Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM
Khoa Toán – Tin học
TIỂU LUẬN
PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG
TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG
Môn học: Hình học sơ cấp
Giảng viên: TS. Trần Nam Dũng
Danh sách nhóm
Đinh Tấn Tài – 19110023
Nguyễn Hoàng Minh – 19110113
Nguyễn Như Tân – 19110177
Năm học: 2021 - 2022
Lời mở đầu
Bài tiểu luận là sản phẩm của nhóm chúng em trong môn Hình học sơ cấp, khoa Toán –
Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM. Nhóm nhận thấy rằng trong
chương trình THPT, một số phép biến hình đã được đưa vào giảng dạy như phép tịnh tiến,
phép đối xứng tâm, đối xứng trục, phép vị tự, phép đồng dạng, tuy nhiên phép nghịch đảo
không được đề cập đến. Tuy nhiên trong nhiều bài toán, nếu không sử dụng phép nghịch đảo
thì việc tìm lời giải sẽ trở nên khó khăn, ngoài ra sử dụng phép nghịch đảo giúp lời giải trở
nên ngắn gọn, xúc tích hơn.
Phép nghịch đảo là phép biến hình thuộc loại khác, nó cũng bảo toàn lớp các đường
thẳng và đường tròn nhưng nó có thể biến một đường thẳng thành đường tròn và ngược lại.
Chính đặc trưng đó của phép nghịch đảo nên nó trở thành một công cụ tư duy hữu ích để phát
triển các bài toán và cho ta một cách nhìn mới đối với bài toán đó. Điều đó giúp cho người
học toán không những phát triển được kiến thức hình học của mình mà còn cung cấp cho họ
một cái nhìn sâu hơn bài toán. Vì vậy, nhóm chúng em quyết định chọn đề tài “Phép nghịch
đảo và ứng dụng” để tìm hiểu và nghiên cứu.
Bố cục tiểu luận ngoài phần mở đầu và kết luận, tiểu luận gồm 4 chương.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị: trình bày sơ lược các kiến thức cơ bản có liên quan đến
phép biến nghịch đảo.
Chương 2. Cơ sở lý thuyết: nhằm cung cấp kiến thức cơ bản về phép nghịch đảo, những
tính chất mà chúng em sẽ áp dụng vào một số bài toán ở chương 3.
Chương 3. Ứng dụng vào giải toán hình học phẳng: vận dụng định nghĩa và tính chất
của phép nghịch đảo vào một số bài toán chứng minh, quỹ tích, dựng hình trong hình học
phẳng.
Chương 4. Mở rộng (Hình Arbelos và các cặp đường tròn Archimedes): Hình Arbelos
dựa trên hình cơ bản tạo bởi 3 nửa đường tròn (𝛼,𝛽,𝛾), còn được gọi là “hình con dao thợ
đóng giày”.
Chúng em đã cố gắng hết sức trong quá trình thực hiện nhưng vì kiến thức còn hạn chế
nên chắc chắn tiểu luận còn nhiều thiếu sót. Nhóm chúng em rất mong nhận được sự góp ý
của thầy và các bạn để tiểu luận được hoàn thiện hơn.
Xin trân trọng cảm ơn.
NHÓM THỰC HIỆN
Mục lục
Đôi nét về lịch sử của phép nghịch đảo ........................................................................ 1
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................... 2
I. Giới thiệu phép biến hình. ................................................................................... 2
1. Khái niệm hình. ................................................................................................ 2
2. Khái niệm phép biến hình. ................................................................................ 2
3. Tích của hai phép biến hình. ............................................................................. 2
4. Phép biến hình đảo ngược. ............................................................................... 3
5. Phép biến hình có tính chất đối hợp. ................................................................ 3
II. Các phần tử bất biến trong một phép biến hình. ............................................... 3
III. Định hướng. ...................................................................................................... 4
1. Định hướng trong mặt phẳng. ........................................................................... 4
2. Định hướng trong không gian. .......................................................................... 5
IV. Một số định nghĩa về góc giữa hai đối tượng. .................................................. 6
V. Một số vấn đề liên quan đến đường tròn, mặt cầu. .............................................. 8
1. Phương tích của một điểm đối với một đường tròn. ........................................ 8
2. Trục đẳng phương của hai đường tròn. ............................................................ 8
3. Hai đường tròn trực giao. ................................................................................. 9
4. Phương tích của một điểm đối với mặt cầu. ................................................... 10
5. Chùm đường tròn. ........................................................................................... 10
