Hệ thống kiến thức Toán 8: Kiếm thức cơ bản

Chia sẻ: Nguyễn Minh Nhựt | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:44

Thêm vào BST

Báo xấu

155
lượt xem 13
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu trình bày kiến thức cơ bản hệ thống những kiến thức cần thiết nhất mà các em phải nắm vững; sai lầm cần tránh lưu ý các em những lỗi phổ biến thường mắc phải khi học và làm toán; câu hỏi trắc nghiệm giúp các em vận dụng lí thuyết và tự kiểm tra mức độ nắm kiến thức của mình; ví dụ minh họa được chọn lọc phù hợp với chuẩn kiến thức và kĩ năng. tất cả các em cần nắm vững những kiến thức nền móng và những kĩ năng thiết yếu trong các ví dụ cơ bản này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Hệ thống kiến thức Toán 8: Kiếm thức cơ bản

. HỆ THỐNG KIẾN THỨC TOÁN 8 Kiến thức cơ bản JHSMATH.COM
Lời nói đầu Các em học sinh lớp 8 thân mến! Mong muốn nắm vững kiến thức về Toán để học khá và học giỏi môn Toán là nguyện vọng của nhiều học sinh. Series Tự học Toán 8 này sẽ giúp các em thực hiện mong muốn đó Series Tự học Toán 8 được viết theo từng bài tương ứng với chương trình và Sách giáo khoa Toán 8 hiện hành. Mỗi bài gồm 4 mục • Kiến thức cơ bản hệ thống những kiến thức cần thiết nhất mà các em phải nắm vững • Sai lầm cần tránh lưu ý các em những lỗi phổ biến thường mắc phải khi học và làm toán • Câu hỏi trắc nghiệm giúp các em vận dụng lí thuyết và tự kiểm tra mức độ nắm kiến thức của mình • Ví dụ minh họa được chọn lọc phù hợp với Chuẩn kiến thức và kĩ năng. Tất cả các em cần nắm vững những kiến thức nền móng và những kĩ năng thiết yếu trong các ví dụ cơ bản này Tuy nhiên do thời gian có hạn nên trong tài liệu này chỉ trình bày phần Kiến thức cơ bản. Ba phần còn lại các em có thể xem trực tuyến tại Series Tự học Toán 8 Ngoài ra còn có các ví dụ minh họa ở mức nâng cao giúp các em đào sâu kiến thức và rèn luyện kĩ năng ở mức độ cao hơn Trong series này các ví dụ giải mẫu giúp các em biết cách trình bày bài toán sao cho ngắn gọn và rõ ràng Ở một số ví dụ có những lưu ý về phương pháp giải toán giúp các em định hướng suy luận, trau dồi phương pháp và kinh nghiệm giải Toán, mở rộng thêm hiểu biết về bài toán Trong phạm vi của series này sẽ sử dụng kí hiệu k để chỉ song song và kí hiệu ∼ để chỉ đồng dạng. Các kí hiệu khác sử dụng giống như trong sách giáo khoa Toán THCS hiện hành 2
Mục lục 1 Phép nhân và phép chia đa thức 6 1.1 Nhân đơn thức với đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Nhân đa thức với đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Những hằng đẳng thức đáng nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung . . 7 1.5 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức 8 1.6 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử . . . . 8 1.7 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp . 8 1.8 Chia đơn thức cho đơn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.9 Chia đa thức cho đơn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.10 Chia đa thức một biến đã sắp xếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Phân thức đại số 10 2.1 Phân thức đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Tính chất cơ bản của phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3 Rút gọn phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3.1 Rút gọn phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3.2 Kiến thức cần ôn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.4 Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.5 Phép cộng các phân thức đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.6 Phép trừ các phân thức đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.7 Phép nhân các phân thức đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.8 Phép chia các phân thức đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.9 Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức . . . . . . . . . . . . . 12 3 Phương trình bậc nhất một ẩn 13 3.1 Mở đầu về phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.2 Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.3 Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.4 Phương trình tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.5 Phương trình chứa ẩn ở mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.6 Giải bài toán bằng cách lập phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.6.1 Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình . . . . . . . . . 14 3.6.2 Các bài toán bao gồm các dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.6.3 Cần nhớ các công thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4 Bất phương trình bậc nhất một ẩn 16 4.1 Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.2 Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.3 Bất phương trình một ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3
