BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ
PHẠM THỊ HẠNH
TỔNG QUAN MÔ HÌNH TÍNH TOÁN
PHÁT XẠ SÓNG ĐIỀU HÒA BẬC CAO
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh – 2016
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ
PHẠM THỊ HẠNH
TỔNG QUAN MÔ HÌNH TÍNH TOÁN
PHÁT XẠ SÓNG ĐIỀU HÒA BẬC CAO
Ngành: SƯ PHẠM VẬT LÝ
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
ThS. HOÀNG VĂN HƯNG
Thành phố Hồ Chí Minh – 2016
LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành luận văn, tôi đã nhận được sự động viên giúp đỡ rất nhiều từ quý
thầy cô, gia đình và bạn bè.
Tôi xin tỏ lòng tri ân sâu sắc đến Thầy ThS. Hoàng Văn Hưng đã giúp tôi tiếp cận
với phương pháp nghiên cứu khoa học, tận tình hướng dẫn, chỉ bảo tôi trong suốt
thời gian thực hiện khoá luận.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các Thầy Cô trong khoa Vật Lý, các Thầy Cô tổ Vật Lý
Lý Thuyết Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã truyền đạt nguồn
tri thức quý báu, đó chính là nền tảng quan trọng để tôi thực hiện luận văn này.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến bạn bè, lòng biết ơn đến gia đình đã tạo điều kiện,
động viên, chăm sóc, giúp đỡ cả về vật chất lẫn tinh thần để tôi tập trung nghiên cứu.
Xin chân thành cảm ơn!
MỤC LỤC
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT..................................................................... iii
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ................................................................................. iv
LỜI MỞ ĐẦU ............................................................................................................ 1
CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN CÁC LÝ THUYẾT TÍNH TOÁN PHÁT XẠ
SÓNG ĐIỀU HOÀ BẬC CAO ................................................................................. 4
1.1 Phổ phát xạ sóng điều hoà bậc cao............................................................. 4
1.2 Lý thuyết tính toán phổ phát xạ sóng điều hoà bậc cao ........................... 5
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH LEWENSTEIN ............................................................... 7
2.1 Tổng quan mô hình...................................................................................... 7
2.2 Tư tưởng mô hình ........................................................................................ 8
2.3 Cơ sở lý thuyết ............................................................................................. 9
2.3.1 Quá trình ion hoá xuyên hầm .............................................................. 9
2.3.2 Giả thuyết trường mạnh (SFA) ......................................................... 10
2.3.3 Giải phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian (TDSE) ........ 11
2.3.4 Phương pháp điểm yên (saddle-point method) ................................ 13
2.3.5 Phổ HHG và vị trí cut-off ................................................................... 14
2.4 Phạm vi áp dụng ........................................................................................ 16
2.5 Ưu nhược điểm........................................................................................... 18
2.5.1 Ưu điểm ................................................................................................ 18
2.5.2 Nhược điểm.......................................................................................... 19
2.6 Hiệu chỉnh cut-off ...................................................................................... 20
CHƯƠNG 3: MÔ HÌNH QRS ............................................................................... 22
i
3.1 Tổng quan mô hình.................................................................................... 22
3.2 Tư tưởng mô hình ...................................................................................... 23
3.3 Cơ sở lý thuyết ........................................................................................... 25
3.3.1 Lưỡng cực dịch chuyển bằng sóng tán xạ ........................................ 25
3.3.2 Bó sóng từ SFA .................................................................................... 26
3.3.3 Bó sóng từ TDSE ................................................................................. 28
3.3.4 Phổ HHG ............................................................................................. 30
3.4 Phạm vi áp dụng ........................................................................................ 31
3.5 Ưu nhược điểm........................................................................................... 36
3.5.1 Ưu điểm ................................................................................................ 36
3.5.2 Nhược điểm.......................................................................................... 37
KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ............................................................. 38
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 39
ii
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
HHG: sóng điều hòa bậc cao (High-order Harmonic Generation).
Laser: khuếch đại ánh sáng bằng bức xạ cưỡng bức (Light Amplification by
Stimulated Emission of Radiation).
SFA: xấp xỉ trường mạnh (Strong-Field Approximation).
TDSE: phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian (Time-Dependent
Schrödinger Equation).
iii
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Hình 1.1. Tần số của photon phát ra khi cho nguyên tử, phân tử tương tác với laser
cường độ cao. .............................................................................................................. 4
Hình 1.2. Hình dạng phổ HHG. ................................................................................. 5
Hình 2.1. Mô hình 3 bước của Lewenstein. (1) Điện tử bị ion hoá sẽ xuyên hầm từ
trạng thái cơ bản ra miền năng lượng liên tục. (2) Điện tử được gia tốc bởi trường
điện trong nửa chu kì đầu của trường laser với vận tốc đầu bằng 0, chuyển động
như một hạt tự do và được tính toán cổ điển. (3) Do tính tuần hoàn của laser, nửa
chu kì sau điện tử bị kéo ngược về, kết hợp lại với ion mẹ và phát ra HHG. ............. 8
Hình 2.2. Quá trình ion hoá xuyên hầm của nguyên tử trong trường laser có cường độ cỡ 1014 W/cm2 (a) thế năng Coulomb của nguyên tử (b) thế năng tổng hợp khi có
trường laser. ................................................................................................................ 9
Hình 2.3. Các hàm số ứng với tính toán lượng tử (đường liền nét) và
ứng với tính toán bằng phương trình Newton (đường nét đứt) là một hàm của thời
gian trở lại τ [6]. ........................................................................................................ 15
Hình 2.4. Mô hình Lewenstein và TDSE cho nguyên tử hydro [17]......................... 16
Hình 2.5. Sự phụ thuộc HHG vào góc hợp giữa trục phân tử với phương phân cực
laser (a) phân tử O2 (b) phân tử N2 [17]. .................................................................. 17
Hình 2.6. Phổ HHG tính toán từ mô hình Lewenstein (SFA) và từ factorized SFA
chu kì 25 fs, cho phân tử H2O khi sử dụng xung laser cường độ
bước sóng 1200 nm [21]. ........................................................................................... 18
Hình 2.7. Biểu diễn sự phụ thuộc của hàm vào tỉ số [6]. ............ 20
Hình 2.8. Vị trí cut-off với đối với (đường chứa ô vuông màu trắng)
và (đường chứa ô vuông màu đen) [6]. ..................................................... 21
Hình 3.1. (a) Phổ HATI của Ar và Xe. Sử dụng xung laser 5 chu kì, cường độ 1.1014 W/cm2, bước sóng 800 nm. (b) Phổ HATI của Ar. Xung laser 5 chu kì, cường độ 1014W/cm2, bước sóng lần lượt là 400 nm, 800 nm, 1000 nm [24]. ........................ 22
iv
Hình 3.2. Cường độ NSDI của nguyên tử Ar. Sử dụng laser xung 30 fs, bước sóng
800 nm. Dữ liệu thực nghiệm kí hiệu các thập đỏ. QRS: các sao xanh có xét đến
ảnh hưởng sự suy giảm trạng thái và tương tác e-e, vòng tròn xanh bỏ qua sự suy
giảm trạng thái [25]. ................................................................................................. 23
Hình 3.3. Quá trình phát xạ HHG: (a) trường điện của laser ion hoá nguyên tử làm
cho điện tử ở vân đạo ngoài cùng (HOMO) xuyên hầm ra miền liên tục trong thời
gian đầu của xung laser, (b) bó sóng được gia tốc trong trường laser và bị kéo
ngược trở về khi trường laser đổi chiều, (c) bó sóng kết hợp lại với ion mẹ và phát
xạ HHG. .................................................................................................................... 24
Hình 3.4. Bó sóng trích xuất từ phổ HHG của Ar và Ne khi sử dụng laser cường độ 2.1014W/cm2, xung 50 fs, bước sóng 1064 nm từ mô hình SFA [24]. ....................... 28
Hình 3.5. Bó sóng thu được từ giải TDSE cho Ar, sử dụng nguyên tử hydro hiệu
chỉnh (scaled H) và SFA [10]. ................................................................................... 31
Hình 3.6. Phổ HHG của Ar thu được từ các mô hình khác nhau [10]. .................... 32
Hình 3.7. Phổ HHG của Xe thu được từ các mô hình khác nhau [9]....................... 32
Hình 3.8. Phổ HHG của Ne thu được từ các mô hình khác nhau [9]. ..................... 33
Hình 3.9. Phổ HHG của thu được từ TDSE (màu đỏ), QRS1 (màu xanh dương),
QRS2 (mà đen nét liền), SFA (màu đen nét đứt) [26]. .............................................. 33
Hình 3.10. Sự phụ thuộc các bậc điều hoà vào góc định phương khi sử dụng xung laser cường độ đỉnh 2.1014W/cm2, 30 fs bước sóng 800nm [10]. ............................. 34 Hình 3.11. Cường độ phổ HHG khi sử dụng xung laser cường độ đỉnh 1.1014W/cm2,
20 fs bước sóng 1600nm [10]. ................................................................................... 35
Hình 3.12. Phổ HHG từ mô hình QRS cho phân tử đa nguyên tử [28]. ................... 35
Hình 3.13. (a) Tiết diện tán xạ vi phân của quá trình tái kết hợp điện tử (DCS) và
(b) pha của lưỡng cực tính theo gần đúng sóng phẳng (PWA) và sóng tán xạ (sử
dụng mô hình thế năng Muller hoặc Tong & Lin) đối với Ar [10]. .......................... 36
v
LỜI MỞ ĐẦU
Năm 1960 đánh dấu sự ra đời của nguồn laser đầu tiên với độ dài xung 100
nano giây được tạo bởi John L. Hall, Theodor W. Hansch và Roy J. Glauder làm
việc tại phòng thí nghiệm Hughes, bang California (giải Nobel Vật Lý năm 2005). Năm 1964, laser có xung cỡ pico giây (10-12 s) được chế tạo ra và khoảng 20 năm sau, rút ngắn xuống cỡ femto giây (10-15 s). Trong những năm gần đây với sự nỗ lực của các nhà khoa học, xung laser đã đạt đến mức 12 atto giây (10-18 s) [1]. Những
thành tựu trong quá trình chạy đua rút ngắn xung laser có vai trò quan đặc biệt quan
trọng và trở thành công cụ lý tưởng trong nghiên cứu các quá trình cực nhanh.
