Website: tailieumontoan.com ′ Đặt t = e x . Vì t ′ = ( e )= x e x > 0 nên yêu cầu bài toán tương đương với tìm giá trị của tham số t −m−2 1  m để hàm số y = đồng biến trên khoảng  ;1 . t − m2 4  −m2 + m + 2 Ta có: y′ = . (t − m )2 2 1  Để hàm số đồng biến trên khoảng  ;1 cần: 4  −1 < m < 2 −m 2 + m + 2 > 0  1 ≤ m < 2   m ≥1  1  ⇔  ⇔ .  m ∉  ;1 m ≤ 1  −1 < m ≤ 1  4   4   4 Vì m ∈  nên m = {0;1} . 2 a Câu 3. Cho hai số thực a ≥ b > 1 . Biết rằng biểu thức T = + log a đạt giá trị lớn nhất là M log ab a b khi có số thực m sao cho b = a m . Tính P M + m . = 81 23 19 49 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 16 8 8 16 Lời giải Chọn A 2 a T= + log a = 2 log a ( ab ) + log a a − log a b = 2 (1 + log a b ) + 1 − log a b log ab a b 2  1  33 33 =  1 − log a b −  + ≤ . −2  4 8 8 15 1 15 15 33 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 − log a b = ⇔ log a b = ⇔ b = a 16 ⇒ m = ,M= . 4 16 16 8 15 33 81 Khi đó P = + = . 16 8 16 Cho x , y là các số dương thỏa mãn xy ≤ 4 y − 1 . Giá trị nhỏ nhất của Câu 4. 6 ( 2x + y ) x + 2y =P + ln là a + ln b , trong đó a , b là các số hữu tỉ. Giá trị của tích ab là x y A. 45 . B. 81 . C. 108 . D. 115 . Lời giải Chọn B x x, y dương ta có: xy ≤ 4 y − 1 ⇔ xy + 1 ≤ 4 y ≤ 4 y 2 + 1 ⇔ 0 < ≤4 . y y x  Có P = + 6 12 + ln  + 2  . x y  Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038 Trang 14
Website: tailieumontoan.com x Đặt t = , điều kiện: 0 < t ≤ 4 thì y 6 P = f ( t ) = 12 + + ln ( t + 2 ) t 6 1 t 2 − 6t − 12 f ′ (t ) =− + =2 t2 t + 2 t (t + 2) t= 3 + 21 f ′ ( t )= 0 ⇔  t= 3 − 21  27 Từ BBT suy ra GTNN ( P ) = + ln 6 khi t = 4 2 27 ⇒a= , b = 6 ⇒ ab = 81 . 2 1 − xy Câu 5. Xét các số thực dương x, y thỏa mãn log 3 = 3 xy + x + 2 y − 4. Giá trị nhỏ nhất của x + 2y P= x + y bằng 2 11 − 3 9 11 − 19 18 11 − 29 9 11 + 19 A. . B. . C. . D. . 3 9 21 9 Lời giải Chọn A Điều kiện: x > 0, y > 0, xy < 1. 1 − xy 1 − xy Ta có log 3 = 3 xy + x + 2 y − 4 ⇔ 1 + log 3 = 3 xy + x + 2 y − 3 x + 2y x + 2y 3 − 3 xy ⇔ log 3 = 3 xy − 3 + x + 2 y ⇔ log 3 ( 3 − 3xy ) + 3 − 3xy= log 3 ( x + 2 y ) + x + 2 y. ( *) x + 2y 1 Xét hàm = log 3 t + t trên ( 0; +∞ ) , ta có f= f (t ) ′ (t ) + 1 > 0, ∀t ∈ ( 0; +∞ ) . t.ln 3 3− x 3− x Từ đó suy ra (*) ⇔ 3 − 3 xy x + 2 y = = →y  = x + →P . 3x + 2 3x + 2 3− x  −2 + 11  2 11 − 3 Xét f ( x )= x + trên ( 0;3) , ta được min f ( x ) f= =     . 3x + 2 ( 0;3)  3  3 Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038 Trang 15
Website: tailieumontoan.com 3− x Nhận xét. Do y = mà y > 0  x < 3. Kết hợp giả thiết ta có x ∈ ( 0;3) . → 3x + 2 2 y +1 Câu 6. Cho hai số thực không âm x, y thỏa mãn x 2 + 2 x − y + 1 = 2 log . Tìm giá trị nhỏ nhất m x +1 của biểu thức P = e 2 x −1 + 4 x 2 − 2 y + 1 . 1 1 A. m = −1 . B. m = − . C. m = . D. m= e − 3 . 2 e Lời giải Chọn B Từ điều kiện bài toán ta có 1 ( x + 1) + log 2 ( x + 1) = y + log 2 ( 2 y + 1) 2 2 ⇔ 2 ( x + 1) + 2 log 2 ( x + 1) = 2 y + log 2 ( 2 y + 1) 2 2 ( ⇔ 2 ( x + 1) + log 2 ( x + 1) = 2 ) ( 2 y + 1) + log 2 ( 2 y + 1) ⇔ 2 ( x + 1) = 2 y + 1 . 2 Do đó e ( 2  ) 1 P =f ( x ) = 2 x −1 + 4 x 2 − 2 ( x + 1) − 1 + 1 ≥ min f ( x ) =f   = . 