9
Ch−¬ng2
C¸C §ÆC tÝnh KÜ THUËT
Gièng nh− hÇu hÕt c¸c m¸y tÝnh kü thuËt, MATLAB ®a ra rÊt nhiÒu c¸c hµm to¸n häc, kÜ thuËt th«ng
dông, ngoµi ra MATLAB cßn cung cÊp hµng tr¨m c¸c hµm ®Æc biÖt vµ thuËt to¸n, nã rÊt h÷u Ých ®Ó
gi¶i quyÕt c¸c vÊn ®Ò khoa häc. TÊt c¶ c¸c hµm nµy ®−îc liÖt kª trong online help, cßn ë ®©y chØ
®Ò cËp ®Õn nh÷ng hµm th«ng dông nhÊt.
2.1 C¸c hµm to¸n häc th«ng th−êng
C¸c hµm to¸n häc cña MATLAB ®−îc liÖt kª trong b¶ng d−íi ®©y, chóng ®Òu cã chung mét
c¸ch gäi hµm nh− vÝ dô d−íi ®©y:
>> x = sqrt(2)/2
x=
0.7071
>> y = sin(x)
y=
0.7854
>> y_deg = y*180/pi
y_deg=
45.0000
Nh÷ng lÖnh nµy ®Ó t×m mét gãc (tÝnh b»ng ®é) khi biÕt gi¸ trÞ hµm sin cña nã lµ / 2.
TÊt c¶ c¸c hµm liªn quan ®Õn gãc cña MATLAB ®Òu lµm viÖc víi radian.
B¶ng c¸c hµm:
C¸c hµm th«ng th−êng
abs(x) TÝnh argument cña sè phøc x
acos(x) Hµm ng−îc cña cosine
acosh(x) Hµm ng−îc cña hyperbolic cosine
angle(x) TÝnh gãc cña sè phøc x
asin(x) Hµm ng−îc cña sine
asinh(x) Hµm ng−îc cña hyperbolic sine
atan(x) Hµm ng−îc cña tangent
atan2(x, y) Lµ hµm arctangent cña phÇn thùc cña x vµ y
atanh(x) Hµm ng−îc cña hyperbolic tangent
ceil(x) XÊp xØ d−¬ng v« cïng
conj(x) Sè phøc liªn hîp
cos(x) Hµm cosine cña x
cosh(x) Hµm hyperbolic cosine cña x
exp(x) Hµm ex
fix(x) XÊp xØ kh«ng
floor(x) XÊp xØ ©m v« cïng
gdc(x, y) ¦íc sè chung lín nhÊt cña hai sè nguyªn xvµ y
10
imag(x) Hµm tr¶ vÒ phÇn ¶o cña sè phøc
lcm(x, y) Béi sè chung nhá nhÊt cña hai sè nguyªn x vµ y
log(x) Logarithm tù nhiªn
log10(x) Logarithm c¬ sè 10
real(x) Hµm tr¶ vÒ phÇn thùc cña x
rem(x, y) PhÇn d− cña phÐp chia x/ y
round(x) Hµm lµm trßn vÒ sè nguyªn tè
sign(x) Hµm dÊu: tr¶ vÒ dÊu cña argument nh−:
sign(1.2)=1; sign(-23.4)=-1; sign(0)=0
sin(x) Hµm tÝnh sine cña x
sinh(x) Hµm tÝnh hyperbolic sine cña x
sqrt(x) Hµm khai c¨n bËc hai
tan(x) Tangent
tanh(x) Hyperbolic tangent
>> 4*atan(1) % Mét c¸ch tÝnh xÊp xØ gi¸ trÞ cña pi
ans=
3.1416
>> help atant2 % Yªu cÇu gióp ®ì ®èi víi hµm atan2
ATAN2 four quadrant inverse tangent
ATAN2(Y, X) is the four quadrant arctangent of the real parts
of the elements of X and Y. -pi <= ATAN2(Y, X) <= pi
see also ATAN.