CHƯƠNG 2. PHÉP NGHỊCH ĐẢO ....................................................................... 14
I. Định nghĩa và các tính chất của phép nghịch đảo ............................................. 14
1. Định nghĩa. ..................................................................................................... 14
2. Các tính chất. .................................................................................................. 15
II. Ảnh của đường thẳng và đường tròn qua phép nghịch đảo. ........................... 22
III. Ảnh của mặt phẳng và mặt cầu qua phép nghịch đảo. ................................... 26
IV. Sự bảo tồn góc qua phép nghịch đảo. ............................................................. 29
V. Biểu thức tọa độ của phép nghịch đảo. .............................................................. 30
1. Ảnh của đường thẳng qua phép nghịch đảo. .................................................. 32
2. Ảnh của đường tròn qua phép nghịch đảo. ..................................................... 32
VI. Cách dựng ảnh qua phép nghịch đảo. ............................................................. 33
1. Phương pháp Compa. ..................................................................................... 33
2. Phương pháp tiếp tuyến. ................................................................................. 33
3. Phương pháp đường kính vuông góc .............................................................. 34
VII. Thước vẽ hình nghịch đảo của một hình cho trước. ....................................... 35
VIII. Ảnh của một chùm đường tròn qua phép nghịch đảo. ................................ 38
CHƯƠNG 3. MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG SỬ DỤNG PHÉP
NGHỊCH ĐẢO .......................................................................................................... 41
Dạng 1: Ứng dụng phép nghịch đảo trong bài toán chứng minh đẳng thức và tính
toán. .......................................................................................................................... 41
Dạng 2: Ứng dụng phép nghịch đảo trong bài toán chứng minh thẳng hàng và đồng
quy. ........................................................................................................................... 45
Dạng 3: Ứng dụng phép nghịch đảo trong bài toán liên quan đến quỹ tích. ........... 51
CHƯƠNG 4. PHÉP NGHỊCH ĐẢO ....................................................................... 57
TRONG HÌNH ARBELOS ......................................................................................... 57
1. Giới thiệu về Arbelos. ........................................................................................ 57
2. Chuỗi Pappus các đường tròn nội tiếp Arbelos. ................................................ 57
1
Đôi nét về lịch sử của phép nghịch đảo
Apollonius xứ Perga (250 – 175 trước Công nguyên) nổi tiếng với công trình nghiên
cứu về thiên văn học, trước khi nổi tiếng về các tác phẩm liên quan tới các đường conic. Thật
không may, công trình gốc của Apollonius về thiên văn học và hầu hết các công trình toán
học của ông (ngoại trừ Conic) đã bị mất và chúng ta chỉ biết về nó từ một bài bình luận của
Pappus ở Alexandria (290–350 sau Công nguyên).
Theo Pappus, Apollonius đã điều tra một họ cụ thể của đường tròn và đường thẳng.
Appollonius đã xác định đường cong:
𝑐𝑘(𝐴,𝐵) là tập hợp các điểm 𝑃 sao cho 𝑃𝐴=𝑘×𝑃𝐵, với 𝐴 và 𝐵 là hai điểm nằm
trong mặt phẳng, và 𝑘 là một hằng số dương tùy ý.
Đường cong này sẽ trở thành đường thẳng nếu 𝑘=1, ngược lại, nó trở thành đường
tròn – còn gọi là đường tròn Apollonius. Ông đã chứng minh được rằng với một đường tròn
𝑐 (tâm 𝐶, bán kính 𝑟) thuộc họ đường cong {𝑐𝑘(𝐴,𝐵)} khi và chỉ khi 𝐵𝐶 ×𝐴𝐶=𝑟2 với 𝐴,𝐵
là hai điểm nằm trên cùng tia đi qua 𝐶.
Tầm quan trọng to lớn của phép nghịch đảo đối với hình học sơ cấp là rất rõ ràng nếu
chúng ta nghĩ rằng nó có thể biến một số bài tập có liên quan đến đường tròn và các bài toán
có cấu trúc tương tự, thành những bài ít phức tạp hơn trong đó một hoặc nhiều đường tròn đã
được thay thế bằng một đường thẳng. Có bằng chứng gián tiếp rằng Apollonius đã sử dụng
phép nghịch đảo để giải quyết các vấn đề thiên văn liên quan đến quỹ đạo thiên thể. Vì những
lý do tương tự, phép nghịch đảo sớm được các nhà Vật lý áp dụng, ví dụ như Thomson trong
lý thuyết điện trường.
Các yếu tố và vòng tròn của Apollonius là một phần của các chuỗi lịch sử khác nhau.
Trong chương 4 chúng ta sẽ khám phá một vấn đề của Apollonius sử dụng phép nghịch đảo
cho các giải pháp của nó.