2 − 1 2 f ( x )= e 2 x −1 + 2 x − 4 x ⇒ f ′ ( x )= 2e 2 2 x −1 + 4x − 4 1 f ′ ( x ) = ⇔ 2e 2 x −1 = 4 x + 4 ⇔ x = 0 − 2 1 1 ⇒ min f ( x ) = f  = − 2 2 Câu 7. Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn 2a + 4b + 8c = Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn 4. nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức S =a + 2b + 3c . Giá trị của biểu thức 4 M + log M m bằng 2809 281 4096 14 A. . B. . C. . D. . 500 50 729 25 Lời giải: Chọn C = log 2 x, 2b log 2 y, 3c log 2 z . Ta có S = log 2 ( xyz ) . Đặt a = = 3 4 4 * 4 = x + y + z ≥ 3 3 xyz ⇒ xyz ≤   ⇔ S ≤ 3log 2   . 3 3 4 4 max S= M= 3log 2   , khi x= y= z= . 3 3 4 = min ( x, y, z ) ⇒ 1 ≤ z ≤ . * Gọi z 3  4 Do ( x − 1)( y − 1) ≥ 0 ⇒ xy ≥ x + y + 1 = 3 − z ⇒ xyz ≥ z ( 3 − z ) ≥ 2 (vì z ∈ 1;  .  3 Suy ra S ≥ 1 , do đó m min S 1 khi x= z= 1, y= 2 . = = 4 3log 2   4096 4 M + log M m = 4 3 + log 4 1= . 3log 2   3 729 Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038 Trang 16
Website: tailieumontoan.com Câu 8. Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn 2 y + y = 2 x + log 2 ( x + 2 y −1 ) . Giá trị nhỏ nhất của biểu x thức P = bằng y e + ln 2 e − ln 2 e ln 2 e A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 ln 2 Lời giải: Chọn C Có 2 y + y = 2 x + log 2 ( x + 2 y −1 ) ⇔ 2 y + y = 2 x + log 2 ( 2 x + 2 y ) − 1 . (1) = log 2 ( 2 x + 2 y ) ⇒ 2 x + 2 y =⇒ 2 x =2t − 2 y . Đặt t 2t (1) trở thành : 2 y + y = 2t − 2 y + t − 1 ⇔ 2 y +1 + y + 1 = 2t + t . ( 2 ) Xét hàm số f ( x ) = x + x , x ∈  2 ⇒ f ′= 2 x ln 2 + 1 > 0, ∀x ∈  nên hàm số f ( x= 2 x + x luôn đồng biến trên  . ( x) ) Kết hợp với ( 2 ) ta có: t= y + 1 ⇔ log 2 ( 2 x + 2 y ) = + 1 ⇔ 2 x + 2 y = 1 ⇔ x =y −1 . y 2 y+ 2 x 2 y −1 2 y −1 y ln 2 − 2 y −1 Khi đó P = = ⇒ P′ = . y y y2 1 Cho P′ = 0 ⇔ y ln 2 − 1 = 0 ⇔ y = . ln 2 Bảng biến thiên: e ln 2 e 1 Vậy Pmin = khi x = và y = . 2 2 ln 2 1  Câu 9. Số các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y log ( mx − m + 2 ) xác định trên  ; +∞  là = 2  A. 3. B. 4. C. 5. D. Vô số. Lời giải: Chọn B Hàm số đã cho xác định ⇔ mx − m + 2 > 0 ⇔ mx > m − 2. ( *) TH1. Với m = 0. Khi đó (*) ⇔ 2 > 0 : luôn đúng với ∀x ∈  . m−2 m−2 1 TH2. Với m > 0. Khi đó (*) ⇔ x > . Yêu cầu bài toán ⇔ < ⇔0
Website: tailieumontoan.com Câu 10. Cho hàm số= log (1 − m ) 4 x − 2 x +1 − m − 1 . Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để y   hàm số xác định trên toàn trục số là A. ( −∞; −1) . B. ( −1; +∞ ) . C. −∞; − 2 . ( D. − 2; +∞ .) ( ) Lời giải: Chọn C Yêu cầu bài toán ⇔ (1 − m ) 4 x − 2 x +1 − m − 1 > 0, ∀x ∈  . ⇔ m ( 4 x + 1) < 4 x − 2 x +1 − 1, ∀x ∈  . 4 x − 2 x +1 − 1 ⇔m< , ∀x ∈  . 4x + 1  4 x − 2 x +1 − 1  ⇔ m < min   ( *)  4 +1   x 4 x − 2 x +1 − 1 Xét hàm số f ( x ) = , x∈. 4x + 1 t 2 − 2t − 1 Đặt 2 = t > 0 , ta được hàm số y = 2 x . t +1 ( 2t − 2 ) ( t 2 + 1) − ( t 2 − 2t − 1) .2t 2t 2 + 4t − 2 Ta có: y′ = . ( t 2 + 1) (t + 1) 2 2 2 y′ = 0 ⇔ 2t 2 + 4t − 2 = 0 ⇒ t = 2 −1.  t 2 − 2t − 1  ⇒ min  2 =− 2. ( 0;+∞ )  t +1  Từ (*) ⇒ m < − 2 . Liên hệ tài liệu word toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038 Trang 18

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright ©2025 TaiLieu.VN. All rights reserved.