>> 180/pi*atan(-2/ 3)
ans=
-33.69
>> 180/pi*atan2(2, -3)
ans=
146.31
>> 180/pi*atan2(-2, 3)
ans=
-33.69
>> 180/pi*atan2(2, 3)
ans=
33.69
>> 180/pi*atan2(-2, -3)
ans=
-146.31
Mét sè vÝ dô kh¸c:
>> y = sqrt(3^2 + 4^2) % TÝnh c¹nh huyÒn cña tam gi¸c pitago 3-4-5
y=
5
>> y = rem(23,4) % 23/4 cã phÇn d− lµ 3
y=
3
>> x = 2.6,y1 = fix(x),y2 = floor(x),y3 = ceil(x),y4 = round(x)
11
x=
2.6000
y1=
2
y2=
2
y3=
3
y4=
3
>> gcd(18,81) % 9 lµ −íc sè chung lín nhÊt cña 18 vµ 81
ans=
9
>> lcm(18,81) % 162 lµ béi sè chung lín nhÊt cña 18 vµ 81
ans=
162
VÝ dô: ¦íc l−îng chiÒu cao cña ng«i nhµ
VÊn ®Ò:
Gi¶ thiÕt biÕt kho¶ng c¸ch tõ ngêi quan s¸t ®Õn ng«i nhµ lµ D, gãc tõ ngêi quan s¸t ®Õn
ng«i nhµ lµ
; chiÒu cao cña ngêi quan s¸t lµ h. Hái ng«i nhµ cao bao nhiªu?
Gi¶i ph¸p:
Ta biÓu diÔn kÝch thøc nh− h×nh 2.1:
(kh«ng thÊy)
H×nh 2.1
Ng«i nhµ cã chiÒu cao lµ H + h, H lµ chiÒu dµi cña mét c¹nh cña tam gi¸c, chiÒu dµi nµy cã thÓ
tÝnh ®−îc b»ng c«ng thøc quan hÖ gi÷a gãc vµ c¹nh cña tam gi¸c:
tan() =
Tõ ®ã ta cã chiÒu cao cña ng«i nhµ lµ
h + H = h + D.tan()
NÕu h =2meters, D =50meters, vµ lµ 60o, MATLAB sÏ ®a ra kÕt qu¶ lµ:
>> h = 2
h =
2
>> theta = 60
theta =
60
>> D = 50
D =
50
>> buiding_height = h+D*atan(theta*pi/180)
buiding_height =
54.3599
VÝ dô sù suy gi¶m do ph©n r·
12
VÊn ®Ò
: Sù ph©n r· ph©n tö polonium cã chu kú ph©n r· lµ 140 ngµy, tøc lµ sau 140 ngµy th× l−îng
poloniun cßn l¹i lµ 1/2 l−îng ban ®Çu. Hái nÕu ban ®Çu cã 10 grams polonium, nã sÏ cßn l¹i bao
nhiªu sau 250 ngµy?
Gi¶i quyÕt
: Sau 1 chu kú ph©n r· hoÆc 140 ngµy, cßn l¹i 10x0.5 = 5 grams; sau 2 chu kú ph©n r·
hoÆc 280 ngµy, cßn l¹i 5x0.5 = 10x(0.5)2 = 2.5grams, tõ ®ã ta cã kÕt qu¶ n»m trong kho¶ng 5 vµ 2.5
grams, vµ ta cã c«ng thøc tÝnh phÇn cßn l¹i sau kho¶ng thêi gian bÊt kú:
khèi l−îng cßn l¹i = khèi l−îng ban ®Çu x(0.5)thêi gian/ chu kú
vÝ dô thêi gian lµ 250 ngµy, vµ kÕt qu¶ MATLAB ®a ra lµ:
>> initial_amount = 10; % Khèi l−îng ban ®Çu
>> half_life = 140; % Chu kú ph©n r·
>> time = 250; % Thêi gian tÝnh khèi l−îng
>> amount_left = initial_*0.5^(time/half_life)
amount_left=
2.9003
VÝ dô tÝnh to¸n vÒ l·i xuÊt
VÊn ®Ò
: B¹n ®ång ý mua «t« míi víi gi¸ 18,500 dollars. Ng−êi b¸n «t« ®a ra hai gi¶i ph¸p vÒ tµi
chÝnh lµ: thø nhÊt, tr¶ 2.9% l·i xuÊt cña sè tiÒn trªn trong vßng 4 n¨m. Thø hai lµ tr¶ 8.9% l·i xuÊt cña
sè tiÒn trªn trong vßng 4 n¨m vµ gi¸ b¸n ®−îc gi¶m ®i mét kho¶n lµ 1500 dollars. Hái víi gi¶i ph¸p
nµo th× b¹n mua ®−îc «t« víi gi¸ rÎ h¬n?