Một trong những hiệu ứng phi tuyến xảy ra khi nguyên tử, phân tử tương tác
với laser cường độ cao và xung cực ngắn đó là phát xạ sóng điều hoà bậc cao –HHG
(High-order Harmonic Generation). Dựa vào nguồn dữ liệu mà HHG thu được có
thể trích xuất thông tin cấu trúc động của phân tử, phục vụ cho việc nghiên cứu các
phản ứng hoá học như sự hình thành, đứt gãy các liên kết, hay sự dao động của các
nguyên tử trong phân tử. Do đó, HHG là một trong những hiệu ứng được cộng đồng
các nhà khoa học quan tâm, nghiên cứu về cả thực nghiệm lẫn lý thuyết.
Đối với nguyên tử và phân tử, hình dạng phổ sóng điều hoà bậc cao thu được
có đặc điểm gần như giống nhau: cường độ HHG giảm nhanh ở các bậc ban đầu,
một vùng phổ kéo dài có cường độ gần bằng nhau và kết thúc tại vị trí cut-off, sau
đó cường độ giảm rất nhanh. Phổ HHG có thể đo được bằng thực nghiệm hay các
tính toán lý thuyết. Về cách tiếp cận lý thuyết có thể chia thành hai hướng giải quyết
(i) giải pháp số ab initio như phương pháp TDSE (giải số phương trình Schrödinger
phụ thuộc thời gian) [2], TDHF (Hartree-Fock phụ thuộc thời gian) [4] hay TDDFT
(lý thuyết phiếm hàm mật độ phụ thuộc thời gian) [5], (ii) hoặc là phương pháp giải
tích dựa trên sử dụng mô hình [6-10]. Tuy nhiên, phương pháp số chiếm nhiều tài
nguyên máy tính và tốn nhiều thời gian để thu được kết quả. Trừ những nguyên tử
và phân tử đơn giản như [3][11,12], đối với các phân tử phức tạp hơn
hầu như không thể thực hiện được. Để tính toán HHG, các mô hình cũng được đưa
1
ra, tuy kết quả không chính xác bằng TDSE so với thực nghiệm, nhưng thời gian
tính toán giảm đi rất nhiều. Không những vậy việc xây dựng mô hình giúp hiểu
những hiện tượng vật lý diễn ra, điều mà phương pháp số không thể làm được.
Kể từ sự quan sát đầu tiên vào năm 1987 [13] cho đến nay, có rất nhiều mô
hình để tính toán phổ HHG. Mỗi mô hình đều có những điểm mạnh, điểm yếu,
phạm vi áp dụng khác nhau. Do đó chúng tôi chọn đề tài “TỔNG QUAN MÔ
HÌNH TÍNH TOÁN PHÁT XẠ SÓNG ĐIỀU HOÀ BẬC CAO” với mục tiêu tìm
hiểu tổng quan lý thuyết các mô hình tính phát xạ sóng điều hòa bậc cao đã được
chấp nhận, sử dụng rộng rãi trong cộng đồng và làm cơ sở để chúng tôi thực hiện
các nghiên cứu sau này. Để thực hiện mục tiêu trên, các công việc cụ thể cần tiến
hành là:
1. Tìm hiểu bổ sung kiến thức về quá trình tương tác giữa laser xung cực ngắn,
cường độ cao.
2. Tìm hiểu mô hình Lewenstein và QRS – hai mô hình được chấp nhận rộng rãi
trong cộng đồng khoa học – về tính toán phát xạ HHG.
Nội dung của luận văn ngoài phần mở đầu và kết luận có ba chương. Trong
chương đầu tiên, chúng tôi sẽ trình bày tổng quan các lý thuyết tính toán phát xạ
HHG, sự tương tác của nguyên tử, phân tử với trường laser. Trong chương hai và
chương ba, chúng tôi sẽ lần lượt trình bày ý tưởng, phương pháp để tính toán phát
xạ HHG trong mô hình Lewenstein và mô hình QRS. Ở mỗi mô hình, chúng tôi chỉ
ra ưu, nhược điểm và các bài toán đã được áp dụng thành công.
Trong chương 1, “Tổng quan các lý thuyết tính toán phát xạ sóng điều hoà bậc
cao”, chúng tôi sẽ giới thiệu về tính chất và hình dạng phổ của sóng điều hòa bậc
cao, sự quan sát HHG lần đầu tiên và các thí nghiệm sau đó cùng với thành tựu chạy
đua rút ngắn xung laser. Chúng tôi cũng đưa ra cơ sở tính HHG xuất phát từ lưỡng
cực theo chiều dài hoặc theo gia tốc lưỡng cực, chỉ ra ưu, nhược điểm của hai
hướng lý thuyết tính toán phát xạ HHG là TDSE và sử dụng mô hình, cho thấy sự
cần thiết phát triển các mô hình bên cạnh việc cải thiện tốc độ, mở rộng tính toán
trong TDSE.
2
Trong chương 2, “Mô hình Lewenstein”, chúng tôi giới thiệu mô hình ba bước
mô tả quá trình phát xạ HHG. Mô hình Lewenstein [6] sử dụng lý thuyết gần đúng
trường mạnh SFA, đưa ra các giả thuyết để đơn giản hoá quá trình tương tác và chỉ
tính toán cho một điện tử duy nhất chuyển động trong trường laser. Từ thành phần
mô-men lưỡng cực dọc theo trục phân cực của laser, bằng cách kết hợp với
phương pháp điểm yên ngựa, phổ HHG được xác định qua phép biến đổi chuỗi
Fourier của vào không gian tần số. Mô hình cũng đưa ra được công thức xác
định vị trí cut-off.
Trong chương 3, “Mô hình QRS” mô hình này được mở rộng tính toán HHG
không chỉ cho nguyên tử, phân tử thẳng mà cho cả các phân tử đa nguyên tử phức
tạp hơn, với ý tưởng chính sử dụng hàm sóng tán xạ thay vì sóng phẳng trong bước
cuối cùng điện tử va chạm với ion mẹ, sự trở lại của điện tử được mô tả bằng bó
sóng. Chúng tôi chỉ ra cơ sở mà các tác giả sử dụng để có được bó sóng trong QRS
bằng cách sử dụng SFA hoặc TDSE, cách tính toán lưỡng cực dịch chuyển bằng
hàm sóng tán xạ. Kết quả hai phiên bản của QRS: QRS1 và QRS2 cũng được so
sánh với mô hình Lewenstein và giải chính xác TDSE.
Kết luận và hướng phát triển là phần cuối cùng của luận văn. Trong phần này
chúng tôi sẽ trình bày tóm tắt các kết quả thu được khi thực hiện luận văn cũng như
đề ra hướng phát triển cho đề tài này.
3
CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN CÁC LÝ THUYẾT TÍNH TOÁN
PHÁT XẠ SÓNG ĐIỀU HOÀ BẬC CAO
1.1 Phổ phát xạ sóng điều hoà bậc cao
Phát xạ sóng điều hoà bậc cao-HHG (High-order Harmonic Generation) là
những photon năng lượng cao phát ra khi cho một laser cường độ cao tương tác với
nguyên tử, phân tử.
Hình 1.1. Tần số của photon phát ra khi cho nguyên tử, phân tử
tương tác với laser cường độ cao.