4.3.1 Tập nghiệm của bất phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.3.2 Bất phương trình tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.4 Bất phương trình bậc nhất một ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.5 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5 Tứ giác 19 5.1 Tứ giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5.2 Hình thang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5.3 Hình thang cân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5.3.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5.3.3 Dấu hiệu nhận biết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5.4 Đường trung bình của tam giác, của hình thang . . . . . . . . . . . . . . . 21 5.4.1 Đường trung bình của tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 5.4.2 Đường trung bình của hình thang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 5.5 Dựng hình bằng thước và compa. Dựng hình thang . . . . . . . . . . . . . 22 5.6 Đối xứng trục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5.7 Hình bình hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5.7.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5.7.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5.7.3 Dấu hiệu nhận biết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5.8 Đối xứng tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5.9 Hình chữ nhật . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5.9.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5.9.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5.9.3 Dấu hiệu nhận biết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5.9.4 Áp dụng vào tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5.10 Đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước . . . . . . . . . . . 25 5.11 Hình thoi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5.11.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5.11.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5.11.3 Dấu hiệu nhận biết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5.12 Hình vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5.12.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5.12.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5.12.3 Dấu hiệu nhận biết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 6 Đa giác. Diện tích đa giác 28 6.1 Đa giác. Đa giác đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 6.2 Diện tích hình chữ nhật . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 6.3 Diện tích tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 6.4 Diện tích hình thang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 6.5 Diện tích hình thoi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 6.6 Diện tích đa giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 7 Tam giác đồng dạng 34 7.1 Định lí Ta-lét trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 7.1.1 Đoạn thẳng tỉ lệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 7.1.2 Định lí Ta-lét trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 7.2 Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 7.2.1 Hệ quả của định lí Ta-lét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4
