UBND THÀNH PHỐ HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI
TIỂU LUẬN
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC VÀ CÁC BÀI TOÁN
LIÊN QUAN
Khoa: Sư phạm
Giảng viên hướng dẫn: ThS. Nguyễn Thị Lê
Sinh viên thực hiện: Đỗ Diệp Anh - 222000392
Hà Nội - 2025
LỜI CẢM ƠN
Sau thời gian tìm hiểu và nghiên cứu đề tài “Phương trình lượng giác và các bài toán
liên quan”, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Khoa Sư phạm cùng toàn thể các giảng
viên Trường Đại học Thủ Đô Hà Nội. Nhờ sự tận tình giảng dạy, truyền đạt những kiến
thức quý báu và tạo điều kiện thuận lợi của các thầy, cô mà em đã có thể tiếp thu được
nhiều kiến thức hữu ích, phục vụ cho quá trình học tập và hoàn thành tiểu luận này.
Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến ThS. Nguyễn Thị Lê – người đã trực
tiếp hướng dẫn, tận tình chỉ bảo em trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện tiểu
luận. Sự quan tâm, định hướng và những đóng góp quý báu của cô đã giúp em hiểu rõ
hơn về vấn đề nghiên cứu, từ đó có thể hoàn thiện bài tiểu luận một cách tốt nhất.
Dù đã cố gắng hết sức trong quá trình thực hiện, nhưng do hạn chế về kiến thức và
kinh nghiệm, chắc chắn bài tiểu luận vẫn còn những thiếu sót. Em kính mong nhận được
sự góp ý quý báu từ các thầy, cô để có thể tiếp tục hoàn thiện và nâng cao hiểu biết của
mình hơn nữa.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 4 năm 2025
Sinh viên
Đỗ Diệp Anh
2
LỜI MỞ ĐẦU
Toán học là một ngành khoa học cơ bản, giữ vai trò then chốt trong việc hình thành
tư duy logic và phát triển trí tuệ con người. Trong đó, lượng giác là một trong nhiều nội
dung quan trọng của toán học, không chỉ xuất hiện trong chương trình trung học mà còn
có ứng dụng rộng rãi trong khoa học, kỹ thuật, kiến trúc, thiên văn học và nhiều ngành
nghề khác. Một trong những nội dung quan trọng và có tính ứng dụng cao trong chương
trình lượng giác chính là phương trình lượng giác – loại phương trình chứa các hàm số
lượng giác như sin, cosin, tang và cotang. Việc giải các phương trình lượng giác không
chỉ đơn thuần là thao tác biến đổi đại số, mà còn đòi hỏi người học phải nắm vững các
công thức lượng giác, hiểu bản chất hình học của các hàm số, và có khả năng suy luận
linh hoạt.
Phương trình lượng giác xuất hiện thường xuyên trong các kỳ thi học sinh giỏi, thi
đại học cũng như các kỳ kiểm tra năng lực tư duy toán học. Không chỉ giới hạn ở việc
tìm nghiệm của một phương trình đơn lẻ, nội dung này còn được mở rộng ra các bài toán
liên quan như tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm, xét tính đúng/sai
của đẳng thức lượng giác, hay thậm chí là áp dụng vào các mô hình thực tế có bản chất
chu kỳ như dao động điều hòa, sóng, hoặc chuyển động tròn đều. Đây cũng chính là điểm
làm cho phương trình lượng giác trở thành một chủ đề vừa mang tính học thuật cao, vừa
mang tính ứng dụng thực tiễn rõ rệt.
Với mong muốn làm rõ hơn vai trò, đặc điểm và các dạng bài toán liên quan đến
phương trình lượng giác, tiểu luận này sẽ tập trung trình bày khái niệm cơ bản, phân
loại các phương trình thường gặp, hệ thống các phương pháp giải tiêu biểu như phương
pháp đặt ẩn phụ, biến đổi biểu thức lượng giác, sử dụng hệ thức cơ bản,... Đồng thời,
tiểu luận cũng đưa ra một số ví dụ minh họa và bài tập có lời giải nhằm giúp người đọc
củng cố và vận dụng tốt kiến thức.
3
Mục lục
LỜI CẢM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
LỜI MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 CÁC DẠNG BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 6
1.1 Khái niệm về phương trình lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Phương trình lượng giác cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Dạng phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2.1 Phương trình sinx=m....................7
1.2.2.2 Phương trình cosx=m....................7
1.2.2.3 Phương trình tanx=m(cosx= 0) .............8
1.2.2.4 Phương trình cotx=m(sinx= 0) .............8
1.2.3 Các bài tập liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Phương trình hạ bậc bậc 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
1.3.1 Dạng phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
1.3.2 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
1.3.3 Các bài tập liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
1.4 Phương trình bậc nhất dạng acosx+bsinx=c...............12
1.4.1 Dạng phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
1.4.2 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13
1.4.3 Các bài tập liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13
1.5 Phương trình bậc hai dạng a(f(x))2+bf(x) + c= 0 ............17
1.5.1 Dạng phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
1.5.2 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
1.5.3 Các bài tập liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
1.6 Phương trình đẳng cấp theo sinxvà cosx..................20
1.6.1 Dạng phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20
4
1.6.2 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
1.6.3 Các bài tập liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
1.7 Phương trình đối xứng theo sinxvà cosx..................24
1.7.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
1.7.2 Các kiến thức cần nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
1.7.3 Các bài tập liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
1.8 Phương trình lượng giác bậc cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26
1.8.1 Dạng phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26
1.8.2 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
1.8.3 Các bài tập liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
TIỂU KẾT CHƯƠNG I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
2 MỘT SỐ MẸO TRONG GIẢI TOÁN LƯỢNG GIÁC 31
2.1 Một số mẹo lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31
2.1.1 Đổi biến t= sin(x)hoặc t= cos(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31
2.1.2 Đổi biến t= tanx
2..............................31
2.1.3 Đổi biến t= tan(x)...............................32
2.1.4 Đổi biến t=u(x), với u(x)là hàm lượng giác hoặc biểu thức lượng giác .32
2.1.5 Các bài tập liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32
TIỂU KẾT CHƯƠNG II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38
5