HHG phát ra ứng với các photon có tần số là bội số lẻ nguyên lần tần số của
laser nên HHG mang năng lượng lớn. HHG được nghiên cứu để tạo ra
xung ánh sáng siêu ngắn, cường độ cao, ứng dụng trong nhiều lĩnh vực nghiên cứu
nguyên tử, phân tử, quang phổ học plasma, phân tích huỳnh quang. Đặc biệt, HHG
phát ra ngay tại thời điểm điện tử tái kết hợp với ion mẹ nên nó còn là nguồn thông
tin quan trọng để nghiên cứu cấu trúc động của phân tử - một trong những đề tài
nghiên cứu sôi động nhất của lĩnh vực quang phi tuyến.
Các thí nghiệm trong những năm giữa thập niên 80 khi cho bức xạ laser cường
độ cao tác động lên nguyên tử, các nhà khoa học đã quan sát được phổ sóng điều
hoà (bậc thấp). Năm 1987, hình ảnh phổ sóng điều hoà bậc cao lần đầu tiên được
4
quan sát, lên đến bậc thứ 17 bởi McPherson và đồng nghiệp [13] với nguyên tử
được sử dụng là khí neon tương tác với laser hồng ngoại xung cực ngắn (femto giây) và cường độ cao (cỡ 1014 W/cm2).
Hình 1.2. Hình dạng phổ HHG.
Phổ HHG của nguyên tử và phân tử khi tương tác với laser cường độ cao,
xung cực ngắn đều có đặc điểm như hình 1.2, cường độ HHG giảm nhanh ở các bậc
đầu tiên, có giá trị gần như không đổi trong miền phẳng (plateau), kết thúc tại vị trí
cut-off, sau vùng cut-off cường độ HHG giảm rất nhanh theo thứ tự bậc. Năm 1992,
K.Schafer, J.Krause và K.Kulander [14] cũng tiến hành thí nghiệm để quan sát phổ
HHG, đồng thời trình bày cách giải phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian
(TDSE), đưa ra công thức định lượng để xác định vị trí cut-off nhưng chưa phù hợp
với thực nghiệm.
1.2 Lý thuyết tính toán phổ phát xạ sóng điều hoà bậc cao
Năm 1990, Sundaram và Milonni chỉ ra rằng phổ HHG có thể thu được từ
lưỡng cực theo chiều dài chính là trị trung bình của toán
tử tọa độ theo thời gian, bằng phép biến đổi chuỗi Fourier của vào không gian
tần số dưới dạng có thể thu được phổ HHG. Đến năm 1992, công trình
5
[15] chỉ ra đối với cường độ cao, HHG tính toán theo là chưa phù hợp. Thay
vào đó, nhờ định lý Ehrenfest, có thể thu được gia tốc lưỡng cực
, từ đó phổ HHG thu được chính xác hơn.
Các hướng tiếp cận lý thuyết để tính toán HHG đưa ra với nhiều phương pháp
khác nhau, nhưng có thể phân thành hai hướng chính
- Một là: phương pháp giải số ab initio như: phương pháp giải chính xác
phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian (TDSE), Hartree-Fock phụ
thuộc thời gian (TDHF), lí thuyết phiếm hàm mật độ phụ thuộc thời gian
(TDDFT). Ưu điểm của phương pháp số ab initio là cho kết quả chính xác có
độ tin cậy cao, tuy nhiên chỉ mới áp dụng cho các nguyên tử vì chiếm rất nhiều
tài nguyên của máy tính, đối với phân tử phải lớn, hầu như không thể thực
hiện được trừ các trường hợp đơn giản nhất ion [11], phân tử [12].
- Hai là: phương pháp giải tích dựa trên mô hình. Bằng cách sử dụng các lý
thuyết gần đúng, phổ HHG thu được từ các mô hình cho cho kết quả khá phù
hợp với thực nghiệm. Tuy không chính xác bằng TDSE nhưng với mô hình
việc tính toán HHG đơn giản hơn rất nhiều, tiết kiệm thời gian, có thể áp dụng
thành tựu của các lý thuyết khác cho việc tính toán HHG dựa trên nền các mô
hình đưa ra. Quan trọng hơn, nếu như TDSE là không khả thi đối với phân tử,
thì việc phát triển các mô hình thử nghiệm cho nguyên tử, mở rộng cho phân
tử đơn giản và phân tử đa nguyên tử là có khả năng thực hiện được. Đồng thời,
bức tranh tương tác giữa nguyên tử, phân tử với trường laser cũng được mô tả
qua các mô hình.
Do đó, việc phát triển các mô hình giải tích là cần thiết. Trong hai chương tiếp
theo, chúng tôi sẽ giới thiệu hai mô hình được xem là thành công nhất trong tính
toán HHG đã được áp dụng cho nguyên tử và hiện đang được phát triển, mở rộng
cho các phân tử phức tạp hơn.
6
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH LEWENSTEIN
2.1 Tổng quan mô hình
Năm 1993, mô hình đầu tiên mô tả quá trình phát xạ HHG được phát triển bởi
Kulander [7] và Corkum [8]. Lấy ý tưởng từ phương trình Newton, sau khi bị ion
hoá, một điện tử thoát ra khỏi liên kết với hạt nhân, chuyển động trong trường laser
với vận tốc ban đầu bằng 0, trong vòng một hoặc vài chu kỳ sau khi ion hóa, điện tử
dao động có thể bị kéo lùi trở lại bởi trường laser để lại bắt gặp những ion mẹ, điện
tử kết hợp lại trở về trạng thái liên kết ban đầu và phát xạ HHG. Từ đây, một mô
hình được đưa ra gọi là mô hình ba bước (three-step model) hay mô hình người đàn
ông đơn giải (simple man model) mô tả quá trình phát xạ HHG qua ba bước sau
- Bước 1: cường độ trường laser làm biến dạng thế năng Coulomb, điện tử
xuyên hầm qua rào thế và bị ion hoá.
- Bước 2: điện tử được xem là hạt tự do, được gia tốc trong trường laser với vận
tốc ban đầu bằng không.
- Bước 3: điện tử quay trở lại va chạm vào ion mẹ, phát xạ HHG và năng lượng
tức thời của điện tử được chuyển cho photon phát ra.
Dựa vào bức tranh mô tả quá trình tương tác giữa laser với nguyên tử trong
công trình của Kulander và Corkum. Năm 1994, M. Lewenstein, P.B. Corkum và
các cộng sự đã phát triển mô hình ba bước dựa trên lý thuyết trường mạnh SFA để
đơn giản hoá quá trình tương tác laser-nguyên tử. Sau đó, sử dụng công cụ tính toán,
mô tả lại quá trình phát xạ HHG, tính toán phổ HHG, đồng thời, xác định giá trị của
cut-off. Đây được xem như là phiên bản lượng tử của mô hình ba bước, thường gọi
là mô hình Lewenstein [6].
Ngoại trừ việc giải pháp số ab initio, chưa có một mô hình giải tích nào có thể
cho kết quả HHG gần đúng với thực nghiệm tính tới thời điểm mô hình Lewenstein
được đưa ra. Mô hình này cho kết quả với độ chính xác cao khi so sánh với TDSE,
điều đáng quan tâm là nó đơn giản hơn TDSE rất nhiều. Từ đây, có thể thấy mô
7
hình Lewenstein như một khởi đầu lý tưởng thay thế TDSE trong việc tính toán
HHG cho nguyên tử.
2.2 Tư tưởng mô hình Xét bài toán chiếu chùm laser cường độ cao cỡ 1014 W/cm2 và xung cực ngắn
(cỡ femto giây, chứa vài chu kỳ) phân cực tuyến tính theo trục vào nguyên tử, xét
quá trình ion hoá duy nhất một điện tử (single active electron-SAE) tức chỉ có một
điện tử duy nhất chịu tác dụng của trường laser các điện tử còn lại bên trong nguyên
tử được coi là cố định.
Quá trình tương tác laser-nguyên tử được mô tả qua ba bước như hình 2.1
Hình 2.1. Mô hình 3 bước của Lewenstein. (1) Điện tử bị ion hoá sẽ
xuyên hầm từ trạng thái cơ bản ra miền năng lượng liên tục. (2) Điện tử
được gia tốc bởi trường điện trong nửa chu kì đầu của trường laser với
vận tốc đầu bằng 0, chuyển động như một hạt tự do và được tính toán cổ
điển. (3) Do tính tuần hoàn của laser, nửa chu kì sau điện tử bị kéo
ngược về, kết hợp lại với ion mẹ và phát ra HHG.
HHG phát ra là do quá trình kết hợp của hàm sóng điện tử trở về với hàm
sóng ở trạng thái cơ bản tạo ra một lưỡng cực, sự dao động của lưỡng cực sẽ phát ra
HHG. Như vậy, phổ HHG có thể được xác định thông qua lưỡng cực này.