7.2.2 Định lí đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 7.3 Tính chất đường phân giác của tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 7.4 Khái niệm hai tam giác đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 7.4.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 7.4.2 Định lí về tạo ra hai tam giác đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . 36 7.5 Trường hợp đồng dạng thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 7.6 Trường hợp đồng dạng thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 7.7 Trường hợp đồng dạng thứ ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 7.8 Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông . . . . . . . . . . . . . . . . 37 7.9 Ứng dụng thực tế của tam giác đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 8 Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều 39 8.1 Hình hộp chữ nhật . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 8.2 Thể tích của hình hộp chữ nhật . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 8.2.1 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . 40 8.2.2 Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 8.3 Hình lăng trụ đứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 8.4 Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng . . . . . . . . . . . . . . . . 42 8.5 Thể tích của hình lăng trụ đứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 8.6 Hình chóp đều và hình chóp cụt đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 8.7 Diện tích xung quanh của hình chóp đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 8.8 Thể tích của hình chóp đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5
Chương 1 Phép nhân và phép chia đa thức 1.1 Nhân đơn thức với đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Nhân đa thức với đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Những hằng đẳng thức đáng nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.7 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.8 Chia đơn thức cho đơn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.9 Chia đa thức cho đơn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.10 Chia đa thức một biến đã sắp xếp . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1 Nhân đơn thức với đa thức Muốn nhân một đơn thức với một đa thức ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau A(B + C + D) = AB + AC + AD 1.2 Nhân đa thức với đa thức Muốn nhân một đa thức với một đa thức ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau (A + B)(C + D) = A.C + A.D + B.C + B.D 1.3 Những hằng đẳng thức đáng nhớ • Bình phương của một tổng hai biểu thức bằng bình phương của biểu thứ thứ nhất cộng hai lần tích của hai biểu thức cộng bình phương của biểu thức thứ hai (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 6
• Bình phương của một hiệu hai biểu thức bằng bình phương của biểu thứ thứ nhất trừ hai lần tích của hai biểu thức cộng bình phương của biểu thức thứ hai (A − B)2 = A2 − 2AB + B 2 Ta luôn có (A − B)2 = (B − A)2 • Hiệu các bình phương của hai biểu thức bằng tích của tổng hai biểu thức với hiệu của chúng A2 − B 2 = (A + B)(A − B) • Lập phương của một tổng hai biểu thức (A + B)3 = A3 + 3A2 B + 3AB 2 + B 3 Hằng đẳng thức trên còn được viết dưới dạng (A + B)3 = A3 + B 3 + 3AB(A + B) • Lập phương của một hiệu hai biểu thức (A − B)3 = A3 − 3A2 B + 3AB 2 − B 3 Hằng đẳng thức trên còn được viết dưới dạng (A − B)3 = A3 − B 3 − 3AB(A − B) • Tổng các lập phương của hai biểu thức bằng tích của tổng hai biểu thức và bình phương thiếu của hiệu hay biểu thức ấy A3 + B 3 = (A + B)(A2 − AB + B 2 ) Lưu ý * A2 − 2AB + B 2 gọi là bình phương của hiệu A và B * A2 − AB + B 2 gọi là bình phương thiếu của hiệu A và B • Hiệu các lập phương của hai biểu thức bằng tích của hiệu hai biểu thức và bình phương thiếu của tổng hai biểu thức ấy A3 − B 3 = (A − B)(A2 + AB + B 2 ) Lưu ý * A2 + 2AB + B 2 gọi là bình phương của hiệu A và B * A2 + AB + B 2 gọi là bình phương thiếu của hiệu A và B 1.4 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức Khi các hạng tử của một đa thức có chung một nhân tử ta có thể đặt nhân tử đó ra ngoài dấu ngoặc theo công thức AB + AC = A(B + C) 7
1.5 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức Ta có thể áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ đã học để phân tích đa thức thành nhân tử A2 ± 2AB + B 2 = (A ± B)2 A3 + B 3 = (A + B)(A2 − AB + B 2 ) A2 − B 2 = (A + B)(A − B) A3 − B 3 = (A − B)(A2 + AB + B 2 ) . A3 ± 3A2 B + 3AB 2 ± B 3 = (A ± B)3 1.6 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử Ta có thể nhóm nhiều hạng tử của đa thức một cách thích hợp để làm xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức 1.7 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp Khi phân tích một đa thức thành nhân tử nhiều khi ta cần phối hợp nhiều phương pháp • Phương pháp ưu tiên số một là đặt nhân tử chung • Phương pháp ưu tiên số hai là dùng hằng đẳng thức • Cuối cùng là nhóm hạng tử. Mục đích của việc nhóm các hạng tử là nhằm làm cho quá trình phân tích đa thức thành nhân tử được tiếp tục bằng cách đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức 1.8 Chia đơn thức cho đơn thức Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp chia hết) • Ta chia hệ số của A cho hệ số của B • Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của từng biến đó trong B • Nhân các kết quả tìm được với nhau Đơn thức A chia hết cho đơn thức B nếu • Mỗi biến của B điều là biến của A • Số mũ của biến đó trong B không lớn hơn số mũ của biến đó trong A 8
