ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ
Đinh Văn Phúc
KHÔNG GIAN MÊTRIC NIKODYM VÀ TÍNH CHẤT
Bộ môn: Giải tích
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Người hướng dẫn: PGS.TS. Lê Văn Hạp
Huế, Khóa học 2009 - 2013
LỜI CẢM ƠN
Khóa luận này được hoàn thành không chỉ là kết quả của sự cố gắng,
nỗ lực của bản thân mà trước hết là nhờ sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình,
chu đáo của thầy giáo PGS.TS. Lê Văn Hạp, em xin bày tỏ lòng biết ơn
chân thành và sâu sắc đến thầy.
Em xin thành cảm ơn quý thầy cô đã hết lòng dạy dỗ, giúp đỡ em
trong suốt những năm qua.
Em xin gửi đến gia đình, những người thân yêu và những người bạn
của em lời biết ơn chân thành sâu lắng, những người luôn sát cánh bên
em, động viên và tạo mọi điều kiện cho em được học tập cũng như trong
suốt quá trình hoàn thành khóa luận này.
Huế, ngày 6 tháng 05 năm 2013
Sinh viên
Đinh Văn Phúc
Mục lục
Lời mở đầu 3
1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5
1.1 Tập thương và quan hệ tương đương . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Không gian độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Hàm đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6 Tích phân coi như một hàm tập . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.7 Không gian Lp,1≤p < +∞................ 13
2 KHÔNG GIAN MÊTRIC NIKODYM VÀ TÍNH CHẤT 15
2.1 Đạo hàm Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Không gian mêtric Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Kết luận 42
Tài liệu tham khảo 43
2
LỜI MỞ ĐẦU
Không gian mêtric và lý thuyết độ đo tích phân là một phần quan
trọng trong lý thuyết hàm số biến số thực, chúng cùng với giải tích hàm
làm nền tảng cho kiến thức toán học của sinh viên. Trong chương trình học
ở đại học, học phần không gian mêtric-không gian Tôpô được học ở học
kì hai của năm thứ hai, học phần lí thuyết độ đo và tích phân được học ở
học kì một năm thứ ba. Đây là những học phần không thể thiếu đối với
sinh viên ngành toán ở bậc đại học, các học phần này giúp chúng em làm
quen và nắm được khái niệm, tính chất của không gian mêtric, không gian
độ đo và lí thuyết tích phân...Đặc biệt là không gian mêtric có những tính
chất thú vị, gần gũi với hình học. Khóa luận này đi sâu nghiên cứu về một
trường hợp đặc biệt của không mêtric, đó là không gian mêtric Nikodym.
Không gian mêtric Nikodym được xây dựng dựa trên một không gian
độ đo hữu hạn và nó có một số tính chất khá thú vị, có mối liên hệ chặt
chẽ với không gian độ đo. Nội dung của khóa luận đề cập đến khái niệm
không gian mêtric Nikodym, các tính chất của không gian này đồng thời
chỉ ra mối liên hệ giữa nó với không gian Lp,1≤p < ∞.
Nội dung nghiên cứu của em là dựa trên cuốn sách [7], trong đó các
khái niệm, kết quả được nghiên cứu và trình bày lại một cách rõ ràng và
đầy đủ hơn. Tuy không phải là những kết quả mới được tìm thấy, nhưng
3
4
với tinh thần tìm tòi học hỏi kiến thức mới, hy vọng đề tài này sẽ đem lại
nhiều kiến thức bổ ích cho bản thân và nhiều thú vị cho độc giả. Nội dung
khóa luận gồm hai chương:
Chương I: Một số kiến thức chuẩn bị.
Chương II: Không gian mêtric Nikodym và tính chất.
Tuy đã có nhiều cố gắng, song do hạn chế về thời gian và năng lực
bản thân nên khóa luận không tránh khỏi những sai sót, rất mong được
sự quan tâm góp ý của thầy cô và các bạn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Huế, ngày 6 tháng 05 năm 2013
Tác giả