8
2.3 Cơ sở lý thuyết
2.3.1 Quá trình ion hoá xuyên hầm
Để đặc trưng cho sự tương tác giữa laser với nguyên tử, một mô hình ion hoá
được phát triển bởi Viện sĩ Keldysh, thường gọi là hệ số Keldysh [16]:
, (2.1)
trong đó là thế ion hoá của điện tử trong nguyên tử, phân tử cũng chính là năng
lượng liên kết của điện tử yếu nhất,
(2.2)
là thế trọng động của điện tử, đó là động năng trung bình trong mỗi chu kì dao động
mà một điện tử tự do thu được khi dao động trong trường laser có cường độ và
tần số .
Hình 2.2. Quá trình ion hoá xuyên hầm của nguyên tử trong trường laser có cường độ cỡ 1014 W/cm2 (a) thế năng Coulomb của nguyên tử
(b) thế năng tổng hợp khi có trường laser.
9
Đối với trường hợp trường laser đủ mạnh gây biến dạng thế năng
Coulomb, làm cho hàng rào Coulomb trở nên hẹp hơn, hàm sóng của điện tử có
năng lượng bằng chui qua rào thế tới mặt ngoài của rào tại vị trí trong một
phần chu kì dao động của laser. Tổng của thế Coulomb và trường điện của laser gọi
gọi thế năng chuẩn tĩnh, tốc độ xuyên hầm phụ thuộc vào sự thay đổi của trường
laser, có thể xem như là tốc độ ion hoá chuẩn tĩnh tức coi sự thay đổi của điện
trường là đủ chậm để điện tử có đủ thời gian để xuyên hầm ra vùng liên tục trước
khi trường laser đổi chiều, quá trình này gọi là sự ion hoá xuyên hầm (tunnel
ionization) (xem hình 2.2).
Do đó, laser sử dụng trong mô hình thường có cường độ vào cỡ 1014 W/cm2
cho phép quá trình ion hoá xuyên hầm xảy ra. Trong vùng này lý thuyết nhiễu loạn
bị vi phạm và không thể sử dụng, người ta gọi vùng này là vùng trường mạnh của
quang học phi tuyến.
2.3.2 Giả thuyết trường mạnh (SFA)
Khi chiếu nguồn laser cường độ đủ lớn vào cỡ 1014 - 1015 W/cm2 và xung cực
ngắn cỡ vài femto giây vào nguyên tử, trường laser rất mạnh so với thế năng
Coulomb, sự tương tác xảy ra trong vùng trường mạnh chiếm ưu thế. Khi đó các giả
định được đưa ra
(a) Trong quá trình tương tác với laser, chỉ có trạng thái cơ bản của nguyên
tử, phân tử đóng góp vào HHG là đáng kể, đóng góp của các trạng thái còn
lại được bỏ qua.
(b) Sự suy giảm của trạng thái cơ bản theo thời gian được bỏ qua.
(c) Trong vùng phổ liên tục (năng lượng dương), bỏ qua ảnh hưởng của thế năng
Coulomb, điện tử được xem như một hạt tự do chuyển động trong trường
laser.
10
2.3.3 Giải phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian (TDSE)
Hamiltonian cho một nguyên tử trong xấp xỉ một điện tử hoạt động dưới ảnh
hưởng của trường laser phân cực tuyến tính theo phương .
. (2.3)
Do sự tương tác giữa nguyên, phân tử với trường laser, hàm sóng ban đầu ở
trạng thái cơ bản tiến hoá thành trạng thái chồng chất giữa hàm sóng ở trạng thái cơ
bản và hàm sóng mô tả các điện tử tự do trong không gian Hilbert. Sử dụng
giả định (a) và (c) trong SFA hàm sóng có thể được mở rộng
, (2.4)
với giả định (b) bỏ qua sự suy giảm ở trạng thái cơ bản nên là biên độ sóng
ở trạng thái cơ bản,
(2.5)
là biên độ sóng ở trạng thái tự do,
, (2.6)
, (2.7)
là thế vectơ của trường laser theo phương phân cực là thành phần ma
trận lưỡng cực của nguyên tử song song với trục phân cực của laser.
Mô-men lưỡng cực gây ra phát xạ HHG trong không gian một chiều dọc theo
trục phân cực của laser
11
, (2.8)
sử dụng phương trình (2.4) (2.7) (2.8), được viết lại
(2.9)
kết hợp phương trình (2.5) và thực hiện phép đổi biến với là động
lượng chính tắc tại thời điểm
(2.10)
Theo mô hình công thức (2.10) có thể được hiểu như sau
là xác suất điện tử bị ion hoá tại thời điểm với động
lượng chính tắc p.
là hệ số pha ứng với hàm sóng điện tử được truyền từ thời
điểm đến thời điểm . Trong đó gọi là hàm tác dụng cổ điển
. (2.11)
là xác suất điện tử tái kết hợp với ion mẹ tại thời điểm .
Như vậy, dựa vào lý thuyết trường mạnh SFA xét trong xấp xỉ một điện tử
hoạt động, bức tranh mô tả quá trình phát xạ HHG trong mô hình Lewenstein được
minh hoạ thông qua công thức (2.10).
12
2.3.4 Phương pháp điểm yên (saddle-point method)
Sử dụng phương pháp điểm yên để tính toán tích phân trên trong phương
trình (2.10) và thực hiện phép đổi biến với là khoảng thời gian từ khi
điện tử bị ion hóa đến khi tái kết hợp. Khi đó mô-men lưỡng cực
(2.12)
trong đó, vô cùng bé là do cầu phương Gaussian trên p xung quanh các điểm yên,
là mô-men động lượng tại điểm yên được cho bởi
, (2.13)
và . (2.14)
Các công thức tại vị trí điểm yên
. (2.15)
. (2.16)
Công thức (2.15) cho thấy các điểm yên tương ứng với động lượng mà các
điện tử sinh ra tại thời điểm và trở lại tại thời điểm phải xuất phát từ
cùng một vị trí, vị trí đó được xác định là tại ion mẹ bởi vì nó là vị trí duy nhất mà
quá trình chuyển đổi từ trạng thái cơ bản. Như vậy, sự đóng góp chi phối phát xạ
sóng điều hoà là do các điện tử xuyên hầm đi từ ion mẹ và tái kết hợp tại ion mẹ khi
điện tử dao động trong trường laser.
13
Hơn nữa, nếu bỏ qua thành phần trong công thức (2.16). Khi đó
tương ứng với vận tốc ban đầu của điện tử bằng 0. Từ đây có
thể thấy ba bước được mô tả trong mô hình Lewenstein là hoàn toàn phù hợp cho
một quá trình phát xạ HHG.
2.3.5 Phổ HHG và vị trí cut-off
Bằng cách biến đổi chuỗi Fourier của ở công thức (2.12) vào không
gian tần số có thể thu được phổ HHG
. (2.17)
Sử dụng công thức (2.13) (2.14) qua một số phép biến đổi các tác giả thu được
, (2.18)
với . (2.19)
Năng lượng ở trạng thái chuyển tiếp tại điểm yên ứng với năng lượng cực đại
tại vị trí cut-off. Để xác định vị trí cut-off, một cách biến đổi khá phức tạp khi sử
dụng cách tiếp cận bằng phương pháp điểm yên kết hợp với định luật bảo toàn năng
lượng, động năng cực đại mà điện tử quay trở về ứng với cực đại của:
,
trong đó và .
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, giá trị cực đại là một hàm theo với điều
. Dễ thấy kiện
, (2.20)
14
với được xác định ở công thức (2.19). Như vậy, cực đại của tương
ứng với giá trị lớn nhất động năng đạt được của điện tử khi quay trở về.
Hình 2.3. Các hàm số ứng với tính toán lượng tử
(đường liền nét) và ứng với tính toán bằng phương trình
Newton (đường nét đứt) là một hàm của thời gian trở lại τ [6].
Cả hai hàm có cực trị cùng tại cùng một giá trị của . Cực đại đầu tiên xuất
hiện tại với giá cực đại của ứng với trường hợp khi đó
chỉ có một điện tử quay trở về. Các cực đại còn lại ứng với quỹ đạo có chứa hai,
ba…quỹ đạo điện tử quanh hạt nhân tạo nên hình ảnh giao thoa phức tạp.
Khi tái kết hợp tần số tức thời của lưỡng cực dao động giống với động năng
của điện tử, suy ra sự tương tác điện tử-hạt nhân và photon phát ra liên hệ qua sự
bảo toàn năng lượng Wphoton = Wtái kết hợp điện tử-hạt nhân. Vì hàm sóng kết hợp trở về
trạng thái ban đầu nên năng lượng cực đại photon phát ra, tức năng lượng tại vị trí
cut-off là:
. (2.21)
15
2.4 Phạm vi áp dụng
Mô hình Lewenstein chỉ xét cho nguyên tử hoặc ion với điều kiện chỉ ion hoá
một điện tử khi tương tác với laser cường độ mạnh trong không gian một chiều.