1.9 Chia đa thức cho đơn thức Muốn chia đa thức cho đơn thức (trường hợp các hạng tử của đa thức đều chia hết cho đơn thức) • Ta chia mỗi hạng tử của đa thức cho đơn thức • Cộng các kết quả tìm được với nhau (A + B − C) : D = A : D + B : D − C : D 1.10 Chia đa thức một biến đã sắp xếp Để chia đa thức A(x) cho đa thức B(x) sau khi đã sắp xếp hai đa thức theo lũy thừa giảm của x ta lần lượt • Tìm hạng tử bậc cao nhất của thương • Tìm dư thứ nhất • Tìm hạng tử thứ hai của thương • Tìm dư thứ hai • Cứ tiếp tục như vậy cho đến khi dư cuối cùng bằng 0 hoặc có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức chia Đa thức A chia hết cho đa thức B (B 6= 0) nếu tồn tại đa thức Q sao cho A = B.Q 9
Chương 2 Phân thức đại số 2.1 Phân thức đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Tính chất cơ bản của phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3 Rút gọn phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.4 Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức . . . . . . . . . . . . . . 11 2.5 Phép cộng các phân thức đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.6 Phép trừ các phân thức đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.7 Phép nhân các phân thức đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.8 Phép chia các phân thức đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.9 Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức . . . . . 12 2.1 Phân thức đại số A Phân thức đại số là một biểu thức có dạng trong đó A, B là những đa thức và B khác B đa thức 0 Mỗi đa thức cũng được coi như một phân thức với mẫu thức bằng 1 A C Hai phân thức và gọi là bằng nhau nếu A.D = B.C B D 2.2 Tính chất cơ bản của phân thức Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì được một phân thức mới bằng phân A −A thức đã cho = B −B 2.3 Rút gọn phân thức 2.3.1 Rút gọn phân thức • Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung 10
• Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung 2.3.2 Kiến thức cần ôn • Muốn rút gọn một phân số ta chia cả tử và mẫu của phân số cho một ước chung (khác 1 và −1) của chúng • Phân số tối giản là phân số mà tử và mẫu chỉ có ước chung là 1 và −1. a là phân số tối giản nếu U CLN (|a|, |b|) = 1 b 2.4 Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức là biến đổi những phân thức đã cho thành những phân thức mới có cùng mẫu thức và lần lượt bằng các phân thức đã cho Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta có thể • Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung • Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức • Nhân cả tử và mẫu của mỗi mẫu thức với nhân tử phụ tương ứng Kiến thức cần ôn 5 3 1 Quy đồng mẫu các phân số , và 6 4 8 • Mẫu chung 24 • Các thừa số phụ 4, 6 và 3 20 18 3 • Quy đồng mẫu , và 24 24 24 2.5 Phép cộng các phân thức đại số Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được Kiến thức cần ôn 2 3 1 16 9 2 27 9 Thực hiện phép tính cộng các phân số + + = + + = = 3 8 12 24 24 24 24 8 2.6 Phép trừ các phân thức đại số A −A Hai phân thức đối nhau là hai phân thức có tổng bằng 0. Phân thức đối của là B B A hoặc −B Muốn trừ đi một phân thức ta cộng với phân thức đối của phân thức đó 11