Gi¶i ph¸p:
Sè tiÒn tr¶ hµng th¸ng lµ P, trªn tæng sè tiÒn lµ A dollars, tØ sè l·i xuÊt hµng th¸ng lµ R,
tr¶ trong M th¸ng:
P = A
Tæng sè tiÒn ph¶i tr¶ sÏ lµ: T = PxM
Gi¶i ph¸p MATLAB ®a ra lµ:
>> format bank % Dïng d¹ng hiÓn thÞ ng©n hµng
>> A = 18500; % Tæng sè tiÒn
>> M = 12*4; % Sè th¸ng ph¶i tr¶ l·i
>> FR = 1500; % TiÒn gi¶m gi¸ cña nhµ m¸y
>> % Gi¶i ph¸p thø nhÊt
>> R = (2.9/100)/12; % TØ lÖ l·i xuÊt hµng th¸ng
>> P = A*(R*(1+R)^M/((1+R)^M - 1)) % Kho¶n tiÒn ph¶i tr¶ hµng th¸ng
P=
408.67
>> T1 = P*M % Tæng gi¸ trÞ cña «t«
T1=
19616.06
>> % Gi¶i ph¸p thø hai
>> R = (8.9/100)/12; % TØ lÖ l·i xuÊt hµng th¸ng
>> P = (A-FR)*(R*(1 + R)^M/((1+R)^M - 1)) % TiÒn ph¶i tr¶ hµng th¸ng
P=
422.24
>> T2 = P*M % Tæng gi¸ trÞ cña «t«
T2=
13
20267.47
>> Diff = T2 - T1
Diff=
651.41
Nh− vËy ta cã gi¶i ph¸p thø nhÊt gi¸ rÎ h¬n gi¶i ph¸p thø hai.
VÝ dô: VÊn ®Ò nång ®é acid
VÊn ®Ò:
Nh− mét phÇn cña qu¸ tr×nh s¶n xuÊt bé phËn cña vËt ®óc t¹i mét nhµ m¸y tù ®éng, bé phËn
®ã ®−îc nhóng trong n−íc ®Ó lµm nguéi, sau ®ã nhóng trong bån ®ùng dung dÞch acid ®Ó lµm s¹ch.
Trong toµn bé cña qu¸ tr×nh nång ®é acid gi¶m ®i khi c¸c bé phËn ®−îc lÊy ra khái bån acid v× khi
nhóng bé phËn cña vËt ®óc vµo bån th× mét l−îng n−íc cßn b¸m trªn vËt ®óc khi nhóng ë bÓ tr−íc
còng vµo theo vµ khi nhÊc ra khái bån mét l−îng acid b¸m theo vËt. §Ó ®¶m b¶o chÊt l−îng th× nång
®é acid ph¶i kh«ng ®−îc nhá h¬n mét l−îng tèi thiÓu. B¹n h·y b¾t ®Çu víi nång ®é dung dÞch lµ 90%
th× nång ®é tèi thiªu ph¶i lµ 50%. L−îng chÊt láng thªm vµo vµ lÊy ®i sau mçi lÇn nhóng dao ®éng
trong kho¶ng tõ 1% ®Õn 10%. Hái bao nhiªu bé phËn cã thÓ nhóng vµo bÓ dung dÞch acid tr−íc khi
nång ®é cña nã gi¶m xuèng d−íi møc cho phÐp?
Gi¶i ph¸p:
Ban ®Çu nång ®é acid lµ initial_con = 90% = acid/ (acid + water)
sau lÇn nhóng thø nhÊt nång ®é acid cßn:
con =
=
=
=
“acid” lµ l−îng acid ban ®Çu trong dung dÞch, “water” lµ l−îng n−íc ban ®Çu trong dung dÞch,
“lost” lµ l−îng phÇn tr¨m n−íc thªm vµo. Sè acid cßn l¹i trong dung dÞch sau lÇn nhóng thø nhÊt
lµ:
acid_left =
NghÜa lµ, khi nhóng lÇn thø hai nång ®é dung dÞch sÏ lµ:
con =
=
=
TiÕp tôc qu¸ tr×nh nµy, sau n lÇn nhóng, nång ®é acid lµ:
con =
NÕu nång ®é acid cßn l¹i lµ møc tèi thiÓu chÊp nhËn ®−îc, sè lÇn nhóng cùc ®¹i sÏ lµ mét sè nguyªn
b»ng hoÆc nhá h¬n n:
n =