Hình 2.4. Mô hình Lewenstein và TDSE cho nguyên tử Hydro [17].
Kết quả phổ HHG cho các nguyên tử khác thu được từ mô hình Lewenstein
thường kí hiệu là SFA, cũng được thể hiện trong chương ba cùng với mô hình QRS.
Dựa trên mô hình Lewenstein, vào năm 2005, công trình [17] đã được công
bố bởi các nhà khoa học của đại học bang Kansas, Mỹ về mở rộng tính toán HHG
cho phân tử thẳng trong không gian hai chiều, bằng cách giả sử định hướng trục
phân tử dọc theo trục x trong một trường laser phân cực tuyến tính trong mặt phẳng
x-y với là góc hợp bởi trục phân tử với vectơ phân cực của laser, thường gọi là
góc định phương . Thành phần mô-men lưỡng cực song song với trục phân cực
của laser
(2.22)
16
với và lần lượt là thành
phần ma trận lưỡng cực tại thời điểm và , động lượng và hàm tác
dụng cổ điển tại điểm dừng tương tự như (2.13) và (2.14), để giải
thích sự suy giảm của trạng thái cơ bản với
, (2.23)
trong đó: là tỉ lệ ion hoá.
Công trình áp dụng tính toán HHG cho O2 và N2 và chỉ ra rằng phổ HHG phụ thuộc
rất lớn vào góc hợp bởi trục phân tử với phương phân cực laser.
Hình 2.5. Sự phụ thuộc HHG vào góc hợp giữa trục phân tử
với phương phân cực laser (a) phân tử O2 (b) phân tử N2 [17].
đến trong khi với Đối với O2 cường độ HHG lớn nhất khi góc
điều này được giải thích là do sự phân tử N2 cường độ HHG lớn nhất tại góc
khác nhau trong đối xứng quỹ đạo của các điện tử ngoài cùng của các phân tử
(HOMO).
17
Từ năm 2005 trở đi, rất nhiều công trình cũng được mở rộng cho phân tử [18-
20], đồng thời cải tiến hoặc bổ sung thêm các hiệu ứng thường xảy ra trong quá
trình tương tác phi tuyến mà mô hình Lewenstein đã bỏ qua.
Năm 2011, các nhà khoa học của đại học Kansas tiếp tục mở rộng tính toán
HHG cho phân tử H2O trong không gian ba chiều, đưa ra công thức định lượng dựa
vào mô hình Lewenstein, công bố trong công trình [21]. Trong công trình này, các
tác giả cũng chỉ ra lưỡng cực tạo phổ HHG có thể xem như kết quả của bó sóng
điện tử quay trở về va chạm với ion mẹ (xem thêm chương 3). Trong đó, lưỡng cực
dịch chuyển được tính toán bằng cách sử dụng hàm sóng phẳng, cách tiếp cận này
gọi là “factorized SFA”, phổ HHG thu được gần như tương tự nhau khi áp dụng cho
H2O được thể hiện trong hình 2.6.
Hình 2.6. Phổ HHG tính toán từ mô hình Lewenstein (SFA) và
từ factorized SFA cho phân tử H2O khi sử dụng xung laser
cường độ chu kì 25 fs, bước sóng 1200 nm [21].
2.5 Ưu nhược điểm
2.5.1 Ưu điểm
- Mô hình là cầu nối giữa cơ học lượng tử và cơ học cổ điển giải thích một cách
rõ ràng quá trình phát xạ HHG.
18
- Mô hình chỉ xét trong trường hợp quá trình ion hóa duy nhất một điện tử, điều
này là hợp lý vì xung càng ngắn thì xác suất ion hoá hai điện tử gần như bằng
không trong phần đầu của xung, sau đó bắt đầu tăng dần ở phần cuối xung
nhưng giá trị không đáng kể, nhờ đó mô hình được đơn giản hơn.
- So với TDSE, mô hình Lewenstein cho kết quả đáng tin cậy và phù hợp với
yêu cầu khảo sát quá trình một cách định tính, tiết kiệm rất nhiều thời gian và
tài nguyên máy tính.
- Bằng cách sử dụng gần đúng trường mạnh, mô hình mô tả lại toàn bộ quá trình
phát xạ HHG và giải thích các quá trình một cách rõ ràng.
- Đây là nền tảng cho việc mở rộng tính toán HHG đối với phân tử trong các
công trình [17-21].
2.5.2 Nhược điểm
- Có rất nhiều hiệu ứng Vật lý mà mô hình Lewenstein đã bỏ qua như: sự thay
đổi năng lượng đoạn nhiệt của mỗi quỹ đạo phân tử trong tương tác với laser,
chuyển dịch Stark, đặc biệt là tương tác giữa điện tử và điện tử. Nó chỉ đúng
trong trường hợp điện tử hoạt động đơn lẻ. Nó cũng hoàn toàn bỏ qua thế năng
Coulomb của nguyên tử khi điện tử chuyển động trong trường laser.
- Đóng góp chính cho sự phát xạ sóng điều hoà là quá trình tán xạ đầu tiên của
các điện tử trong trường liên tục với ion mẹ. Tuy nhiên, khi điện tử quay trở
về, có thể xảy ra sự tán xạ không đàn hồi: điện tử trở lại va chạm thêm vào
một điện tử từ nguyên tử làm nguyên tử mất bớt thêm một điện tử, đó là sự ion
hóa hai điện tử. Sự quay trở lại của nhiều điện tử cho hình ảnh các quỹ đạo
giao thoa phức tạp hơn. Khi xác suất ion hóa đạt giá trị bão hòa, phải tính đến
sự suy giảm của trạng thái cơ bản. Khi đó, sự suy giảm trạng thái cơ bản làm
giảm cường độ hài hoà.
- Mô hình cũng không được chính xác khi xét đến cường độ và vị trí của điện tử
sau khi xuyên hầm lượng tử và qua đến biên ngoài của rào.
19
- Trong vài năm qua, nhiều nỗ lực đã được thực hiện để cải tiến mô hình SFA,
tức là bao gồm sự biến dạng Coulomb hoặc bằng cách sử dụng định lý
Ehrenfest. Tuy nhiên, những kết quả vẫn còn rất hạn chế.
2.6
Hiệu chỉnh cut-off
Năng lượng tối đa của các photon phát ra do quá trình tái kết hợp là
xác định trong công thức (2.21). Trong trường hợp lượng tử, giá trị đó
là không chính xác. Theo lý thuyết lượng tử, các điện tử xuyên hầm không được
sinh ra tại ion mẹ mà bị ion hoá xuyên hầm ra đến biên ngoài của rào tại ,
với là biên độ điện trường ở đỉnh của xung. Khi nó quay trở lại vị trí với
, từ vị trí tiếp tục trở về ion mẹ, nó phải thêm một động năng nào
đó, phần động năng tăng lên được thể hiện dưới dạng hàm .
Hình 2.7. Biểu diễn sự phụ thuộc của hàm vào tỉ số [6].
Khi thì và giảm từ từ khi tăng. Sự thay đổi
này cũng thể hiện rõ ở hình 2.7. Khi đó năng lượng cực đại mà photon phát ra:
. (2.24)
20
Do đó, kể từ vị trí cut-off trở đi trong hình 2.4, cường độ HHG thu được từ mô hình
Lewenstein chưa phù hợp với giải TDSE, giá trị chính xác của vị trí cut-off trong
TDSE nằm ở các bậc điều hoà cao hơn so với vị trí tại .
Hình 2.8. Vị trí cut-off với đối với (đường chứa ô
vuông màu trắng) và (đường chứa ô vuông màu đen) [6].
Mũi tên “exact” trên hình 2.8 thu được từ công thức (2.24) xác định chính xác
vị trí cut-off mà tại đó cường độ HHG giảm rất nhanh. Đồng thời, với cùng giá trị
, khi càng tăng thì vị trí cut-off sẽ được xác định ở những bậc điều hoà cao
hơn.
21
CHƯƠNG 3: MÔ HÌNH QRS
3.1 Tổng quan mô hình
Nhận thấy sự thiếu chính xác của SFA (mô hình Lewenstein) và sự kém hiệu
quả thực tế của các phương pháp TDSE. Nhóm nghiên cứu tại Đại học Bang Kansas
[22,23] đề xuất lý thuyết QRS (Quantitative Scattering theory).
Theo QRS, sự phân bố xung lượng của điện tử khi nó quay trở lại tán xạ với
ion mẹ là kết quả của một bó sóng điện tử quay trở về với tiết diện tán xạ vi phân
(differential cross sections – DCS) tức thông lượng mà điện tử gửi qua một đơn vị
diện tích tán xạ theo một hướng xác định trong một đơn vị thời gian. Bó sóng này
được xác định chủ yếu bởi laser và hầu như độc lập với ion mẹ, tiết diện tán xạ vi
phân có thể thu được từ phổ của ion mẹ thử nghiệm.