Quy tắc đổi dấu Nếu đổi dấu phân thức đồng thời đổi dấu tử hoặc mẫu thì được một phân thức bằng phân thức đã cho A A −A =− =− B −B B Kiến thức cần ôn −2 −3 −2 3 −4 9 5 1 − = + = + = = 15 10 15 10 30 30 30 6 2.7 Phép nhân các phân thức đại số Muốn nhân hai phân thức ta nhân các tử thức với nhau các mẫu thức với nhau A C A.C . = B D B.D Kiến thức cần ôn 3 4 3.4 1.1 1 Nhân phân số . = = = 8 9 8.9 2.3 6 2.8 Phép chia các phân thức đại số A Hai phân thức nghịch đảo của nhau là hai phân thức có tích bằng 1. Nếu là một phân B B thức khác 0 thì phân thức nghịch đảo của nó là A Muốn chia cho một phân thức khác 0 ta nhân với phân thức nghịch đảo của phân thức đó A C A D C : = . với 6= 0 B D B C D Kiến thức cần ôn 5 2 5 3 5.3 5 Chia phân số : = . = = 6 3 6 2 6.2 4 2.9 Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức • Biểu thức hữu tỉ là phân thức hoặc một dãy các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân thức • Điều kiện để giá trị của một phân thức được xác định là điều kiện của biến để giá trị tương ứng của mẫu thức khác 0 Kiến thức cần ôn • Trường hợp biểu thức không có dấu ngoặc thứ tự thực hiện là Lũy thừa ⇒ Nhân chia ⇒ Cộng trừ • Trường hợp biểu thức có dấu ngoặc thứ tự thực hiện là (. . . ) ⇒ [. . . ] ⇒ {. . . } 12
Chương 3 Phương trình bậc nhất một ẩn 3.1 Mở đầu về phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.2 Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải . . . . . . . . . . . 13 3.3 Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0 . . . . . . . . . . . . 14 3.4 Phương trình tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.5 Phương trình chứa ẩn ở mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.6 Giải bài toán bằng cách lập phương trình . . . . . . . . . . . . 14 3.1 Mở đầu về phương trình • Đẳng thức A(x) = B(x), trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x gọi là phương trình ẩn x. Giá trị x0 của ẩn x để A(x0 ) = B(x0 ) được gọi là nghiệm • Một phương trình có thể có một nghiệm, hai nghiệm, ba nghiệm cũng có thể vô nghiệm hoặc vô số nghiệm. Tập hợp tất cả các nghiệm của một phương trình gọi là tập nghiệm của phương trình đó • Giải phương trình là tìm tập nghiệm của phương trình • Hai phương trình có cùng một tập nghiệm là hai phương trình tương đương 3.2 Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải • Phương trình dạng ax + b = 0 với a, b là hai số đã cho và a 6= 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn • Quy tắc chuyển vế Trong một phương trình ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó • Quy tắc nhân với một số Trong một phương trình ta có thể – Nhân cả hai vế với cùng một số khác 0 – Chia cả hai vế cho cùng một số khác 0 b • Phương trình ax + b = 0 với a 6= 0 luôn có một nghiệm duy nhất là x = − a 13
3.3 Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0 Cách giải phương trình đưa về dạng ax + b = 0 • Quy đồng mẫu hai vế • Nhân hai vế với mẫu chung để khử mẫu • Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế và các hằng số sang vế kia • Thu gọn và giải phương trình nhận được 3.4 Phương trình tích Muốn giải phương trình A(x).B(x) = 0 ta giải phương trình A(x) = 0 và B(x) = 0 rồi lấy tất cả các nghiệm thu được 3.5 Phương trình chứa ẩn ở mẫu • Điều kiện xác định của phương trình là giá trị của ẩn để tất cả các mẫu trong phương trình đều khác 0 • Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu – Tìm điều kiện xác định của phương trình – Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu – Giải phương trình vừa nhận được – Chọn các giá trị của ẩn thỏa mãn điều kiện xác định rồi viết tập nghiệm 3.6 Giải bài toán bằng cách lập phương trình 3.6.1 Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình • Bước 1 Lập phương trình – Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn – Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết – Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng • Bước 2 Giải phương trình • Bước 3 Chọn các nghiệm thỏa mãn điều kiện của ẩn rồi kết luận 3.6.2 Các bài toán bao gồm các dạng • Toán về tỉ số và quan hệ giữa các số • Toán về số tự nhiên và chữ số • Toán chuyển động 14
• Toán nâng suất • Toán có nội dung hình học – lí – hóa • Toán về tìm thời gian mỗi đơn vị làm một mình xong công việc 3.6.3 Cần nhớ các công thức • Với các bài toán liên quan đến hệ số thập phân cần chú ý rằng abcd = 1000a + 100b + 10c + d • Công thức toán trong chuyển động Vận tốc × Thời gian = Quãng đường • Công thức tương đương trong toán năng suất Số sản phẩm làm một ngày × Số ngày = Số sản phẩm làm được • Công thức tính nồng độ dung dịch (chẳng hạng nồng độ muối) Nồng độ muối trong dung dịch = Khối lượng muối ÷ Khối lượng dung dịch 15