Trong công trình [24], nhóm tác giả đã áp dụng QRS để tính toán phổ quang
điện tử năng lượng cao (HATI) tức điện tử có năng lượng , cho kết quả phù
hợp với tính toán TDSE (Hình 3.1).
Hình 3.1. (a) Phổ HATI của Ar và Xe. Sử dụng xung laser 5 chu kì, cường độ 1.1014 W/cm2, bước sóng 800 nm. (b) Phổ HATI của Ar, xung laser 5 chu kì, cường độ 1014W/cm2, bước sóng lần lượt là 400 nm, 800 nm, 1000 nm [24].
22
Tiếp theo trong công trình [25], QRS cũng được áp dụng cho quá trình ion hoá
hai điện tử không liên tiếp (Non-sequential double ionization - NSDI).
Hình 3.2. Cường độ NSDI của nguyên tử Ar. Sử dụng laser
xung 30 fs, bước sóng 800 nm. Dữ liệu thực nghiệm kí hiệu
các thập đỏ. QRS: các sao xanh có xét đến ảnh hưởng sự suy
giảm trạng thái và tương tác e-e, vòng tròn xanh bỏ qua sự
suy giảm trạng thái [25].
Với sự thành công của mô hình QRS cho HATI và NSDI, nhóm tác giả đã mở
rộng tính toán phổ sóng điều hoà bậc cao cho nguyên tử, áp dụng thành công cho
[26], tính toán HHG cho phân tử thẳng và mong muốn mở rộng cho phân tử
phức tạp hơn.
3.2 Tư tưởng mô hình
Xét bài toán chiếu chùm laser cường độ cao cỡ 1014 W/cm2 và xung cực ngắn
(cỡ femto giây, chứa vài chu kỳ) phân cực tuyến tính vào nguyên tử, xét quá trình
ion hoá duy nhất một điện tử. Trong đó, điện tử được đại diện bởi một bó sóng, bó
sóng điện tử này phụ thuộc yếu vào ion mẹ và xác định chủ yếu bởi laser.
Quá trình tương tác laser-nguyên tử được mô tả như hình 3.3
23
Hình 3.3. Quá trình phát xạ HHG: (a) trường điện của laser
ion hoá nguyên tử làm cho điện tử ở vân đạo ngoài cùng
(HOMO) xuyên hầm ra miền liên tục trong thời gian đầu của
xung laser, (b) bó sóng được gia tốc trong trường laser và bị
kéo ngược trở về khi trường laser đổi chiều, (c) bó sóng kết hợp
lại với ion mẹ và phát xạ HHG.
Tương tự như HATI và NSDI, sử dụng ý tưởng của QRS cho quá trình phát xạ
HHG đối với ion mẹ nguyên tử. Lưỡng cực tạo phổ HHG được xác định bằng tích
của bó sóng điện tử quay trở lại tán xạ và lưỡng cực dịch chuyển (transition dipole)
, (3.1)
hay chính xác hơn
, (3.2)
trong đó: , và tương ứng với pha của lưỡng cực tạo phổ HHG, pha
của bó sóng và pha của lưỡng cực dịch chuyển.
24
3.3 Cơ sở lý thuyết
3.3.1 Lưỡng cực dịch chuyển bằng sóng tán xạ
Trong QRS, lưỡng cực dịch chuyển sử dụng hàm sóng tán xạ (scattering
wave) thay thế cho hàm sóng phẳng (plane wave).
Đối với nguyên tử, xét điện tử dưới tác dụng của trường laser chuyển từ trạng
thái liên kết ở vùng trạng thái liên kết sang trạng thái cuối cùng trong quá
trình phát xạ HHG. Lưỡng cực dịch chuyển được cho bởi
, (3.3)
với là hướng phân cực trường laser, là mô-men động lượng của quang điện tử
bứt ra khỏi nguyên tử.
Tiết diện tán xạ vi phân của quá trình ion hoá quang học (photoionization DSC) tỉ lệ
thuận với bình phương modul của lưỡng cực dịch chuyển
, (3.4)
với c là tốc độ ánh sáng.
Giải phương Schrödinger đối với hàm sóng
, (3.5)
với sử dụng mô hình thế năng do Muller đề xuất, mô hình này được kiểm
chứng cho kết quả tính toán phù hợp với thực nghiệm [27] thu được
, (3.6)
25
với là pha của lưỡng cực dịch chuyển.
Tại thời điểm điện tử va chạm ion mẹ, đóng vai trò là sóng tới nên hàm sóng
tán xạ ra ngoài sẽ là ,
. (3.7)
Mối liên hệ giữa hai quá trình ion hoá và quá trình tái kết hợp quang học cho bởi
, (3.8)
từ đó, tiết diện tán xạ vi phân của quá trình tái kết hợp quang học
(photorecombination DSC) thể hiện dưới dạng
, (3.9)
. (3.10) suy ra
3.3.2 Bó sóng từ SFA
Từ công thức (3.1), có thể định nghĩa bó sóng là thương số của và
, (3.11)
trong đó, là bó sóng điện tử quay trở về va chạm vào ion, E là năng lượng
điện tử liên hệ với năng lượng photon phát ra: , là mô-men lưỡng
cực tạo phổ HHG, là mô-men lưỡng cực dịch chuyển từ trạng thái ban đầu
sang trạng thái tự do gọi tắt là lưỡng cực dịch chuyển.
26
Nếu sử dụng lý thuyết SFA (mô hình Lewenstein), hoàn toàn có thể thu được
và từ đó có được bó sóng. Cơ sở lý thuyết của phương pháp này xuất
phát từ mô hình Lewenstein đã được áp dụng cho nguyên tử (xem chương 2). Thành
phần mô-men lưỡng cực song song với trục phân cực của laser được cho bởi
(3.12)
với động lượng và hàm tác dụng cổ điển tại điểm dừng xác định
trong (2.13) và (2.14), để giải thích sự suy giảm của trạng thái cơ bản.
Trong SFA, lưỡng cực dịch chuyển được xác định bởi
, (3.13)
với là hàm sóng ở trạng thái cơ bản,
, (3.14)
là chồng chất sóng phẳng ở trạng thái tự do, là số sóng ứng với tần số điều
hòa .
Để thu được bó sóng các tác giả thực hiện phép biến đổi chuỗi Fourier trong
công thức (3.12) thu được . Sử dụng lưỡng cực dịch chuyển trong
công thức (3.13) thu được từ xấp xỉ sóng phẳng, kết hợp với công thức (3.3), bó
sóng thu được từ SFA xác định
. (3.15)
27
Ở hình (3.4) bó sóng thu được từ Ar và Ne đối với cùng một nguồn laser là gần
giống nhau. Trong công trình [24] các tác giả cũng đã chứng minh được rằng, khi
một laser (tính chất không đổi) tương tác với các nguyên tử, phân tử khác nhau thì
thu được hình dạng bó sóng gần như tương tự nhau.
Hình 3.4. Bó sóng trích xuất từ phổ HHG của Ar và Ne khi sử dụng laser cường độ 2.1014W/cm2, xung 50 fs, bước sóng 1064 nm từ mô hình SFA [24].
3.3.3 Bó sóng từ TDSE
Cơ sở của phương pháp này dựa trên sự tỉ lệ của cường độ HHG với bình
phương lưỡng cực dịch chuyển cho bởi biểu thức
, (3.16)
trong đó là cường độ sóng phẳng mô tả trạng thái của điện tử khi quay trở lại
tương tác với ion mẹ, vì trường laser rất mạnh nên biên độ sóng phẳng được xem
như chỉ phụ thuộc vào . Mặc khác, nên
28
(3.17)
nếu và không đổi thì
, (3.18)
với , lần lượt là thông lượng điện tử quay trở lại ion mẹ, và
là xác suất ion hoá theo hướng phân cực của laser cho các ion mẹ có thế năng
ion hoá giống nhau.
Từ đây, một cách khác để có được bó sóng là giải TDSE cho nguyên tử tham
chiếu có thế năng ion hoá giống với thế năng ion hoá của nguyên tử cần tính HHG.
Nguyên tử tham chiếu được sử dụng là nguyên tử Hydro hiệu chỉnh (scaled
Hydrogen) có thế năng , theo đó, điện tích hạt nhân được điều chỉnh sao
cho thế ion hoá ở trạng thái 1s của nó bằng với thế ion hoá của nguyên tử. Ví dụ,
được chọn sao cho thế năng ion hoá ở trạng thái 1s
lần lượt là 15.76 eV, 21.56 eV và 12.13 eV ứng với thế ion hoá của Ar (3p0), Ne
(2p0) và Xe (5p0)….
Trong nguyên tử tham chiếu, mô-men lưỡng cực tạo phổ HHG được tính toán
bằng TDSE, lưỡng cực dịch chuyển sử dụng sóng tán xạ (xem mục 3.3.2). Bó sóng
thu được từ nguyên tử tham chiếu
(3.19)
Áp dụng công thức (3.18) bó sóng từ nguyên tử cần tính HHG được xác định
(3.20)
29
3.3.4 Phổ HHG
Các tác giả sử dụng cả hai phương pháp lấy bó sóng hoặc là từ SFA hoặc là TDSE
(sử dụng nguyên tử tham chiếu) kết hợp với tính toán lưỡng cực dịch chuyển cho
ion mẹ nguyên tử, thu được hai phiên bản QRS ứng với
, (3.21)
, (3.22)
trong đó:
là phiên bản thứ nhất của mô hình QRS gọi là QRS1. Phổ HHG thu được
bằng cách sử dụng các lưỡng cực dịch chuyển dùng hàm sóng tán xạ thay vì sóng
phẳng và lấy các bó sóng điện tử từ SFA. Do đó phương pháp này còn được gọi là
phương pháp SW-SFA (scattering-wave based strong-field approximation).
là phiên bản thứ hai của mô hình QRS gọi là QRS2. Dựa trên tính toán
lưỡng cực dịch chuyển dùng hàm sóng tán xạ và bó sóng thu được từ TDSE của
nguyên tử tham chiếu.
Cường độ HHG: . Khi đó
, (3.23)
. (3.24)
30
3.4 Phạm vi áp dụng
Cả hai phiên bản của QRS ban đầu được thiết lập tính toán HHG cho ion mẹ
nguyên tử. Sự khác biệt trong tính toán từ QRS1 và QRS2 phụ thuộc vào mức độ
chính xác của bó sóng sử dụng trong mỗi mô hình (hình 3.5),
Hình 3.5. Bó sóng thu được từ giải TDSE cho Ar, sử dụng
nguyên tử hydro hiệu chỉnh (scaled H) và SFA [10].
Do sự chính xác bó sóng từ nguyên tử tham chiếu bằng giải TDSE và có xét
đến sự ảnh hưởng của thế năng ion mẹ thông qua xác suất ion hoá nên bó sóng thu
được bằng cách sử dụng nguyên tử tham chiếu phù hợp với giải trực tiếp TDSE hơn
là SFA. Từ đó, phổ HHG thu được từ QRS2 là chính xác hơn QRS1.
Ở các hình 3.6, 3.7, 3.8 tương ứng với kết quả phổ HHG của Ar, Xe, Ne thu được từ
giải trực tiếp pháp số TDSE, hai phiên bản của QRS là QRS1: lấy bó sóng từ SFA,
QRS2: lấy bó sóng từ TDSE của nguyên tử Hydro hiệu chỉnh và từ SFA (mô hình
Lewenstein). Kết quả thu được từ QRS2 phù hợp rất tốt với TDSE.
31
Hình 3.6. Phổ HHG của Ar thu được từ các mô hình khác nhau [10].
Hình 3.7. Phổ HHG của Xe thu được từ các mô hình khác nhau [9].
32
Hình 3.8. Phổ HHG của Ne thu được từ các mô hình khác nhau [9].
Hình 3.9. Phổ HHG của thu được từ TDSE (màu đỏ), QRS1 (màu
xanh dương), QRS2 (mà đen nét liền), SFA (màu đen nét đứt) [26].
Đối với phân tử thẳng, các tác giả mở rộng tính toán HHG trong không gian
hai chiều, với góc định phương hợp bởi trục phân tử với vectơ phân cực của laser.
33
Tuy nhiên, việc tính toán HHG phát ra ở tất cả các phương gặp nhiều khó khăn. Do
đó, với mô hình QRS, tác giả chỉ giới hạn tính toán trong trường hợp phương của
HHG song song với trục phân cực của laser. Ở hình 3.8 là phổ HHG của tương
và
ứng các góc định phương khi sử dụng xung laser cường độ đỉnh 3.1014 W/cm2, 20 fs và bước sóng 800 nm. Các mô hình có sự phù hợp khá tốt với
TDSE.
Năm 2009, trong công trình [10], nhóm tác giả cũng đã tính toán HHG cho O2,
N2, CO2 và chỉ ra cách tính toán lưỡng cực dịch chuyển đối với phân tử thẳng bằng
cách sử dụng phép lặp biến phân Schwinger. Đối với nguyên tử tham chiếu có thể
sử dụng cặp nguyên tử-phân tử có thế năng ion hoá tương tự nhau như: Ar-N2, Xe-
O2, Kr-CO2….Công trình cũng khảo sát sự phụ thuộc các bậc HHG (hình 3.10), tiết
diện tán xạ đàn hồi vào góc định phương, khảo sát hiệu ứng giao thoa cường độ
HHG đối với O2 khi sử dụng laser có bước sóng cỡ 1600 nm (hình 3.11).
Hình 3.10. Sự phụ thuộc các bậc điều hoà vào góc định phương khi sử dụng xung laser cường độ đỉnh 2.1014W/cm2, 30 fs bước sóng 800nm [10].
34
Hình 3.11. Cường độ phổ HHG khi sử dụng xung laser cường độ đỉnh 1.1014W/cm2, 20 fs bước sóng 1600nm [10].
Năm 2013, trong công trình [28] các tác giải đã dựa trên mô hình QRS, mở
rộng tính toán HHG cho phân tử đa nguyên tử: CCl4, đồng phân trans-C2H2Cl2
và CH4 trong không gian ba chiều…các tác giả cũng thu được phổ HHG gần
với các thí nghiệm nhưng vẫn còn nhiều hạn chế, có thể do QRS không xét
đến sự suy giảm trạng thái cơ bản và các hiệu ứng khác trong quá trình tương
tác. Hơn nữa, chưa thể kết luận tính đúng đắn của QRS cho phân tử phức tạp
vì TDSE chỉ mới tính toán được cho các phân tử đơn giản.
Hình 3.12. Phổ HHG từ mô hình QRS cho phân tử đa nguyên tử [28].
35
3.5 Ưu nhược điểm
3.5.1 Ưu điểm
- Trong QRS chúng ta hoàn toàn có thể tách biệt hai thành phần bó sóng và lưỡng
cực dịch chuyển, có thể cải thiện hai thành phần độc lập với nhau. Đặc biệt, có
thể bao gồm nhiều hiệu ứng trong quá trình ion hoá điện tử đã được phát triển
nghiên cứu trong nguyên tử, phân tử.
- QRS cải thiện các bước cuối cùng của mô hình ba bước bằng cách sử dụng sóng
tán xạ trong tính toán lưỡng cực dịch chuyển. Do đó, tuy vẫn giữ bó sóng thu từ
SFA nhưng với QRS1 thì thu được phổ HHG chính xác hơn mô hình SFA (xem
hình 3.6-3.8). Các tác giả lấy ví dụ cho trường hợp Ar, trong đó tiết diện tán xạ vi
phân được tính toán từ lưỡng cực dịch chuyển khi sử dụng hàm sóng tán xạ.
Hình 3.13. (a) Tiết diện tán xạ vi phân của quá trình tái kết hợp điện tử (DCS)
và (b) pha của lưỡng cực tính theo gần đúng sóng phẳng (PWA) và sóng tán
xạ (sử dụng mô hình thế năng Muller hoặc Tong & Lin) đối với Ar [10].
Ở hình 3.10 có thể thấy ba nhược điểm khi sử dụng PWA để tính toán lưỡng cực
dịch chuyển trong SFA
(i) Trong PWA xuất hiện một vị trí gọi là cực tiểu Cooper, vị trí này xuất hiện là
do phần thực của lưỡng cực dịch chuyển bằng 0. Trong mô hình thế năng
Muller và mô hình thế năng Tong & Lin vị trí này được xác định lần lượt tại
36
50 eV và 42 eV. Tuy nhiên, đối với PWA cực tiểu Cooper xác định tại 21 eV,
giá trị này lệch rất nhiều so với hai mô hình còn lại.
(ii) Ở gần vị trí Cooper, độ lệch pha của lưỡng cực trong PWA xấp xỉ bằng rad,
trong khi cả hai mô hình Muller, Tong & Lin độ lệch pha xấp xỉ 2 rad.
(iii) Quan sát tổng thể, tiết diện tán xạ vi phân của quá trình tái kết hợp điện tử và
pha của lưỡng cực trong PWA hoàn toàn khác biệt so với hai mô hình còn lại.
- Phổ HHG của nguyên tử, phân tử thu được từ mô hình QRS cho kết quả khá
phù hợp với giải pháp số TDSE, có thể mở rộng tính toán đối với các phân tử
phức tạp hơn.
3.5.2 Nhược điểm
- QRS2 cho kết quả rất phù hợp với TDSE. Tuy nhiên việc xét ảnh hưởng của thế
năng ion hoá trên bó sóng tức tỉ lệ ion hoá cùng với việc tính toán mô-men lưỡng
cực để thu được bó sóng mỗi khi sử dụng laser có cường độ khác nhau còn tốn
quá nhiều thời gian so với SFA (tức QRS1).