Chương 4 Bất phương trình bậc nhất một ẩn 4.1 Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.2 Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.3 Bất phương trình một ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.4 Bất phương trình bậc nhất một ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.5 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . 17 4.1 Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng • Bất đẳng thức là hệ thức có dạng a > b hoặc a < b hoặc a ≥ b hoặc a ≤ b • Tính chất cộng cùng một số vào hai vế của bất đẳng thức Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho a > b ⇒ a + c > b + c 4.2 Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân • Tính chất nhân cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức – Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho a > b và c > 0 ⇒ ac > bc – Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được một bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho a > b và c < 0 ⇒ ac < bc • Tính chất bắc cầu Nếu a > b và b > c thì a > c • Bất đẳng thức Cô-si Trung bình cộng của hai số không âm lớn hơn hoặc bằng a+b √ trung bình nhân của chúng ≥ ab với a ≥ 0, b ≥ 0 2 4.3 Bất phương trình một ẩn 4.3.1 Tập nghiệm của bất phương trình • x = a gọi là nghiệm của một bất phương trình nếu ta thay x = a vào bất phương trình thì ta được một bất đẳng thức đúng 16
• Tập hợp tất cả các nghiệm của một bất phương trình gọi là tập nghiệm của bất phương trình • Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của bất phương trình đó Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình x > 3 Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình x ≤ 5 4.3.2 Bất phương trình tương đương Hai bất phương trình tương đương là hai bất phương trình có cùng tập nghiệm 4.4 Bất phương trình bậc nhất một ẩn • Bất phương trình dạng ax + b > 0 hoặc ax + b < 0 hoặc ax + b ≥ 0 hoặc ax + b ≤ 0 trong đó a, b là hai số đã cho và a 6= 0 gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn • Quy tắc chuyển vế Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia ta phải đổi dấu hạng tử đó • Quy tắc nhân với một số Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0 ta phải – Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương – Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm 4.5 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối • Để giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng |A(x)| = B(x) ta khử dấu giá trị tuyệt đối bằng cách xét hai trường hợp – Trường hợp 1 A(x) ≥ 0 A(x) = B(x) – Trường hợp 2 A(x) < 0 −A(x) = B(x) • Với phương trình dạng |A(x)| = m với m > 0 ta có |A(x)| = m ⇔ A(x) = m hoặc A(x) = −m 17
• Với phương trình dạng |A(x)| = |B(x)| ta có |A(x)| = |B(x)| ⇔ A(x) = B(x) hoặc A(x) = −B(x) 18
Chương 5 Tứ giác 5.1 Tứ giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5.2 Hình thang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5.3 Hình thang cân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5.4 Đường trung bình của tam giác, của hình thang . . . . . . . . 21 5.5 Dựng hình bằng thước và compa. Dựng hình thang . . . . . . 22 5.6 Đối xứng trục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5.7 Hình bình hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5.8 Đối xứng tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5.9 Hình chữ nhật . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5.10 Đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước . . . 25 5.11 Hình thoi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5.12 Hình vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5.1 Tứ giác • Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng • Tứ giác lồi là từ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của tứ giác • Tổng các góc của một tứ giác bằng 360o . Từ giác ABCD ⇒ A b+ B b+C b = 360o b+D • Góc kề bù với một góc của tứ giác là góc ngoài của tứ giác 5.2 Hình thang Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song. Trên hình ta có hình thang ABCD (đáy AB và CD) 19
Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông 5.3 Hình thang cân 5.3.1 Định nghĩa Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau ABCD là hình thang cân ABCD là hình thang cân (đáy AB, CD) ⇔ C b=Db 5.3.2 Tính chất Trong hình thang cân • Hai cạnh bên bằng nhau • Hai đường chéo bằng nhau 5.3.3 Dấu hiệu nhận biết • Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân • Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân 20