- QRS chỉ đúng khi điện tử bị ion hoá bằng quá trình xuyên hầm, chỉ trong trường
hợp này, bó sóng thu được mới có hình dạng giống nhau (tuỳ vào tính chất của
laser) trừ một sự khác biệt về tỉ lệ ion hoá. Nếu xảy ra quá trình ion hoá đa
photon hoặc vượt rào, mô hình này không sử dụng được.
- QRS chỉ xét thành phần HHG song song với trục phân cực của laser điều này cho kết quả khá chính xác trong trường hợp góc định phương bằng 00 hoặc 1800, với
các góc định phương khác thành phần gia tốc của điện tử vuông góc với trục
- Mô hình xét trong trường hợp vị trí của hạt nhân được giữ cố định, nghĩa là hàm
phân cực laser khá lớn.
sóng phát ra để tính toán HHG chỉ gồm hàm sóng điện tử. Thực tế, hạt nhân luôn
dao động, bằng cách thêm vào hàm sóng mô tả chuyển động của hạt nhân, các
nhà khoa học kết luận rằng cường độ HHG phát ra nhạy với chuyển động của hạt
nhân nên không thể bỏ qua sự đóng góp của nó vào quá trình phát xạ HHG.
37
KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN
Trong luận văn này, với tên đề tài “Tổng quan mô hình tính toán phát xạ
sóng điều hoà bậc cao”, chúng tôi đã thực hiện các nhiệm vụ sau
1. Giới thiệu phổ phát xạ sóng điều hoà và hai hướng tiếp cận lý thuyết
tính toán HHG.
2. Trình bày mô hình Lewenstein và thực hiện biến đổi các phép tính để
thu được lưỡng cực tạo phổ HHG, hiệu chỉnh vị trí cut-off.
3. Trình bày mô hình QRS, cách lấy bó sóng cũng như tính toán lưỡng
cực dịch chuyển cho nguyên tử.
4. Trình bày giới hạn áp dụng. Đồng thời, nêu được ưu nhược điểm của
mỗi mô hình.
Đề tài này có thể được tiếp tục phát triển bằng cách bổ sung ảnh hưởng của
chuyển động của hạt nhân trong quá trình phát xạ HHG đối với phân tử O2.
38
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tài liệu tiếng việt:
1. Tăng Thị Bích Vân (2010), Theo dõi chuyển động của hạt nhân hydro trong quá
trình đồng phân hóa Vinylidene/Acetylene bằng laser xung cực ngắn, Luận văn
thạc sĩ Vật lý, chuyên ngành vật lý nguyên tử, hạt nhân và năng lượng cao,
Trường Đại học Sư Phạm TP.HCM.
2. Hoàng Văn Hưng (2013), Phương pháp số ab initio tính toán phát xạ sóng điều
hòa bậc cao, Luận văn thạc sĩ Vật lý, chuyên ngành vật lý lý thuyết và vật lý toán,
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP.HCM.
3. Nguyễn Ngọc Ty (2010), Sóng hài từ ion hoá xuyên hầm bằng laser siêu ngắn
với việc nhận biết cấu trúc động phân tử, Luận án Tiến sĩ Vật lý, chuyên ngành
Vật lý lý thuyết và Vật lý toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP.HCM.
Tài liệu tiếng anh:
4. Zanghellini J., Jungreuthmayer Ch. and Brabec T. (2006), “Plasmon signatures in
high harmonic generation”, J. Phys. B 39, pp. 709.
5. Dmitry A. T., Ksenia E. S., Efim R., Shih-I C. (2013), “Exterior complex scaling
method in time-dependent density-functional theory: Multiphoton ionization and
high-order-harmonic generation of Ar atoms”, Phys. Rev. A, 87, pp. 053406.
6. Lewenstein M., Balcou Ph., Ivanov M. Yu., Anne L’Huillier, and Corkum P. B.
(1994), “Theory of high-harmonic generation by low-frequency laser fields”,
Phys. Rev. A 49, pp. 2117.
7. Kulander K. C., Schafer K. J., and Krause J. L. (1993), “Dynamics of short-pulse
excitation, ionization and harmonic conversion”, Super-Intense Laser-Atom
Physics 316, pp. 10.
8. Corkum P. B. (1993), “Plasma perspective on strong field multiphoton
ionization”, Phys. Rev. Lett. 75, pp. 1994.
39
rescattering theory for high-order harmonic generation of atoms in two-color
laser pulses”, Optics Communications 328, pp. 33-36.
9. Zhao S. F., Wang Y., Wang G., Zhou X. X. (2014), “Validity of the quantitative
10. Le A. T., Lucchese R. R., Tonzani S., Morishita T. and Lin C. D. (2009),
“Quantitative rescattering theory for high-order harmonic generation from
molecules”, Phys. Rev. A 80, pp. 013401.
11. Kamta G. L. and Bandrauk A. D. (2005), “Three-dimensional time-profile
+”, Phys. Rew. A. 71, pp. 053407.
analysis of high-oder harmonic generation in molecules: Nuclear interferences in
H2
12. Chirilă C.C., Lein M. (2009), “High-order harmonic generation in vibrating two
electron molecules”, Chem. Phys. 366, pp. 54.
13. McPherson A., Gibson G., Jara U., Johann H., Luk T. S., McIntyre I. A., Boyer
K., and Rhodes C. K. (1987), “Studies of multiphoton production of vacuum-
ultraviolet radiation in the rare gases”, Journal of the Optical Society of America
B 4, pp. 595.
14. Krause J. L., Schafer K. J., Kulander K. C. (1992), “High-oder harmonic
generation from atoms and ions in the high intensity regime”, Phys. Rev. Lett. 68,
pp. 3535.
15. Burnett K., Reed V. C., Cooper J., Knight P. L. (1992), “Calculation of the
background emitted during high-harmonic generation”, Phys. Rev.A 45, pp. 3347.
16. Keldysh L. V. (1965), “Ionization in the field of a strong electromagnetic wave”,
Sov. Phys. JETP 20, pp. 1307.
17. Zhou X. X., Tong X. M., Zhao Z. X and Lin C. D. (2005), “Alignment
dependence of high-order harmonic generation from N2 and O2 molecules in
intense laser fields”, Phys. Rev. A 72, pp. 033412.
18. Chirilă C.C., Lein M. (2006), “Strong-field approximation for harmonic
generation in diatomic molecules”, Phys. Rev. A 73, pp. 023410.
19. Ramakrishna S. and Seideman T. (2007), “Information content of high harmonics
generated from aligned molecules”, Phys. Rev. Lett. 99, pp. 113901.
40
20. Abdurrouf A., Faisal F. H. M. (2009), “Theory of intense-field dynamic
alignment and high-order harmonic generation from coherently rotating
molecules and interpretation of intense-field ultrafast pump-probe experiments”,
Phys. Rev. A 79, pp. 023405.
21. Zhao Z. X., Chen Z., Lucchese R. R., Le A. T., Lin C. D. (2011),“High-order
harmonic generation using gas-phase H2O molecules”, J. Phys. A 83, pp. 033409.
22. Le A. T., Morishita T., and Lin C. D. (2008), “Extraction of the species
dependent dipole amplitude and phase from high-order harmonic spectra in rare
gas atoms”, Phys. Rev. A 78, pp. 023814.
23. Morishita T., Le A. T., Chen Z., and Lin C. D. (2008), “Accurate retrieval of
structural information from laser-induced photoelectron and high-harmonic
spectra by few-cycle laser pulses”, Phys. Rev. Lett. 100, pp. 013903.
24. Chen Z., Le A. T., Morishita T. and Lin C. D. (2009), “Quantitative rescattering
theory for laser-induced high-energy plateau photoelectron spectra”, Phys. Rev.
A 79, pp. 033409.
25. Micheau S., Chen Z., Le A. T., and Lin C.D. (2009), “Quantitative rescattering
theory for nonsequential double ionization of atoms by intense laser pulses”,
Phys. Rev. A 79, pp. 013417.
26. Lin C.D., Le A. T., Chen Z., Morishita T. and Lucchese R. R. (2010), “Strong-
field rescattering physics-self-imaging of a molecule by its own electrons”, Phys.
Rev. B 43, pp. 122001.
27. Nandor M. J., Walker M. A., Woerkom L. D. V.,Muller H. G. (1999), “Detailed
comparison of above-threshold-ionization spectra from accurate numerical
integrations and high-resolution measurements”, Phys. Rev. A 60, pp. R1771.
28. Le A. T., Lucchese R. R., Lin C. D. (2013), “Quantitative rescattering theory of
high-order harmonic generation for polyatomic molecules”, Phys. Rev. A 87, pp.
063406.
![Báo cáo thí nghiệm vi sinh môi trường: Bài tiểu luận [Hướng dẫn chi tiết]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2026/20260509/2521005621@sv.ufm.edu.vn/135x160/21321778465593.jpg)
